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2016四川省高考理科数学Word解析版


2016四川省高考理科数学Word解析版
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1. 设集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2} ,Z为整数集,则集合 A ? Z 中元素的个数是( A.3 【答案】C 【解析】由题可知, A ? Z ? {?2, ?1,0,

1, 2} ,则 A ? Z 中元素的个数为5,选C 2. 设 i 为虚数单位,则 ( x ? i)6 的展开式中含 x 4 的项为( A. ?15 x 4 【答案】A
2 4 2 x i ? ?15 x 4 ,选A 【解析】由题可知,含 x 4 的项为 C6



B.4

C.5

D.6

) D. 20ix 4

B. 15 x 4

C. ?20ix 4

π? ? 3. 为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点( 3? ?



A.向左平行移动 C.向左平行移动 【答案】D

π 个单位长度 3 π 个单位长度 6

B.向右平行移动 D.向右平行移动

π 个单位长度 3 π 个单位长度 6

π? ? ? π ?? ? ? 【解析】由题可知, y ? sin ? 2 x ? ? ? sin ? 2 ? x ? ? ? ,则只需把 y ? sin 2 x 的图象向右平移 个单位,选D 3? 6 ?? 6 ? ? ?

4. 用数字1,2,3,4,5构成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( A.24 【答案】D B.48 C.60 D.72



【解析】由题可知,五位数要为奇数,则个位数只能是1,3,5;分为两步:先从1,3,5三个数中选一个作为个位数
4 1 4 有 C1 3 ,再将剩下的4个数字排列得到 A 4 ,则满足条件的五位数有 C3 ? A 4 ? 72 .选D

5. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上, 每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( (参考数据: lg1.12 ? 0.05 , lg1.3 ? 0.11 , lg 2 ? 0.30 ) A.2018年 【答案】B 【解析】设 x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元,由题可知,
130 ?1 ? 12% ? ? 200 , 解得 x ? log1.12
x



B.2019年

C.2020年

D.2021年

200 lg 2 ? lg1.3 ? ? 3.80 , 130 lg1.12

因资金需超过200万,则 x 取4,即2019年,选B
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6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人, 他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至 今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九韶 算法求某多项式值的一个实例。若输入n,x的值分别为3,2. 则 输出v的值为( A.9 C.20 【答案】B 【解析】初始值 n ? 3, x ? 2 ,程序运行过程如下表所示
v ?1 i?2 i ?1 i?0 v ? 1? 2 ? 2 ? 4 v ? 4? 2 ?1 ? 9 v ? 9 ? 2 ? 0 ? 18

) B.18 D.35

i ? ?1

跳出循环,输出 v ? 18 .选B
2 2

7.

? y ? x ? 1, ? 设p:实数x,y满足 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 ,q:实数x,y满足 ? y ? 1 ? x, 则p是q的( ? y ? 1, ?



A.必要不充分条件 C.充要条件 【答案】A

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】如图, ? x ? 1? ? ? y ? 1? ≤ 2 ① 表示圆心为 ?1,1? ,
2 2

y

半径为 2 的圆内区域所有点(包括边界);
? y ≥ x ? 1, ? ? y ≥ 1 ? x, ② 表示 ?ABC 内部区域所有点(包括边界). ? y ≤1 ?

y = x ?1
A(0, 1)

? (1, 1)

C (2, 1)

y =1

O

B (1, 0)

x

实数 x, y 满足②则必然满足①,反之不成立. 则 p 是 q 的必要不充分条件.故选A

y =1? x

8. 设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上任意一点,M是线段PF上的点,且 | PM |? 2 | MF | , 则直线OM斜率的最大值为( A.
3 3

) C.
2 2

B.

2 3

D.1

【答案】C
?y2 ? ?p ? 【解析】如图,由题可知 F ? , 0 ? ,设 P 点坐标为 ? 0 , y0 ? 2 ? ? ? 2p ?

显然,当 y0 ? 0 时, kOM ? 0 ; y0 ? 0 时, kOM ? 0 ,要求 kOM 最大值,不妨设 y0 ? 0 .
???? ? ???? ???? ? ???? 1 ??? ? ???? 1 ??? ? ???? 1 ??? ? 2 ???? ? y 2 p y ? 则 OM ? OF ? FM ? OF ? FP ? OF ? OP ? OF ? OP ? OF ? ? 0 ? , 0 ? 3 3 3 3 ? 6p 3 3 ?

?

?

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y

kOM ?

y0 3 y0 2 p ? 6p 3

P ?

?

2 2 2 ≤ ? ,当且仅当 y0 2 ? 2 p 2 等号成立。故选C O y0 2 p 2 2 2 ? p y0

? F

?M
x

?? ln x, 0 ? x ? 1, 9. 设直线 l1 , l2 分别是函数 f ( x) ? ? 图象上点 P 1 ,P 2 处的切线, l1 与 l2 垂直相交于点P,且 l1 , l2 ?ln x, x ? 1,

分别与y轴相交于点A,B,则 △PAB 的面积的取值范围是( A. ? 0,1? 【答案】A 【解析】由题设知: B. (0, 2) C. (0, ? ?)

) D. (1, ? ?)

P x , y1 ? , P2 ? x2 , y2 ? ,其中 0 ? x1 ? 1 ? x2 , 不妨设 P 1, P 2 点的坐标分别为: 1 ? 1
? 1 ? ,0 ? x ?1 ? ? x , P f ' x ? ? ? 则由于 l1 , l2 分别是点 P 处的切线,而 , ? 1 2 ? 1 ,x ?1 ? ? x

得: l1 的斜率 k1 为 ?

1 1 , l2 的斜率 k2 为 ; x1 x2 1 1 ? ? ?1 ? x1 ? x2 ? 1 , x1 x2

又 l1 与 l2 垂直,且 0 ? x1 ? x2 ,可得: k1 ? k1 ? ? 我们写出 l1 与 l2 的方程分别为: l1 : y ? ?
l2 : y ?

1 ? x ? x1 ? ? ln x1 x1

① ②

1 ? x ? x2 ? ? ln x2 x2

此时点 A 的坐标为 ? 0,1 ? ln x1 ? , B 的坐标为 ? 0, ?1 ? ln x2 ? , 由此可得: AB ? 2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 ? ln ? x1 ? x2 ? ? 2 ①、②两式联立可解得交点 P 的横坐标为 x ?
2 ? ln x1 x2 2 ? x1 ? x2 x1 ? x2

?PAB 的面积为:

S?PAB ?

1 1 2 2 AB ? Px ? ? 2 ? ? ?1 2 2 x1 ? x2 x ? 1 , 1 x1
1 即 x1 ? 1 时等号成立 x1

当且仅当 x1 ?

而 0 ? x1 ? 1 ,所以 S?PAB ? 1 .故选A. ??? ? ??? ? ???? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? 10. 在平面内, 定点A, B, C, D满足 | DA | = | DB | = | DC | ,DA ? DB ? DB ? DC ? DC ? DA ? ?2 , 动点P, M满足 | AP | =1 ,

?????? ?2 ???? ? ???? ? PM ? MC ,则 | BM | 的最大值是(
A.
43 4

) C.
37 ? 6 3 4

B.

49 4

D.

37 ? 2 33 4

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【答案】B
??? ? ??? ? ???? 【解析】由题意, DA ? DB ? DC ,所以 D 到 A, B, C 三点的距离相等, D 是 ?ABC 的外心;
??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? DA ? DB ? DB ? DC ? DC ? DA ? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ? DA ? DB ? DB ? DC ? DB ? DA ? DC ? DB ? CA ? 0, 所以 DB ? AC ,

?

?

同理可得, DA ? BC , DC ? AB 从而 D 是 ?ABC 的垂心;
??ABC 的外心与垂心重合,因此 ?ABC 是正三角形,且 D 是 ?ABC 的中心;

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 1? ??? ? DA ? DB ? DA DB cos ?ADB ? DA DB ? ? ? ? ? ?2 ? DA ? 2 ? 2?

所以正三角形 ?ABC 的边长为 2 3 ; 我们以 A 为原点建立直角坐标系, B, C , D 三点坐标 分别为 B 3, ? 3 , C 3, 3 , D ? 2,0 ? 。
??? ? 由 AP ? 1 ,设 P 点的坐标为 ? cos ? ,sin ? ? ,其中 ? ? ? 0, 2π ? ,
???? ? ???? ? 而 PM ? MC ,即 M 是 PC 的中点,

y P(cos? ,sin ? ) C (3, 3) A
x
B (3, ? 3)

?

? ?

?

D

? 3 ? cos ? 3 ? sin ? , 可以写出 M 的坐标为 M ? ? 2 2 ?
? 2 ? cos ? ? 3 ?2 ? 3 3 ? sin ? 则 ???? BM ? ? ? ?? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2

? ? ? ?

?? ? 37 ? 12sin ? ? ? ? 6 ? 37 ? 12 49 ? ? ? 4 4 4

???? ?2 2 49 当 ? ? ? 时, BM 取得最大值 。故选B. 3 4

第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
2 11. cos

π π ? sin 2 = __________. 8 8

【答案】

2 2 π π π 2 (二倍角公式) ? sin 2 ? cos ? 8 8 4 2

【解析】由题可知, cos 2

12. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次 数X的均值是__________. 【答案】
3 2

1 1 3 【解析】由题可知,在一次试验中,试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为 P ? 1 ? ? ? 2 2 4

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3 3 ? 3? ∵ 2次独立试验成功次数 X 满足二项分布 X ~ B ? 2, ? ,则 E ? X ? ? 2 ? ? 4 2 ? 4?

13. 已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是 __________. 【答案】
3 3
1

【解析】由题可知,∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形, 由正视图可得如下俯视图,且三棱锥高为 h ? 1 ,
3
1

3

3

3

正视图

俯视图

1 1 ?1 3 ? 则面积 V ? Sh ? ? ? ? 2 3 ? 1? ? 1 ? 3 3 ?2 3 ?
? 5? 14. 已知函数 f ( x) 是定义在R上的周期为2的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 4 x ,则 f ? ? ? ? f (1) ? __________. ? 2?

【答案】 ?2 【解析】首先, f ? x ? 是周期为2的函数,所以 f ? x ? ? f ? x ? 2 ? ; 而 f ? x ? 是奇函数,所以 f ? x ? ? ? f ? ? x ? , 所以: f ?1? ? f ? ?1? , f ?1? ? ? f ? ?1? ,即 f ?1? ? 0
? 5? ? 1? 又 f ?? ? ? f ?? ? ? ? f ? 2? ? 2? ? 5? 故 f ? ? ? ? ?2 ,从而 ? 2?
1 1 ?1? 1 ? ? , 0 ? ? 1 时, f ( ) ? 4 2 ? 2 2 ?2? 2

? 5? f ? ? ? ? f ?1? ? ?2 ? 2?

? y ?x ? , 2 15. 在平面直角坐标系中,当 P( x, y ) 不是原点时,定义 P 的“伴随点”为 P ' ? 2 2 2 ? ;当 P 是原点时, ?x ?y x ?y ?

定义 P 的“伴随点”为它自身,平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C ' 定义为曲线 C 的“伴随 曲线”,现有下列命题: ① 若点 A 的“伴随点”是点 A ' ,则点 A ' 的“伴随点”是点A; ② 单位圆的“伴随曲线”是它自身; ③ 若曲线 C 关于 x 轴对称,则其“伴随曲线” C ' 关于 y 轴对称; ④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中的真命题是__________(写出所有真命题的序号). 【答案】②③
? y ?x ? , 2 【解析】① 设 A 的坐标 ? x, y ? ,伴随点 A ' ? ? 2 2 2 ? , A ' 的伴随点 ?x ?y x ?y ?

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横坐标为

?x x2 ? y 2 ? y ? ? ?x ? ?? 2 ? 2 2 ? 2 ? ?x ?y ? ?x ?y ?
2 2

? ? x ,同理可得纵坐标为 ? y

故 A '' ? ? ? x, ? y ? . 错误; ② 设单位圆上的点 P 的坐标为 ? cos ? ,sin ? ? ,则 P 的伴随点的坐标为
? π? π ?? ? ? P ' ? ? sin ? , ? cos ? ? ? ? cos ? ? ? ? ,sin ? ? ? ? ? , 2? 2 ?? ? ? ?

所以 P ' 也在单位圆上,即: P ' 点是 P 点延顺时针方向旋转

π . 正确; 2

③ 设曲线 C 上点 A 的坐标 ? x, y ? ,其关于 x 轴对称的点 A1 ? ? x, ? y ? 也在曲线 C 上 , 所以点 A 的伴随点
? y ? ?y ?x ? ?x ? y 轴对称。正确; A' ? ? 2 , 2 A '?? 2 , 2 A A' 2 2 ? ,点 1 的伴随点 1 2 2 ? , A ' 与 1 关于 ?x ?y x ?y ? ?x ?y x ?y ?

④ 反例:例如 y ? 1 这条直线,则 A ? ? 0,1? , B ? ?1,1? , C ? ? 2,1? ,而这三个点的伴随点分别是
?1 1? ?1 2? A ' ? ?1, 0 ? , B ' ? ? , ? ? , C ' ? ? , ? ? ,而这三个点不在同一直线上,下面给出严格证明: ?2 2? ?5 5?

设点 P( x, y ) 在直线 l : Ax ? By ? C ? 0 , P 点的伴随点为 P ' ? ? x0 , y0 ? ,
? y0 y ? ? ?x ? x 2 ? y 2 ? x0 ? x 2 ? y 2 ? ? 0 0 则? ,解得 ? . ? x x 0 ?y ? ?y ? 0 ? ? x2 ? y 2 x0 2 ? y0 2 ? ?

带入直线方程可知: A

? y0 x ? B 2 0 2 ?C ?0, x0 2 ? y0 2 x0 ? y0

化简得: ? Ay0 ? Bx0 ? C ( x0 2 ? y0 2 ) ? 0 , 当 C ? 0 时, C ( x0 2 ? y0 2 ) 是一个常数, P ' 的轨迹是一条直线; 当 C ? 0 时, C ( x0 2 ? y0 2 ) 不是一个常数, P ' 的轨迹不是一条直线. 所以,直线“伴随曲线”不一定是一条直线. 错误. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或步骤. 16. (本小题满分12分) 我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定 一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收 费. 为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按 照 [0, 0.5) , [0.5, 1) ,?, [4, 4.5) 分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图. (I)求直方图中a的值; (II)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由; (III)若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
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频率 组距 0.52 0.40 a 0.16 0.12 0.08 0.04 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量(吨)

【解析】(I)由概率统计相关知识,各组频率之和的值为1 ∵频率=(频率/组距)*组距 ∴ 0.5 ? ? 0.08 ? 0.16 ? 0.4 ? 0.52 ? 0.12 ? 0.08 ? 0.04 ? 2a ? ? 1 得 a ? 0.3 (II)由图,不低于3吨人数所占百分比为 0.5 ? ? 0.12 ? 0.08 ? 0.04 ? =12% ∴全市月均用水量不低于3吨的人数为: 30 ? 12%=3.6 (万) (III)由图可知,月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为:

0.5 ? ? 0.08 ? 0.16 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.52 ? ? 0.73
即 73% 的居民月均用水量小于2.5吨, 同理,88%的居民月均用水量小于3吨,故 2.5 ? x ? 3 假设月均用水量平均分布,则 x ? 2.5 ? 0.5 ?

?85% ? 73% ? ? 0.5
0.3

? 2.9 (吨).

注:本次估计默认组间是平均分布,与实际可能会产生一定误差。 17. (本小题满分12分) 在 △ ABC 中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 (I)证明: sin A sin B ? sin C ;
6 2 2 2 (II)若 b ? c ? a ? bc ,求 tan B . 5 cos A cos B sin C ? ? . a b c

【解析】(I)证明:由正弦定理 原式可以化解为

a b c ? ? 可知 sin A sin B sin C

cos A cos B sin C ? ? ?1 sin A sin B sin C

∵ A 和 B 为三角形内角 , ∴ sin A sin B ? 0 则,两边同时乘以 sin A sin B ,可得 sin B cos A ? sin A cos B ? sin A sin B 由和角公式可知, sin B cos A ? sin A cos B ? sin ? A ? B ? ? sin ?? ? C ? ? sin C 原式得证。
6 b2 ? c2 ? a 2 3 2 2 2 ? (II)由题 b ? c ? a ? bc ,根据余弦定理可知, cos A ? 5 2bc 5
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∵ A 为为三角形内角, A ? ? 0, ? ? , sin A ? 0
cos A 3 4 ? 3? ? 则 sin A ? 1 ? ? ? ? ,即 sin A 4 5 ?5?
2

由(I)可知 ∴ tan B ? 4 18. (本小题满分12分)

cos A cos B sin C cos B 1 1 ? ? ? 1 ,∴ ? ? sin A sin B sin C sin B tan B 4

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AD / / BC , ?ADC ? ?PAB ? 90? ,
BC ? CD ? 1 AD ,E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为 90? . 2

P

B A E D

(I)在平面PAB内找一点M,使得直线 CM / / 平面PBE, 并说明理由; (II)若二面角 P ? CD ? A 的大小为 45? ,求直线PA与 平面PCE所成角的正弦值. 【解析】(I)延长 AB ,交直线 CD 于点 M , ∵ E 为 AD 中点,
1 ∴ AE ? ED = AD , 2 1 ∵ BC ? CD = AD , 2

C

∴ ED ? BC , ∵ AD / / BC 即 ED / / BC , ∴四边形 BCDE 为平行四边形, BE / / CD , ∵ AB ? CD ? M , ∴ M ? CD , ∴ CM / / BE , ∵ BE ? 面 PBE , ∴ CM / / 面 PBE , ∵ M ? AB , AB ? 面 PAB , ∴ M ? 面 PAB 故在面 PAB 上可找到一点 M 使得 CM / / 面 PBE .

(II)过 A 作 AF ? EC 交 EC 于点 F ,连结 PF ,过 A 作 AG ? PF 交 PF 于点 G , ∵ ∠PAB ? 90? , PA 与 CD 所成角为 90? , ∴ PA ? AB , PA ? CD , ∵ AB ? CD =M , ∴ PA ? ABCD , ∵ EC ? 面 ABCD , ∴ PA ? EC , ∵ EC ? AF 且 AF ? AP ? A ,
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∴ CE ? 面 PAF , ∵ AG ? 面 PAF , ∴ AG ? CE , ∵ AG ? PF 且 AG ? AF ? A , ∴ AG ? 面 PFC , ∴ ∠APF 为所求 PA 与面 PCE 所成的角, ∵ PA ? 面 ABCD , ∠ADC =90? 即 AD ? DC . ∴ ∠PDA 为二面角 P ? CD ? A 所成的平面角, 由题意可得 ∠PDA=45? ,而 ∠PAD =90? , ∴ PA ? AD , ∵ BC ? CD ,四边形 BCDE 是平行四边形, ∠ADM =90? , ∴四边形 BCDE 是正方形, ∴ ∠BEC ? 45? , ∴ ∠AEF =∠BEC ? 45? , ∵ ∠AFE ? 90? , ∴ AF =
2 AE , 2



2 AD AF 2, tan ∠APF = = 4 ? AP AP 4

1 ∴ sin ∠APF = . 3

19. (本小题满分12分) 已知数列 {an } 的首项为1, Sn 为数列 {an } 的前n项和, Sn ?1 ? qSn ? 1 ,其中 q ? 0 , n ? N* . (I)若 2a2 , a3 , a2 ? 2 成等差数列,求 an 的通项公式;
2 (II)设双曲线 x ?

y2 5 4n ? 3n ? 1 e e ? e ? e ? ? ? ? ? e ? 的离心率为 ,且 ,证明: . 2 n 2 1 2 n an 3 3n ?1

【解析】(I)由题 Sn ?1 ? qSn ? 1 ---①可知 当 n ? 2 时, Sn ? qSn ?1 ? 1 ---②,两式相减可得 an ?1 ? qan 即 an 从第二项开始为公比 q 的等比数列, 当 n ? 1 时,带入可得 a1 ? a2 ? qa1 ? 1 ,? a2 ? q ,即 an 为公比 q 的等比数列 根据 2a2 , a3 , a2 ? 2 成等差数列,由等差数列性质可得 2a2 ? a2 ? 2 ? 3a2 ? 2 ? 2a3 即 2q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ,求解可得 q ? 2 或 q ? ? 由题 q ? 0 可知, q ? 2 ∴ an ? 2n ?1 , n ? N*
1 2

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(II)证明:由双曲线的性质可知, en ?

2 12 ? an

1

2 = 1 ? an

由(I)可得, an 为首项为1,公比为 q 的等比数列
2 2 故 e2 ? 1 ? a2 ? 1 ? q ?

5 4 ,即 q ? 3 3 4 ?4? 的等比数列,通项公式为 an ? ? ? 3 ?3?
n ?1

∴ ?an ? 为首项为1,公比为
?4? ∴ en ? 1 ? ? ? ?3?
2n?2

, ?n ? N ? ?

?4? ? ? ? ?3?

2n?2

?4? ?? ? ?3?
2

n ?1

∴ e1 ? e2 ? e3 ? ... ? en ? 1 ?

4 ?4? ?4? ? ? ? ? ... ? ? ? 3 ?3? ?3?

n ?1

?4? 1? ? ? n n ?3? ? 4 ?3 ? n ?1 4 3 1? 3

n

原式得证. 20. (本小题满分13分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线 l : y ? ? x ? 3 a 2 b2

与椭圆E有且只有一个公共点T. (I)求椭圆E的方程及点T的坐标; (II)设O是坐标原点,直线 l ' 平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线

l交于点P. 证明:存在常数 ? ,使得 | PT |2 ? ? | PA | ? | PB | ,并求 ? 的值.
【解析】(I)设短轴一端点为 C (0, b) ,左,右焦点分别为 F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) (c ? 0) 则 c2 ? b2 ? a 2 . 由题意, △F1 F2 C 为直角三角形. ∴ | F1 F2 |2 ?| F1C |2 ? | F2C |2 解得 b ? c ? ∴E:
2 a, 2

x2 y2 ? ? 1. 2b 2 b 2

代入 l : y ? ? x ? 3 可得 3x 2 ? 12 x ? 18 ? 2b 2 ? 0 .
l 与椭圆 E 只有一个交点,则 ? =122 ? 4 ? 3(18 ? 2b 2 ) ? 0 ,解得 b 2 =3 .

∴E:

x2 y 2 ? ?1 . 6 3

1? 。 由 b 2 ? 3 ,解得 x ? 2 ,则 y ? ? x ? 3 ? 1 ,所以 T 的坐标为 ? 2 ,
(II)设 P( x0 ,3 ? x0 ) 在 l 上,由 kOT ?
? x ? x0 ? 2t 得 l ' 的参数方程为 ? ? y ? 3 ? x0 ? t
1 , l ' 平行 OT . 2

代入椭圆 E 得.

( x0 ? 2t ) 2 ? 2(3 ? x0 ? t ) 2 ? 6 .
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2 ? 4 x0 ? 4 ? 0 . 整理可得 2t 2 ? 4t ? x0

设两根为 t A , t B 而 PT ?
PA ?
2

则有 t A ? t B ?

( x0 ? 2) 2 . 2

?

( x0 ? 2) 2 ? (3 ? x0 ? 1) 2
5t B .

?

2

? 2( x0 ? 2) 2 ,

5t A , PB ?

故有 PA ? PB ?
2

5t A ? 5t B ?

5 ( x0 ? 2) 2 . 2

由题意 PT ? ? PA ? PB .

?? ∴

PT

2

PA ? PB

?

2( x0 ? 2) 2 4 ? 5 5 , 故存在这样的 ? . 2 ( x0 ? 2) 2

21. (本小题满分14分) 设函数 f ( x) ? ax 2 ? a ? ln x ,其中 a ? R . (I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)确定a的所有可能取值,使得 f ( x) ? ( e ? 2.718 ?为自然对数的底数). 【解析】(I)由题意, f ' ? x ? ? 2ax ?
1 1? x ? e 在区间 (1, +?) 内恒成立 x

1 2ax 2 ? 1 ? ,x ? 0 x x

①当 a ? 0 时, 2ax 2 ? 1 ? 0 , f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减.
? 1 ?? 1 ? ? 1 ? 2a ? x ? x ? ?? ? ? ②当 a ? 0 时, ,当 x ? ? 2a ?? 2a ? ? 0, 2a ? ? 时, f ' ? x ? ? 0 ; ? ?? ? f '? x? ? ? ? x

? 1 ? 当 x?? ? 2a , ?? ? ? 时, f ' ? x ? ? 0 . ? ? ? ? 1 ? 1 ? 0, , ?? 故 f ? x? 在 ? 上单调递减,在 ? ? ? ? ? 2a ? 上单调递增. 2a ? ? ? ? ?
(II)原不等式等价于 f ? x ? ? 一方面,令 g ? x ? ? f ? x ? ?
1 1? x ? e ? 0 在 x ? ?1, ?? ? 上恒成立. x 1 1? x 1 ? e ? ax 2 ? ln x ? ? e1? x ? a , x x

只需 g ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上恒大于0即可. 又∵ g ?1? ? 0 ,故 g ' ? x ? 在 x ? 1 处必大于等于0. 令 F ? x ? ? g ' ? x ? ? 2ax ? 另一方面,
1 1 1 ? 2 ? e1? x , g ' ?1? ? 0 ,可得 a ? . x x 2

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当a ?

1 1 2 1 2 x3 ? x ? 2 1? x ?e 时, F ' ? x ? ? 2a ? 2 ? 3 ? e1? x ? 1 ? 2 ? 3 ? e1? x ? 2 x x x x x3

∵ x ? ?1, ?? ? 故 x3 ? x ? 2 ? 0 ,又 e1? x ? 0 ,故 F ' ? x ? 在 a ? ∴当 a ?
1 时, F ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 单调递增. 2

1 时恒大于0. 2

∴ F ? x ? ? F ?1? ? 2a ? 1 ? 0 ,故 g ? x ? 也在 x ? ?1, ?? ? 单调递增. ∴ g ? x ? ? g ?1? ? 0 ,即 g ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上恒大于0. 综上, a ?
1 . 2

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