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学而思高中物理竞赛讲义4


第5讲 牛顿运动定律运用(2)

本讲导学
1.本讲的问题多数都有些无从下手,解决问题的关键是抓住模型的特点,再配合牛顿定律的方程处理。这些问题的 思考过程中,对于我们同学提高物理抽象能力,物理描述能力会有极大的提高。 2.由于牛顿定律的知识点我们已经交代清楚了,本件就不设知识点睛模块了。对于具体的问题,我们会带领大家一 起通过观察事实,检讨常识,自

己归纳出这些现象中蕴含的物理规律,让大家尝试做一次简单的物理研究。

问题分类详解 一.“分离”问题 观察思考: 弹跳器是很多运动爱好者喜欢的运动,如图所示,人通过向下踩踏板,在弹簧缩短的过程中,人受 到向上的力,就把弹跳器从地面上拉起来了。粗略一想“道理”确实不难,不过对现象能做出定量的描述 才是关键,比如中国人发明了火药大炮,但是弹道学却让欧洲人的炮兵技术远远领先于中国(火炮确实 是中国人发明的) 。我们的问题是,人是什么时候脱离踏板往上“飞出”,以至于把弹跳器拉离地面的?为 了便于分析,我们忽略与力学无关的细节,把问题描述成以下原理图,这个过程叫物理建模。 不妨把人用物块代表,质量设为 M,弹簧质量忽略,踏板质量设为 m,在人脱离踏板前,不考虑人 的手对弹跳器的力,当人离开踏板后,人再对通过手向上拉弹跳器,使之离开地面。问题是:在弹簧回 复的过程中,踏板带着人向上运动,当弹簧恢复到什么程度人会离开踏板? 人离开踏板前人与踏板运动细节如何?

解析:显然分离时人的加速度几乎与踏板仍然一样,隔离人,此时人加速度为 g,说明踏板也是这 个值,人和踏板相互作用力 N=0,隔离踏板知其受合力等于其重力,所以是在弹簧原长处分离。这个问
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题也可以用惯性力去解决。讲解的时候不妨多对熟知的结论(用向上的力拉地面上箱子,拉力等于重力 时箱子离开地面)适用范围作出描述,并把这个问题向着原有情景类比,训练学生类比能力。 实战: 【例 1】一根劲度系数为 k,质量不计的轻弹簧,上端固定,下端系一质量为 m 的物体,有一木板将物 体托住,并使弹簧保持原长,如图所示.现让木板由静止以加速度 a (a<g)匀加速向下运动,求经过 多长时间木板与物体分离?

【例 2】一弹簧秤的秤盘质量 m1=1.5kg,盘内放一质量为 m2=10.5kg 的物体 P,弹簧质量不计,其劲度 系数为 k=800N/m,系统处于静止状态,如图所示。现给 P 施加一个竖直向上的力 F, 1)使 P 从静止开始向上做加速度为 6m/s2 匀加速直线运动,已知在最初时间 t 内 F 是变化的,在 t 后是恒 定的,求 t。 2)使 P 从静止开始向上做匀加速直线运动,已知在最初时间 0.2s 内 F 是变化的,在 0.2s 后是恒定的,求 加速度以及 F 的极大值。 (g=10m/s2)

【例 3】如图,把一根质量不计的弹簧一端固定在墙上,另一端固定在物块 A 上,另用一物块 B 靠在 A 右侧,一起压缩弹簧后静止释放,已知 AB 质量分别为 MA 与 MB,弹簧弹性系数为 K,与地面间摩擦 因数为 μA,μB,讨论以上物理量取值不同时 AB 分离的位置。

二.“轻物”动力学分析 反思: “轻”是物理习题中经常描述的词,指的的质量忽略不计的物体,这类物体动力特点很容易通过思考 发现。大家先不放思考一下:当我们用一根轻绳拉一个物体加速前进时,为什么我们对绳子的拉力等 于绳子对物体的拉力?只能用牛顿定律去解释,而不能用力具有传递性之类的理论. 总结是:“轻”物体在动力学中的行为特征是 1.受的力以及力矩的特点: 2.运动特点:

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【例 4】如图所示,倾角为 α 的等腰三角形斜面固定在水平面上,一足够长的轻质绸带跨过斜面的顶 端铺放在斜面的两侧,绸带与斜面间无摩擦。现将质量分别为 M、m(M>m)的小物块同时轻放在斜面 两侧的绸带上。两物块与绸带间的动摩擦因数相等,且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等。在 α 角 取不同值的情况下,下列说法正确的有 A.两物块所受摩擦力的大小总是相等 B.两物块不可能同时相对绸带静止 C.M 不可能相对绸带发生滑动 D.m 不可能相对斜面向上滑动

【例 5】如图,滑轮不计质量,不计摩擦,A,B 绳子质量都为 m 1)剪断 A 上部的绳子,则 B 加速度多大? 2)剪断 A 下部的绳子,则 B 加速度多大?

【例 6】如图把两个质量一样的小球,固定在一个细长的轻杆上,每个球离端点距离为杆长的三分之一, 轻杆的两端分别用细绳固定在天花板下,并处于水平位置,现在剪断一端的绳子,计算剪断一瞬间两球 的加速度各自为多少?

【例 7】光滑的直角三角形斜楔 C,质量不计,如图放置在水平地面上,两侧各自放一个质量为 m 的物 块 AB,静止释放,计算释放后 C 的加速度。

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【例 8】两质量分别为 2m 的物体 A 与质量为 m 的物体 B 分别固定在一轻杆两端,把轻杆的中点轻轻放 于一个桌子的边角 o 处,已知杆与桌子间摩擦因数为 0.5,不停的调整杆与桌面夹角,问:角度多大时静 止释放杆会与桌面打滑。

三.牛顿运动定律定理对流体静力学规律的拓展 流体力学是最古老的物理学之一,也是物理上 在工业上应用最广泛的物理学之一。在流体中使用 牛顿运动定律比较复杂,比较容易想到的是取一小 片质点为对象,受力分析,这个方法能处理一些不 考虑压缩,静态的流体问题。复杂的情况,我们以 后会逐步在各章介绍一些。由于在工业上的应用广 泛,流体力学发展成了一门体系庞大的,模型与方 程众多的独立学科。大学的物理系的同学也不会太 深入学习。一般来说,具有物理能力的人不太了解 流体力学的应用体系,熟悉方程的人又普遍缺乏物 理的思维能力。可以说,这方面我国的理论水平还 远远落后于发达国家,这些年我国在某些技术上有 了些进步,但是理论上的差距才是真正是级别性的 差距,因为不是所有的公式都会公开发表的,还有 很多问题等待我们同学将来去突破。

海啸

风动实验

J20 战斗机

著名空气动力学家:钱学森

有个两个简单的原理要先交代一下: 1:对每一个流体质元,其现对周围流体静止时受到的力都垂直与接触面,这是由于流体之间无静摩 擦的原因,可以看当成流体的定义。 2:对无穷小质元,忽略质量力(重力与惯性力)后各个面的压强处处一样,这个证明很容易用微元 法实现,这里就不证明了。这个原理其实就是帕斯卡原理,但是初中课本上表述的帕斯卡原理完全无法 在负责情况下应用,这里提醒大家不要用“液体能传递压强之类”的朴素理论分析问题。

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【例 9】把一个杯子装水,放在以恒定的加速度加速的火车里,水晃几下后稳定的液面会如图所示。 怎么会这样呢?如图等高的 AB 两点的压强一样么?如不一样,等压强的点如何分布?在水面放一个木 块后果如何?

【例 10】1.在一个升降机中放着一个鱼缸,鱼缸中有一条硬骨鱼悬浮在水中,现在电梯突然加速上升, 鱼在水中是否会上浮或者下沉? 2.把一个水杯装满水,并扎上很多洞,在高空自由释放,水是否会流出?

【例 11】牛顿的“水桶实验” “水桶实验”是牛顿提出一个著名的假想实验.实验的大意如下:一个盛水的桶挂在一条扭得 很紧的绳子上,然后放手,于是如图所示.

⑴ 开始时, 桶旋转得很快, 但水几乎静止不动. 在粘滞力经过足够的时间使它旋转起来之前, 水面是平的,完全与水桶转动前一样. ⑵ 水和桶一起旋转,水面变成凹状的抛物面. ⑶ 突然使桶停止旋转,但桶内的水还在转动,水面仍然保持凹状的抛物面.
以下可以选读:牛顿就此分析道,在第⑴ 阶段里,水和桶都有相对运动,而前者水是平的,后者水面凹下;在第 ⑶ ⑵ 阶段里, ⑶ 无论水和桶有无相对运动, 水面都是凹下的. 牛顿由此得出结论: 桶和水的相对运动不是水面凹下的原因, 这个现象的根本原因是水在空间里绝对运动(即相对于牛顿的绝对空间的运动)的加速度. 绝对空间在哪里?牛顿曾经设想,在恒星所在的遥远地方,或许在它们之外更遥远的地方.他提出假设,宇宙的 质心是不动的,这就是他所想象的绝对空间.绝对空间的理念现代物理早已经抛弃,不过对于我们处理一些精确度要 求不高的问题还是很实用的。

现在问题是:如何解释形成的液面,其表面方程是什么?

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四.弹簧微元(选讲) 【例 12】一根质量为 m,劲度系数为 K 的弹簧,悬挂于天花板下,其静止时候伸长量多上?

【例 13】一根质量不能忽略,劲度系数为 K 的弹簧,放于光滑的水平地面,两端分别用 F1F2 的拉力拉 之,其稳定时伸长量多少?

总结,对于这个问题的分析会让我们认识到牛顿力学的麻烦,以及力的概念的局限性。

课后思考 1.一根质量为 m,劲度系数为 K 的弹簧,用拉力 F 拉之,其稳定时伸长量 多少?

2.两质量分别为 2m 的物体 A 与质量为 m 的物体 B 分别固定在一轻杆两端, 轻杆中心 o 固定,可以自由转动,已知物体与桌子间摩擦因数均为 0.5,不停的调整杆与桌面夹角,问: 角度多大时静止释放杆会与球打滑,哪个球会打滑?以后的运动情况如何?

3.一正方体均匀物块,质量为 m,放于摩擦因数为 μ 的水平桌面,先用水平力 F 去拉之,其作用点距离 地面高度为 h,正方体木块边长为 L,讨论其冲出桌面多远的距离开始翻倒?

阅读材料

流体力学介绍 流体力学出现
流体力学是在人类同自然界作斗争和在生产实践中逐步发展起来的。 古时中国有大禹治水疏通江 河的传说;秦朝李冰父子带领劳动人民修建的都江堰,至今还在发挥着作用;大约与此同时,古罗 马人建成了大规模的供水管道系统等等。 对流体力学学科的形成作出第一个贡献的是古希腊的 阿基米德,他建立了包括物理浮力定律和浮体稳定性在内的液体平衡理论,奠定了流体静力学的基 础。此后千余年间,流体力学没有重大发展。 直到 15 世纪,意大利达· 芬奇的著作才谈到水波、 管流、水力机械、鸟的飞翔原理等问题;17 世纪,帕斯卡阐明了静止流体中压力的概念。但流体力 学尤其是流体动力学作为一门严密的科学,却是随着经典力学建立了速度、加速度,力、流场等概 念,以及质量、动量、能量三个守恒定律的奠定之后才逐步形成的。
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流体动力学逐渐发展
17 世纪,力学奠基人牛顿研究了在流体中运动的物体所受到的阻力,得到阻力与流体密度、物 体迎流截面积以及运动速度的平方成正比的关系。他针对粘性流体运动时的内摩擦力也提出了牛顿 粘性定律。但是,牛顿还没有建立起流体动力学的理论基础,他提出的许多力学模型和结论同实际 情形还有较大的差别。 之后,法国皮托发明了测量流速的皮托管;达朗贝尔对运河中船只的阻力进 行了许多实验工作, 证实了阻力同物体运动速度之间的平方关系; 瑞士的欧拉采用了连续介质的概念, 把静力学中压力的概念推广到运动流体中,建立了欧拉方程,正确地用微分方程组描述了无粘流体 的运动;伯努利从经典力学的能量守恒出发,研究供水管道中水的流动,精心地安排了实验并加以分 析,得到了流体定常运动下的流速、压力、管道高程之间的关系——伯努利方程。 欧拉方程和 伯努利方程的建立,是流体动力学作为一个分支学科建立的标志,从此开始了用微分方程和实验测量 进行流体运动定量研究的阶段。从 18 世纪起,位势流理论有了很大进展,在水波、潮汐、涡旋运动、 声学等方面都阐明了很多规律。法国拉格朗日对于无旋运动,德国赫姆霍兹对于涡旋运动作了不少 研究……在上述的研究中,流体的粘性并不起重要作用,即所考虑的是无粘流体。这种理论当然阐明 不了流体中粘性的效应。

流体动力学的理论基础
19 世纪,工程师们为了解决许多工程问题,尤其是要解决带有粘性影响的问题。于是他们部分 地运用流体力学,部分地采用归纳实验结果的半经验公式进行研究,这就形成了水力学,至今它仍 与流体力学并行地发展。1822 年,纳维建立了粘性流体的基本运动方程;1845 年,斯托克斯又以更 合理的基础导出了这个方程,并将其所涉及的宏观力学基本概念论证得令人信服。这组方程就是沿用 至今的纳维-斯托克斯方程(简称 N-S 方程),它是流体动力学的理论基础。上面说到的欧拉方程正是 N-S 方程在粘度为零时的特例。 普朗特学派从 1904 年到 1921 年逐步将 N-S 方程作了简化,从推理、数学论证和实验测量等各 个角度,建立了边界层理论,能实际计算简单情形下,边界层内流动状态和流体同固体间的粘性力。 同时普朗克又提出了许多新概念,并广泛地应用到飞机和汽轮机的设计中去。这一理论既明确了理 想流体的适用范围,又能计算物体运动时遇到的摩擦阻力。使上述两种情况得到了统一。

流体力学的一次重大进展
20 世纪初,飞机的出现极大地促进了空气动力学的发展。航空事业的发展,期望能够揭示飞行器 周围的压力分布、飞行器的受力状况和阻力等问题,这就促进了流体力学在实验和理论分析方面的发 展。20 世纪初,以儒科夫斯基、恰普雷金、普朗特等为代表的科学家,开创了以无粘不可压缩流体 位势流理论为基础的机翼理论,阐明了机翼怎样会受到举力,从而空气能把很重的飞机托上天空。机 翼理论的正确性,使人们重新认识无粘流体的理论,肯定了它指导工程设计的重大意义。 机翼 理论和边界层理论的建立和发展是流体力学的一次重大进展,它使无粘流体理论同粘性流体的边界层 理论很好地结合起来。随着汽轮机的完善和飞机飞行速度提高到每秒 50 米以上,又迅速扩展了从 19 世纪就开始的,对空气密度变化效应的实验和理论研究,为高速飞行提供了理论指导。20 世纪 40 年 代以后,由于喷气推进和火箭技术的应用,飞行器速度超过声速,进而实现了航天飞行,使气体高速 流动的研究进展迅速,形成了气体动力学、物理-化学流体动力学等分支学科。

流体力学成熟
以这些理论为基础,20 世纪 40 年代,关于炸药或天然气等介质中发生的爆轰波又形成了新的理 论,为研究原子弹、炸药等起爆后,激波在空气或水中的传播,发展了爆炸波理论。此后,流体力学 又发展了许多分支,如高超声速空气动力学、超音速空气动力学、稀薄空气动力学、电磁流体力学、
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计算流体力学、两相(气液或气固)流等等。 这些巨大进展是和采用各种数学分析方法和建立大型、 精密的实验设备和仪器等研究手段分不开的。从 50 年代起,电子计算机不断完善,使原来用分析方法 难以进行研究的课题,可以用数值计算方法来进行,出现了计算流体力学这一新的分支学科。与此同 时,由于民用和军用生产的需要,液体动力学等学科也有很大进展。20 世纪 60 年代,根据结构力学 和固体力学的需要,出现了计算弹性力学问题的有限元法。经过十多年的发展,有限元分析这项新 的计算方法又开始在流体力学中应用,尤其是在低速流和流体边界形状甚为复杂问题中,优越性更加 显著。近年来又开始了用有限元方法研究高速流的问题,也出现了有限元方法和差分方法的互相渗透 和融合。 从 20 世纪 60 年代起,流体力学开始了流体力学和其他学科的互相交叉渗透,形成新的交 叉学科或边缘学科,如物理-化学流体动力学、磁流体力学等;原来基本上只是定性地描述的问题, 逐步得到定量的研究,生物流变学就是一个例子。

学习效果反馈: 代课教师: 通过今天学习,你觉得: 1. 本讲讲义内容设置: A. 太难太多,吃不透 B. 难度稍大,个别问题需要下去继续思考 C. 稍易,较轻松 D. 太容易,来点给力的 2. 本节课老师讲解你明白了: A .40%以下 B .40%到 80% C .80%以上但不全懂 D .自以为都懂了 3.有什么东西希望老师下节课再复习一下么?(可填题号,知识点,或者填无)

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