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浙江省衢州一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年浙江省衢州一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知集合 A={﹣2,﹣1,1,2},B={x|x≥2 或 x≤﹣1},则 A∩B=() A.{﹣1,1,2} B.{﹣2,﹣1,2} C.{﹣2,1,2} D.{﹣2,﹣1

,1} 2. (5 分)函数 y=x +x (﹣1≤x≤3 )的值域是() A.[0,12] B.[﹣ ,12]
x 2 2

C.[﹣ ,12]

D.[ ,12]

3. (5 分)设 f(x)=2 ﹣x ,则在下列区间中使函数 f(x)有零点的区间是() A.[0,1] B.[1,2) C.[﹣2,﹣1] D.[﹣1,0] 4. (5 分)已知 a=log23+log2 A.b<a<c B.c<a<b C.a<b<c 2,则 a,b,c 大小关系为() D.c<b<a

5. (5 分)下列函数中,在区间(0,1]上为增函数的是() A.y=2x ﹣x+3
2

B.y=( )

x

C.y=x

3

D.y=log

x

6. (5 分)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, A.﹣2 B. 0 C. 1

,则 f(﹣1)=() D.2

7. (5 分)已知函数 y=|log2x|的定义域为[ ,n](m,n 为正整数) ,值域为[0,2],则满足条 件的整数对(m,n)共有() A.1 个 B. 7 个

C. 8 个

D.16 个

8. (5 分)设函数 f(x)=

的最小值为﹣1,则实数 a 取值范围()

A.

B.

C.

D.{a|a≥﹣1}

9. (5 分)已知函数 f(x)=a?2 +1(a≠0) ,定义函数 列命题: ①F(x)=|f(x)|; ②函数 F(x)是奇函数; ③当 a<0 时,若 mn<0,m+n>0,总有 F(m)+F(n)<0 成立, 其中所有正确命题的序号是() A.② B.①③ C.②③ D.①②

|x|

给出下

10. (5 分)函数 f(x)=x ﹣3x 的图象为曲线 C1,函数 g(x)=4﹣x 的图象为曲线 C2,过 x 轴上的动点 M(a,0) (0≤a≤3)作垂直于 x 轴的直线分别交曲线 C1,C2 于 A,B 两点,则线 段 AB 长度的最大值为() A.2 B. 4 C. 5 D.

2

2

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11. (4 分)把﹣1125°化为 k?360°+α(k∈Z,0≤α<360°)形式.

12. (4 分)计算:

=.

13. (4 分)幂函数 y=f(x)的图象经过点(2, ) ,则满足 f(x)=﹣27 的 x 的值是.

14. (4 分)若函数 y=

在(﹣1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是.

15. (4 分)已知函数 f(x)=

,若 f(a)=3,则 a=?

16. (4 分)已知函数 f(x)满足 f(﹣x)=f(x) ,当 a,b∈(﹣∞,0)时总有 ,若 f(m+1)>f(2m) ,则实数 m 的取值范围是.

17. (4 分)已知 f(x)=

(其中 a,b 为常数,且 ab≠2) ,在定义域内任一个 x 有

(k 为常数) ,则 k=.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤)

18. (14 分)设全集为 R,集合 A={x|x≤3 或 x≥6},B={x|﹣2<x<9}. (1)求 A∪B, (?RA)∩B; (2)已知 C={x|a<x<a+1},若 C?B,求实数 a 的取值范围. 19. (14 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=ax ﹣2ax +bx+1(a >0) (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=
x 3 2

在区间[2,3]上有最大值 4,最小值 1,求 a,b 的值.

20. (14 分)已知 f(x)=ln(e +a)是定义域为 R 的奇函数,g(x)=λf(x) . (1)求实数 a 的值; (2)若 g(x)≤xlog2x 在 x∈[2,3]上恒成立,求 λ 的取值范围. 21. (15 分)已知函数 f(x)=log2
x

,g(x)=log2(x﹣1)

(1)判断 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论; (2)记函数 h(x)=g(2 +2)+kx,问:是否存在实数 k 使得函数 h(x)为偶函数?若存在, 请求出 k 的值;若不存在,请说明理由; (3)记函数 F(x)=f(x)+g(x)+log2(p﹣x) ,其中 p>1 试求 F(x)的值域. 22. (15 分)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:在定义域内存在 x0,使得 f (x0+1)=f(x0)+f(1)成立. (1)函数 (2)设函数
x

是否属于集合 M?说明理由; ,求 a 的取值范围;
x 2

(3)设函数 y=2 图象与函数 y=﹣x 的图象有交点,证明:函数 f(x)=2 +x ∈M.

2014-2015 学年浙江省衢州一中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知集合 A={﹣2,﹣1,1,2},B={x|x≥2 或 x≤﹣1},则 A∩B=() A.{﹣1,1,2} B.{﹣2,﹣1,2} C.{﹣2,1,2} D.{﹣2,﹣1,1} 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 集合. 根据集合线段交集的定义,只要找出同时在两个集合的元素组成的集合. 解:由题意,因为集合 A={﹣2,﹣1,1,2},B={x|x≥2 或 x≤﹣1},

所以﹣2∈B,﹣1∈B,2∈B, 所以 A∩B={﹣1,1,2}; 故选 A. 点评: 本题考查了集合的交集的运算,只要根据定义,找出两个集合的公共元素组成的集 合. 2. (5 分)函数 y=x +x (﹣1≤x≤3 )的值域是() A.[0,12] B.[﹣ ,12] C.[﹣ ,12] D.[ ,12]
2

考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题. 分析: 先将二次函数配方,确定函数在指定区间上的单调性,从而可求函数的值域. 解答: 解:由 y=x +x 得 ∴函数的对称轴为直线 ∵﹣1≤x≤3, ∴函数在 ∴x= 上为减函数,在 时,函数的最小值为 上为增函数
2



x=3 时,函数的最大值为 12 ∴ ≤y≤12. ,12]

故值域是[

故选 B. 点评: 本题重点考查二次函数在指定区间上的值域,解题的关键是配方,确定函数的单调 性,属于基础题. 3. (5 分)设 f(x)=2 ﹣x ,则在下列区间中使函数 f(x)有零点的区间是() A.[0,1] B.[1,2) C.[﹣2,﹣1] D.[﹣1,0] 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. x 2 分析: 根据 f(x)=2 ﹣x 是 R 上的连续函数,f(﹣1)<0,f(0)>0,可得函数 f(x) 在(﹣1,0)上有零点,从而得出结论. 解答: 解:根据 f(x)=2 ﹣x 是 R 上的连续函数,f(﹣1)=﹣ <0,f(0)=1>0,可得 函数 f(x)在(﹣1,0)上有零点, 故选 D. 点评: 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基础题.
x 2 x 2

4. (5 分)已知 a=log23+log2 A.b<a<c B.c<a<b C.a<b<c

2,则 a,b,c 大小关系为() D.c<b<a

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵ ∵3 >4 ,∴
7 5

= ,

>log24=2,

∴ ∴ ∴

>2. . .

∵1>

=

>log32=c.

∴c<b<a. 故选:D. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于中档题. 5. (5 分)下列函数中,在区间(0,1]上为增函数的是() A.y=2x ﹣x+3
2

B.y=( )

x

C.y=x

3

D.y=log

x

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别对 A,B,C,D 各个选项的单调性进行分析,从而得到答案. 解答: 解:对于 A:对称轴 x= ,函数在(0, )递减,在( ,1)递增,不合题意, 对于 B:函数在(0,1)递减,不合题意, 对于 C:函数在(0,1)递增,符合题意, 对于 D:函数在(0,1)递减,不合题意, 故选:C. 点评: 本题考查了函数的单调性,考查了常见函数的性质,是一道基础题.

6. (5 分)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, A.﹣2 B. 0 C. 1

,则 f(﹣1)=() D.2

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用奇函数的性质,f(﹣1)=﹣f(1) ,即可求得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)=x + , ∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2, 故选 A. 点评: 本题考查奇函数的性质,考查函数的求值,属于基础题. 7. (5 分)已知函数 y=|log2x|的定义域为[ ,n](m,n 为正整数) ,值域为[0,2],则满足条 件的整数对(m,n)共有() A.1 个 B. 7 个
2

C. 8 个

D.16 个

考点: 函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数的性质和值域,先求出 m,n 的可能值,然后即可得到结论. 解答: 解:由 y=|log2x|=0,解得 x=1, 由 y=|log2x|=2,解得 x=4 或 x= . 则满足条件的(m,n)有(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (1,4) , (2,4) , (3,4) , 共 7 个, 故选:B. 点评: 本题主要考查对数函数的图象和性质,根据函数的值域确定函数定义域是解决本题 的关键.

8. (5 分)设函数 f(x)=

的最小值为﹣1,则实数 a 取值范围()

A.

B.

C.

D.{a|a≥﹣1}

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可知,f(x)在[ ,+∞)上是增函数,在(﹣∞, )上是减函数,从而可得 ﹣ +a≥﹣1,从而求解. 解答: 解:∵当 x≥ 时,f(x)=log2x 在[ ,+∞)上是增函数, 且 f( )=log2 =﹣1,

当x

时,f(x)=﹣x+a 在(﹣∞, )上是减函数,

∴﹣ +a≥﹣1, 故 a≥ ,

故选 A. 点评: 本题考查了分段函数的单调性与最值,属于中档题.

9. (5 分)已知函数 f(x)=a?2 +1(a≠0) ,定义函数 列命题: ①F(x)=|f(x)|; ②函数 F(x)是奇函数; ③当 a<0 时,若 mn<0,m+n>0,总有 F(m)+F(n)<0 成立, 其中所有正确命题的序号是() A.② B.①③ C.②③ D.①② 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: 由题意得,F(x)=

|x|

给出下

,再写出|f(x)|的表达式,它和 F(x)

并不是同一个函数,故①错误;利用函数奇偶性的定义可证得当 x>0 或 x<0 时,F(﹣x)= ﹣F(x) ;故函数 F(x)是奇函数,②正确;当 a<0 时,F(x)在(0,+∞)上是减函数, 利用函数的单调性可得③正确. 解答: 解:由题意得,F(x)= ,

而|f(x)|=
|x|

,它和 F(x)并不是同一个函数,故①错误;

∵函数 f(x)=a?2 +1 是偶函数, 当 x>0 时,﹣x<0,则 F(﹣x)=﹣f(﹣x)=﹣f(x)=﹣F(x) ; 当 x<0 时,﹣x>0,则 F(﹣x)=f(﹣x)=f(x)=﹣F(x) ; 故函数 F(x)是奇函数,②正确; 当 a<0 时,F(x)在(0,+∞)上是减函数, 若 mn<0,m+n>0,总有 m>﹣n>0, ∴F(m)<F(﹣n) ,即 f(m)<﹣F(n) , ∴F(m)+F(n)<0 成立,故③正确. 故选 C.

点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、命题的真假判断与应用等 基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 10. (5 分)函数 f(x)=x ﹣3x 的图象为曲线 C1,函数 g(x)=4﹣x 的图象为曲线 C2,过 x 轴上的动点 M(a,0) (0≤a≤3)作垂直于 x 轴的直线分别交曲线 C1,C2 于 A,B 两点,则线 段 AB 长度的最大值为() A.2 B. 4 C. 5 D.
2 2

考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 线段 AB 长度可转化为|f(x)﹣g(x)|(0≤x≤3) ,利用二次函数的性质可求其最大 值. 解答: 解:|AB|=|f(x)﹣g(x)|=|2x ﹣3x﹣4|=|2 可知函数|f(x)﹣g(x)|在[0, ]上递增,在[ ,3]上递减, ∴|f(x)﹣g(x)|max= 即线段 AB 长度的最大值为 , = ,
2

|(0≤x≤3) ,

故选 D. 点评: 本题考查二次函数的性质及其应用,考查转化思想,属中档题. 二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11. (4 分)把﹣1125°化为 k?360°+α(k∈Z,0≤α<360°)形式﹣8π+ .

考点: 终边相同的角. 专题: 计算题. 分析: 根据角的性质 2kπ+α 直接化解即可.

解答: 解:∵﹣1125°=﹣3×2π =﹣4×2π+ =﹣8π+ 故答案为:﹣8π+ 点评: 考查了角的性质,属于基本知识的考查.

12. (4 分)计算: 考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数幂的运算性质即可得出. 解答: 解:原式= =

=1.

=1.

故答案为 1. 点评: 熟练掌握指数幂的运算性质是解题的关键.

13. (4 分)幂函数 y=f(x)的图象经过点(2, ) ,则满足 f(x)=﹣27 的 x 的值是﹣ .

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 设幂函数 f(x)=x ,由幂函数 y=f(x)的图象经过点(2, ) ,解得 a=﹣3,由此 能求出满足 f(x)=﹣27 的 x 的值. 解答: 解:设幂函数 f(x)=x , ∵幂函数 y=f(x)的图象经过点(2, ) , ∴ ,解得 a=﹣3,
﹣3

a

a

∴f(x)=x , ﹣3 ∵f(x)=x =﹣27, ∴x=﹣ . 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查幂函数的性质的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

14. (4 分)若函数 y=

在(﹣1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是(﹣∞,﹣3].

考点: 函数单调性的性质. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求 y′,判断 a 的取值,找函数 y= 的单调递增区间(a+2,+∞) ,由于已知函

数 y 在(﹣1,+∞)上单调递增,所以 a 应满足:a+2≤﹣1,从而求得 a 的取值范围. 解答: 解:y′= ;

∴当 a<3 时,y′>0,∴函数 y 在(a+2,+∞)上单调递增; 又函数 y 在(﹣1,+∞)上单调递增; ∴a+2≤﹣1,即 a≤﹣3; ∴a 的取值范围是: (﹣∞,﹣3]. 故答案为: (﹣∞,﹣3]. 点评: 考查根据导数符号判断函数单调性的方法,知道所求增区间(a+2,+∞)与已知增区 间(﹣1,+∞)的关系: (﹣1,+∞)?(a+2,+∞)是求解本题的关键.

15. (4 分)已知函数 f(x)=

,若 f(a)=3,则 a=﹣3?

考点: 专题: 分析: 解答:

对数的运算性质. 函数的性质及应用. 把 a 分别代入分段函数的两段,求出 a 的值后满足范围的保留,不满足范围的舍去. 解:若 a<1,令 log2(1﹣a)+1=3,解得 a=﹣3;
﹣2

若 a≥1,令 a =3,解得

(舍去) .

∴a=﹣3. 故答案为﹣3. 点评: 本题考查了对数的运算性质,考查了分段函数的函数值的求法,是基础的计算题. 16. (4 分)已知函数 f(x)满足 f(﹣x)=f(x) ,当 a,b∈(﹣∞,0)时总有 ,若 f(m+1)>f(2m) ,则实数 m 的取值范围是(﹣∞, ﹣ )∪(1,+∞) .

考点: 函数单调性的性质;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据条件得到函数的奇偶性,再结合条件求出函数在(0,+∞)上的单调性,利用 f(x)=f(|x|)将 f(m+1)>f(2m)转化成 f(|m+1|)>f(|2m|)进行求解,最后根据单调 性建立关系式求解即可.

解答: 解:∵函数 f(x)满足 f(﹣x)=f(x) , ∴函数 f(x)是偶函数 又∵当 a,b∈(﹣∞,0)时总有 ∴函数 f(x)在(﹣∞,0)上单调递增函数 根据偶函数的性质可知函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减函数 ∵f(m+1)>f(2m) , ∴f(|m+1|)>f(|2m|) ,即|m+1|<|2m|, 则(m+1) <4m , (3m+1) (1﹣m)<0,m>1 或 m<﹣ , 解得:m∈(﹣∞,﹣ )∪(1,+∞) 故答案为: (﹣∞,﹣ )∪(1,+∞) 点评: 本题主要考查了函数的单调性的应用,以及函数奇偶性的应用,属于基础题.
2 2



17. (4 分)已知 f(x)=

(其中 a,b 为常数,且 ab≠2) ,在定义域内任一个 x 有

(k 为常数) ,则 k=0.

考点: 函数的零点. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

分析: 由题意,化简 f(x)?f( )﹣k=

?



k= 解答: 解:∵f(x)= ,

=0 恒成立,从而求 k.

∴f(x)?f( )﹣k=

?

﹣k

=

=0 恒成立,





解得,k=0.

故答案为:0. 点评: 本题考查了函数的化简,属于中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤) 18. (14 分)设全集为 R,集合 A={x|x≤3 或 x≥6},B={x|﹣2<x<9}. (1)求 A∪B, (?RA)∩B; (2)已知 C={x|a<x<a+1},若 C?B,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题;交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: (1) 由 A={x|x≤3 或 x≥6}, B={x|﹣2<x<9}, 知?RA={x|3<x<6}, 由此能求出 A∪B 和(?RA)∩B. (2)由 C={x|a<x<a+1},且 C?B,知 ,由此能求出实数 a 的取值范围.

解答: 解: (1)∵A={x|x≤3 或 x≥6},B={x|﹣2<x<9}. ∴A∪B=R, ?RA={x|3<x<6}, ∴(?RA)∩B={x|3<x<6}. (2)∵C={x|a<x<a+1},B={x|﹣2<x<9},且 C?B, ∴ ,解得﹣2≤a≤8,

∴所求实数 a 的取值范围是[﹣2,8]. 点评: 本题考查集合的交、并、补的混合运算,解题时要认真审题,注意集合的包含关系 的合理运用. 19. (14 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=ax ﹣2ax +bx+1(a >0) (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)= 在区间[2,3]上有最大值 4,最小值 1,求 a,b 的值.
3 2

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;导数的综合应用. 3 2 分析: (1)当 x<0 时,﹣x>0,故 f(﹣x)=﹣ax ﹣2ax ﹣bx+1,再由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,能求出函数 y=f(x)的解析式. (2)当 x∈[2,3]时,g(x)= =ax ﹣2ax+b=a(x﹣1) +b﹣a,由 a>0,知 g(x)
2 2

在区间[2,3]上单调递增,由此能求出 a,b 的值. 解答: 解: (1)当 x<0 时,﹣x>0, 3 2 故 f(﹣x)=a(﹣x) ﹣2a(﹣x) +b(﹣x)+1 3 2 =﹣ax ﹣2ax ﹣bx+1, 又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 3 2 故 f(x)=﹣f(﹣x)=ax +2ax +bx﹣1,

所以 f(x)=



(2)当 x∈[2,3]时,g(x)=

=ax ﹣2ax+b=a(x﹣1) +b﹣a,

2

2

∵a>0,∴g(x)在区间[2,3]上单调递增, 故 ,





解得 a=1,b=1. 点评: 本题考查函数的解析式的求法,考查满足条件的实数值的求法.解题时要认真审题, 仔细解答,注意合理地进行等价转化. 20. (14 分)已知 f(x)=ln(e +a)是定义域为 R 的奇函数,g(x)=λf(x) . (1)求实数 a 的值; (2)若 g(x)≤xlog2x 在 x∈[2,3]上恒成立,求 λ 的取值范围. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: (1)令 f(0)=0,解得 a=0,可得函数 f(x)=ln(e )=x,经检验满足条件,故所 求实数 a 的值为 0. (2)根据 f(x) =x,g (x) =λx, 可得 λ≤log2x 在 x∈[2,3]上恒成立, 求出函数 y=log2x 在 x∈[2, 3]上的最小值为 log22=1,可得 λ 的取值范围. x 解答: 解: (1)函数 f(x)=ln(e +a)是定义域为 R 的奇函数, x 令 f(0)=0,即 ln(1+a)=0,解得 a=0,故函数 f(x)=ln(e )=x. …(4 分) 显然有 f(﹣x)=﹣f(x) ,函数 f(x)=x 是奇函数,满足条件,所求实数 a 的值为 0.…(6 分) (2)f(x)=x,g(x)=λx,则 λx≤xlog2x 在 x∈[2,3]上恒成立,即 λ≤log2x 在 x∈[2,3]上恒 成立,…(8 分) ∵函数 y=log2x 在 x∈[2,3]上的最小值为 log22=1,…(11 分) ∴λ≤1,即 λ 的取值范围为(﹣∞,1].…(12 分) 点评: 本题主要考查函数的奇偶性,对数函数的图象和性质,属于中档题. 21. (15 分)已知函数 f(x)=log2 ,g(x)=log2(x﹣1)
x

(1)判断 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论; x (2)记函数 h(x)=g(2 +2)+kx,问:是否存在实数 k 使得函数 h(x)为偶函数?若存在, 请求出 k 的值;若不存在,请说明理由; (3)记函数 F(x)=f(x)+g(x)+log2(p﹣x) ,其中 p>1 试求 F(x)的值域.

考点: 利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)f(x)在区间(1,+∞)上的单调递减.利用单调性的定义,关键是作差变形; (2)假设存在这样的 k 使得函数 h(x)为偶函数,则 h(x)﹣h(﹣x)=0 恒成立,化简可 得结论; (3)先确定函数的定义域,再利用对数的运算性质,化简函数,分类讨论,确定内函数的值 域,即可求得函数的值域. 解答: 解: (1)f(x)在区间(1,+∞)上的单调递减.证明如下: 任取 1<x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2)=log2



﹣1=

∵1<x1<x2,∴

>0

∴ ∴f(x1)﹣f(x2)>0 ∴f(x)在区间(1,+∞)上的单调递减; (2)h(x)=g(2 +2)+kx=log2(2 +1)+kx,定义域为 R 假设存在这样的 k 使得函数 h(x)为偶函数,则 h(x)﹣h(﹣x)=0 恒成立 即 log2(2 +1)+kx﹣log2(2 +1)+kx=0,化简得(1+2k)x=0 ∴k=﹣ 使得函数 h(x)为偶函数. (3)首先函数 F(x)的定义域是(1,p) F(x)=log2(x+1) (p﹣x)=log2[﹣x +(p﹣1)x+p]=log2[﹣(x﹣ 然 <
2
)2

x

x

x

﹣x

+

],显

①当

≤1,即 1<p≤3 时,t=﹣(x﹣

)2

+

在(1,p)上单调减,g(p)<t

<g(1) ,即 0<t<2p﹣2, ∴f(x)<1+log2(p﹣1) ,函数 f(x)的值域为(﹣∞,log2(p﹣1) ) ; ②当 1< < ,即 p>3 时,t=﹣(x﹣
)2

+

在(1,

)上单调递增,

在(

,p)上单调递减,即 0<t≤



∴f(x)≤2log2(p+1)﹣2,函数 f(x)的值域为(﹣∞,2log2(p+1)﹣2) . 综上:当 1<p≤3 时,函数 f(x)的值域为(﹣∞,log2(p﹣1) ) ;当 p>3 时,函数 f(x)的 值域为(﹣∞,2log2(p+1)﹣2) . 点评: 本题考查函数的单调性,考查函数的值域,考查分类讨论的数学思想,解题的关键 是确定函数的定义域,化简函数. 22. (15 分)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:在定义域内存在 x0,使得 f (x0+1)=f(x0)+f(1)成立. (1)函数 (2)设函数
x

是否属于集合 M?说明理由; ,求 a 的取值范围;
x 2

(3)设函数 y=2 图象与函数 y=﹣x 的图象有交点,证明:函数 f(x)=2 +x ∈M. 考点: 对数的运算性质. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)集合 M 中元素的性质,即有 f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,代入函数解析式 列出方程,进行求解,若无解则此函数不是 M 的元素,若有解则此函数是 M 的元素; (2)根据 f(x0+1)=f(x0)+f(1)和对数的运算,求出关于 a 的方程,再根据方程有解的 条件求出 a 的取值范围,当二次项的系数含有参数时,考虑是否为零的情况; (3)利用 f(x0+1)=f(x0)+f(1)和 f(x)=2 +x ∈M,整理出关于 x0 的式子,利用 y=2 图象与函数 y=﹣x 的图象有交点,即对应方程有根,与求出的式子进行比较和证明. 解答: 解: (1)若 f(x)= ∈M,在定义域内存在 x0,则 ∵方程 x0 +x0+1=0 无解,∴f(x)= ?M; (5 分) (2)由题意得,f(x)=lg ∈M,
2 x 2 x

+1=0,

∴lg

+2ax+2(a﹣1)=0,

当 a=2 时,x=﹣ ; 当 a≠2 时,由△ ≥0,得 a ﹣6a+4≤0,a∈ 综上,所求的 ; (10 分) x 2 (3)∵函数 f(x)=2 +x ∈M, ∴ =
x 2



﹣3 ,

又∵函数 y=2 图象与函数 y=﹣x 的图象有交点,设交点的横坐标为 a, 则 ,其中 x0=a+1
x 2

∴f(x0+1)=f(x0)+f(1) ,即 f(x)=2 +x ∈M. (16 分)

点评: 本题的考点是元素与集合的关系,此题的集合中的元素是集合,主要利用了元素满 足的恒等式进行求解,根据对数和指数的元素性质进行化简,考查了逻辑思维能力和分析、解 决问题的能力.


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