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正弦定理 余弦定理学案1


§1.1.1 正弦定理
●教学目标 知识与技能: 通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理的内容及其证明方法; 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 ●教学过程 课题导入 如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系?

显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B 讲授新课 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等 式关系。如图 1.1-2,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数 的 A 则 定 义 , 有

a ? sin A c
?



b ? sin B c





s

Ci ? n ?

c c

,1

a
sin A

?

b
sin B

c
sinC

?c ?

b

c a (图 1.1-2) B

从而在直角三角形 ABC 中,

a
sin A

b
sin B

?

c
sin C

C

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图 1.1-3,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的 定义,有 CD=

同理可得 从而

c
sinC ?

?

b
sin B ?



b A c

a B

a
sin A

b
sin B

c
sinC

(图 1.1-3) 思考: 是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题, 从而可以考虑用向量来研究 这个问题。 (证法二) :过点 A 作 j ? AC , 由向量的加法可得 则 ∴

? ?

??? ?

C

AB ? AC ? CB
? ??? ?

???

??? ?

???

j ? AB ? j ?(AC ? CB )

? ??? ??? ? ?

A

B

∴ c sin A ? a sin C ,即

a c ? sin A sin C

同理,过点 C 作 j ? BC ,可得 从而

? ??? ?

b c ? sin B sin C

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

=2R(R 为

);

类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (由学生课后自己推导) 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即 存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ; (2)

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

等价于

a
sin A

?

b
sin B



c
sinC

?

b
sin B



a
sin A

?

c
sinC

从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ?

b sin A ; sin B b sin A sin B

一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ? 例 1. 在 ?ABC 中, A ? 600 , B ? 750 , a ? 10, 解三角形

例 2.在 ?ABC 中, a ? 2 3,b ? 2 2,B ? 45? ,解三角形

[练习]1。已知 ? ABC 中, sin A:sin B :sinC ? 1:2:3 ,求 a :b :c

2. (1)在 ?ABC 中,已知 a ? 3, b ?

2, B ? 450 ,解三角形

3.在 ?ABC 中,已知 a ? 8, C ? 75 , B ? 60 ,求边 b和c .
0 0

【感悟】在 ?ABC 中, A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的什么条件? “

§1.1.2 余弦定理
●教学目标 知识与技能: 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法, 并会运用余弦定理 解决两类基本的解三角形问题。 ●教学过程 课题导入 C 如图 1.1-4,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ? C,求边 c A 讲授新课 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题? 用正弦定理试求,发现因 A、B 均未知,所以较难求边 c。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 ??? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? 如图 1.1-5,设 CB ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 c ? a ? b ,则 b c (图 1.1-4) a B

A

? b
? a

? c

c ? c ?c ? a ? b a ? b ? ? ? ? ? ? ? a ? a ? ? ? b ?? a?? b 2 ? 2 b2 ? a ? b ? 2a ? b
从而

?2

? ?

?

?

? ?

??

?

?
C

B

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

(图 1.1-5)

同理可证 于是得到以下定理

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍。即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

变形为 思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由 三边求出一角? 从而知余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考: 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系, 余弦定理则指出了一般三角

形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系? (由学生总结)若 ? ABC 中,C= 90 0 ,则 cos C ? 0 ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 [例题]例 1.在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A

例 2 在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,解角 A

[练习]在 ? ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,求角 A

( (a 3.已知 a, b, c是?ABC 三边长,若满足等式 a ? b ? c) ? b ? c) ? ab ,则角 C 的大
小为( (A) 60
0

). (B) 90
0

(C) 120

0

4. 1. 在 ???C中,若

sin A cos B ? ,则?B ? ( ) a b

( A)30?

( B)45?

(C )60?

( D)90?

课时小结 (1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; (2)余弦定理的应用范围:①.已知三边求三角;②.已知两边及它们的夹角,求第三边。


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