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排列组合二项式定理与概率与统计部分测试题一


尼一中高一年级学期期末模拟考试

理科数学
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、字迹清楚。 (3)请按照题号顺序在各

题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效。 (4)保持卡面清洁,不得折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀。

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 )

1、浙江卷若从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共 有 A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种

【解析】1,2,2,?,9 这 9 个整数中有 5 个奇数,4 个偶数.要想同时取 4 个不同的数其和 为偶数,则取法有: 4 个都是偶数:1 种; 2 个偶数,2 个奇数: C52C42 ? 60 种; 4 个都是奇数: C54 ? 5 种. ∴不同的取法共有 66 种. 【答案】D 2、新课标卷将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参 加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共 有() ( A) 12 种 ( B ) 10 种 (C ) ? 种 ( D) ? 种 【解析】选 A
1 2 甲地由 1 名教师和 2 名学生: C2 C4 ? 12 种

3、全国卷将字母 a, a, b, b, c, c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同, 则不同的排列方法共有 (A) 12 种(B) 18 种(C) 24 种(D) 36 种

1 ? ? ? 的展开式中常数项为 4、重庆卷 ? x ? 2 x? ?

3

A.

35 16

B.

35 8

C.

35 4

D.105

1 5、天津卷在 (2 x 2 ? )5 的二项展开式中, x 的系数为 x

(A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40 答案:D 【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用,并借助于通项公式分析项的系数 .
r r 10-3r 【解析】∵ Tr +1 =C5 (2x2 )5-r ? ( ? x?1 )r = 25-r ( ?1)r C5 x ,∴ 10 ? 3r =1 ,即 r =3 ,∴ x 的系数为 ?40 .

6、陕西卷从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶 图表示(如图所示) ,设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 , x乙 ,中位数分别为 m甲 , m乙 ,则(B) (A) x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 (B) x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 (C) x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 (D) x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 7、辽宁卷)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,领边长分别等于线段 AC,CB 的长, 则该矩形面积小于 32cm2 的概率为 (A)
1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

4 5

【答案】C 【解析】设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为( 12 ? x )cm,那么矩形的面积为 x(12 ? x) cm2, 由 x(12 ? x) ? 32 ,解得 x ? 4或x ? 8 。又 0 ? x ? 12 ,所以该矩形面积小于 32cm2 的概率为
2 ,故选 C 3

【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力, 属于中档题。 8、湖北卷如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆。在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是

A.

B.

C.

D.

9、上海卷.设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 104 , x5 ? 105 ,随机变量 ? 1 取值 x1、x2、x3、x4、x5 的概率均为 x ? x2 x2 ? x3 x3 ? x4 x4 ? x5 x5 ? x1 0 .2 ,随机变量 ? 2 取值 1 、 、 、 、 的概率也均为 0 .2 ,若记 D?1、D? 2 分 2 2 2 2 2 别为 ?1、? 2 的方差,则() A. D?1 ? D? 2 B. D?1 ? D? 2 C. D?1 ? D? 2 D. D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关 10、湖南卷设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一 组样本数据( xi, yi) (i=1,2,?,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 ? y =0.85x-85.71,则下列结 论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重比为 58.79kg 【答案】D 【解析】由回归方程为 ? y =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大,所以 y 与 x 具有正的线性相关关系,
? ? bx ? a ? bx ? y ? bx (a ? y ? bx ) ,所以回归直线过样本点的 由最小二乘法建立的回归方程得过程知 y

中心( x , y ) ,利用回归方程可以预测估计总体,所以 D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念,并且是找不正 确的答案,易错. 二、填空题
1 11、广东卷 ( x 2 ? ) 6 的展开式中 x3 的系数为__________. (用数字作答) x

12、湖南卷( 2 x 【答案】-160 【解析】( 2 x -

1 6 ) 的二项展开式中的常数项为.(用数字作答) x 1 6 1 r r r 6? r (2 x )6?r (? ) ? C6 2 (?1) r x3?r . 由 题 意 知 ) 的 展 开 式 项 公 式 是 Tr ?1 ? C6 x x

3 3 3 ? r ? 0, r ? 3 ,所以二项展开式中的常数项为 T4 ? C3 6 2 (?1) ? ?160 .

【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.

13、江苏卷某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中 三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取▲名学生. 解析:由已知,高二人数占总人数的
3 3 ,所以抽取人数为 ? 50 ? 15 . 10 10

答案:15 14、重庆卷某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个 1 节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为(用数字作答). 15、江苏卷现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随 机抽取一个数,则它小于 8 的概率是▲. 解析:满足条件的数有 1,-3, ?33 , ?35 , ?37 , ?3 ;所以 p ?
3 答案: . 5
9

6 3 ? . 10 5

16、上海卷三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示) 。 17、新课标卷某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常 工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N (1000,502 ) ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为

【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为

3 8 1 2

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N (1000,502 ) 得:三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p ?

2 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 P 1 ? 1 ? (1 ? p ) ?

3 4

那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p2 ? p1 ? p ? 三、解答题 18、广东卷(本小题满分 13 分)

3 8

某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是: [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,

求 ? 的数学期望.

19、重庆卷(本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一票 .约定甲先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投
1 1 球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各次投篮互不影 3 2

响. (Ⅰ)求甲获胜的概率; (Ⅱ)求投篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列与期望
17.解析:设 Ak,Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则 1 1 P(Ak)= ,P(Bk)= (k=1,2,3). 3 2 (Ⅰ)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 P(C)=P(A1)+P( A
1

B 1A2)+P( A

1

B

1

A

2

B 2A3)

=P(A1)+P( A 1)P(B1)P(A2)+P( A 1)P( B 1)P( A 2)P(B2)P(A3) 1 2 1 1 2?2 ?1?2 1 = + × × +? × × 3 3 2 3 ?3? ?2? 3 1 1 1 13 = + + = . 3 9 27 27 (Ⅱ)ξ 的所有可能值为 1,2,3. 由独立性知 1 2 1 2 P(ξ=1)=P(A1)+P( A 1B1)= + × = , 3 3 2 3 P(ξ=2)=P( A P(ξ=3)=P( A
1

B 1A2)+P( A B
1

1

B

1

2 1 1 2?2?1?2 2 A 2B2)= × × +? = , 3 2 3 ?3? ?2? 9

1

A

2

2?2?1?2 1 B 2)=? ?3? ?2? =9.综上知 ξ 有分布列

2 2 1 13 从而,Eξ=1× +2× +3× = (次). 3 9 9 9

20、浙江卷(本小题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分, 取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X). 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点。 (Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.
P ( X ? 3) ? P( X ? 5) ?
3 C5 C 2 C1 20 5 ? ; P( X ? 4) ? 5 3 4 ? 3 42 C9 42 C9



1 2 C5 C4 15 C3 2 ? ; P( X ? 6) ? 43 ? . 3 42 C9 C9 42

故,所求 X 的分布列为 X P 3
5 42

4
20 10 ? 42 21

5
15 5 ? 42 14

6
2 1 ? 42 21

(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为: E(X)= ? i ? P( X ? i) ?
i?4 6

91 . 21
91 . 21

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)

21、全国卷(本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球
2 次,依次轮换。每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分。设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得

1 分的概率为 0.6 ,各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中,甲先发球。

(Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ) ? 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ? 的期望。

22、(2012湖北卷)(本小题满分12分) 根据以往的经验,某工程施工期间的将数量X(单位mm)对工期的影响如下表: 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,

求: (I)工期延误天数Y的均值与方差; (Ⅱ)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率。
20.解析:(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有: P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2. P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以 Y 的分布列为: Y P 0 0.3 2 0.4 6 0.2 10 0.1

于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3; D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8. (Ⅱ)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7, 又 P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6, 由条件概率,得 P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)= P?300≤X<900? 0.6 6 = = . 0.7 7 P?X≥300?

6 故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是 . 7

23、(2012 湖南卷)(本小题满分 12 分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾 客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 y 顾客数(人) 30 25 10 x 结算时间(分钟/ 1 1.5 2 2.5 3 人) 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算 前的等候时间不超过 ...2.5 分钟的概率. (注:将频率视为概率) 【解析】 (1)由已知,得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35, 所以 x ? 15, y ? 20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一 个容量随机样本,将频率视为概率得

p( X ? 1) ?

15 3 30 3 25 1 ? , p( X ? 1.5) ? ? , p( X ? 2) ? ? , 100 20 100 10 100 4 20 1 10 1 ? , p( X ? 3) ? ? . 100 5 100 10
X P 1 1.5 2 2.5 3

p ( X ? 2.5) ?
X 的分布为

3 20

3 10

1 4

1 5

1 10

X 的数学期望为

E ( X ) ? 1?

3 3 1 1 1 ? 1.5 ? ? 2 ? ? 2.5 ? ? 3 ? ? 1.9 . 20 10 4 5 10
为该顾客前面第 i 位顾客的结算时

(Ⅱ)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟” , X i (i ? 2 1 ,) 间,则

P( A) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5且X 2 ? 1) . 由于顾客的结算相互独立,且 X1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以 P( A) ? P( X1 ? 1) ? P(X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1) ? P( X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5) ? P( X 2 ? 1)
? 3 3 3 3 3 3 9 ? ? ? ? ? ? . 20 20 20 10 10 20 80 9 . 80

故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为

【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分析问题能力 .第一问中 根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%知

25 ? y ? 10 ? 100 ? 55%, x ? y ? 35, 从而解得 x, y ,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布列和期望;第二
问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过 ...2.5 分钟的概率.

24、(2012 辽宁卷)(本小题满分 12 分) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调 查。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷” 。 (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽 方法每
次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X,若每次抽取的结果是相互独立 的,求 X 的分布列,期望 E(X)和方差 D(X). n?n11n22-n12n21?2 附:χ = n1+n2+n+1n+2
2


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