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三道高考试题一种解答方略


三道高考试题 一种解答方略 翻看今年山东的高考试题,发现文(21)、理(20)与山东 2011 年理 (22)、2013 年文(22)可以借助同一种方略解答,即借助三角形的面积公式 S=12a1b2-a2b1 和椭圆的参数方程,就可以比较简捷的解答.现给出试题及解答 方略. 试题 1 (2011 年山东理 22)已知动直线 l 与椭圆 C:x23+y22=1 交于 Px1, y1

,Qx2,y2 两不同点,且△OPQ 的面积 S△OPQ=62,其中 O 为坐标原点. (Ⅰ)证明:x21+x22 和 y21+y22 均为定值; (Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M,求 OM?PQ 的最大值; (Ⅲ)椭圆 C 上是否存在三点 D,E,G,使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG=62? 若存在,判断△DEG 的形状;若不存在,请说明理由. 试题 2 (2013 年山东文 22)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中 心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率为 22. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)A,B 为椭圆 C 上满足△AOB 的面积为 64 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线 OE 交椭圆 C 于点 P,设 OP=tOE,求实数 t 的值 试题 3 (2015 年山东文 21)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32,且点(3,12)在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E:x24a2+y24b2=1,P 为椭圆 C 上任意一点,过 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E 于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q:(1)求 OQOP 的值; (2)求△ABQ 面积的最大值. 为了解答上述三题,现给出以下两个结论: 结论 1 人教 B 版《数学?必修 5》第 10 页“探索及研究”中的命题: 已知 OA=(a1,a2),OB=(b1,b2),设△OAB 的面积为 S,则 S=12a1b2a2b1. 证明 S=12OA?OBsinθ (θ 为 OA,OB 的夹角), 所以 4S2=OA2?OB21-cos2θ =(a21+a22)?(b21+b22)?1-(a1b1+a2b2)2(a21+a22)(b21+b22) =(a1b2-a2b1)2, 所以 S=12a1b2-a2b1. 结论 2 椭圆 x2a2+y2b2=1 的参数方程为 x=acosθ y=bsinθ . 试题 1 解析 (Ⅰ)由已知可设: P(3cosα ,2sinα ),Q(3cosβ ,2sinβ ), 所以 S△OPQ=126cosα sinβ -6sinα cosβ =62sin(α -β =62. 所以 sin(α -β )=±1,即 α -β =kπ +π 2(k∈Z), 所以 x21+x22=3(cos2α +cos2β )=3(sin2β +cos2β )=3, y21+y22=2(sin2α +sin2β )=2(sin2β +cos2β )=2. (Ⅱ)由已知 M(32(cosα +cosβ ),22(sinα +sinβ )),则: OM2=14(3(cosα +cosβ )2+2(sinα +sinβ )2)

=14(5+6cosα cosβ +4sinα sinβ ). PQ2=3(cosα -cosβ )2+2(sinα -sinβ )2 =5-6cosα cosβ -4sinα sinβ ?OM2?PQ2=14 ( 5+6cosα cosβ +4sinα sinβ ) (5-6cosα cosβ -4sinα sinβ ) ≤14(102)2=254. 所以 OM?PQ≤52, 等号成立的条件是 3cosα cosβ +2sinα sinβ =0. (Ⅲ)由(Ⅰ)知 D、E、G 中必有两点连线过坐标原点,故此椭圆上不存 在满足条件的三点. 试题 2 解析 (Ⅰ)x22+y2=1. (Ⅱ)设 A(2cosα ,sinα ),B(2cosβ ,sinβ ). 则 S=122cosα sinβ -2sinα cosβ = 22sin(α -β )=64. 所以 sin(α -β )=32,即 sin(α -β )=±32. E( 2 (cosα +cosβ )2, sinα +sinβ 2),所以 P ( 2t ( cosα +cosβ ) 2 , t(sinα +sinβ )2),代入 x2+2y2=2 得 t2(cosα +cosβ )2+(sinα +sinβ )2=4, 即:t2(2+2cos(α -β ))=4. 因为 cos(α -β )=±12,所以 t2=4 或 t2=43,又因为 t>0,所以 t=2 或 t=233. 试题 3 解析 (Ⅰ)x24+y2=1. (Ⅱ)(1)OQOP=2. (2)设 A(4cosα ,2sinα ),B(4cosβ ,2sinβ ),P(2cosθ , sinθ ),所以 S△AOB=12|4cosα ?2sinβ -4cosβ ?2sinα | =4sin(α -β ). 因为 P,A,B 三点共线,且 P 在 A,B 之间,所以 OP=mOA+(1-m)OB (0<m<1), 即(2cosθ ,sinθ )=m(4cosα ,2sinα )+(1-m)(4cosβ ,2sinβ ), 所以 cosθ =2mcosα +(1-m)cosβ , ① sinθ =2msinα +(1-m)sinβ , ② ①②平方相加得 14=m2+(1-m)2+2m(1-m)cos(α -β )③ 因为 m2+(1-m)2≥m+(1-m)22=12,2m(1-m)≤m+(1-m)22=12,所以 cos(α -β )<0. 由③,14≥12+12cos(α -β ),所以 cos(α -β )≤-12,所以 sin2 (α -β )=1-cos2(α -β )≤34,所以 sin(α -β )≤32,所以 S△AOB≤23. 由(1)S△ABQ=3S△AOB,所以(S△ABQ)max=63. 注 (1)由此法亦可得,当 P 为 AB 中点时 S△ABQ 的面积最大. (2)山东理科卷 20 题(Ⅱ)同此题(Ⅱ). 作者简介 傅平修,男,1965 年 3 月生,1997 年破格晋升为中学高级教师. 全国中学生数学奥林匹克优秀辅导员、省高中数学骨干教师、市优秀教师、市 教学能手、市学科带头人.潜心于教育教学及教学研究三十余年,主编中学生读 物十余部,在《中学数学杂志》等发表论文 30 余篇.


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