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福建省仙游第一中学2015-2016学年高中数学 2.3.2抛物线的几何性质(1)课件 新人教A版选修2-1


2.3.2抛物线的简单 几何性质(1)

一、温故知新
(一) 圆锥曲线的统一定义
平面内,到定点F的距离与到定直线l的距离 比为常数e的点的轨迹,(定点F不在定直线l上) 当0<e<1时,是椭圆;当e>1时,是双曲线 . 当e=1时,是抛物线 .

(二) 抛物线的标准方程
(1)开口向右 y2 = 2px (p>0) (2)开口向左 y2 = -2px (p>0) (3)开口向上 x2 = 2py (p>0) (4)开口向下 x2 = -2py (p>0)

二、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质?

1、


范围

y

由抛物线y2 =2px(p>0)

2 px ? y ? 0 p?0
2

o

F(

p ,0 ) 2

x

x?0 ?

所以抛物线的范围为 x ? 0

2、

对称性
关于x轴

y

? ( x, y)

对称

( x, ? y )
2

若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px, o F ( p ,0) 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.

x

3、

顶点
y

定义:抛物线与它 的对称轴的交点叫做抛

物线的顶点。

2 = 2px (p>0)中, y ?

o

F(

p ,0 ) 2

x

令y=0,则x=0.
即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0).

4、

离心率

y
P(x,y)

抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比,叫做抛物线 的离心率。 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.

o

p F ( ,0 ) 2

x

5、

通径

过焦点而垂直于对称轴的弦 AB,称为抛物线的通径, |AB|=2p 利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特 征的草图.

y
A O B F

y2=2px
? p ? ? , p? ?2 ?

2p

x

?p ? ? ,? p ? ?2 ?

2p越大,抛物线张口越大.

6、

焦半径

连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物 线的焦半径。 y 焦半径公式:
P

|PF|=x0+p/2
O F

x

7、

焦点弦
y

A ( x1 , y1 )
F

通过焦点的直线,与抛物 线相交于两点,连接这两点的
O

线段叫做抛物线的焦点弦。
焦点弦公式: p ? x1 ? x2

B ( x 2 , y2 )

x

下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦点弦公式。

方程
图 形 范围

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y l
x

x2 = 2py (p>0) y
F x

x2 = -2py (p>0) y
x l

(p>0) y
l O F

l x

F

O

O

O

F

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈R y≤0
关于y轴对称

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称

顶点
焦半径

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )

焦点弦 的长度

p ? x1 ? x2

p ? ( x1 ? x2 )

p ? y1 ? y2

归纳:
(1)、抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它 也可以无限延伸,但没有渐近线; (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条 准线; (4)、抛物线的离心率e是确定的为1,

⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张 口越大.

三、典例精析1、2---抛物线的光学性质

探照灯、汽车前灯的反光曲面,手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面:抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上,通过镜面反射就变 成了平行光束,这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。

平行光线射到抛物镜面上,经镜面反射后,反射光线都 经过抛物线的焦点,这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。

例2:探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm,灯深 40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置。课本70页例3
y

解: 在探照灯的轴截面 所在平面内建立直 角坐标系,使反射镜 的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.

A

(40,30)

?

O
B

x

设抛物线的标准方程为:y2=2px 由条件可得A (40,30), 代入方程得: 45 2 解之: p= 4 30 =2p· 40 45 45 2 故所求抛物线的标准方程为: y = 2 x, 焦点为( 8 ,0)

三、典例精析3--桥孔问题解读例19课本63页例3

例题3 解读例19课本63页例3变形

三、典例精析4—彗星的运行轨道

四、课堂练习(备选)
(1)已知点A(-2,3)与抛物线

y ? 2 px( p ? 0)
2

的焦点的距离是5,则P =
(2)抛物线
2

4



y ? 4x 的弦AB垂直x轴,若|AB|= 4
2
2

3 ,

则焦点到AB的距离为 (3)已知直线x-y=2与抛物线



y ? 4x交于A、B两
(4, 2)


点,那么线段AB的中点坐标是

4、求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点在直线x-2y-4=0上.
2

y ? 16 x或x ? ?8 y
2 2

(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为 15.

y ? 12 x或y ? ?4 x
2
2

5.点A的坐标为(3,1),若P是抛物线 y ? 4 x上的一动 点,F是抛物线的焦点,则|PA|+|PF|的最小值为( B ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

6、已知Q(4,0),P为抛物线 y 则|PQ|的最小值为( C) 3 10 19 A. B. C. 2 2 2

2

? x ? 1 上任一点,
D.

3

五、归纳总结
1、范围: 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可 以无限延伸,但没有渐近线; 2、对称性: 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3、顶点:抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 4、离心率:抛物线的离心率是确定的,等于1; 5、通径: 抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张口 越大. 6、光学性质: 从焦点出发的光线,通过抛物线反射就 变成了平行光束.


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