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2015年高三数学名校试题分类汇编(1月 第一期)B单元 函数与导数(含解析)


B 单元 函数与导数
目录 B1 函数及其表示 1 B2 反函数 4 B3 函数的单调性与最值 4 B4 函数的奇偶性与周期性 15 B5 二次函数 20 B6 指数与指数函数 23 B7 对数与对数函数 24 B8 幂函数与函数的图象 25 B9 函数与方程 28 B10 函数模型及其运算 41 B11 导数及其运算 45 B12 导数的应用 59 B13 定积分与微

积分基本定理 99 B14 单元综合 101

B1 函数及其表示 【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试(201412)word 版】12.定义在 实数集 R 上的函数 的图像是连续不断的,若对任意实数 x ,存在实常数 t 使得 是一个“关于£函数” .有下列“关于 t 函数”的结论:

恒成立,则称

① f ( x) ? 0 是常数函数中唯一一个“关于 t 函数” ;

1 2 ②“关于 2 函数”至少有一个零点;③ f ( x) ? x 是一个“关于 t 函数”.
其中正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.0 【知识点】函数中的新概念问题;函数的性质及应用.

B1

【答案】 【解析】A 解析:①不正确, f ( x) ? c ? 0 ,取 t= -1 则 f(x-1)-f(x)=c-c=0,即

1 f ( x) ? c ? 0 是一个“关于-1 函数” ; ②正确,若 f(x)是“关于 2 函数” ,则 1 1 1 1 f ( x ? ) ? f ( x) ? 0 f ( ) ? f (0) ? 0 f ( ), f (0) 2 2 ,取 x=0,则 2 ,若 2 任意一个为 0,则函

? 1? 1 1 f ( ), f (0) f ( ), f(0) ? 0, ? 数 f(x)有零点,若 2 均不为 0,则 2 异号,由零点存在性定理知在 ? 2 ?

1

内存在零点;③不正确,若 f ( x) ? x 是一个“关于 t 函数” ,则 ( x ? t ) ? ?tx
2 2

2

? ?t ?1? x2 ? 2tx ? t 2 ? 0

恒成立,则

?t ? 1 ? 0 ? ? 2t ? 0 ?t 2 ? 0 ?

所以 t 不存在. 故选 A.
2

【思路点拨】 举例说明①不正确; 由函数零点存在性定理及新定义说明②正确; 把 f ( x) ? x

代入新定义得 t 不存在,所以③不正确. 【典例剖析】本小题是新概念问题,解决这类题的关键是准确理解新概念的定义,并正确利 用新概念分析问题.

【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】5.设

g ? x?

?? ? ? g? ? f ? x ? ? cos 2x 的图象是将函数 向左平移 3 个单位得到的,则 ? 6 ? 等于
1 B. 2 ?

A.1

C.0

D. ?1

【知识点】函数的值;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.B1 C4

?
【答案】 【解析】D 解 析 : 由 f ( x ) ? cos 2 x 向 左 平 移 3 个 单 位 得 到 的 是

g ( x ) ? cos 2( x ?

?

g ( ) ? cos 2( ? ) ? cos ? ? ?1 3 ,则 6 6 3 .故选 D. )

?

?

?

【思路点拨】根据函数图象的平移首先得到函数 到答案.

g ? x?

p 的解析式,然后直接把 6 代入即可得

【数学理卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】19. (本小题满分 12 分) 对于定义域为 ?0,1? 上的函数 f ( x) ,如果同时满足下列三条:①对任意的 x ? ?0,1? , 总有 f ( x) ≥ 0 ;② f (1) ? 1 ;③若 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x1 ? x2 ≤1 ,都有

f ( x1 ? x2 ) ≥ f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则称函数 f ( x) 为理想函数.
(1) 若函数 f ( x) 为理想函数,求 f (0) 的值; (2) 判断函数 g ( x) ? 2 ? 1 ( x ? ?0,1? )是否为理想函数,并给出证明;
x

2

x ? ?0,1? ,使得 f ( x0 ) ? ?0,1? , (3) 若函数 f ( x) 为理想函数,假定存在 0


f ? f ( x0 )? ? f ( x0 ) ,求证: f ( x0 ) ? x0 .

【知识点】函数的值;抽象函数及其应用.B1 B14 【答案】 【解析】(1) f (0) ? 0 ; (2) 见解析;(3)见解析. 解析: (1)取 x1 ? x2 ? 0 得 f (0) ≥ f (0) 又 f (0) ≥ 0 ,故 f (0) ? 0 ; (2)当 x ? ?0,1? 时,函数 g ( x) ≥ 0 ,满足条件①;又 g (1) ? 1 满足条件②; 若 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x1 ? x2 ≤ 1 , 则 g ( x1 ? x2 ) ? ?g ( x1 ) ? g ( x2 )? ? 2
x1 ? x2

? f (0) ,则 f (0) ≤ 0 ,

? 1 ? (2 x1 ? 1) ? (2 x2 ? 1) ? (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ≥

?

?

0 ,满足条件③,故函数 g ( x) 是理想函数.
(3)由条件③,任给 m, n ? ?0,1? ,当 m ? n 时, n ? m ? ?0,1?,且 f (n) ? f (n ? m ? m) ≥

f (n ? m) ? f (m) ≥ f ( m) .
若 若 故

x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ≤ f ? f ( x0 )? ? x0 ,矛盾. x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ≥ f ? f ( x0 )? ? x0 ,矛盾. f ( x0 ) ? x0 .

【思路点拨】 (1)取 x1 ? x2 ? 0 可得 f (0) ≥ f (0)
x

? f (0) ? f (0) ≤ 0 ,由此可求出 f(0)

的值. (2)g ( x) ? 2 ? 1 在 x ? ?0,1? 满足条件① g ( x) ≥ 0 , 也满足条件② g (1) ? 1 . 若 x1 ≥

0 , x2 ≥ 0 , x1 ? x2 ≤1 ,满足条件③,收此知故 g(x)理想函数. (3)由条件③知,任
给 m, n ? ?0,1? ,当 m ? n 时, n ? m ? ?0,1?,且 f (n) ? f (n ? m ? m) ≥ f (n ? m) ? f (m)

f ( x0 ) ? x0 . ≥ f ( m ) .由此能够推导出

【数学文卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】5.已知函

3

x ?3 ? ? x ? a , ? ?1 ? x ? 0 ? f ? x? ? ? 其中a ? 0, 且a ? 1?,若f ? ?1? ? f ?1? bx ? 1, ? 0 ? x ? 1? loga b ? ? ? 数 ,则

A. ?1 B.0 C.1 D.2 【知识点】分段函数求值;对数的运算.B1 B7 【答案】 【解析】D
2 2 解 析 : 由 f (?1) ? f (1) 得 a ? 1 ? b ? 1 , 即 b ? a , 于 是

log a2 ? .故选 2 D. ab? lo ag
2 【思路点拨】先由 f (?1) ? f (1) 得出 b ? a ,再计算出结果即可。

【 数 学 文 卷 · 2015 届 安 徽 省 屯 溪 一 中 高 三 第 四 次 月 考 ( 201412 ) 】1、函数

f ( x) ? 2 ? x ? lg( x ? 1) 的定义域是(
A. (??, 2] B. (2, ??)

) C. (1, 2] D. (1, ??)

【知识点】函数的定义域及其求法.B1

【答案】 【解析】C 解得 1 < x

ì ? 2- x 0 í f ( x ) ? 2 ? x ? lg( x ? 1) ? x - 1>0 解析:要使函数 有意义则 ?

2 ,∴函数 f ( x) ? 2 ? x ? lg( x ?1) 的定义域是 (1, 2] ,故选 C.

【思路点拨】根据偶次根式被开方数大于等于零,对数的真数大于零,列出不等式组进行求 解,再用集合或区间的形式表示出来.

B2 反函数 B3 函数的单调性与最值 【 数 学 理 卷 · 2015 届 辽 宁 省 沈 阳 二 中 高 三 12 月 月 考 ( 201412 ) 】 15 . 已 知 函 数

f ? x ? ? a ln ? x ? 1? ? x 2

,在区间

? 0,1?

内 任 取 两 个 实 数 p, q , 且 p ? q , 若 不 等 式

f ? p ? 1? ? f ? q ? 1? ?1 p?q 恒成立,则实数 a 的取值范围为
【知识点】函数的单调性 导数的应用 B3 B12 【答案】 【解析】[15,+∞)



f ? p ? 1? ? f ? q ? 1? ?1 p?q 解析:因为 p ≠ q ,不妨设 p > q , , 所以 f(p+1)-f(q+1) > p-q, 得
[f(p+1)-(p+1)]-[f(q+1)-(q+1)] >0 因为 p>q,所以 p+1>q+1,所以 g(x)=f(x+1)-(x+1)在(0,1)
4

a ? 2 ? x ? 1? ? 1 ? 0 内是增函数,所以 g ’(x) ≥0 在(0,1)内恒成立,即 x ? 2 恒成立,所以 a≥
(2x+3)(x+2)的最大值, 因为 (2x+3)(x+2)在(0,1)上的最大值为 15, 所以实数 a 的取值范围为[15, +∞). 【思路点拨】 结合函数的单调性定义把不等式恒成立转化为函数的单调性问题, 利用导数解 答即可.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 辽 宁 省 沈 阳 二 中 高 三 12 月 月 考 ( 201412 ) 】 12. 函 数

f ( x) ?| e x ?

a | (a ? R ) ex 在区间 ?0,1? 上单调递增,则 a 的取值范围是 (



A. a ? ?? 1,1?

B. a ? [?1,0]

C. a ? [0,1]

? 1 ? a ? ?? , e? ? e ? D.

【知识点】函数的单调性 B3 【答案】 【解析】A

y ? ex ?
解析:令

a a e2 x ? a a x y ? ex ? x , y ' ? e ? ? x x 2 e 在 e e e ,所以当 a>0 时,函数

1 ? ? ?1 ? ln a. ? ? ? ? ??, ln a ? ? 2 ? ? 上单调递减,在 ? 2 ? 上单调递增,若函数在所给区间上单调递增,则
1 a x ln a ? 0 y ? ex ? x f x ? e ? ? 2 e ,得 0<a≤1,当 a=0 时 显然满足题意,当 a<0 时,函数 ex ?
在 R 上单调递增,由 调递减,在

a a y ? ex ? x ?0 x e 在 ??, ln ?a 上单 e 得 x ? ln ?a ,则函数

?

?

? ln

?a , ??

? 上单调递增,则有 ln

?a ? 0 ,得-1≤a<0,综上可知实数 a 的

范围是 a ? ?? 1,1? . 【思路点拨】含绝对值的函数的单调性,可考虑先分段讨论去绝对值再判断单调性,也可直 接判断绝对值内部对应的函数的单调性进行解答. 第Ⅱ卷 (90 分)

【数学理卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】10、已知函数 f ( x) 是定 义在 R 上的奇函数,在 (0, 2] 上是增函数,且 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,给出下列结论: ①若

0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ; ② 若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且
5

x1 ? x2 ? 5 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③ 若 方 程 f ( x) ? m 在 [?8,8] 内 恰 有 四 个 不 同 的 实 根 x1, x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?8 或 8;④函数 f ( x) 在 [?8,8] 内至少有 5 个零点,至
多有 13 个零点 其中结论正确的有 A.1 个 B.2 个 【知识点】函数的性质 B3 B4

C.3 个

D.4 个

f ? x ? 8? ? f ? x ? 【答案】 【解析】C 解析:因为 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 ,即函数的周期
为 8,因此函数是周期函数,又是奇函数,且在[0,2]上为增函数,综合条件得函数的示意 图,由图看出,

①若

0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 ,由图像可得正确;②若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 5 ,
1< x1< 5 2 ,由图可知: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

0<x1<5 ? x1<4 ,即 ( f x) 在 (0, 2] 上是增函数,则

故②正确;③当 m>0 时,四个交点中两个交点的横坐标之和为 点的横坐标之和为 2 ? 2 ? 4 ,所以

2 ? ? ?6? ? ?12

,另两个交

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?8 .当 m<0 时,四个交点中两个交 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 8 .故

点的横坐标之和为 2×(-2) ,另两个交点的横坐标之和为 2×6,所以

③正确;④如图可得函数 f ( x) 在 [?8,8] 内有 5 个零点,所以不正确.故选择 C.

f ? x ? 8? ? f ? x ? 【思路点拨】由条件 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 得 ,说明此函数是周期函数,又是
奇函数,且在 (0, 2] 上为增函数,由这些画出示意图,由图可解决问题. 第 II 卷(共 100 分)

【数学理卷·2015 届河南省洛阳市高三第一次统一考试(201412) 】6.已知 f ( x) 是定义

6



R

上 的 偶 函 数 , 且

f ( x) 在

? ??,0?

上 单 调 递 增 , 设

3 a ? (f s i ? n 5

? b ) f

3 ?( c ? o cs 5

3 f? ) , ( t a n 5 ,则 a,b,c 的大小关系是,
D.a<c<b B4

)

A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b 【知识点】函数奇偶性,单调性的应用. B3

? ??,0? 上单调递增, 【答案】 【解析】C 解析:∵ f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( x) 在
2? ? b ? f ? ? cos ?0, ?? ? 上单调递减,且 5 ? ∴ f ( x) 在 2? ? 2? ? ? c ? f ? ? tan ? ? f ? tan 5 ? 5 ? ?
∴ c<a<b,故选 C.

2? ? ? ? ? ? f ? cos ? 5 ?, ? ? ? 0 ?c o s ? ?, 且
2? n s i? 5 2? a n t ? 5 2? 5

2? ? ? a ? f ? sin ? 5 ?, ? 又∵



2? ? a ? f ? sin ?0, ?? ? 上单调递减,而 5 ? 【思路点拨】由已知得函数 f ( x) 在 2? ? b ? f ? ? cos 5 ?
cos

? ? ?,

2? ? 2? ? ? ? ? ? f ? cos ? c ? f ? ? tan 5 ?, 5 ? ? ?

2? ? ? ? ? ? f ? tan ? 5 ? ,所以只需比较 ? ?

2? 2? 2? ,sin , tan 5 5 5 的大小关系即可.

【数学理卷· 2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考(201412) 】 6.已知 上是奇函数,且满足 A. ? 2

f ? x?
)

在R

f ? x ? 4? ? f ? x ?
B. 2

,当

x ? ? 0,2?

时,

f ? x ? ? 2 x2

,则

f ?7? ?

(

C. ?98

D. 98

【知识点】函数的性质 B3 B4 【答案】 【解析】A 解析:因为

f ? x? 4? ? f? ? x

,所以函数周期为 4,所以 时,

f ? 7? ? f ? 7 ? 8? ? f ? ?1?

,又因为奇函数,且当 ,故选择 A.

x ? ? 0,2?

f ? x ? ? 2 x2

,所以

f ? 7? ? f ? ?1 2 ? ? ?f? 1 ? ??

【思路点拨】根据函数的周期可得

f ? 7? ? f ? 7 ? 8? ? f ? ?1?

,根据奇函数可得

f ? 7? ? f ? ?1? ? ? f ?1?

,即可得到.

7

【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】15.以 A 表 示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数

? ? x?

组成的集合:对于函数

? ? x?

,存在一个正数 M,使得函数

? ? x?

的值域包含于区间

??M , M ? . 例 如 , 当

?1 ? x? ? x3 ,?2 ? x ? ? sin x时,?1 ? x ? ? A,?2 ? x ? ? B
①设函数 ②函数

.现有如下命题:

f ? x?

的定义域为 D, 则 “ 的充要条件是

f? x ?? A

” 的充要条件是 “

?b ? R, ?a ? D, f ? a ? ? b

” ;

f ? x? ? B f ? x?

f ? x?

有最大值和最小值;

③若函数



g ? x?

的定义域相同,且

f ? x ? ? A, g ? x ? ? B,则f ? x ? ? g ? x ? ? B

④若函数

f ? x ? ? a ln ? x ? 2 ? ?

x ? x ? ?2, a ? R ? f ? x? ? B x ?1 有最大值,则 .
2

其中的真命题有_____________.(写出所有真命题的序号) 【知识点】命题的真假判断与应用;充要条件;函数的值域.A1 A2 B3 【答案】 【解析】①③④

)? A 解析: (1 )对于命题①“ f (x ”即函数 f ( x) 值域为 R ,

) ?b”表示的是函数可以在 R 中任意取值, b?R, ? a?D, f (a “? )? A b?R, ? a?D, 故有:设函数 f ( x) 的定义域为 D,则“ f (x ”的充要条件是“ ?
f (a ) ?b”∴命题①是真命题; )? B,即存在一个正数 M ,使得函数 f ( x) 的值域包含于区间 (2)对于命题②若函数 f (x [? MM , ].∴- M ≤ f ( x) ≤ M .例如:函数 f ( x) 满足-2< f ( x) <5,则有-5≤ f ( x) ≤5, )? B的充要条件是 f ( x) 有最大值 此时, f ( x) 无最大值,无最小值.∴命题②“函数 f (x
和最小值. ”是假命题; (3)对于命题③若函数 f ( x) , g ( x ) 的定义域相同,且 f ( x) ∈A, g ( x ) ∈B, 则 f ( x) 值域为 R, f ( x) ∈(-∞,+∞) ,并且存在一个正数 M,使得- M ≤g(x)≤ M .∴

f ( x) + g ( x ) ∈ R . 则 f ( x) + g ( x ) ? B . ∴ 命 题 ③ 是 真 命 题 . (4)对于命题④∵函数

x f( x )? a l n ( x ? 2 ) ?2 x? 1 ( x >-2, a ? R )有最大值,
8

x ∴假设 a >0,当 x → ?? 时, x +1 →0, ln( x + 2) → ?? ,∴ a ln( x + 2) → ?? ,则 f ( x)
2

→ ?? .与题意不符;

x 2 2) → ?? ,则 f ( x) → 假设 a <0,当 x →-2 时, x +1 → 5 , ln( x + 2) → ?? ,∴ a ln( x +
2

?? .与题意不符.∴ a =0.
x 即函数 f ( x) = x +1 ( x >-2)
2

1 当 x >0 时, x + x ≥2,∴
当 x =0 时, f ( x) =0;

0?

1 x?
1 1 1 f ( x ) x ≤ 2 ,即 0< ≤2 ;

1
1 1 1 1 x+ x <0,即? 2 ≤ f ( x) <0. 当 x <0 时, x + x ≤?2,∴? 2 ≤ 1 1 f ( x ) )? B.故命题④是真命题. ∴? 2 ≤ ≤ 2 .即 f (x
故答案为①③④. 【思路点拨】根据题中的新定义,结合函数值域的概念,可判断出命题①②③是否正确,再 利用导数研究命题④中函数的值域,可得到其真假情况,从而得到本题的结论

【 数 学 理 卷 · 2015 届 四 川 省 德 阳 市 高 三 第 一 次 诊 断 考 试 ( 201412 ) word 版 】

15

M ?

{a

f ( x)
? x-1

=2sinax



? ? ?? ? , ? ? 3 4? ?









N ? {b 方程3 数} M ? { a

? b ? 1 ? 0有实数解},设D ? M ? N

x?n 2 , 函数 f(x)= x ? m 是

定义在 R 上的奇函数,则下列命题中正确的是

(填出所有正确命题的序号)

3? ? 3? ? M ? ? ??, ? ?1, ? N ? ? 0, 2? 2 ? ? (1) (2) (3)D= ? 2 ? (4)n=0,m ? R (5)如果 f(x)在 D 上没有最小值,
3 那么 m 的取值范围是( 2 ,+ ? )
【知识点】函数的单调性与最值函数与方程 B9 B3
9

【答案】(3) (5)

? ? T 2? 【解析】 :∵M={a|函数 y=2sinax 在[- 3 , 4 ]上是增函数,可得 2 ≥ 3
2? 2? 3 3 且 a>0,即 2 a ≥ 3 ,解得 a≤ 2 ,故 M=,a|a≤ 2 }
∵N={b|方程 3-|x-1|-b+1=0 有实数解},所以可得 N={b|1<b≤2-

3 ∴D=M∩N=(1, 2 ] x?n 2 ∵f(x)= x ? m 是定义在 R 上的奇函数 x x?n 2 ∴f(0)=0 可得 n=0∴f(x)= x ? m ,又 f(x)= x ? m 在 D 内没有最小值
2

1
x m x? x , ∴f(x)= x ? m =
2

3 若 m≤0,可得函数 f(x)在 D 上是减函数,函数在右端点 2 处取到最小值,不合题意 m x?n 2 若 m>0,令 h(x)=x+ x ,则 f(x)= x ? m
在 D 内没有最小值可转化为 h(x)在 D 内没有最大值,下对 h(x)在 D 内的最大值进行研 究:

m 2 由于 h′(x)=1- x ,令 h′(x)>0,可解得 x> m ,令 h′(x)<0,可解得 x< m ,
由此知,函数 h(x)在(0, m )是减函数,在( m ,+∞)上是增函数,

3 9 m 当 ≥ 2 时,即 m≥ 4 时,函数 h(x)在 D 上是减函数,不存在最大值,符合题意 3 当 m ≤1 时,即 m≤1 时,函数 h(x)在 D 上是增函数,存在最大值 h( 2 ) ,不符合题意, 3 9 3 当 1< m < 2 时,即 1<m< 4 时,函数 h(x)在(1, m )是减函数,在( m , 2 )

10

3 上是增函数,必有 h(1)>h( 2 )成立,才能满足函数 h(x)在 D 上没有最大值,即有

m 3 3 3 1+m> 2 + 2 ,解得 m> 2 .
x?n 2 【思路点拨】先确定出集合 MN 的范围,求出集合 D 的范围.再根据 f(x)= x ? m 在 D 内没
有最小值,对函数的最小值进行研究,可先求其导数,利用导数研究出函数的单调性,确定 出函数的最小值在区间 D 的左端点取到即可, 由于直接研究有一定困难, 可将函数变为 ( f x)

1
x m m x? x ,构造新函数 h(x)=x+ x ,将研究原来函数没有最小值的问题转化为新 = x ?m=
2

函数没有最大值的问题,利用导数工具易确定出新函数的最值,从而解出参数 m 的取值范 围. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分。

【数学理卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】8.设 f(x)=

? ( x ? a)2 , x ? 0 ? ? 1 ? x ? ? a, x ? 0 x ? ,若 f(x) ? f(0)则 a 的取值范围为
A.[-1,2] B.[-1,0] C.[1,2] D.[0,2] 【知识点】函数的单调性与最值 B3 【答案】D 【解析】当 a<0 时,显然 f(0)不是 f(x)的最小值,

1 当 a≥0 时,f(0)=a2,由题意得:a2≤x+ x +a,
解不等式:a2-a-2≤0,得-1≤a≤2,∴0≤a≤2, 【思路点拨】当 a<0 时,显然 f(0)不是 f(x)的最小值,当 a≥0 时,解不等式:a2-a-2≤0, 得-1≤a≤2,问题解决.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 辽 宁 省 沈 阳 二 中 高 三 12 月 月 考 ( 201412 ) (1) 】 12. 函 数

f ( x) ?| e x ?

a | (a ? R ) ex 在区间 ?0,1? 上单调递增,则 a 的取值范围是

( )

A. a ? ?? 1,1?

B. a ? [?1,0]

C. a ? [0,1]

? 1 ? a ? ?? , e? ? e ? D.
11

【知识点】函数的单调性 B3 【答案】 【解析】A

y ? ex ?
解析:令

a a e2 x ? a a x y ? ex ? x , y ' ? e ? ? x x 2 e 在 e e e ,所以当 a>0 时,函数

1 ? ? ?1 ? ln a . ? ?? ? ??, ln a ? ? 2 ? ? 上单调递减,在 ? 2 ? 上单调递增,若函数在所给区间上单调递增,则
1 a x ln a ? 0 y ? ex ? x f x ? e ? ? 显然满足题意,当 a<0 时,函数 2 e ,得 0<a≤1,当 a=0 时 ex ?
在 R 上单调递增,由 调递减,在

a a y ? ex ? x ?0 x e 在 ??, ln ?a 上单 e 得 x ? ln ?a ,则函数

?

?

? ln

?a , ??

? 上单调递增,则有 ln

?a ? 0 ,得-1≤a<0,综上可知实数 a 的

范围是 a ? ?? 1,1? . 【思路点拨】含绝对值的函数的单调性,可考虑先分段讨论去绝对值再判断单调性,也可直 接判断绝对值内部对应的函数的单调性进行解答. 第Ⅱ卷 (90 分)

【数学文卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】10、已知函数 f ( x) 是定 义在 R 上的奇函数,在 (0, 2] 上是增函数,且 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,给出下列结论: ①若

0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ; ② 若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且

x1 ? x2 ? 5 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③ 若 方 程 f ( x) ? m 在 [?8,8] 内 恰 有 四 个 不 同 的 实 根 x1, x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?8 或 8;④函数 f ( x) 在 [?8,8] 内至少有 5 个零点,至
多有 13 个零点 其中结论正确的有 A.1 个 B.2 个 【知识点】函数的性质 B3 B4

C.3 个

D.4 个

f ? x ? 8? ? f ? x ? 【答案】 【解析】C 解析:因为 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 ,即函数的周期
为 8,因此函数是周期函数,又是奇函数,且在[0,2]上为增函数,综合条件得函数的示意 图,由图看出,

12

①若

0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 ,由图像可得正确;②若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 5 ,
1< x1< 5 2 ,由图可知: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

0<x1<5 ? x1<4 ,即 ( f x) 在 (0, 2] 上是增函数,则

故②正确;③当 m>0 时,四个交点中两个交点的横坐标之和为 点的横坐标之和为 2 ? 2 ? 4 ,所以

2 ? ? ?6? ? ?12

,另两个交

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?8 .当 m<0 时,四个交点中两个交 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 8 .故

点的横坐标之和为 2×(-2) ,另两个交点的横坐标之和为 2×6,所以

③正确;④如图可得函数 f ( x) 在 [?8,8] 内有 5 个零点,所以不正确.故选择 C.

f ? x ? 8? ? f ? x ? 【思路点拨】由条件 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 得 ,说明此函数是周期函数,又是
奇函数,且在 (0, 2] 上为增函数,由这些画出示意图,由图可解决问题. 第 II 卷(共 100 分)

【 数 学 文 卷 · 2015 届 四 川 省 德 阳 市 高 三 第 一 次 诊 断 考 试 ( 201412 ) word 版 】

15

M ?

{a

f ( x)
? x-1

=2sinax



? ? ?? ? , ? ? 3 4? ?









N ? {b 方程3 数} M ? { a

? b ? 1 ? 0有实数解},设D ? M ? N

x?n 2 , 函数 f(x)= x ? m 是

定义在 R 上的奇函数,则下列命题中正确的是

(填出所有正确命题的序号)

3? ? 3? ? M ? ? ??, ? ?1, 2 ? (2) N ? ? 0, 2? (3)D= ? 2 ? ? (4)n=0,m ? R (5)如果 f(x)在 D 上没有最小值, ? (1)
3 那么 m 的取值范围是( 2 ,+ ? )
13

【知识点】函数的单调性与最值函数与方程 B9 B3 【答案】(3) (5)

? ? T 2? 【解析】 :∵M={a|函数 y=2sinax 在[- 3 , 4 ]上是增函数,可得 2 ≥ 3
2? 2? 3 3 且 a>0,即 2 a ≥ 3 ,解得 a≤ 2 ,故 M=,a|a≤ 2 }
∵N={b|方程 3-|x-1|-b+1=0 有实数解},所以可得 N={b|1<b≤2-

3 ∴D=M∩N=(1, 2 ] x?n 2 ∵f(x)= x ? m 是定义在 R 上的奇函数 x x?n 2 ∴f(0)=0 可得 n=0∴f(x)= x ? m ,又 f(x)= x ? m 在 D 内没有最小值
2

1
x m x? x , ∴f(x)= x ? m =
2

3 若 m≤0,可得函数 f(x)在 D 上是减函数,函数在右端点 2 处取到最小值,不合题意 m x?n 2 若 m>0,令 h(x)=x+ x ,则 f(x)= x ? m
在 D 内没有最小值可转化为 h(x)在 D 内没有最大值,下对 h(x)在 D 内的最大值进行研 究:

m 2 由于 h′(x)=1- x ,令 h′(x)>0,可解得 x> m ,令 h′(x)<0,可解得 x< m ,
由此知,函数 h(x)在(0, m )是减函数,在( m ,+∞)上是增函数,

3 9 当 m ≥ 2 时,即 m≥ 4 时,函数 h(x)在 D 上是减函数,不存在最大值,符合题意 3 当 m ≤1 时,即 m≤1 时,函数 h(x)在 D 上是增函数,存在最大值 h( 2 ) ,不符合题意, 3 9 3 当 1< m < 2 时,即 1<m< 4 时,函数 h(x)在(1, m )是减函数,在( m , 2 )

14

3 上是增函数,必有 h(1)>h( 2 )成立,才能满足函数 h(x)在 D 上没有最大值,即有

m 3 3 3 1+m> 2 + 2 ,解得 m> 2 .
x?n 2 【思路点拨】先确定出集合 MN 的范围,求出集合 D 的范围.再根据 f(x)= x ? m 在 D 内没
有最小值,对函数的最小值进行研究,可先求其导数,利用导数研究出函数的单调性,确定 出函数的最小值在区间 D 的左端点取到即可, 由于直接研究有一定困难, 可将函数变为 ( f x)

1
x m m x? x ,构造新函数 h(x)=x+ x ,将研究原来函数没有最小值的问题转化为新 = x ?m=
2

函数没有最大值的问题,利用导数工具易确定出新函数的最值,从而解出参数 m 的取值范 围. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分。

【数学文卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】8.设 f(x)=

? ( x ? a)2 , x ? 0 ? ? 1 ? x ? ? a, x ? 0 x ? ,若 f(x) ? f(0)则 a 的取值范围为
A.[-1,2] B.[-1,0] C.[1,2] D.[0,2] 【知识点】函数的单调性与最值 B3 【答案】D 【解析】当 a<0 时,显然 f(0)不是 f(x)的最小值,

1 当 a≥0 时,f(0)=a2,由题意得:a2≤x+ x +a,
解不等式:a2-a-2≤0,得-1≤a≤2,∴0≤a≤2, 【思路点拨】当 a<0 时,显然 f(0)不是 f(x)的最小值,当 a≥0 时,解不等式:a2-a-2≤0, 得-1≤a≤2,问题解决.

B4 函数的奇偶性与周期性 【数学理卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】10、已知函数 f ( x) 是定 义在 R 上的奇函数,在 (0, 2] 上是增函数,且 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,给出下列结论:

15

①若

0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ; ② 若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且

x1 ? x2 ? 5 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③ 若 方 程 f ( x) ? m 在 [?8,8] 内 恰 有 四 个 不 同 的 实 根 x1, x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?8 或 8;④函数 f ( x) 在 [?8,8] 内至少有 5 个零点,至
多有 13 个零点 其中结论正确的有 A.1 个 B.2 个 【知识点】函数的性质 B3 B4

C.3 个

D.4 个

f ? x ? 8? ? f ? x ? 【答案】 【解析】C 解析:因为 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 ,即函数的周期
为 8,因此函数是周期函数,又是奇函数,且在[0,2]上为增函数,综合条件得函数的示意 图,由图看出,

①若

0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 ,由图像可得正确;②若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 5 ,
1< x1< 5 2 ,由图可知: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

0<x1<5 ? x1<4 ,即 ( f x) 在 (0, 2] 上是增函数,则

故②正确;③当 m>0 时,四个交点中两个交点的横坐标之和为 点的横坐标之和为 2 ? 2 ? 4 ,所以

2 ? ? ?6? ? ?12

,另两个交

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?8 .当 m<0 时,四个交点中两个交 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 8 .故

点的横坐标之和为 2×(-2) ,另两个交点的横坐标之和为 2×6,所以

③正确;④如图可得函数 f ( x) 在 [?8,8] 内有 5 个零点,所以不正确.故选择 C.

f ? x ? 8? ? f ? x ? 【思路点拨】由条件 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 得 ,说明此函数是周期函数,又是
奇函数,且在 (0, 2] 上为增函数,由这些画出示意图,由图可解决问题. 第 II 卷(共 100 分)

【数学理卷·2015 届河南省洛阳市高三第一次统一考试(201412) 】6.已知 f ( x) 是定义
16



R

上 的 偶 函 数 , 且

f ( x) 在

? ??,0?

上 单 调 递 增 , 设

3 a ? (f s i ? n 5

? b ) f

3 ?( c ? o cs 5

3 f? ) , ( t a n 5 ,则 a,b,c 的大小关系是,
D.a<c<b B4

)

A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b 【知识点】函数奇偶性,单调性的应用. B3

? ??,0? 上单调递增, 【答案】 【解析】C 解析:∵ f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( x) 在
2? ? b ? f ? ? cos ?0, ?? ? 上单调递减,且 5 ? ∴ f ( x) 在 2? ? 2? ? ? c ? f ? ? tan ? ? f ? tan 5 ? 5 ? ?
∴ c<a<b,故选 C.

2? ? ? ? ? ? f ? cos ? 5 ?, ? ? ? 0 ?c o s ? ?, 且
2? n s i? 5 2? a n t ? 5 2? 5

2? ? ? a ? f ? sin ? 5 ?, ? 又∵



2? ? a ? f ? sin ?0, ?? ? 上单调递减,而 5 ? 【思路点拨】由已知得函数 f ( x) 在 2? ? b ? f ? ? cos 5 ?
cos

? ? ?,

2? ? 2? ? ? ? ? ? f ? cos ? c ? f ? ? tan 5 ?, 5 ? ? ?

2? ? ? ? ? ? f ? tan ? 5 ? ,所以只需比较 ? ?

2? 2? 2? ,sin , tan 5 5 5 的大小关系即可.

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】14.已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数,f(2)=1 且对任意 都有 f(x+3)=f(x),则 f(2014)= ▲ . 【知识点】函数的奇偶性与周期性 B4 【答案】1 【解析】 由 f(x+3)=f(x)得 T=3, 则 f(2014)=f (1) =f(-2), f(x)是定义在 R 上的偶函数,所以 f(2014)=f (2)=1 【思路点拨】根据函数的奇偶性和周期性求解。

【数学理卷· 2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考(201412) 】 6.已知 上是奇函数,且满足 A. ? 2

f ? x?
)

在R

f ? x ? 4? ? f ? x ?
B. 2

,当

x ? ? 0,2?

时,

f ? x ? ? 2 x2

,则

f ?7? ?

(

C. ?98

D. 98

【知识点】函数的性质 B3 B4

17

【答案】 【解析】A 解析:因为

f ? x? 4? ? f? ? x

,所以函数周期为 4,所以 时,

f ? 7? ? f ? 7 ? 8? ? f ? ?1?

,又因为奇函数,且当 ,故选择 A.

x ? ? 0,2?

f ? x ? ? 2 x2

,所以

f ? 7? ? f ? ?1 2 ? ? ?f? 1 ? ??

【思路点拨】根据函数的周期可得

f ? 7? ? f ? 7 ? 8? ? f ? ?1?

,根据奇函数可得

f ? 7? ? f ? ?1? ? ? f ?1?

,即可得到.

【数学理卷· 2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测 (201412) 】 4.已知 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, A. 4 B. ?4 C.6

f ? x?

f ? x ? ? 3x ? m

(m 为常数) ,则

f ? ? log3 5?

的值为

D. ?6

【知识点】函数奇偶性的性质.B4 【答案】 【解析】B 解析:由 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数得 f (0) ? 1 ? m ? 0 ? m ? ?1 ,

f (? log3 5) ? ? f (log3 5) ? ?(3log3 5 ?1) ? ?4 ,故选 B.
【思路点拨】由题设条件可先由函数在 R 上是奇函数求出参数 m 的值,求函数函数的解板 式,再由奇函数的性质得到 选出正确选项.

f (- log3 5) = - f (log3 5) 代入解析式即可求得所求的函数值,

【数学文卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】10、已知函数 f ( x) 是定 义在 R 上的奇函数,在 (0, 2] 上是增函数,且 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,给出下列结论: ①若

0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ; ② 若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且

x1 ? x2 ? 5 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③ 若 方 程 f ( x) ? m 在 [?8,8] 内 恰 有 四 个 不 同 的 实 根 x1, x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?8 或 8;④函数 f ( x) 在 [?8,8] 内至少有 5 个零点,至
多有 13 个零点 其中结论正确的有 A.1 个 B.2 个 【知识点】函数的性质 B3 B4

C.3 个

D.4 个

18

f ? x ? 8? ? f ? x ? 【答案】 【解析】C 解析:因为 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 ,即函数的周期
为 8,因此函数是周期函数,又是奇函数,且在[0,2]上为增函数,综合条件得函数的示意 图,由图看出,

①若

0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 ,由图像可得正确;②若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 5 ,
1< x1< 5 2 ,由图可知: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

0<x1<5 ? x1<4 ,即 ( f x) 在 (0, 2] 上是增函数,则

故②正确;③当 m>0 时,四个交点中两个交点的横坐标之和为 点的横坐标之和为 2 ? 2 ? 4 ,所以

2 ? ? ?6? ? ?12

,另两个交

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?8 .当 m<0 时,四个交点中两个交 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 8 .故

点的横坐标之和为 2×(-2) ,另两个交点的横坐标之和为 2×6,所以

③正确;④如图可得函数 f ( x) 在 [?8,8] 内有 5 个零点,所以不正确.故选择 C.

f ? x ? 8? ? f ? x ? 【思路点拨】由条件 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 得 ,说明此函数是周期函数,又是
奇函数,且在 (0, 2] 上为增函数,由这些画出示意图,由图可解决问题. 第 II 卷(共 100 分)

【数学文卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】10.已知定

?3 ? f ? ? x ? ? f ? x ? , f ? ?2 ? ? ?3 f ? x? ?a ? ? 义在 R 上的函数 是奇函数且满足 ? 2 ,数列 n 满足
a1 ? ?1,且 Sn a ? 2? n ? 1 f ? a5 ? ? f ? a6 ? ? S ?a ? n n (其中 n 为 n 的前 n 项和) ,则
C. ?3 D. ?2

A.3

B.2

19

【知识点】函数奇偶性的性质;函数的周期性.B4 【答案】 【解析】 A 解析: 由函数 f ( x) 为奇函数得 f (? x) ? ? f ( x) , 又

3 f ( ?x ) ?f (x ) 2 所



3 f ( ? x) ? ? f (? x) 2







3 f ( ? x) ? ? f ( x) 2



f ( x ? 3) ? f (( x ? 3 ) ? 3 ) ? ? f ( x ? 3 ) ? f ( x) 2 2 2 ,

S ? 2an ? n, Sn?1 ? 2an?1 ? (n ?1),(n ? 2) 两式 即函数 f ( x) 是以 3 为周期的周期函数. 由 n
相减并整理得,

an ? 2an?1 ?1 ,即 an ?1 ? 2(an?1 ? 1) ,所以数列 {an ? 1} 是以 2 为公比的
?1 a1 ? 1 ? ?2 , 故 an ?1 ? ? 2 ? n2 ?? n

等 比 数 列 , 首 项 为

2 an , ??

n ? 2, 所 1 以

a5 ? ?31, a6 ? ?63 ,
所以

f (a5 ) ? f (a6 ) ? f (?31) ? f (?63) ? f (2) ? f (0) ? f (2) ? ? f (?2) ? 3. 故选 A.

3 f ( ? x) ? f ( x) 【思路点拨】先由函数 f(x)是奇函数和 2 ,推知 f(3+x)=f(x) ,得到 f
(x)是以 3 为周期的周期函数.再由 a1=﹣1,且 Sn=2an+n,推知 a5=﹣31,a6=﹣63 计算 即可.

B5 二次函数 【数学(文)卷·2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】

[2, 4] 上有实数根, 6. 若关于 x 的方程 x ? ax ? 4 ? 0 在区间 则实数 a 的取值范围是 (
2



(A) (?3, ??) 【知识点】二次函数 B5

(B)

[ ?3, 0]

(C)

(0, ??)

(D) [0,3]

2 [2, 4] 上有实数根, 【答案】 【解析】 B 解析: 因为 x ? ax ? 4 ? 0 在区间 令 f (x) ? x ? ax ? 4

2

2a ?12 ? 4x ? ? 0 ??3 ? a ? 0 所以 f (2) f (4) ? 0 ,即 , ,故选 B.
【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题,只需找准条件即可,不能丢解.

【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】17.(本小 题满分 12 分)
20

已 知函数

g ? x ? ? ax2 ? 2ax ?1? b ? a ? 0?

在 区间

? 2,3? 上 有最小值

1 和 最大值 4 , 设

f ? x? ?

g ? x? x .

(I)求 a、 b 的值; (II)若不等式

f ? 2x ? ? k ? 2x ? 0

在区间

??1,1? 上有解,求实数 k 的取值范围.

【知识点】二次函数在闭区间上的最值;函数的零点与方程根的关系.B5 B9

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

?a ? 1 ? ?b ? 0

(Ⅱ) ( ?? , 1]

解析: (Ⅰ) g ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? b ? a ,因为 a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [ 2 , 3] 上是增函
2

数,

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ? ? g (3) ? 4 ,解得 ?b ? 0 . 故?

…………………………6 分

(Ⅱ) 由已知可得
2

f ( x) ? x ?

1 1 ?2 2x ? x ? 2 ? k ? 2x x x x 2 , 所以 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 ,可化为 ,

1 ?1 ? ? 1 ? 1 t ? ? , 2? 1? ? x ? ? 2 ? x ? k t? x 2 2 ?2 ? , ?2 ? 2 , 化为 , 令 则 k ? t ? 2t ? 1 , 因 x ? [?1 , 1] , 故
?1 ? t ? ? 2 , 2? 2 h ( t ) ? ? ? ,故 h(t ) max ? 1 , t ? 2 t ? 1 记 ,因为
所以 k 的取值范围是 ( ?? , 1] .
2

……………………12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)由函数 g ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? b ? a ,a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [ 2 , 3] 上

? g (2) ? 1 1 x ? 2 ? ? 2 ? k ? 2x x g ( 3 ) ? 4 2 是增函数,故 ? ,由此解得 a、b 的值. (Ⅱ)不等式可化为 ,
?1 ? t ? ? 2 , 2? 2 ? ? ,进而求出 h (t ) ? t 2 ? 2t ? 1 的最大值,从而求得 k 的取 k ? t ? 2 t ? 1 故有 ,
值范围.

【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】14.设二次 函数

f ? ? x? f ? x? ? ax2 ? bx? c a, b, c ( 为常数)的导函数为 ,对任意 x ? R ,不等式
21

b2 2 2 f ? x? ? f ? ? x? 恒成立,则 a ? c 的最大值为__________________.
【知识点】二次函数的性质.B5 【答案】 【解析】 2 2? 2 解 析 : 由 题 意 得 f ( x) ? 2ax? b, 由 f ( x) ? f ( x)得 :
' '

ax2 ? ( b? 2 a) x? c? b? 0 在 R 上 恒 成 立 , 等 价 于 a > 0 且 ? ? 0 , 可 解 得
c 4( ? 1) b2 4ac ? 4a 2 ? 2 2 ? a c a2 ? c2 a ?c ( )2 ? 1 b2 ? 4ac ? 4a2 ? 4a(c ? a) ,则: a ,

c t ? ?1 a , 令 ( t >0),

y?

4t 4 4 ? ? ? 2 2 ?2 t ? 2t ? 2 t ? 2 ? 2 2 2 ? 2 t
2

b2 2 2 故 a ? c 最大值为 2 2 ? 2 .
【思路点拨】 由已知可得 ax ? (b ? 2a) x ? c ? b ? 0 在 R 上恒成立, 等价于 a >0 且 ? ? 0 , ,
2

b2 2 2 进而利用基本不等式可得 a ? c 的最大值.

【数学文卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】17.(本小 题满分 12 分) 已 知函数

g ? x ? ? ax2 ? 2ax ?1? b ? a ? 0?

在 区间

?2,3? 上 有最小值

1 和最大值 4 ,设

f ? x? ?

g ? x? x .

(I)求 a、 b 的值; (II)若不等式

f ? 2x ? ? k ? 2x ? 0

在区间

??1,1? 上有解,求实数 k 的取值范围.

【知识点】二次函数在闭区间上的最值;函数的零点与方程根的关系.B5 B9

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

?a ? 1 ? ?b ? 0

(Ⅱ) ( ?? , 1]

解析: (Ⅰ) g ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? b ? a ,因为 a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [ 2 , 3] 上是增函
2

22

数,

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ? ? g (3) ? 4 ,解得 ?b ? 0 . 故?

…………………………6 分

(Ⅱ) 由已知可得
2

f ( x) ? x ?

1 1 ?2 2x ? x ? 2 ? k ? 2x x x f ( 2 ) ? k ? 2 ? 0 x 2 , 所以 ,可化为 ,

1 ?1 ? ? 1 ? 1 t ? 1? ? x ? ? 2 ? x ? k t? x ? 2 , 2? 2 x ? [ ? 1 , 1 ] 2 2 ? ?, k ? t ? 2 t ? 1 ? ? 2 化为 , 令 , 则 , 因 , 故
?1 ? t ? ? , 2? ? 2 ? ,故 h(t ) max ? 1 , 记 h (t ) ? t ? 2t ? 1 ,因为
2

所以 k 的取值范围是 ( ?? , 1] .
2

……………………12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)由函数 g ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? b ? a ,a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [ 2 , 3] 上

? g (2) ? 1 1 ? 2x ? x ? 2 ? k ? 2x g ( 3 ) ? 4 2 是增函数,故 ? ,由此解得 a、b 的值. (Ⅱ)不等式可化为 ,
?1 ? t ? ? , 2? ? 2 ? ,进而求出 h (t ) ? t 2 ? 2t ? 1 的最大值,从而求得 k 的取 故有 k ? t ? 2t ? 1 ,
2

值范围.

B6 指数与指数函数 【数学(文)卷·2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】

? x3 ? 1 , x ? 0 ? f ( x) ? ? 1 x ?( ) , x ? 0 ? 3 4.函数 的图象大致为

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

(A) (B) 【知识点】函数的图像 B6,B8
3

(C)

(D)

【答案】 【解析】A 解析:当 x ? 0 时,将 y ? x 的图像向上平移一个单位即可;当 x ? 0 时,

23

1 y ? ( )x 3 的图像即可,故选 A. 取
3 【思路点拨】由基本函数 y ? x 和

1 y ? ( )x 3 的图像即可求得分段函数的图像.

1 ?x ? (0, ) 2 , 【数学文卷·2015 届河南省洛阳市高三第一次统一考试(201412) 】10.若
均有

9x ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) ,则实数 a 的取值范围是

? ?1 ? 3 ?2 ,1? ? A. ?

? ?1 ? ? 0,2 3 ? ? B. ?

? 1 ? ? 2 3 ,3 ? ? C. ?

? 1 ? ?1,2 3 ? ? D. ?

【知识点】指数函数与对数函数 B6 B7 【答案】 【 解析 】 A 解析 : 由 指 数函 数 与 对数 函 数 的 图像 可 知 0 ? a ?1 , 再 由
1 1 1 ? ? 1 9 2 ? log a ? a ? 2 3 且a<1? 2 3 ? a ? 1 2 ,所以 A 正确.

【思路点拨】根据指数函数与对数函数的图像与性质可判定结果. B7 对数与对数函数 【数学文卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】5.已知函
x ?3 ? ? x ? a , ? ?1 ? x ? 0 ? f ? x? ? ? 其中a ? 0, 且a ? 1?,若f ? ?1? ? f ?1? bx ? 1, 0 ? x ? 1 ? ? loga b ? ? ? 数 ,则

A. ?1 B.0 C.1 D.2 【知识点】分段函数求值;对数的运算.B1 B7 【答案】 【解析】D
2 2 解 析 : 由 f (?1) ? f (1) 得 a ? 1 ? b ? 1 , 即 b ? a , 于 是

log a2 ? .故选 2 D. ab? lo ag
2 【思路点拨】先由 f (?1) ? f (1) 得出 b ? a ,再计算出结果即可。

【 数 学 文 卷 · 2015 届 安 徽 省 屯 溪 一 中 高 三 第 四 次 月 考 ( 201412 ) 】 12 、 已 知 不 等 式

1 2x
2

?x

?1? ?? ? ?2?

2 x2 ? mx ? m? 4

对任意 x ? R 恒成立,则实数 m 的取值范围是

.

24

【知识点】指数函数综合题.B7 【答案】 【解析】 (?3,5)

骣 1 琪 琪 2 解析:不等式等价为 桫

x2 +x

骣 1 >琪 琪 2 桫

2 x2 - mx +m+4



2 2 即 x + x < 2 x - mx + m + 4 恒成立,∴x2﹣(m+1)x+m+4>0 恒成立,

即△=(m+1)2﹣4(m+4)<0,即 m2﹣2m﹣15<0,解得﹣3<m<5, 故答案为: (?3,5) . 【思路点拨】 根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立, 利用一元二次 不等式恒成立转化为对应判别式△<0,解不等式即可得到结论.

【数学文卷· 2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试( 201412 ) word 版】 11 .计算
1 ? ? 1 ? 2 ? lg ? lg 25 ? ?100 ? 4 ? =

【知识点】对数与对数函数 B7 【答案】-20
1 ? ? 1 ? 1 2 1 lg ? lg 25 ? 100 ? lg ? ? 2 4 ? 【解析】 ? = 100 ?100 =-20

【思路点拨】根据对数的运算性质求结果。

B8 幂函数与函数的图象 【数学(文)卷·2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】

? x3 ? 1 , x ? 0 ? f ( x) ? ? 1 x ?( ) , x ? 0 ? 3 4.函数 的图象大致为

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

(A) (B) 【知识点】函数的图像 B6,B8
3

(C)

(D)

【答案】 【解析】A 解析:当 x ? 0 时,将 y ? x 的图像向上平移一个单位即可;当 x ? 0 时,

1 y ? ( )x 3 的图像即可,故选 A. 取
25

1 y ? ( )x 3 的图像即可求得分段函数的图像. 【思路点拨】由基本函数 y ? x 和
3

【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】7.函数

f ? x? ?

sin x x 2 ? 1 的图象大致为

【知识点】函数的图象.B8 【答案】 【解析】A 解析:首先由 f ( x ) 为奇函数,得图象关于原点对称,排除 C、D,又

当 0 ? x ? π 时, f ( x) ? 0 知,选 A. 【思路点拨】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数 值的符号,从而即可得出正确选项.

y?
【数学理卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】6.函数 像大致为( )

e x ? e? x e x ? e? x 的图

【知识点】函数的图象.B8

e? x ? e x e x ? e? x f ??x? ? ?x ? ? x ?x ? ? f ? x? e ? ex e ?e 【答案】 【解析】B 解析:因为 ,所以函数为奇函
数,图象关于原点对称,所以排除 A. 当 x=1 时,y>0,所以排除 C.

因为

f ? x? ?

e x ? e? x 2e? x 2 1 ? ? 1? 2x x ?x x ?x e ?e e ?e e ? 1 ,所以当 x→+∞时,y→1,所以排除 D.

故选 B. 【思路点拨】利用函数的奇偶性,对称性和特殊点的特殊值分别进行判断即可.

26

【数学文卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】6.函数

f ? x? ?

sin x x 2 ? 1 的图象大致为

【知识点】函数的图象.B8 【答案】 【解析】A 解析:首先由 f ( x ) 为奇函数,得图象关于原点对称,排除 C、D,又

当 0 ? x ? π 时, f ( x) ? 0 知,选 A. 【思路点拨】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数 值的符号,从而即可得出正确选项.

【数学文卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】15、如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动,点 B 恰好经过原点.设顶点

P? x , y ?

的轨迹方程是 y ? f ( x) ,则对函数 y ? f ( x) 有下列判断: ②对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ;

①函数 y ? f ( x) 是偶函数;

③函数 y ? f ( x) 在区间 [2,3] 上单调递减;④函数 y ? f ( x) 在区间 [4, 6] 上是减函数. 其中判断正确的序号是 (写出所有正确的结论序号)

【知识点】命题的真假判断与应用;函数的图象.A2 B8

1 【答案】 【解析】①②④ 解析:当﹣2≤x≤﹣1,P 的轨迹是以 A 为圆心,半径为 1 的 4 圆, 1 的 4 圆,

当﹣1≤x≤1 时,P 的轨迹是以 B 为圆心,半径为

27

1 当 1≤x≤2 时,P 的轨迹是以 C 为圆心,半径为 1 的 4 圆, 1 当 3≤x≤4 时,P 的轨迹是以 A 为圆心,半径为 1 的 4 圆,
∴函数的周期是 4. 因此最终构成图象如下:

①根据图象的对称性可知函数 y=f(x)是偶函数,∴①正确. ②由图象即分析可知函数的周期是 4.∴②正确. ③函数 y=f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴③错误. ④函数 y=f(x)在区间[4,6]上是减函数,由函数的图象即可判断是真命题、∴④正确. 故答案为:①②④. 【思路点拨】根据正方形的运动,得到点 P 的轨迹方程,然后根据函数的图象和性质分别进 行判断即可.

B9 函数与方程 【数学理卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) 】11、已知函数 f ( x) 的周期
2 ? ?m 1 ? x f ( x) ? ? x ? ? ?1,3? ? ?1 ? x ? 2 为 4, 且当 时,

x ? ? ?1,1?, x ? ?1,3?,
( ) 其中 m ? 0 . 若方程 3 f ( x) ? x 恰

有 5 个实数解,则 m 的取值范围为

? 15 8 ? ? ? ? 3 , 3? ? ? A.

? 15 ? , 7 ? ? ? 3 ? ? ? B.

? 4 8? ? ,? C. ? 3 3 ?

?4 ? ? ,7 ? ? D. ? 3

【知识点】函数与方程 B9 【答案】 【解析】B

x2 ?
解析:因为当 x∈(-1,1)时,将函数化为方程

y2 ? 1? y ? 0 ? m2 ,为一个半椭圆,其图像

如图所示, 同时在坐标系中作出当 x∈(1,3)的图像, 再根据周期性作出函数其它部分的图像,

y?
由 图易知直 线

y2 x 2 ? x ? 4 ? ? 2 ? 1? y ? 0 ? 3 与第 二个椭 圆 m 相交, 而与第 三个半 椭圆
28

? x ? 8?

2

?

y2 x y? ? 1? y ? 0 ? 2 3 代入 m 无公共点时,方程恰有 5 个实数解,将 y2 ?1 ?y ? 0 ? ? 9m2 ? 1? x 2 ? 72m2 x ? 135m2 ? 0 t ? 9m2 ?t ? 0? m2 得 ,令 ,则
2

? x ? 4?

2

?

?t ?1? x2 ? 8 t x?1 5 t ? 0由 ? ? ?8t ?
m?
m>0,得

? 4 ?15t ? t ? 1? ? 0

2 ,得 t>15,所以 9m ? 15 ,又

y2 x 15 2 y? x ? 8 ? ? 1? y ? 0 ? ? ? 3 与第三个椭圆 m2 3 ,同样由 无交点,△<0,

? 15 ? m?? , 7 ? ? 3 ? ? ? ,所以选 B. m ? 7 得 ,综上可知

【思路点拨】 一般遇到方程的根的个数或函数的图像的交点个数问题, 通常利用数形结合进 行解答.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 浙 江 省 杭 州 二 中 高 三 第 二 次 月 考 ( 201412 ) 】 13 、 函 数

?x ?1 f ( x) ? ? ?log 2 x

x?0 x?0

,则函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的所有零点所构成的集合为________. B9

【知识点】函数的零点问题

1 1 ? ? ??3, ? , , 2 ? 2 4 ? . 解 析 : 当 x ? ?1 时 , f ? x ? ? x ? 1 ? 0 , ∴ 【答案】 【解析】 ?

f ? x ? ? x ?1 >0 f[( f x) ] ? 1 ? x ? 1 ? 1 ? 1 ? 0, ∴ x ? ?3; 当 ?1 ? x ? 0 时, ,
f [ f ? x ?] ? 1 ? log( ) ? 1 ? 0, ?x ? ? 2 x ?1
f] ? g?



1 2





0 ? x ?1
? ?





f?

? ?x

2

?o f[ ?0 l,

1 x? x

2

?

11 l ,o?

1 0 g ? x 4;

x?

当 x>1 时,

f ? x ? ? log2 x>0, ? f [ f ? x ?] ? 1 ? log( ) ? 1 ? 0, ?x ? 2 2 log 2 x

29

1 1 ? ? ??3, ? , , 2 ? 2 4 ? , 故 答案 为 所 以 函 数 y ? f [ f ( x)]? 1的 所 有零 点 所构 成 的 集合 为 : ?
1 1 ? ? ??3, ? , , 2 ? 2 4 ? ?.
f ? f ? x ?? ? ? 1 ? 0 的解,下面 【思路点拨】欲求函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 函数的零点,即求方程 ?
分:当 x ? 0 时,当 x>0 时分别求出函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的所有零点所构成的集合即可.

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】12.已知函

数 f(x)= 取值范围是

,若关于 x 的方程 f(x)=

有三个不同的实根,则实数 a 的

A.

B.

c.

D.

【知识点】函数与方程 B9 【答案】D 【解析】如图,

直线 y=x-a 与函数 y=f(x)=ex-1 的图象在 x≥0 处有一个切点,切点坐标为 (0,0) ,此时 a=0;

1 3 3 直线 y=|x-a|与函数 y=-x2-2x 的图象在 x<0 处有两个切点, 切点坐标分别是(- 2 ,4 )和(- 2 , 3 1 9 4 ),此时相应的 a= 4 ,a=- 4 ,观察图象可知,方程 f(x)=|x-a|有三个不同的实根时, 9 1 实数 a 的取值范围是(- 4 ,0)∪(0, 4 ).
【思路点拨】求出直线 y=x-a 与函数 y=f(x)=ex-1 的图象在 x≥0 处有一个切点、直线 y=|x-a| 与函数 y=-x2-2x 的图象在 x<0 处有两个切点时,a 的值,利用函数图象,即可求出实数 a 的取值范围.

30

【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】17.(本小 题满分 12 分) 已 知函数

g ? x ? ? ax2 ? 2ax ?1? b ? a ? 0?

在 区间

? 2,3? 上 有最小值

1 和 最大值 4 , 设

f ? x? ?

g ? x? x .

(I)求 a、 b 的值; (II)若不等式

f ? 2x ? ? k ? 2x ? 0

在区间

??1,1? 上有解,求实数 k 的取值范围.

【知识点】二次函数在闭区间上的最值;函数的零点与方程根的关系.B5 B9

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

?a ? 1 ? ?b ? 0

(Ⅱ) ( ?? , 1]

解析: (Ⅰ) g ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? b ? a ,因为 a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [ 2 , 3] 上是增函
2

数,

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ? ? b?0 g ( 3 ) ? 4 ? 故 ,解得 ? .

…………………………6 分

(Ⅱ) 由已知可得
2

f ( x) ? x ?

1 1 ?2 2x ? x ? 2 ? k ? 2x x x f ( 2 ) ? k ? 2 ? 0 x 2 , 所以 ,可化为 ,

1 ?1 ? ? 1 ? 1 t ? ? , 2? 1? ? x ? ? 2 ? x ? k t? x 2 2 ?2 ? , ?2 ? 2 , 化为 , 令 则 k ? t ? 2t ? 1 , 因 x ? [?1 , 1] , 故
?1 ? t ? ? , 2? ? 2 ? ,故 h(t ) max ? 1 , 记 h (t ) ? t ? 2t ? 1 ,因为
2

所以 k 的取值范围是 ( ?? , 1] .
2

……………………12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)由函数 g ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? b ? a ,a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [ 2 , 3] 上

? g (2) ? 1 1 x ? 2 ? ? 2 ? k ? 2x x g ( 3 ) ? 4 ? 2 是增函数,故 ,由此解得 a、b 的值. (Ⅱ)不等式可化为 ,
?1 ? t ? ? , 2? ? 2 ? ,进而求出 h (t ) ? t 2 ? 2t ? 1 的最大值,从而求得 k 的取 故有 k ? t ? 2t ? 1 ,
2

值范围.

31

【 数 学 理 卷 · 2015 届 安 徽 省 屯 溪 一 中 高 三 第 四 次 月 考 ( 201412 ) 】 10 . 已 知 函 数

1 ? ?x ? , x ? 0 f ( x) ? ? x 3 ? ? x ? 3, x ? 0
( A. 3 )

,则关于 x 的方程 f (2x ? x) ? a ( a ? 2 )的根的个数不可能为
2

B. 4

C. 5

D. 6

【知识点】函数与方程的综合运用.B9

【答案】 【解析】A

1 ? ?x ? , x ? 0 f ( x) ? ? x 3 ? ? x ? 3, x ? 0 ,和 y=2x2+x 图象, 解析:画图

结合两个函数的图象可知

或 a>3,4 个根,

,5 个根, ,6 个根.故选 A. 【思路点拨】先画出 y=f(x)与 y=2x2+x 的图象,结合两个函数图象,利用分类讨论的数学 思想讨论 f(2x2+x)=a(a>2)根可能的根数即可.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 四 川 省 德 阳 市 高 三 第 一 次 诊 断 考 试 ( 201412 ) word 版 】

15

M ?

{a

f ( x)
? x-1

=2sinax



? ? ?? ? , ? ? 3 4? ?









N ? {b 方程3 数} M ? { a

? b ? 1 ? 0有实数解},设D ? M ? N

x?n 2 , 函数 f(x)= x ? m 是

定义在 R 上的奇函数,则下列命题中正确的是

(填出所有正确命题的序号)

3? ? 3? ? 1, M ? ? ??, ? N ? 0, 2 ? ? (3)D= ? 2 ? (2) ? 2? ? (4)n=0,m ? R (5)如果 f(x)在 D 上没有最小值, ? (1)
32

3 那么 m 的取值范围是( 2 ,+ ? )
【知识点】函数的单调性与最值函数与方程 B9 B3 【答案】(3) (5)

? ? T 2? 【解析】 :∵M={a|函数 y=2sinax 在[- 3 , 4 ]上是增函数,可得 2 ≥ 3
2? 2? 3 3 且 a>0,即 2 a ≥ 3 ,解得 a≤ 2 ,故 M=,a|a≤ 2 }
∵N={b|方程 3-|x-1|-b+1=0 有实数解},所以可得 N={b|1<b≤2-

3 ∴D=M∩N=(1, 2 ] x?n 2 ∵f(x)= x ? m 是定义在 R 上的奇函数 x x?n 2 ∴f(0)=0 可得 n=0∴f(x)= x ? m ,又 f(x)= x ? m 在 D 内没有最小值
2

1
x m x? x , ∴f(x)= x ? m =
2

3 若 m≤0,可得函数 f(x)在 D 上是减函数,函数在右端点 2 处取到最小值,不合题意 m x?n 2 若 m>0,令 h(x)=x+ x ,则 f(x)= x ? m
在 D 内没有最小值可转化为 h(x)在 D 内没有最大值,下对 h(x)在 D 内的最大值进行研 究:

m 2 由于 h′(x)=1- x ,令 h′(x)>0,可解得 x> m ,令 h′(x)<0,可解得 x< m ,
由此知,函数 h(x)在(0, m )是减函数,在( m ,+∞)上是增函数,

3 9 当 m ≥ 2 时,即 m≥ 4 时,函数 h(x)在 D 上是减函数,不存在最大值,符合题意 3 当 m ≤1 时,即 m≤1 时,函数 h(x)在 D 上是增函数,存在最大值 h( 2 ) ,不符合题意,

33

3 9 3 当 1< m < 2 时,即 1<m< 4 时,函数 h(x)在(1, m )是减函数,在( m , 2 ) 3 上是增函数,必有 h(1)>h( 2 )成立,才能满足函数 h(x)在 D 上没有最大值,即有

m 3 3 3 1+m> 2 + 2 ,解得 m> 2 .
x?n 2 【思路点拨】先确定出集合 MN 的范围,求出集合 D 的范围.再根据 f(x)= x ? m 在 D 内没
有最小值,对函数的最小值进行研究,可先求其导数,利用导数研究出函数的单调性,确定 出函数的最小值在区间 D 的左端点取到即可, 由于直接研究有一定困难, 可将函数变为 ( f x)

1 x m m x? 2 x ,构造新函数 h(x)=x+ x ,将研究原来函数没有最小值的问题转化为新 = x ?m=
函数没有最大值的问题,利用导数工具易确定出新函数的最值,从而解出参数 m 的取值范 围. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分。

【数学理卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】10.已知周期

?m 1 ? x 2 , (?1 ? x ? 1) ? f ( x) ? ? ? ? 1 ? x ? 2 , (1 ? x ? 3) 其中 m>0,若关于 x 的方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个 为 4 的函数
不同实数解,则 m 的取值范围是

A.(

15 3 ,

7 )

4 B.( 3 , 7 )

4 5 C.( 3 , 3 )

15 D.( 3 ,3)

【知识点】函数与方程 B9 【答案】A

y2 2 【解析】 :∵当 x∈(-1,1]时,将函数化为方程 x2+ m =1(y≥0) ,
∴实质上为一个半椭圆,其图象如图所示,

34

同时在坐标系中作出当 x∈(1,3]得图象,再根据周期性作出函数其它部分的图象,

y2 x 2 由图易知直线 y= 3 与第二个椭圆(x-4)2+ m =1(y≥0)相交, y2 2 而与第三个半椭圆(x-8)2+ m =1 (y≥0)无公共点时,方程恰有 5 个实数解, y2 x 2 将 y= 3 代入(x-4)2+ m =1 (y≥0)得, (9m2+1)x2-72m2x+135m2=0,令 t=9m2(t>0) ,
则(t+1)x2-8tx+15t=0,由△=(8t)2-4×15t (t+1)>0,得 t>15,由 9m2>15,

y2 x 15 2 且 m>0 得 m> 3 ,同样由 y= 3 与第三个椭圆(x-8)2+ m =1 (y≥0)
15 由△<0 可计算得 m< 7 ,综上可知 m∈( 3 , 7 )
【思路点拨】根据对函数的解析式进行变形后发现当 x∈(-1,1],[3,5],[7,9]上时,f

x (x)的图象为半个椭圆.根据图象推断要使方程恰有 5 个实数解,则需直线 y= 3 与第二个
椭圆相交,而与第三个椭圆不公共点.把直线分别代入椭圆方程,根据△可求得 m 的范围.

【数学文卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) (1)】11.已知函数 f ( x) 的
2 ? ?m 1 ? x f ( x) ? ? x ? ? ?1,3? ? ?1 ? x ? 2 周期为 4,且当 时,

x ? ? ?1,1?, x ? ?1,3?,
其中 m ? 0 .若方程

3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为

( )

? 15 8 ? ? ? ? 3 , 3? ? ? A.

? 15 ? , 7 ? ? ? 3 ? ? ? B.

? 4 8? ? ,? C. ? 3 3 ?

?4 ? ? ,7 ? ? D. ? 3

【知识点】函数与方程 B9
35

【答案】 【解析】B

x2 ?
解析:因为当 x∈(-1,1)时,将函数化为方程

y2 ? 1? y ? 0 ? m2 ,为一个半椭圆,其图像

如图所示, 同时在坐标系中作出当 x∈(1,3)的图像, 再根据周期性作出函数其它部分的图像,

y2 x 2 y? ? x ? 4 ? ? 2 ? 1? y ? 0 ? 3 与第 二个椭 圆 m 由 图易知直 线 相交, 而与第 三个半 椭圆

? x ? 8? ?
2

y2 x y? ? 1? y ? 0 ? 2 3 代入 m 无公共点时,方程恰有 5 个实数解,将 y2 ?1 ?y ? 0 ? ? 9m2 ? 1? x 2 ? 72m2 x ? 135m2 ? 0 t ? 9m2 ?t ? 0? m2 得 ,令 ,则
2

? x ? 4?

2

?

?t ?1? x2 ? 8 t x?1 5 t ? 0由 ? ? ?8t ?

? 4 ?15t ? t ? 1? ? 0

2 ,得 t>15,所以 9m ? 15 ,又

y2 x 15 2 y? m? ? x ? 8 ? ? 2 ? 1? y ? 0 ? 3 与第三个椭圆 m 3 ,同样由 m>0,得 无交点,△<0,
? 15 ? m?? ? 3 , 7? ? ? ? ,所以选 B. 得 m ? 7 ,综上可知

【思路点拨】 一般遇到方程的根的个数或函数的图像的交点个数问题, 通常利用数形结合进 行解答.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 浙 江 省 杭 州 二 中 高 三 第 二 次 月 考 ( 201412 ) 】 11 、 函 数

?x ?1 f ( x) ? ? ?log 2 x

x?0 x?0

的所有零点所构成的集合为________. B9

【知识点】函数的零点问题 【答案】 【解析】

??1,1? 解析:因为当 x ? 0,

x ? 1 ? 0 解得 x ? ?1 ,因为当 x ? 0 时,

log2 x ? 0,解得 x ? 1 ,故答案为 ??1,1? .
【思路点拨】根据分段函数求解即可.

36

【数学文卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】17.(本小 题满分 12 分) 已 知函数

g ? x ? ? ax2 ? 2ax ?1? b ? a ? 0?

在 区间

?2,3? 上 有最小值

1 和最大值 4 ,设

f ? x? ?

g ? x? x .

(I)求 a、 b 的值; (II)若不等式

f ? 2x ? ? k ? 2x ? 0

在区间

??1,1? 上有解,求实数 k 的取值范围.

【知识点】二次函数在闭区间上的最值;函数的零点与方程根的关系.B5 B9

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

?a ? 1 ? ?b ? 0

(Ⅱ) ( ?? , 1]

解析: (Ⅰ) g ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? b ? a ,因为 a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [ 2 , 3] 上是增函
2

数,

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ? ? b?0 g ( 3 ) ? 4 ? 故 ,解得 ? .

…………………………6 分

(Ⅱ) 由已知可得
2

f ( x) ? x ?

1 1 ?2 2x ? x ? 2 ? k ? 2x x x f ( 2 ) ? k ? 2 ? 0 x 2 , 所以 ,可化为 ,

1 ?1 ? ? 1 ? 1 t ? ? , 2? 1? ? x ? ? 2 ? x ? k t? x 2 2 ?2 ? , ?2 ? 2 , 化为 , 令 则 k ? t ? 2t ? 1 , 因 x ? [?1 , 1] , 故
?1 ? t ? ? , 2? ? 2 ? ,故 h(t ) max ? 1 , 记 h (t ) ? t ? 2t ? 1 ,因为
2

所以 k 的取值范围是 ( ?? , 1] .
2

……………………12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)由函数 g ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? b ? a ,a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [ 2 , 3] 上

? g (2) ? 1 1 x ? 2 ? ? 2 ? k ? 2x x g ( 3 ) ? 4 ? 2 是增函数,故 ,由此解得 a、b 的值. (Ⅱ)不等式可化为 ,
?1 ? t ? ? , 2? ? 2 ? ,进而求出 h (t ) ? t 2 ? 2t ? 1 的最大值,从而求得 k 的取 故有 k ? t ? 2t ? 1 ,
2

值范围.

37

【数学文卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】15.已知函



f ? x?

?1? ?1 ? f ? x? ? 2 f ? ? ? ,3? x ? 1, 3 f x ? ln x . ? ? 时, ? ? ? x ? ,当 满足 在 区 间 ?3 ? 上 , 函 数
恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是__________.

g ? x? ? f ? x ? ? ax ? a?0?

【知识点】函数零点的判定定理.B9

1 ? a ? 6 ln 3 【答案】 【解析】 e

1 1 x ? [ ,1] ? [1,3] 3 时, x 解析:当 ,



1 1 f ( x) ? 2 f ( x ) ? 2 ln x ? ?2 ln x

.在坐标系内画出分段函数图象:

由题意可知:

a ? kOA ? 6ln 3 .当直线与曲线 f ( x) ? ln x 相切时,

k?
解得

1 1 1 ? a ? 6 ln 3 ? a ? 6 ln 3 e e ;所以 a 的取值范围是 .故答案为: e

【思路点拨】根据题意画出图形,结合

a ? kOA ? 6ln 3 .当直线与曲线 f ( x) ? ln x 相切时,

k?
可解得

1 e ;进而求出 a 的取值范围。

【数学文卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】6、错误!未找到引用源。 在区间 [0,2? ] 上的零点的个数为( A.1 B.2 C.3 【知识点】函数零点的判定定理.B9 ) D.4
x

【答案】 【解析】B

骣 1 琪 琪 f ( x) = 0 2 解析:令 ,则 桫

= sin x
,上的零点个数就转化为两个函

骣 1 y =琪 琪 2 桫 数

x

和 y = sin x 的交点问题,分别画出它们的图象:

38

由图知交点个数是 2.故选 B. 【思路点拨】利用函数的图象可以加强直观性,同时也便于问题的理解.本题先由已知条件 转化为确定

f ( x)

的解析式,再利用数形结合的方法判断方程根的个数.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 四 川 省 德 阳 市 高 三 第 一 次 诊 断 考 试 ( 201412 ) word 版 】

15

M ?

{a

f ( x)
? x-1

=2sinax



? ? ?? ? , ? ? 3 4? ?









N ? {b 方程3 数} M ? { a

? b ? 1 ? 0有实数解},设D ? M ? N

x?n 2 , 函数 f(x)= x ? m 是

定义在 R 上的奇函数,则下列命题中正确的是

(填出所有正确命题的序号)

3? ? 3? ? M ? ? ??, ? ?1, ? N ? ? 0, 2? 2 ? ? (1) (2) (3)D= ? 2 ? (4)n=0,m ? R (5)如果 f(x)在 D 上没有最小值,
3 那么 m 的取值范围是( 2 ,+ ? )
【知识点】函数的单调性与最值函数与方程 B9 B3 【答案】(3) (5)

? ? T 2? 【解析】 :∵M={a|函数 y=2sinax 在[- 3 , 4 ]上是增函数,可得 2 ≥ 3
2? 2? 3 3 且 a>0,即 2 a ≥ 3 ,解得 a≤ 2 ,故 M=,a|a≤ 2 }
∵N={b|方程 3-|x-1|-b+1=0 有实数解},所以可得 N={b|1<b≤2-

3 ∴D=M∩N=(1, 2 ]

39

x?n 2 ∵f(x)= x ? m 是定义在 R 上的奇函数 x x?n 2 ∴f(0)=0 可得 n=0∴f(x)= x ? m ,又 f(x)= x ? m 在 D 内没有最小值
2

1
x m x? x , ∴f(x)= x ? m =
2

3 若 m≤0,可得函数 f(x)在 D 上是减函数,函数在右端点 2 处取到最小值,不合题意 m x?n 2 若 m>0,令 h(x)=x+ x ,则 f(x)= x ? m
在 D 内没有最小值可转化为 h(x)在 D 内没有最大值,下对 h(x)在 D 内的最大值进行研 究:

m 2 由于 h′(x)=1- x ,令 h′(x)>0,可解得 x> m ,令 h′(x)<0,可解得 x< m ,
由此知,函数 h(x)在(0, m )是减函数,在( m ,+∞)上是增函数,

3 9 当 m ≥ 2 时,即 m≥ 4 时,函数 h(x)在 D 上是减函数,不存在最大值,符合题意 3 当 m ≤1 时,即 m≤1 时,函数 h(x)在 D 上是增函数,存在最大值 h( 2 ) ,不符合题意, 3 9 3 当 1< m < 2 时,即 1<m< 4 时,函数 h(x)在(1, m )是减函数,在( m , 2 ) 3 上是增函数,必有 h(1)>h( 2 )成立,才能满足函数 h(x)在 D 上没有最大值,即有

m 3 3 3 1+m> 2 + 2 ,解得 m> 2 .
x?n 2 【思路点拨】先确定出集合 MN 的范围,求出集合 D 的范围.再根据 f(x)= x ? m 在 D 内没
有最小值,对函数的最小值进行研究,可先求其导数,利用导数研究出函数的单调性,确定 出函数的最小值在区间 D 的左端点取到即可, 由于直接研究有一定困难, 可将函数变为 ( f x)
40

1
x m m x? x ,构造新函数 h(x)=x+ x ,将研究原来函数没有最小值的问题转化为新 = x ?m=
2

函数没有最大值的问题,利用导数工具易确定出新函数的最值,从而解出参数 m 的取值范 围. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分。

B10 函数模型及其运算 【数学(文)卷·2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】 19. (本小题满分 12 分) 某大型企业一天中不同时刻的用电量 y (单位:万千瓦时)关于时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位: 小时) 的函数 y ? f (t ) 近似地满足 f (t ) ? A sin(?t ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) , 下图 是该企业一天中在 0 点至 12 点时间段用电量 y 与时间 t 的大致图象.

(Ⅰ)根据图象,求 A , ? , ? , B 的值; ( Ⅱ ) 若 某 日 的 供 电 量 g (t ) ( 万 千 瓦 时 ) 与 时 间 t ( 小 时 ) 近 似 满 足 函 数 关 系 式

g (t ) ? ?1.5t ? 20 ( 0 ? t ? 12 ) .当该日内供电量小于该企业的用电量时,企业就必须停
产.请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻(精确度 0.1). 参考数据:

t (时)

10

11

12 2.5 2

11.5 2.48 2.75

11.25 2.462 3.125

11.75 2.496 2.375

11.625 2.490 2.563

11.6875 2.493 2.469

f (t ) (万千瓦时) 2.25 2.433
g (t ) (万千瓦时) 5
3.5

【知识点】函数模型及其应用 B10
41

A?
【答案】 【解析】 (Ⅰ)

? 1 ?? ,B ? 2 6 (Ⅱ)11.625 时 2 , T ? 12 ,

(Ⅰ)由图知 T ? 12 ,

??

?
6 .?????????????????????1 分

A?

ym a x ? ym i n 2.5 ? 1.5 1 y ? ymin 2.5 ? 1.5 ? ? B ? max ? ?2 2 2 2, 2 2 .?????2 分

y ? 0.5sin(


?
6

x ? ?) ? 2


y ? 0.5sin(
又函数

?
6

x ? ?) ? 2

过点 (0, 2.5) .

??
代入,得

?
2

? 2 k?

,又 0 ? ? ? ? ,∴

??

?
2 .?????????????2 分

A?
综上,

? 1 ? 1 ?? ?? B? 2, 2, 6, 2 . ???????????????1 分

f (t ) ?


1 ? ? sin( t ? ) ? 2 2 6 2 .

h(t ) ? 0 ,则 t 0 为该企业的停产时间. (Ⅱ)令 h(t ) ? f (t ) ? g (t ) ,设 0 t ? (11,12) . 由 h(11) ? f (11) ? g (11) ? 0 , h(12) ? f (12) ? g (12) ? 0 ,则 0 t ? (11.5,12) . 又 h(11.5) ? f (11.5) ? g (11.5) ? 0 ,则 0

t ? (11.5,11.75) . 又 h(11.75) ? f (11.75) ? g (11.75) ? 0 ,则 0 ,11.75) . ) ? f (11.625) ? g (11.625) ? 0 ,则 t0 ? (11.625 又 h(11.625 ) .?4 分 ) ? f (11.6875 ) ? g (11.6875 ) ? 0 ,则 t0 ? (11.625,11.6875 又 h(11.6875


11.6875?11.625 ? 0.0625? 0.1

. ?????????????????1 分

∴应该在 11.625 时停产.???????????????????????1 分 ( 也 可 直 接 由

h(11.625) ? f (11.625) ? g (11.625) ? 0



) ;答案在 11.625 h(11.6875 ) ? f (11.6875 ) ? g (11.6875 ) ? 0 ,得出 t0 ? (11.625,11.6875
—11.6875 之间都是正确的;若换算成时间应为 11 点 37 分到 11 点 41 分停产)
42

A?
【思路点拨】 (Ⅰ) 由三角函数图像可直接求)

? 1 ?? ,B ? 2 6, 2 , T ? 12 , 代点 (0, 2.5)

??
可求

?
2; (Ⅱ)理解二分法定义即可求解本题.

【数学理卷· 2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测 (201412) 】 9.函数 是定义在 R 上的偶函数,且满足

f ? x?

f ? x ? ? f ? x ? 2?,当x ??0,1?

时,

f ? x ? ? 2x

,若方程

ax ? a ? f ? x ? ? 0 ? a ? 0?
?1 ? ? ,1? A. ? 2 ?

恰有三个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是

B.

?0, 2?

C.

?1, 2?

D.

?1, ???
可得函数

【知识点】抽象函数及其应用.B10 【答案】 【解析】A 当 由 解析:由

f ? x ? ? f ? x ? 2?

f ? x?

的周期为 2,

x ? ?0,1? 时, f ? x ? ? 2 x ,又 f ? x ? 为偶函数,则当 x ? ? ?1,0? 时, f ? x ? ? ?2 x ,

ax ? a ? f ? x ? ? 0(a ? 0)



f ? x ? ? ax ? a

,作出

y ? f ? x?

和 y ? ax ? a 的图象,要

使方程

ax ? a ? f ? x ? ? 0(a ? 0)

恰有三个不相等的实数根,则由图象:

k ? a ? k AB ,由题意可得 A(﹣1,0) 可得直线 y ? ax ? a 的斜率必须满足 AC ,B(1,2) ,

C(3,2) ,则

k AC ?

1 1 ? a ?1 2 , k AB ? 1 .即有 2 .故选 A.
可得函数

【思路点拨】由 当

f ? x ? ? f ? x ? 2?

f ? x?

的周期为 2,

x ? ?0,1? 时, f ? x ? ? 2 x ,又 f ? x ? 为偶函数,则当 x ? ? ?1,0? 时, f ? x ? ? ?2 x ,

43



ax ? a ? f ? x ? ? 0(a ? 0)



f ? x ? ? ax ? a

,作出

y ? f ? x?

和 y ? ax ? a 的图象,要

使方程

ax ? a ? f ? x ? ? 0(a ? 0)

恰有三个不相等的实数根,则由图象可得有三个交点,即

必须满足

k AC ? a ? k AB ,运用斜率公式即可.

【数学文卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】20.(本小 题满分 13 分) 某公司为了变废为宝,节约资源,新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算, 该项目月处理成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函数关系可以近似地表示为:

?1 3 x ? 80 x 2 ? 5040 x, x ? ?120,144 ? ? ?3 y?? ? 1 x 2 ? 200 x ? 80000, x ? ?144,500 ? ? ?2 ,且每处理一吨生活垃圾,可得到能利用的生物
柴油价值为 200 元,若该项目不获利,政府将给予补贴. (I)当

x ??200,300?

时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,

则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (II)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? 【知识点】基本不等式在最值问题中的应用;函数模型的选择与应用.B10 E6 【答案】 【解析】 (Ⅰ) 5000 元; (Ⅱ) 400 吨

,300? 时,设该项目获利为 S ,则 解析: (Ⅰ)当 x ? ?200
1 1 S ? 200 x ? ( x 2 ? 200 x ? 80000 ) ? ? x 2 ? 400 x ? 80000 2 2
1 ? ? ( x ? 400 ) 2 2 .
??????????4 分

,300? 时, S ? 0 .因此,该项目不会获利. 所以当 x ? ?200
当 x ? 300 时, S 取得最大值 ? 5000 , 所以政府每月至少需要补贴 5000 元才能使该项目不亏损. (Ⅱ)由题意可知,生活垃圾每吨的平均处理成本为: ???6 分

?1 2 x ? 80x ? 5040 , x ? ?120,144? y ? ?3 ?? 80000 x ?1 x? ? 200, x ? ?144,500? ? x ?2 .

??????8 分
44

y 1 2 1 ? x ? 80 x ? 5040 ? ( x ? 120 ) 2 ? 240 . 3 当 x ? ?120,144? 时, x 3
y 所以当 x ? 120 时, x 取得最小值 240 ;

????????10 分

80000 1 80000 y 1 ? x? ? 200 ? 2 x ? ? 200 ? 200 144,500? 时, x 2 x 2 x . 当 x ??
y 1 80000 x? x ,即 x ? 400 时, x 取得最小值 200 . 当且仅当 2
因为 200 ? 240 ,所以当每月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低 . ??

13 分 【思路点拨】 (Ⅰ)先确定该项目获利的函数,再利用配方法确定不会获利,从而可求政府 每月至少需要补贴的费用; (Ⅱ)确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数,分别求出分段 函数的最小值,即可求得结论.

B11 导数及其运算

y?
【数学理卷·2015 届河南省洛阳市高三第一次统一考试(201412) 】10.曲线 在点

1 ( x ? 0) x

P( x0 , y0 ) 处的切线为 l .若直线 l 与 x,y 轴的交点分别为 A,B,则△OAB 的 周长的
D. 5 ? 2 7 E6

最小值为 A. 4 ? 2 2 B.

2 2

C.2

【知识点】导数的几何意义;基本不等式求最值. B11

y? ? ?
【答案】 【解析】A 解析:∵

1 1 l : y ? y0 ? ? 2 ( x ? x0 ) 2 2 x ? x0 y ? 2x0 ? 0 , x0 x ,∴ 即

2 4 2 2 l ? 2 x0 ? ? 4 x0 ? 2 ? 4?2 2 x0 x0 2x x 可得 A( 0 ,0),B(0, 0 ),∴△OAB 的周长 ,当且仅


x0 ? 1时等号成立.故选 A. x0 表示△

【思路点拨】由导数的几何意义得直线 l 的方程,从而求得 A 、B 的坐标,进而用 OAB 的周长,再用基本不等式求得周长的最小值.

45

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试(201412)word 版】5.等比数 列 A. 2
6

B. 2

9

C. 2

15

D. 2

12

【知识点】等比数列;积得导数公式. D3 B11 【答案】 【解析】D 解析:因为 又

a1 ? 2, a8 ? 4 ,

f ?( x) ? ? x ? a1 ?? x ? a2 ?
f ?(0) ? a1a2

? ? x ? a8 ? ? x ? ?? x ? a1 ?? x ? a2 ? ? x ? a8 ?? ?
4

所以

a8 ? ? a1a8 ? ? 84 ? 212

,故选 D.

【思路点拨】根据积得导数公式求解.

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试(201412)word 版】4.曲线 处的切线方程为 A. B. C. D.

【知识点】导数的几何意义. B11

y?
【答案】 【解析】A 解析:∵

x x?2? x 2 ? y? ? ? 2 x?2 ( x ? 2) ( x ? 2)2 ,∴曲线在点

(-1,-1)处切线的斜率为 2,∴所求切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,故选 A. 【思路点拨】根据导数的几何意义,得曲线在点(-1,-1)处切线的斜率,然后由点斜式得 所求切线方程.

【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】21.(本小 题满分 14 分) 已知二次函数

r ? x ? ? ax2 ? ? 2a ?1? x ? b

( a , b 为常数, a ? R, a ? 0, b ? R )的一个零点

2?


1 a .函数 g ? x ? ? ln x ,设函数 f ? x ? ? r ? x ? ? g ? x ? .

f ? x? (I)求 b 的值,当 a ? 0 时,求函数 的单调增区间;
?1 ? ? ,1? f ? x? (II)当 a ? 0 时,求函数 在区间 ? 2 ? 上的最小值;
(III)记函数

y ? f ? x?

图象为曲线 C,设点

A? x1, y1 ?,B ? x2 , y2 ?

是曲线 C 上不同的两点,

46

点 M 为线段 AB 的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N.判断曲线 C 在点 N 处的切线 是否平行于直线 AB?并说明理由. 【知识点】利用导数求函数的单调区间;利用导数求函数的极值.B11 B12

[f(x)]max
【答案】 【解析】 (Ⅰ) (1, ??) ; (Ⅱ) 曲线 C 在点 N 处的切线不平行于直线 AB .

?1 3 a ? ?1 ? 2 ? 4 a ? ln 2, ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ln(?2a), ? 1 ? a ? ? 2 ? 4a 1 ? ? ?a?0 ?1 ? a, 2 ? ; (Ⅲ)

2?
解析: (Ⅰ)由

1 2 a 是函数 r( x) ? ax ? (2a ? 1) x ? b 的零点可求得 b ? 0 . 1 2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? ? x x x ,

f ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a) ?

? 因为 a ? 0 , x ? 0 ,所以 2ax ? 1 ? 0 ,解 f ( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,
所以 f ( x) 的单调增区间为 (1, ??) ……………………4 分

? (Ⅱ)当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,得

x1 ? ?

1 2a , x2 ? 1,

1 1 ?1 ? ?a?0 ①当 2a ,即 2 时, f ( x) 在 (0,1) 上是减函数, ?
1 [ ,1] 所以 f ( x) 在 2 上的最小值为 f (1) ? 1 ? a . 1 1 1 ?? ?1 ?1 ? a ? ? 2a 2 时, ②当 2 ,即 1 1 1 [ ,? ] [ ? ,1] f ( x) 在 2 2a 上是减函数,在 2a 上是增函数, f (? 1 1 ) ? 1? ? ln( ?2a) 2a 4a .

所以 f ( x) 的最小值为

1 1 1 ? [ ,1] ③当 2 a 2 ,即 a ? ?1 时, f ( x) 在 2 上是增函数, ?

47

1 1 3 f ( ) ? ? a ? ln 2 2 4 所以 f ( x) 的最小值为 2 .

[f(x)]max
1 [ ,1] 综上,函数 f ( x) 在 2 上的最小值
……………………8 分

?1 3 a ? ?1 ? 2 ? 4 a ? ln 2, ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ln(?2a), ? 1 ? a ? ? 2 ? 4a 1 ? ? ?a?0 ?1 ? a, 2 ? ,
x1 ? x2 2 ,

M ( x0 , y0 ) ,则点 N 的横坐标为 (Ⅲ)设
k1 ?

x0 ?

直线 AB 的斜率

y2 ? y1 1 ? [a( x12 ? x2 2 ) ? (1 ? 2a)( x1 ? x2 ) ? ln x2 ? ln x1 ] x2 ? x1 x1 ? x2

? a( x1 ? x2 ) ? (1 ? 2a) ?

ln x2 ? ln x1 ] x1 ? x2 , k2 ? f ?( x0 ) ? 2ax0 ? (1 ? 2a ) ? 1 x0

曲线 C 在点 N 处的切线斜率

? a( x1 ? x2 ) ? (1 ? 2a) ?

2 x1 ? x2 ,

假设曲线 C 在点 N 处的切线平行于直线 AB ,则

k1 ? k2 ,

ln x2 ? ln x1 2 ?? x1 ? x2 x1 ? x2 , 即

所以

x2 ? 1) x2 2(x 2 ? x1 ) x1 ln ? ? x x1 x1 ? x2 1? 2 x1 2(

x2 2(t ? 1) ? t ?1 ln t ? x ? x2 , x1 1? t , ,不妨设 1 ,则

1 4 (t ? 1)2 2(t ? 1) ? g ( t ) ? ? ? ?0 g (t ) ? ln t ? (t ? 1) 2 2 t (1 ? t ) t (1 ? t ) 1 ? t 令 , ,
所以 g (t ) 在 (1, ??) 上是增函数,又 g (1) ? 0 ,所以 g (t ) ? 0 ,即 所以曲线 C 在点 N 处的切线不平行于直线 AB .

ln t ?

2(t ? 1) 1 ? t 不成立,

……………14 分

48

【思路点拨】 (Ⅰ)根据已知条件先求出 b,再对原函数求导,进而求出单调区间; (Ⅱ)对 a 进行分类讨论,最后求出最值即可; (Ⅲ)先求出直线 AB 的斜率以及曲线 C 在点 N 处的切 线斜率,再假设曲线 C 在点 N 处的切线平行于直线 AB ,则 可。

k1 ? k2 ,最后利用导数判断即

【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】6.等差数

f ? x? ? x ?a ? a , a 3 列 n 中的 1 4025 是函数
A.2 B.3 C.4 D.5

1

3

? 4x2 ? 6x ?1
的极值点,则

log 2 a2013 等于

【知识点】函数在某点取得极值的条件.B11 【答案】 【解析】A 解析:
f ?( x ) ? x 2 ? 8x ? 6

.因为

a1



a 4025

1 f ( x) ? x3 ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 3 是函数 的

2 ?a ? a ?a ?8 极值点,所以 a1 , a 4025 是方程 x ? 8 x ? 6 ? 0 的两实数根,则 1 4025 .而 n 为等差数列,所以

a1 ? a4025 ? 8 ? 2a 2013

,即 a2013 ? 4 ,从而 log 2 a2013 ? 2 ,选 A.

【思路点拨】 利用导数即可得出函数的极值点, 再利用等差数列的性质及其对数的运算法则 即可得出.

【数学理卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ,

g ( x) ?

1 2 ax ? bx 2 ( a ? 0 ).

(1) 若 a ? ?2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域上是增函数,求实数 b 的取值范围; (2) 在(1)的结论下,设函数 ? ( x) ? e
2x

? bex , x ?[0, ln 2],求函数? ( x) 的最小值;

(3) 设函数 f ( x) 的图象 C1 与函数 g ( x) 的图象 C 2 交于点 P 、 Q ,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1 、C 2 于点 M 、 N ,问是否存在点 R ,使 C1 在 M 处的切线与 C 2 在

N 处的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;两条直线平行的 判定.B11 B12G4

b ? 1. 当 【答案】 【 解 析 】 (1) (??,2 2 ]. (2) 当 ? 2 ? b ? 2 2时, ? ( x)的最小值为
? 4 ? b ? ?2时, ? ( x)的最小值为? b2 . 4 ? 2b (3) C1 在点 4 当b ? ?4时, ? ( x)的最小值为
49

M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 解析: (1)依题意: h( x) ? ln x ? x ? bx.
2

∵ h( x)在(0,??) 上是增函数,

h( x ) ?


1 ? 2 x ? b ? 0对x ? (0,?? ) x 恒成立,

b?


1 1 ? 2 x. x ? 0, 则 ? 2 x ? 2 2 . x x ∵ ∴b 的取值范围为 (??,2 2 ].
x 2

…………4 分

b b2 y ? (t ? )2 ? y ? t ? bt, t ? [1,2] ,即 2 4 , (2)设 t ?e , 则函数化为
b ? 1, 即 ? 2 ? b ? 2 2时, 函数 y在[1,2] ∴当 2 上为增函数,当 t=1 时, y min ? b ? 1. ?

1? ?


b2 b b ? 2, 即 ? 4 ? b ? ?2时,当t ? ? 时, y min ? ? ; 2 2 4

…………7 分

b ? 2, 即b ? ?4时, 函数y在[1, 2] y ? 4 ? 2b. 当 2 上为减函数,当 t=2 时, min ?

b ? 1. 综上所述,当 ? 2 ? b ? 2 2时, ? ( x)的最小值为
b2 ? 4 ? b ? ?2时, ? ( x)的最小值为? . 4 当

当b ? ?4时, ? ( x)的最小值为 4 ? 2b
(3)设点 P、Q 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),且0 ? x1 ? x2 .

………8 分

x?
则点 M、N 的横坐标为

x1 ? x 2 . 2
2 . x1 ? x2
k2 ? a ( x1 ? x 2 ) ? b. 2

k1 ?
C1 在 M 处的切线斜率为

C2 在点 N 处的切线斜率

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k 2 ,

a( x1 ? x2 ) 2 ? ? b. x ? x2 2 即 1

50

2 2( x2 ? x1 ) a( x2 ? x12 ) a 2 ? ? b( x2 ? x1 ) ? ( a x 2 ? bx 2 ) ? ( x12 ? bx1 ) x ? x 2 2 2 2 则 1

? y2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1

? ln

x2 x1 ,

x2 ? 1) x 2 2( x 2 ? x1 ) x1 ? ln ? ? x x1 x1 ? x 2 1? 2 x1 2(
u?


x2 2(u ? 1) ? 1, 则 ln u ? ,u ?1 x1 1? u …………………………①

1 4 (u ? 1) 2 2(u ? 1) ? r ( u ) ? ? ? . r (u ) ? ln u ? , u ? 1. 2 2 u ( u ? 1 ) u ( u ? 1 ) 1 ? u 令 则
∵u ? 1

? ∴ r (u) ? 0.

所以 r (u)在[1,??) 上单调递增,故 r (u) ? r (1) ? 0 , 则 这与①矛盾,假设不成立, 故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.

ln u ?

2(u ? 1) u ?1 ,
.……13 分

【思路点拨】(1) 根据 a ? ?2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域内是增函数,知道 h′(x)在其定义域内大于等于零,得到一个关于 b 的不等式,解此不等式即得 b 的取值范 围;(2) 先设 t=ex,将原函数化为关于 t 的二次函数,最后将原函数 φ(x)的最小值问题转 化成二次函数在某区间上的最值问题即可; (3) 先假设存在点 R,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的切线平行,利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程,后利用 斜率相等求出 R 的横坐标,如出现矛盾,则不存在;若不出现矛盾,则存在.

【数学理卷· 2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考( 201412 ) 】 9 . 已知二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f / ( x) , f / (0) ? 0 ,对于任意的实数 x 都有 f ( x) ? 0 ,则
f (1) f / (0) 的最小值为(
3 A. 2



B.

2

5 C. 2

D. 3

【知识点】导数的运算.B11 【答案】 【解析】B 解析:∵f'(x)=2ax+b,∴f'(0)=b>0;
51

∵对于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 ,∴a>0 且 b2﹣4ac≤0, ∴b2≤4ac,∴c>0;

f (1) a + b + c a + c 2 ac = = +1 ? 1 2 / b b b ∴ f (0) ,
当 a=c 时取等号.故选 C. 【思路点拨】先求导,由 f′(0)>0 可得 b>0,因为对于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 ,所

f (1) a + b + c a + c = = +1 / b b 以结合二次函数的图象可得 a>0 且 b2﹣4ac≤0,又因为 f (0) ,利用
均值不等式即可求解.

【数学文卷·2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考(201412) 】21.(本小题满分 14 分)

f ( x ) ? ln
已知函数

x a.

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线为 x ? y ? 1 ? 0 ,求 a 的值;

x?a
(2)设 g ( x) ? 方; (3)当 a ? 1 时,设 h( x) ? f ( x) ? e[1 ?

ax , a ? 0 ,证明:当 x ? a 时, f ( x) 的图象始终在 g ( x) 的图象的下

x ? g ( x)] , ( e 为自然对数的底数) , h' ( x ) 表示

h( x) 导函数,求证:对于曲线 C 上的不同两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ,存在唯一的
x 0 ? ( x1 , x2 ) ,使直线 AB 的斜率等于 h' ( x0 ) .
【知识点】导数,导数应用 B11 B12 【答案】 【解析】 (1) a ? 1 (2)略(3)略

f '( x) ?
解析:(1)

1 1 f (1) ? ln x ,此时 f '(1) ? 1 ,又 a ,所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处 1 1 ?0 ?1 ? ln ? ?1 a a ,由题意得, , a ? 1 . ……… 3 分

x ? y ? 1 ? ln
的切线方程为

? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ln a ?
(2)

x?a ax

, ( x ? a).


? ?( x) ? ?

( x ? a )2 ? 0. 2 x ax

52

? ? ( x) 在 (0,??) 单调递减,且 ? (a) ? 0.

? 当 x ? a 时, ? ( x) ? ? (a) ? 0, 即 f ( x) ? g ( x) , ? 当 x ? a 时, f ( x) 的图像始终在 g ( x) 的图象的下方.
(3)由题得, h( x) ? ln x ? ex , …………… 7分

h '( x ) ?

1 ?e x ,

x2 ? x1 x ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) 1 ? ln 2 ? 0 ?e ? h' ( x0 ) ? k AB ,∴ x0 x0 x1 x2 ? x1 ∵ ,∴ ,

x0 ln


x2 ? ( x2 ? x1 ) ? 0 x1 ,

………………………………………9 分

? ( x) ? x ln


x2 ? ( x2 ? x1 ) x1 ,则 ? ( x) 是关于 x 的一次函数, 故要在区间 ( x1 , x 2 ) 证明存在唯

一性,只需证明 ? ( x) 在区间 ( x1 , x 2 ) 上满足 ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? 0 .下面证明之:

? ( x1 ) ?

x1 ln

x2 x ? ( x2 ? x1 ) x2 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) x1 x1 , ? ( x2 ) ? ,

为了判断 ? ( x1 ),? ( x2 ) 的符号,可以分别将 x1 , x 2 看作自变量得到两个新函数 ? ( x1 ),? ( x2 ) , 讨论他们的最值:

? ( x1 ) ?

x1 ln

x2 x ? ( x2 ? x1 ) ln 2 ? 0 ' x1 x1 ,将 x1 看作自变量求导得 ? ( x1 ) ? ,

? ? ( x1 ) 是 x1 的增函数,
∵ x1 ? x2 ,∴ ? ( x1 ) ? ? ( x2 )

? x2 ln

x2 ? ( x2 ? x2 ) ? 0 x2 ;………..11 分

同理: ? ( x2 ) ?

x2 ln

x2 x ? ( x2 ? x1 ) ln 2 ? 0 ' x1 x1 ,将 x2 看作自变量求导得 ? ( x2 ) ? ,

? ? ( x2 ) 是 x2 的增函数,
∵ x1 ? x2 ,∴ ? ( x2 ) ? ? ( x1 )

? x1 ln

x1 ? ( x1 ? x1 ) ? 0 x1 ;∴ ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? 0 ,

? ( x) ? x ln
∴函数

x2 ? ( x2 ? x1 ) x x1 在 ( x1 , x2 ) 内有零点 0 ,……………..13 分
53

x x2 x ? ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) ? 1,? ln 2 ? 0 x x1 x1 又 1 ,函数 在 ( x1 , x2 ) 是增函数,

? ( x) ? x ln
∴函数

x2 ? ( x2 ? x1 ) x x1 在 ( x1 , x2 ) 内有唯一零点 0 ,从而命题成立.

……14 分

【思路点拨】 (1)由题意直接求解即可; (2)要证当 x ? a 时, f ( x) 的图象始终在 g ( x) 的 图象的下方,就是证明当 x ? a 时, f ( x) ? g ( x) ;

? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ln a ?


x?a ax

, ( x ? a).

,由导数易得 ? ( x) 在 (0,??) 单调递

减,且 ? (a) ? 0. ? 当 x ? a 时, ? ( x) ? ? (a) ? 0, 即 f ( x) ? g ( x) 得证.

(3) h( x) ? ln x ? ex ,

h '( x ) ?

x 1 x0 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ?e h' ( x0 ) ? k AB ,得 x1 x ,∵ ,

? ( x) ? x ln


x2 ? ( x2 ? x1 ) x1 ,则 ? ( x) 是关于 x 的一次函数, 故要在区间 ( x1 , x 2 ) 证明存在唯

一性,只需证明 ? ( x) 在区间 ( x1 , x 2 ) 上满足 ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? 0 .

【数学文卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】21.(本小 题满分 14 分)

已知函数

f ? x ? ? ? 2 ? a ? ln x ?

1 ? 2ax ? a ? R ? x .

f ? x? (I)当 a ? 0 时,求 的极值;
(II)当 a ? 0 时,求 ( III ) 若 对

f ? x?


的单调区间; 意

a ? ? ?3, ?2?







x1, x2 ??1,3?







? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立,求实数 m 的取值范围.
【知识点】 利用导数求闭区间上函数的最值; 函数恒成立问题; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值.B11 B12

1 f ( ) ? 2 ? 2 ln 2, 【答案】 【解析】 (Ⅰ)极小值为 2 无极大值.(Ⅱ)当 a ? ?2 时, f ( x) 的递

54

1 1 1 1 (0, ? ) ( , ??) (? , ) a 和 2 减区间为 ,递增区间为 a 2 ;当 a = ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调 1 1 1 1 (0, ) (? , ??) ( ,? ) 2 和 a , 递增区间为 2 a (Ⅲ)

递减; 当 ?2 ? a ? 0 时,f ( x) 的递减区间为

m??

13 . 3

1 2 1 2x ?1 f ( x) ? 2 ln x ? ( x ? 0) f ?( x) ? ? 2 ? x x x x2 . 解析: (Ⅰ)当 a ? 0 时, ,
? 令 f ( x) ? 0 ,得
上递增,

x?

1 1 1 1 , (0, ) ( , ??) 0? x? ? f ( x ) ? 0 f ( x ) 2 令 2 上递减,在 2 2 ,即 ,得 在

1 f ( ) ? 2 ? 2 ln 2, 所以 f ( x) 的极小值为 2 无极大值.

2

???????4 分 )



1 1 2a( x ? )( x ? ) a 2?a 1 2ax ? (2 ? a) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) 2 f ?( x) ? ? 2 ? 2a ? ? ? 2 x x x x x ,
1 1 ? , a 2 即 a ? ?2 时, 当 ?
? 令 f ( x) ? 0 , 得

0? x??

1 1 1 1 x? ? ?x? ; 2 .令 f ?( x) ? 0 得 a a或 2

1 1 ? , 当 a 2 即 ?2 ? a ? 0 时, ?
? 令 f ( x) ? 0 , 得

0? x?

1 1 1 1 或x ? ? ?x?? ; ? f ( x ) ? 0 2 a ,令 a , 得2

当 a = ? 2 时,

f ?( x) ? ?

(2 x ? 1) 2 ?0 x2 .

1 1 1 1 (0, ? ) ( , ??) (? , ) a 和 2 综上所述,当 a ? ?2 时, f ( x) 的递减区间为 ,递增区间为 a 2 ;
当 a = ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减;

55

1 1 1 1 (0, ) (? , ??) ( ,? ) 2 和 a 当 ?2 ? a ? 0 时, f ( x) 的递减区间为 ,递增区间为 2 a .?9 分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 a ? (?3, ?2) 时, f ( x) 在区间 [1,3] 上单调递减. 当 x ? 1 时, f ( x) 取得最大值;当 x ? 3 时, f ( x) 取得最小值.

1 ? ? 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (3) ? (1 ? 2a) ? ?(2 ? a) ln 3 ? ? 6a ? ? ? 4a ? (a ? 2) ln 3 3 ? ? 3 .
因为

(m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

恒成立,

(m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ?


2 2 ? 4a ? ( a ? 2) ln 3 ma ? ? 4a 3 3 ,整理得 ,

又 a ? 0, 所以

m?

2 ?4 3a 恒成立. ?

13 2 38 13 ? ?4? ? , m?? . 9 所以 3 ??????14 分 由 ?3 ? a ? ?2,得 3 3a
1 f ( x) ? 2 ln x ? ( x ? 0) x 【思路点拨】 (Ⅰ)当 a ? 0 时, ,求导,令 f′(x)=0,解方程,
分析导数的变化情况,确定函数的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,求导,对导数因式分解,比较两

) 恒有 根的大小,确定函数 f(x)单调区间; ( Ⅲ ) 若 对 任 意 a ? ( ?3 , ? 2 ,

(m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
可求实数 m 的取值范围.

成立,求函数 f(x)的最大值和最小值,解不等式,

【数学文卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】13.已知函 数

f ? x ? ? ?x3 ? ax ? 4 ? a ? R?

,若函数

y ? f ? x?

的图象在点

P ?1, f ?1? ?

处切线的倾斜角

? 为 4 ,则 a ? ___________.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.B11

【答案】 【解析】 4

解析: 由题意, 函数在点 P 处的切线斜率是

k ? tan

? ?1 ?( ) 1 ? , 4 , 即f 1

56

? 又 f ( x) ? ?3x ? a ,
2

? 所以 f (1) ? ?3 ? a ? 1 ,即 a ? 4 .故答案为:4.
【思路点拨】先求出函数 f(x)的导函数,然后根据函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线 的斜率等于 1,建立关于 a 的方程,解之即可.

【数学文卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】21、 (本题满分 13 分)

f ( x) ? (2 ? a) ln x ?
已知函数

1 ? 2 ax( a ? R). x

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值; (2)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (3)若对任意当 a ? ( ?3, ?2) 及

x1 , x2 ?[1,3] ,恒有 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成

立,求实数 m 的取值范围. 【知识点】 利用导数求闭区间上函数的最值; 函数恒成立问题; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值.B11 B12 【答案】 【解析】(1) f ( x) 的极小值为 2 ? ln 2, 无极大值;(2) 当 a ? ?2 时, f ( x) 的递减区

1 1 1 1 (0, ? ) ( , ??) (? , ) a 和 2 间为 , 递增区间为 a 2 ; 当 a = ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减;
1 1 1 1 (0, ) (? , ??) ( ,? ) 2 和 a 当 ?2 ? a ? 0 时 , f ( x ) 的 递 减 区 间 为 , 递 增 区 间 为 2 a ; (3)

m?

13 3 .

? ?) , 解析: (1)依题意知 f ( x) 的定义域为 (0,

1 2 1 2x ?1 f ( x) ? 2 ln x ? , f ?( x) ? ? 2 ? , x x x x2 当 a ? 0 时,
? 令 f ( x) ? 0 ,解得

x?

1 1 1 , 0? x? x? 2 当 2 时, f ?( x) ? 0 . 2 时, f ?( x) ? 0 ;当

1 f ( ) ? 2 ? ln 2, 又∵ 2 ∴ f ( x) 的极小值为 2 ? ln 2, 无极大值.??????(3 分)

57

f ?( x) ?
(2)

2?a 1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? 2 ? 2a ? . x x x2
?

1 1 1 1 x? ? , 0? x?? ? f ( x ) ? 0 2, a或 当 a ? ?2 时, a 2 令 得

1 1 1 1 ? ? , ?x? ; ? 2 当 ?2 ? a ? 0 时,得 a 2 令 f ( x) ? 0 得 a

?

? 令 f ( x) ? 0 得

0? x?

1 1 1 1 或x ? ? ?x?? ; ? 2 a ,令 f ( x) ? 0 得 2 a

当 a = ? 2 时,

f ?( x) ?

(2 x ? 1) 2 ? 0, x2

1 1 1 1 (0, ? ) ( , ??) (? , ) a 和 2 综上所述,当 a ? ?2 时, f ( x) 的递减区间为 ,递增区间为 a 2 ;
当 a = ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减;

1 1 1 1 (0, ) (? , ??) ( ,? ) 2 和 a 当 ?2 ? a ? 0 时, f ( x) 的递减区间为 ,递增区间为 2 a .?(8 分)
(3)由(2)可知,当 a ? (?3, ?2) 时, f ( x) 在区间 [1,3] 上单调递减; 当 x=1 时, f ( x) 取得最大值;当 x=3 时, f ( x) 取得最小值;

1 ? ? 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (3) ? (1 ? 2a) ? ?(2 ? a) ln 3 ? ? 6a ? ? ? 4a ? ( a ? 2) ln 3, 3 ? ? 3

(m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ?

恒成立,

2 2 ma ? ? 4a ? 4a ? (a ? 2) ln 3 3 3 ,整理得 ,

a ? 0, ?m ?

2 13 2 38 ?4 ?3 ? a ? ?2, ?? ? ?4? ? , 3a 3 3a 9 恒成立,

?m ? ?

13 . 3 ????????????????????????(13 分)

1 2 1 2x ?1 f ( x) ? 2 ln x ? , f ?( x) ? ? 2 ? , x x x x2 【思路点拨】(1) 当 a ? 0 时,

58

? 令 f ( x) ? 0 ,令 f′(x)=0,解方程,分析导数的变化情况,确定函数的极值;(2) 当 a
<0 时,求导,对导数因式分解,比较两根的大小,确定函数 f(x)单调区间;(3) 若对任 意 a ? (?3, ?2) 及

x1 , x2 ?[1,3] ,恒有 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求函数

f ( x) 的最大值和最小值,解不等式,可求实数 m 的取值范围.

【数学文卷· 2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考 (201412) 】 11、 函数 f ( x) ? e ( x ? 1)
x

图象在点 ?0, f ?0 ?? 处的切线方程是

.

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.B11 【答案】 【解析】 y ? 2 x ? 1 解析:由 f ( x) ? e ( x ? 1) ,得
x

f? ( x) = ex ( x +1) +ex = ( x + 2) ex

? ,∴ f (0) = 2 ,又 f(0)=1,

x y - 1= 2 x - 0 ∴函数 f ( x) ? e ( x ? 1) 图象在点 ?0, f ?0 ?? 处的切线方程是 ,

(

)

即 y ? 2 x ? 1 .故答案为: y ? 2 x ? 1 .

? 【思路点拨】求出原函数的导函数,得到 f (0) = 2 ,再求出 f(0) ,由直线方程的点斜式
得答案.

B12 导数的应用 【数学理卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) 】22、 (本小题满分 12 分)

f ? x ? ? x3 ? 3x2 ? 3ax ? 3a ? 3 a ? R 已知 ,函数
(Ⅰ)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)当 x ? [0,2]时,求|f(x)|的最大值. 【知识点】导数的应用 B12

f ? x ? max
【答案】 【解析】 (Ⅰ)y=(3a-3)x-3a+4; (Ⅱ)

? ?3 ? 3a, a ? 0 ? 3 ? ? ?1 ? 2 ?1 ? a ? 1 ? a , 0 ? a ? 4 ? 3 ? 3a ? 1, a ? ? ? 4

解析: (Ⅰ)因为 f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3,所以 f′(x)=3x2-6x+3a,故 f′(1)=3a-3, 又 f(1)=1,所以所求的切线方程为 y=(3a-3)x-3a+4;
59

(Ⅱ)由于 f′(x)=3(x-1)2+3(a-1) ,0≤x≤2. 故当 a≤0 时,有 f′(x)≤0,此时 f(x)在[0,2]上单调递减, 故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3-3a. 当 a≥1 时,有 f′(x)≥0,此时 f(x)在[0,2]上单调递增, 故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3a-1. 当 0<a<1 时,由 3(x-1)2+3(a-1)=0,得

x1 ? 1? 1? a , x2 ? 1? 1? a .

所以,当 x∈(0,x1)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(x2,2)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 所以函数 f(x)的极大值

f ? x1 ? ? 1? 2 ?1? a ? 1? a

,极小值

f ? x1 ? ? 1? 2 ?1? a ? 1? a



故 f(x1)+f(x2)=2>0,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 ?1 ? a ? 1 ? a ? 0

.从而 f(x1)>|f(x2)|.

所以|f(x)|max=max{f(0) ,|f(2)|,f(x1)}.

2 当 0<a< 3 时,f(0)>|f(2)|.

f ? x1 ? ? f ? 0 ? ? 2 ?1 ? a ? 1 ? a ? ? 2 ? 3a ? ?
又 故

2 ?1 ? a ? 1 ? a ? ? 2 ? 3a ?

a 2 ? 3 ? 4a ?

?0
,

f ? x ?max ? f ? x1 ? ? 1? 2 ?1? a ? 1? a



2 ? a ?1 3 当 时,|f(2)|=f(2) ,且 f(2)≥f(0) .

f ? x1 ? ? f ? 2 ? ? 2 ?1 ? a ? 1 ? a ? ? 3a ? 2 ? ?


2 ?1 ? a ? 1 ? a ? ? 3a ? 2 ?

a 2 ? 3 ? 4a ?



2 3 ?a? 4 时,f(x1)>|f(2)|.故 f ? x ?max ? f ? x1 ? ? 1? 2 ?1? a ? 1? a . 所以当 3 3 ? a ?1 f ? x ?max ? f ? 2 ? ? 3a ? 1 当4 时,f(x1)≤|f(2)|.故 .

f ? x ? max
综上所述

? ?3 ? 3a, a ? 0 ? 3 ? ? ?1 ? 2 ?1 ? a ? 1 ? a , 0 ? a ? 4 ? 3 ? 3a ? 1, a ? ? ? 4

【思路点拨】 (Ⅰ)求出原函数的导函数,求出函数取 x=1 时的导数值及 f(1) ,由直线方程 的点斜式写出切线方程; (Ⅱ)求出原函数的导函数,分 a≤0,0<a<1,a≥1 三种情况求|f
60

(x)|的最大值.特别当 0<a<1 时,仍需要利用导数求函数在区间(0,2)上的极值,然 后在根据 a 的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 辽 宁 省 沈 阳 二 中 高 三 12 月 月 考 ( 201412 ) 】 15 . 已 知 函 数

f ? x ? ? a ln ? x ? 1? ? x 2

,在区间

? 0,1?

内 任 取 两 个 实 数 p, q , 且 p ? q , 若 不 等 式

f ? p ? 1? ? f ? q ? 1? ?1 p?q 恒成立,则实数 a 的取值范围为
【知识点】函数的单调性 导数的应用 B3 B12 【答案】 【解析】[15,+∞)



f ? p ? 1? ? f ? q ? 1? ?1 p?q 解析:因为 p ≠ q ,不妨设 p > q , , 所以 f(p+1)-f(q+1) > p-q, 得
[f(p+1)-(p+1)]-[f(q+1)-(q+1)] >0 因为 p>q,所以 p+1>q+1,所以 g(x)=f(x+1)-(x+1)在(0,1)

a ? 2 ? x ? 1? ? 1 ? 0 内是增函数,所以 g ’(x) ≥0 在(0,1)内恒成立,即 x ? 2 恒成立,所以 a≥
(2x+3)(x+2)的最大值, 因为 (2x+3)(x+2)在(0,1)上的最大值为 15, 所以实数 a 的取值范围为[15, +∞). 【思路点拨】 结合函数的单调性定义把不等式恒成立转化为函数的单调性问题, 利用导数解 答即可.

【数学理卷·2015 届河南省洛阳市高三第一次统一考试(201412) 】22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x
m

(1)若函数 f ( x) 为 (0, ??) 上的单调函数,求实数 m 的取值范围;

(1 ? sin1)(1 ? sin
(2)求证:

1 1 1 )(1 ? sin 2 ) ? ? ? (1 ? sin 2 ) ? e2 2 2 3 n .
B12 E7

【知识点】导数的应用;放缩法证明不等式. 【答案】 【解析】(1) m≤1;(2)证明:见解析.

f ( x) ? m ln(1 ? x) ? x,? f ?( x) ?
解析: (1)

m ?1 1? x ,

? 0, ?? ? 上为单调函数, ∴ f ?( x) ? 0 恒成立,或 f ?( x) ? 0 恒成立.---2 分 ∵ f ( x) 在
m m ?1 ?1 即 1? x 恒成立,或 1 ? x 恒成立.

61



x ? ? 0, ??? ,?m ? 1 ? x

不能恒成立.

而 1+x>1, ∴m≤1 时 f(x)为单调递减函数. 综上,m≤1.-------4 分 (2)由(1)知,m=1 时 f(x)在 ∴f(x)<f(0),即 ln( x ? 1) ? x ,

? 0, ?? ? 上为减函数,
-------6 分

x ? ? 0, ???

sin1,sin


1 , 22

sin

1 ?0 n2 ,

∴ ln(1 ? sin1) ? sin1,

ln(1 ? sin

1 1 ) ? sin 2 2 2 2 1 1 ) ? sin 2 2 n n --------8 分

ln(1 ? sin

g ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ) 2 ,则 g ?( x) ? cos x ? 1 ? 0 , 令 (0, ) 2 为减函数,

?

?

∴ g ( x) 在

(0, ) 2 , ∴g(x)<g(0),.即 sinx<x,x∈ sin1 ? 1,sin


?

1 1 ? 2, 2 2 2

,sin

1 1 ? 2 2 n n .-------10 分

ln(1 ? sin1) ? ln(1 ? sin


1 )? 22

? ln(1 ? sin

1 ) n2

? sin1 ? sin

1 ? 22

? sin

1 1 ? 1? 2 ? 2 2 n
?(

?

1 ? 1? 1 ? 1 ? 1? 2 2 ? 3 n2

?

1 (n ? 1)n

1 1 1 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3

1 1 1 ? ) 2? ? 2 n ?1 n = n

? 1? ? ln ??1 ? sin1? ?1 ? sin 2 ? 2 ? ? 即 ?

1 ?? ? ?1 ? sin 2 ?? ? 2 n ?? ? .

62



?1 ? sin1? ? ?1 ? sin
?

1? ? 22 ?

1? 2 ? ?1 ? sin 2 ? ? e n ? ? .--------12 分

? ? 【思路点拨】(1)由 f ( x) 为 (0, ??) 上的单调函数得, f ( x) ? 0 恒成立,或 f ( x) ? 0 恒成
立. 然后采用分离常数法求得实数 m 的取值范围; (2)由(1)知,m=1 时 f(x)在 为减函数,∴f(x)<f(0),即 ln( x ? 1) ? x ,

? 0, ?? ? 上

x ? ? 0, ???

sin1,sin


1 , 22

sin

1 ?0 n2 ,

∴ ln(1 ? sin1) ? sin1,

ln(1 ? sin

1 1 ) ? sin 2 2 2 2 , ,sin

ln(1 ? sin


1 1 ) ? sin 2 2 n n .

? 1 1 (0, ) sin1 ? 1,sin 2 ? 2 , 2 ,∴ 2 2 ∴sinx<x,x∈
ln(1 ? sin1) ? ln(1 ? sin


1 1 ? 2 2 n n .

1 )? 22

? ln(1 ? sin

1 ) n2

? sin1 ? sin

1 ? 22

? sin

1 1 ? 1? 2 ? 2 2 n
?(

?

1 ? 1? 1 ? 1 ? 1? 2 2 ? 3 n2

?

1 (n ? 1)n

1 1 1 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3

1 1 1 ? ) 2? ? 2 n ?1 n = n

? 1? ? ln ??1 ? sin1? ?1 ? sin 2 ? 2 ? ? 即 ?

1 ?? ? ?1 ? sin 2 ?? ? 2 n ?? ? .



?1 ? sin1? ? ?1 ? sin
?

1? ? 22 ?

1? 2 ? ?1 ? sin 2 ? ? e n ? ?

【典例剖析】一般情况下,一个大题的几个小问题是相互关联的,本题第二问的证明,如何

(0, ) 2 ,是本题的关键. 利用第一问的结论,及不等式 sinx<x,x∈

?

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试(201412)word 版】21. (本小 题满分 12 分) 已知 (1)若 (2)若 的单调减区间是 求实数 a 的值;

对于定义域内的任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
63

(3)设 h(x)有两个极值点 【知识点】导数的应用. B12

,且

的最大值.

? ln 2 ??,1? ? 4 【答案】 【解析】(1)3; (2) ; (3) .
解析: (1)依题意得 h( x) ? x ? ax ? ln x,( x ? 0) ,则
2

3

h?( x) ?

2 x 2 ? ax ? 1 ( x ? 0) x .

?1 ? 1 h?(1) ? h?( ) ? 0 ? ,1? 2 要使 h(x)的单调减区间是 ? 2 ? ,则 ,解得 a=3.

h?( x) ?
另一方面当 a=3 时,

2 x 2 ? 3 x ? 1 ? 2 x ? 1?? x ?1? ? ( x ? 0) x x

?1 ? ?1 ? x ? ? ,1? ? ,1? ? h ( x ) ? 0 2 ? ? 由 解得 ,即 h(x)的单调减区间是 ? 2 ? .
综上所述 a=3. -----2 分

x 2 ? ax ? ln x( x ? 0),? a ? x ?
(2)由题意得

ln x ( x ? 0) x ,

? ( x) ? x ?

2

x 2 ? ln x ? 1 ln x ( x ? 0) ? ?( x) ? x x2 ,则

? 0, ?? ? 上是正数,且 x=1 时,y=0 . ∵ y ? x ? ln x ? 1 在 ?1, ??? 时 ? ?( x) ? 0 , ? ∴当 x∈(0,1)时 ? ( x) ? 0 ;当 x∈
∴ ? ( x) 在(0,1)内是减函数,在 ∴

?1, ??? 是增函数.
a ? ? ??,1?
-------6 分

?min ( x) ? ? (1) ? 1,? a ? 1
2



(3)由题意得 h( x) ? x ? ax ? ln x,( x ? 0) ,则

h?( x) ?

2 x 2 ? ax ? 1 ( x ? 0) x .

? 1? x1 ? ? 0, ? x ,x ? 2? ∴方程 2x ? ax ? 1 ? 0( x ? 0) 有两个不相等的实根 1 2 ,且
2

1 1 x1 x2 ? ,? x2 ? ? ?1, ?? ? 2 ax ? 2x12 ? 1, ax2 ? 2x2 ?1 2 2 x1 又∵ ,且 1

2 h( x1 ) ? h( x2 ) ? ? x12 ? ax1 ? ln x1 ? ? ? x2 ? ax2 ? ln x2 ?

64

2 2 2 ? ? 2 ? ?? ? x1 ? ? 2 x1 ? 1? ? ln x1 ? ? ? x2 ? ? 2 x2 ? 1? ? ln x2 ?
2 ? x2 ? x12 ? ln

x1 1 2 2 ? x2 ? 2 ? ln 2 x2 ( x2 ? 1) x2 4 x2 ------10 分
2

2 x 2 ? 1? ? 1 2 ? ?( x) ? ? 0( x ? 1) ? ( x) ? x ? 2 ? ln 2 x ( x ? 1) 2 x3 4x 设 ,则 ,
2

∴ ? ( x) 在

?1, ???

内是正数,∴

? ( x2 ) ? ? (1) ?

3 3 ? ln 2 h( x1 ) ? h( x2 ) ? ? ln 2 4 4 ,即 ,

m?


3 3 ? ln 2 ? ln 2 4 ,所以 m 的最大值为 4 .-------12 分

【思路点拨】 (1)由导数与函数单调性的关系求 a 值; (2)分离常数法求参数范围;

(3)因为 h(x)有两个极值点

x1 , x2 ,而

h?( x) ?

2 x 2 ? ax ? 1 ( x ? 0) x .

? 1? x1 ? ? 0, ? x ,x ? 2? ∴方程 2x ? ax ? 1 ? 0( x ? 0) 有两个不相等的实根 1 2 ,且
2

1 1 x1 x2 ? ,? x2 ? ? ?1, ?? ? 2 ax ? 2x12 ? 1, ax2 ? 2x2 ?1 2 2 x 1 又∵ ,且 1
从而
2 h( x1 ) ? h( x2 ) ? ? x12 ? ax1 ? ln x1 ? ? ? x2 ? ax2 ? ln x2 ?

2 2 2 ? ? 2 ? ?? ? x1 ? ? 2 x1 ? 1? ? ln x1 ? ? ? x2 ? ? 2 x2 ? 1? ? ln x2 ?
2 ? x2 ? x12 ? ln

x1 1 2 2 1 ? x2 ? 2 ? ln 2 x2 ( x2 ? 1) ? ( x) ? x 2 ? 2 ? ln 2 x 2 ( x ? 1) x2 4 x2 4x 只需求 的最
2

? 2x ? ?( x) ?
小值,∵ ∴

? 1?

2

2 x3

? 0( x ? 1)

,∴ ? ( x) 在

?1, ??? 内是正数,

? ( x2 ) ? ? (1) ?

3 3 3 ? ln 2 h( x1 ) ? h( x2 ) ? ? ln 2 m ? ? ln 2 4 4 4 ,即 ,∴ ,

3 ? ln 2 所以 m 的最大值为 4 .

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】21.(本小题 满分 12 分)
65

设函数 f(x)=

+aln(x+1). 上是单调递增函数,求实数以的取值范围;

(1)若函数 y=f(x)在区间

(2)若函数 y=f(x)有两个极值点 x1,x2 且 x1<x2,求证: 【知识点】导数的应用 B12 【答案】 (Ⅰ)[-4,+∞) (Ⅱ)略

2x2 ? 2x ? a x ?1 【解析】 (Ⅰ)根据题意知:f′(x)= ≥0 在[1,+∞)上恒成立.
即 a≥-x2-2x 在区间[1,+∞)上恒成立. ∵-2x2-2x 在区间[1,+∞)上的最大值为-4,∴a≥-4;

2x2 ? 2x ? 4 x ?1 经检验:当 a=-4 时,f ′(x)= ≥0,x∈[1,+∞) .
∴a 的取值范围是[-4,+∞) .

2x2 ? 2x ? a x ?1 (Ⅱ)f ′(x)= =0 在区间(-1,+∞)上有两个不相等的实数根,
即方程 2x2+2x+a=0 在区间(-1,+∞)上有两个不相等的实数根.

? 1 ? ? ?1 ? ? 2 ? 1 ? f (? 1 ) ? 0 ? 2 记 g(x)=2x2+2x+a,则有 ? ,解得 0<a< 2 .
1 1 1 ? 2a 2 ,- 2 <x2<0. ∴x1+x2=-1,2x22+2x2+a=0,x2=- 2 +

f ( x2 ) x2 2 ? (2 x2 2 ? 2 x2 ) ln( x2 ? 1) ? x ?1 ? x2 1 ∴
x 2 ? (2 x 2 ? 2 x) ln( x ? 1) 1 ?1 ? x 令 k(x)= ,x∈(- 2 ,0).

x2 x2 ? 2ln( x ? 1) ? 2ln( x ? 1) 2 2 (1 ? x ) (1 ? x ) k′(x)= p(x)= 2x2 ? 6x ? 2 1 3 (1 ? x ) ∴p′(x)= ,p′(- 2 )=-4,p′(0)=2.
1 1 在 x0∈(- 2 ,0)使得 p′(x0)=0.当 x∈(- 2 ,x0),p′(x)<0;

66

1 当 x∈(x0,0)时,p′(x)>0.而 k′(x)在(- 2 ,x0)单调递减,在(x0,0)单调递
增,

1 ∵k′(- 2 )=1-2ln2<0.k′(0)=0, 1 1 ∴当 x∈(- 2 ,0),k′(x)<0,∴k(x)在(- 2 ,0)单调递减,

f ( x2 ) 1 x1 <- 2 +ln2. 即 0<
【思路点拨】 (Ⅰ)已知原函数的值为正,得到导函数的值非负,从而求出参量的范围; (Ⅱ)利用韦达定理,对所求对象进行消元,得到一个新的函数,对该函数求导后,再对导 函数求导,通过对导函数的导导函数的研究,得到导函数的最值,从而得到原函数的最值, 即得到本题结论. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

【数学理卷· 2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考 (201412) 】 21.(本题满分 14 分) 已知函数

f ? x ? ? x ? x ? a ? g ? x ? ? ?x2 ? ? a ?1? x ? a
2

,

(其中 a ? R ).

(Ⅰ) 如果函数 调区间; (Ⅱ) 求方程

y ? f ? x?



y ? g ? x?

有相同的极值点,求 a 的值,并直接写出函数

f ? x?

的单

f ? x? ? g ? x? ? 0

在区间

??1,3? 上实数解的个数.

【知识点】导数的应用

B12

f ? x? ? ??,1? , ? 3, ?? ? ,递减区间为 ?1,3? , 【答案】(Ⅰ) 当 a ? 3 时, 的递增区间为
当 a ? ?1 时 ,

f ? x?

的递增区间为

? ??, ?1? , ? ??

1 1? ? ? , ?? ? ? ?1, ? ? 3 ? ;(Ⅱ) 当 ? 3 ? , 递减区间为 ?

3? a ?

13 13 a? ? 1,3 ? ? 3 时,原方程在 ? ?1,3? 上有唯一 3 时,原方程在 上无实数解;当 a ? 3 或

??1,3? 上有两不等实数解. 实数解;当 a ? 3 时,原方程在
【解析】解析:(Ⅰ) 则

f ? x ? ? x ? x ? a ? ? x 3 ? 2ax 2 ? a 2 x
2

,

f ? ? x ? ? 3x2 ? 4ax ? a2 ? ?3x ? a ?? x ? a ?

,

……………………………………1 分

67



f ? ? x? ? 0

a a ?1 x? g x ? ? 2 处有极大值, ,得 x ? a 或 3 ,而二次函数 在

a ?1 a ?1 a ?a ? 2 2 3 ,解得 a ? ?1 或 a ? 3 ; ……………………………………4 分 所以 或

f ? x? ? ??,1? , ? 3, ?? ? ,递减区间为 ?1,3? .……………………5 分 当 a ? 3 时, 的递增区间为
当 a ? ?1 时,

f ? x?

的递增区间为
2

? ??, ?1? , ? ??

1 1? ? ? , ?? ? ? ?1, ? ? 3 ? .………………6 分 ? 3 ? ,递减区间为 ?

2 f ? x? ? g ? x? ? x ? x ? a? ? ? ? x 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? x ? x ? a ? ? ? x ? a ?? x ? 1? ? ? (Ⅱ)
2 ? ? x ? a? ? ? x ? ?1 ? a ? x ? 1? ?

,………………………………………………………………8 分
2



h ? x ? ? x2 ? ?1 ? a ? x ? 1 ? ? ?1 ? a ? ? 4 ? ? a ? 1?? a ? 3?
,

,

1 当 ? ? 0 即 ?1 ? a ? 3 时, h ? x ? ? 0 无实根,故原方程的解为 x ? a ???1,3? ,满足题意,
即原方程有唯一实数解

x ? a ???1,3?

;……………………………………………………………9 分

2 当 ? ? 0 即 a ? ?1 或 a ? 3 时,
若 a ? ?1 , 则

h ? x? ? 0

??1,3? 上 有 唯 一实 数 解 的 实 数 解为 x ? ?1 , 故 原 方 程在 区间

x ? ?1 ;

h ? x? ? 0 ??1,3? 上 有 两 实 数 解 , x ? 1 或 若 a ? 3 ,则 的实数解为 x ? 1 ,故原方程在区间
3 ;……10 分
3 当 ? ? 0 即 a ? ? 1 或 a ? 3 时,
若 a ? ?1 , 由于

h ? ?1? ? a ?1 ? 0, h? 0? ? 1, h? 3? ? 13? 3a ? 0

, 此时

h ? x? ? 0

在区间

??1,3?

上有一实数解,故原方程有唯一实数解; …………………………………………………11 分

h ? ?1? ? a ?1 ? 4, h ? 0? ? 1, h ?3? ? 13 ? 3a 若 a ? 3 时,由于 ,
当 13 ? 3a ? 0 即

a?

13 3 时, h ? x ? ? 0 在区间 ? ?1,3? 上有唯一实数解,故原方程有一实数解; 13 3 时 , h ? x ? ? 0 在 区 间 ? ?1,3? 上 无 实 数 解 , 故 原 方 程 有 无 实 数

若 13 ? 3a ? 0 即

3? a ?

68

解;…13 分

3? a ?
综上,当

13 3 时,原方程在 ? ?1,3? 上无实数解;

当 a ? 3或

a?

13 3 时,原方程在 ? ?1,3? 上有唯一实数解;

??1,3? 上有两不等实数解.…………………………………………14 分 当 a ? 3 时,原方程在
【思路点拨】(Ⅰ)求出函数的导数

f ? ? x ? ? 3x2 ? 4ax ? a2 ? ?3x ? a ?? x ? a ?

,求出极值点

a a ?1 a ?1 a ?1 a x? ?a ? g x ? ? 2 处有极大值, 所以 2 3 ,解得 x ? a 或 3 ,因为二次函数 在 或 2

a ? ?1 或 a ? 3 ,利用导数值的符号直接写出函数 y=f ( x )的单调区间; ( Ⅱ ) 化简方程

f ? x? ? g ? x? ? 0

, 构 造 函 数 , 得
2

2 f ? x? ? g ? x? ? ? x ? a ? ? ? x ? ?1 ? a ? x ? 1? ?



h ? x ? ? x2 ? ?1 ? a ? x ? 1 ? ? ?1 ? a ? ? 4 ? ? a ? 1?? a ? 3?
, 为 0,即可求解在区间[-1,3]上实数解的个数.

,利用判别式通过 a 的讨论,是否

【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】21.(本小 题满分 14 分) 已知二次函数

r ? x ? ? ax2 ? ? 2a ?1? x ? b

( a , b 为常数, a ? R, a ? 0, b ? R )的一个零点

2?


1 a .函数 g ? x ? ? ln x ,设函数 f ? x ? ? r ? x ? ? g ? x ? .

f ? x? (I)求 b 的值,当 a ? 0 时,求函数 的单调增区间;
(II)当 a ? 0 时,求函数 (III)记函数

f ? x?

?1 ? ? ,1? 在区间 ? 2 ? 上的最小值;

y ? f ? x?

图象为曲线 C,设点

A? x1, y1 ?,B ? x2 , y2 ?

是曲线 C 上不同的两点,

点 M 为线段 AB 的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N.判断曲线 C 在点 N 处的切线 是否平行于直线 AB?并说明理由. 【知识点】利用导数求函数的单调区间;利用导数求函数的极值.B11 B12

69

[f(x)]max
【答案】 【解析】 (Ⅰ) (1, ??) ; (Ⅱ) 曲线 C 在点 N 处的切线不平行于直线 AB .

?1 3 a ? ?1 ? 2 ? 4 a ? ln 2, ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ln(?2a), ? 1 ? a ? ? 2 ? 4a 1 ? ? ?a?0 ?1 ? a, 2 ? ; (Ⅲ)

2?
解析: (Ⅰ)由

1 2 a 是函数 r( x) ? ax ? (2a ? 1) x ? b 的零点可求得 b ? 0 . 1 2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? ? x x x ,

f ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a) ?

? 因为 a ? 0 , x ? 0 ,所以 2ax ? 1 ? 0 ,解 f ( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,
所以 f ( x) 的单调增区间为 (1, ??) ……………………4 分

? (Ⅱ)当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,得

x1 ? ?

1 2a , x2 ? 1,

1 1 ?1 ? ?a?0 ①当 2a ,即 2 时, f ( x) 在 (0,1) 上是减函数, ?
1 [ ,1] 所以 f ( x) 在 2 上的最小值为 f (1) ? 1 ? a . 1 1 1 ?? ?1 ?1 ? a ? ? 2a 2 时, ②当 2 ,即 1 1 1 [ ,? ] [ ? ,1] f ( x) 在 2 2a 上是减函数,在 2a 上是增函数, f (? 1 1 ) ? 1? ? ln( ?2a) 2a 4a .

所以 f ( x) 的最小值为

1 1 1 ? [ ,1] ③当 2 a 2 ,即 a ? ?1 时, f ( x) 在 2 上是增函数, ? 1 1 3 f ( ) ? ? a ? ln 2 2 4 所以 f ( x) 的最小值为 2 .

70

[f(x)]max
1 [ ,1] 综上,函数 f ( x) 在 2 上的最小值
……………………8 分

?1 3 a ? ?1 ? 2 ? 4 a ? ln 2, ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ln(?2a), ? 1 ? a ? ? 2 ? 4a 1 ? ? ?a?0 ?1 ? a, 2 ? ,
x1 ? x2 2 ,

(Ⅲ)设

M ( x0 , y0 ) ,则点 N 的横坐标为
k1 ?

x0 ?

直线 AB 的斜率

y2 ? y1 1 ? [a( x12 ? x2 2 ) ? (1 ? 2a)( x1 ? x2 ) ? ln x2 ? ln x1 ] x2 ? x1 x1 ? x2
ln x2 ? ln x1 ] x1 ? x2 ,

? a( x1 ? x2 ) ? (1 ? 2a) ?

曲线 C 在点 N 处的切线斜率

k2 ? f ?( x0 ) ? 2ax0 ? (1 ? 2a ) ?

1 x0

? a( x1 ? x2 ) ? (1 ? 2a) ?

2 x1 ? x2 ,

假设曲线 C 在点 N 处的切线平行于直线 AB ,则

k1 ? k2 ,

ln x2 ? ln x1 2 ?? x1 ? x2 x1 ? x2 , 即

x2 ? 1) x2 2(x 2 ? x1 ) x1 ln ? ? x x2 x1 x1 ? x2 2(t ? 1) 1? 2 ? t ?1 ln t ? x1 ,不妨设 x1 ? x2 , x1 1? t , 所以 ,则 2(

1 4 (t ? 1)2 2(t ? 1) ? ? ?0 g (t ) ? ln t ? (t ? 1) g (t ) ? ? t (1 ? t )2 t (1 ? t )2 1? t 令 , ,
所以 g (t ) 在 (1, ??) 上是增函数,又 g (1) ? 0 ,所以 g (t ) ? 0 ,即 所以曲线 C 在点 N 处的切线不平行于直线 AB .

ln t ?

2(t ? 1) 1 ? t 不成立,

……………14 分

【思路点拨】 (Ⅰ)根据已知条件先求出 b,再对原函数求导,进而求出单调区间; (Ⅱ)对 a 进行分类讨论,最后求出最值即可; (Ⅲ)先求出直线 AB 的斜率以及曲线 C 在点 N 处的切

71

线斜率,再假设曲线 C 在点 N 处的切线平行于直线 AB ,则 可。

k1 ? k2 ,最后利用导数判断即

【数学理卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ,

g ( x) ?

1 2 ax ? bx 2 ( a ? 0 ).

(1) 若 a ? ?2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域上是增函数,求实数 b 的取值范围; (2) 在(1)的结论下,设函数 ? ( x) ? e
2x

? bex , x ?[0, ln 2],求函数? ( x) 的最小值;

(3) 设函数 f ( x) 的图象 C1 与函数 g ( x) 的图象 C 2 交于点 P 、 Q ,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1 、C 2 于点 M 、 N ,问是否存在点 R ,使 C1 在 M 处的切线与 C 2 在

N 处的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;两条直线平行的 判定.B11 B12G4

b ? 1. 当 【答案】 【 解 析 】 (1) (??,2 2 ]. (2) 当 ? 2 ? b ? 2 2时, ? ( x)的最小值为
? 4 ? b ? ?2时, ? ( x)的最小值为? b2 . 4 ? 2b (3) C1 在点 4 当b ? ?4时, ? ( x)的最小值为
2

M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 解析: (1)依题意: h( x) ? ln x ? x ? bx. ∵ h( x)在(0,??) 上是增函数,

h( x ) ?


1 ? 2 x ? b ? 0对x ? (0,?? ) x 恒成立,

b?


1 1 ? 2 x. x ? 0, 则 ? 2 x ? 2 2 . x x ∵ ∴b 的取值范围为 (??,2 2 ].

…………4 分

b 2 b2 y ? ( t ? ) ? x y ? t 2 ? bt, t ? [1,2] ,即 2 4 , (2)设 t ?e , 则函数化为
b ? 1, 即 ? 2 ? b ? 2 2时, 函数 y在[1,2] ∴当 2 上为增函数,当 t=1 时, y min ? b ? 1. ?

72

1? ?


b2 b b ? 2, 即 ? 4 ? b ? ?2时,当t ? ? 时, y min ? ? ; 2 2 4

…………7 分

b ? 2, 即b ? ?4时, 函数y在[1, 2] y ? 4 ? 2b. 2 当 上为减函数,当 t=2 时, min ?

b ? 1. 综上所述,当 ? 2 ? b ? 2 2时, ? ( x)的最小值为
? 4 ? b ? ?2时, ? ( x)的最小值为?


b2 . 4
………8 分

当b ? ?4时, ? ( x)的最小值为 4 ? 2b
(3)设点 P、Q 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),且0 ? x1 ? x2 .

x?
则点 M、N 的横坐标为

x1 ? x 2 . 2
2 . x1 ? x2
k2 ? a ( x1 ? x 2 ) ? b. 2

k1 ?
C1 在 M 处的切线斜率为

C2 在点 N 处的切线斜率

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k 2 ,

a( x1 ? x2 ) 2 ? ? b. x ? x 2 1 2 即
2 2( x2 ? x1 ) a( x2 ? x12 ) a 2 ? ? b( x2 ? x1 ) ? ( a x 2 ? bx 2 ) ? ( x12 ? bx1 ) x ? x2 2 2 2 则 1

? y2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1

? ln

x2 x1 ,

x2 ? 1) x 2 2( x 2 ? x1 ) x1 ? ln ? ? x x1 x1 ? x 2 1? 2 x1 2(
u?


x2 2(u ? 1) ? 1, 则 ln u ? ,u ?1 x1 1? u …………………………①

r (u ) ? ln u ?
令 ∵u ? 1

1 4 (u ? 1) 2 2(u ? 1) ? . , u ? 1. r ?(u ) ? ? u (u ? 1) 2 u (u ? 1) 2 1? u 则

? ∴ r (u) ? 0.
73

所以 r (u)在[1,??) 上单调递增,故 r (u) ? r (1) ? 0 , 则 这与①矛盾,假设不成立, 故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.

ln u ?

2(u ? 1) u ?1 ,
.……13 分

【思路点拨】(1) 根据 a ? ?2 时,函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域内是增函数,知道 h′(x)在其定义域内大于等于零,得到一个关于 b 的不等式,解此不等式即得 b 的取值范 围;(2) 先设 t=ex,将原函数化为关于 t 的二次函数,最后将原函数 φ(x)的最小值问题转 化成二次函数在某区间上的最值问题即可; (3) 先假设存在点 R,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的切线平行,利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程,后利用 斜率相等求出 R 的横坐标,如出现矛盾,则不存在;若不出现矛盾,则存在.

【数学理卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】21.已知函数
x f(x)=ax+lnx,函数 g(x)= e ,其中 e 为自然对数的底数

(1)讨论 f(x)的单调性;

x?m?3 x 成立,试求实数 m 的取值范围; (2)若 ?x ? (0, ??) ,使得不等式 g(x)<
(3)当 a=0 时,对于 ?x ? (0, ??) ,求证:f(x)<g(x)-2 【知识点】导数的应用 B12 【答案】 (Ⅰ)当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上为增函数.

1 1 当 a<0 时,f(x)在(0,- a )上为增函数,在(- a ,+∞)上为减函数.
(Ⅱ)m<3(Ⅲ)略

1 【解析】 (Ⅰ) 函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′(x)=a+ x (x>0) .
①当 a≥0 时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.

1 1 ②当 a<0 时,若 x∈(0,- a ),f'(x)>0,∴f(x)在 x∈(0,- a )上为增函数; 1 1 若 x∈(- a ,+∞),f'(x)<0,∴f(x)在 x∈(- a ,+∞)上为减函数.
综上所述,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上为增函数.

1 1 当 a<0 时,f(x)在(0,- a )上为增函数,在(- a ,+∞)上为减函数.

74

x?m?3 x (Ⅱ)∵?x∈(0,+∞) ,使得不等式 g(x)<
成立,∴?x∈(0,+∞) ,使得 m<x-ex x +3 成立,

1
令 h(x)=x-ex x +3,则 h′(x)=1-ex( x + 2 x ),

1
当 x∈(0,+∞)时,∵ex>1, x + 2 x ≥2

x?

1 2 x = 2,

1
∴ex( x + 2 x )>1,∴h'(x)<0,从而 h(x)在(0,+∞)上为减函数,∴h(x)<h (0)=3∴m<3. (Ⅲ)当 a=0 时,f(x)=lnx,令 φ(x)=g(x)-f(x)-2,则 φ(x)=ex-lnx-2,

1 ∴φ′(x)=ex- x ,且 φ'(x)在(0,+∞)上为增函数. 1 设 φ'(x)=0 的根为 x=t,则 et= t ,即 t=e-t.
∵当 x∈(0,t)时,φ'(x)<0,φ(x)在(0,t)上为减函数;当 x∈(t,+∞)时,φ' (x)>0,φ(x)在(t,+∞)上为增函数,

1 ∴φ(x)min=φ(t)=et-lnt-2=et-lne-t-2=et+t-2∵φ'(1)=e-1>0,φ′( 2 )= e -2<0, 1 1 ∴t∈( 2 ,1),由于 φ(t)=et+t-2 在 t∈( 2 ,1)上为增函数, 1 1 ∴φ(x)min=φ(t)=et+t-2>e+ 2 -2> 2 ? 25 + 2 -2=0,
∴f(x)<g(x)-2. 【思路点拨】 (Ⅰ) 先求出函数的定义域,函数的导数,分别讨论①当 a≥0 时②当 a<0 的 情况,从而求出函数的单调区间; (Ⅱ)不等式转化为 m<x-ex x +3 成立,令 h(x)=x-ex x +3,求出 h(x)的导数,从而得 到 h(x)的单调性,进而 h(x)<h(0) ,从而求出 m 的范围; (Ⅲ)令 φ(x)=g(x)-f(x)-2,求出 φ(x)的导数,得到函数的单调性,从而求出 φ(x) 的最小值,进而 f(x)<g(x)-2.

75

76

77

78

【数学理卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】19.如图,已 知点 A(11,0),函数 y= x ? 1 的图象上的动点 P 在 x 轴上的射影为 H,且点 H 在点 A 的左侧, 设

PH ? t ?APH , 的面积为 f(t)

(1)求函数 f(t)的解析式及 t 的取值范围。

? 0, a? 上的最大值 (2)若 a ? (0, 2 3) ,求函数 f(t)在

【知识点】导数的应用 B12

f (t )max = 【答案】 ( I)0<t<2 3 ( II)

? 1 3 ?? a ? 6a(0 ? a ? 2) ? 2 ? 8(2 ? a ? 2 3) ?

【解析】 ( I)由已知可得 x ? 1 =t,所以点 P 的横坐标为 t2-1, 因为点 H 在点 A 的左侧,所以 t2-1<11,即-2 3 <t<2 3 . 由已知 t>0,所以 0<t<2 3 ,所以 AH=11-(t2-1)=12-t2,

1 所以△APH 的面积为 f(t)= 2 (12-t2)t,0<t<2 3 . 3 3 ( II)f′(t)=6- 2 t2=- 2 (t+2)(t-2),由 f'(t)=0,得 t=-2(舍) ,或 t=2.
函数 f(t)与 f'(t)在定义域上的情况如右图:

79

当 0<a ? 2 时,f(t)在

? 0, a? 上单调递增

1 3 f ( t ) max =f(a)=- 2 a ? 6 a 所以

? 0, 2? 上单调递增, ? 2, a? 上单调递减 当 2<a< 2 3 时,f(t)在
f (t )max =f(2)=8

综上

f (t )max =

? 1 3 ?? a ? 6a(0 ? a ? 2) ? 2 ? 8(2 ? a ? 2 3) ?

1 【思路点拨】 ( I)S△APH= 2 PH×AH.其中 AH=OA-OH,OH 等于 P 的横坐标,P 的纵坐标
即为|PH|=t,利用函数解析式可求 OH.得出面积的表达式.

1 ( II)由( I) ,面积为 f(t)= 2 (12-t2)t,0<t<2 3 .利用导数工具研究单调性,求出最
值.

【数学文卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) (1)】22. (本小题满分 12 分) 已知 a ? R ,函数

f ? x ? ? x3 ? 3x2 ? 3ax ? 3a ? 3

(Ⅰ)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)当 x ? [0,2]时,求|f(x)|的最大值. 【知识点】导数的应用 B12

f ? x ? max
【答案】 【解析】 (Ⅰ)y=(3a-3)x-3a+4; (Ⅱ)

? ?3 ? 3a, a ? 0 ? 3 ? ? ?1 ? 2 ?1 ? a ? 1 ? a , 0 ? a ? 4 ? 3 ? 3a ? 1, a ? ? ? 4

解析: (Ⅰ)因为 f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3,所以 f′(x)=3x2-6x+3a,故 f′(1)=3a-3, 又 f(1)=1,所以所求的切线方程为 y=(3a-3)x-3a+4; (Ⅱ)由于 f′(x)=3(x-1)2+3(a-1) ,0≤x≤2. 故当 a≤0 时,有 f′(x)≤0,此时 f(x)在[0,2]上单调递减, 故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3-3a. 当 a≥1 时,有 f′(x)≥0,此时 f(x)在[0,2]上单调递增, 故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3a-1.
80

当 0<a<1 时,由 3(x-1)2+3(a-1)=0,得

x1 ? 1? 1? a , x2 ? 1? 1? a .

所以,当 x∈(0,x1)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(x2,2)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 所以函数 f(x)的极大值

f ? x1 ? ? 1? 2 ?1? a ? 1? a

,极小值

f ? x1 ? ? 1? 2 ?1? a ? 1? a



故 f(x1)+f(x2)=2>0,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 ?1 ? a ? 1 ? a ? 0

.从而 f(x1)>|f(x2)|.

所以|f(x)|max=max{f(0) ,|f(2)|,f(x1)}.

2 当 0<a< 3 时,f(0)>|f(2)|.

f ? x1 ? ? f ? 0 ? ? 2 ?1 ? a ? 1 ? a ? ? 2 ? 3a ? ?
又 故

2 ?1 ? a ? 1 ? a ? ? 2 ? 3a ?

a 2 ? 3 ? 4a ?

?0
,

f ? x ?max ? f ? x1 ? ? 1? 2 ?1? a ? 1? a



2 ? a ?1 当3 时,|f(2)|=f(2) ,且 f(2)≥f(0) .

f ? x1 ? ? f ? 2 ? ? 2 ?1 ? a ? 1 ? a ? ? 3a ? 2 ? ?


2 ?1 ? a ? 1 ? a ? ? 3a ? 2 ?

a 2 ? 3 ? 4a ?



2 3 ?a? 4 时,f(x1)>|f(2)|.故 f ? x ?max ? f ? x1 ? ? 1? 2 ?1? a ? 1? a . 所以当 3 3 ? a ?1 f ? x ?max ? f ? 2 ? ? 3a ? 1 当4 时,f(x1)≤|f(2)|.故 .

f ? x ? max
综上所述

? ?3 ? 3a, a ? 0 ? 3 ? ? ?1 ? 2 ?1 ? a ? 1 ? a , 0 ? a ? 4 ? 3 ? 3a ? 1, a ? ? ? 4

【思路点拨】 (Ⅰ)求出原函数的导函数,求出函数取 x=1 时的导数值及 f(1) ,由直线方程 的点斜式写出切线方程; (Ⅱ)求出原函数的导函数,分 a≤0,0<a<1,a≥1 三种情况求|f (x)|的最大值.特别当 0<a<1 时,仍需要利用导数求函数在区间(0,2)上的极值,然 后在根据 a 的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小.

81

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】21.(本小题 满分 12 分) 已知函数 , H(x2)<1.

(1)若存在 x>0,使 f(x)≤0 成立,求实数 m 的取值范围, (2)设 1<m≤e, H(x)=f(x)一(m+1)x, 证明: 对任意的 x1, , x2∈[1, m], 恒有 H(x1)【知识点】导数的应用 B12 【答案】 (1) (-∞,-e]∪(0,+∞)(2)略

1 m 【解析】 (1)由题意 f(x)= 2 x2+mlnx,得 f′(x)=x+ x . m ①当 m>0 时,f′(x)=x+ x >0,因此 f(x)在(0,+∞)上单调递增,由对数函数的性质,
知 f(x)的值域为 R,因此?x>0,使 f(x)≤0 成立;

x2 ②当 m=0 时,f(x)= 2 >0,对?x>0,f(x)>0 恒成立;
m ③当 m<0 时,由 f′(x)=x+ x 得 x= ? m ,

x

?m

( ?m ,+∞)

f(x) ↘

0 极小值

+ ↗

m 此时 f(x)min=f( ? m )=- 2 +mln ? m .

? m ?? ? m ln ? m ? 0 ? 2 ? m?0 令 f(x)min>0? ? ?-e<m<0.
所以对?x>0,f(x)>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是(-e,0]. 故?x>0,使 f(x)≤0 成立,实数 m 的取值范围是(-∞,-e]∪(0,+∞) .

1 (2)∵H(x)=f(x)-(m+1)x= 2 x2+mlnx-(m+1)x, m ( x ? 1)( x ? m) x ∴H′(x)=x+ x -(m+1)= .
82

( x ? 1)( x ? m) x ?x∈[1,m],H′(x)= ≤0,所以函数 H(x)在[1,m]上单调递减. 1 1 于是 H(x1)-H(x2)≤H(1)-H(m)= 2 m2-mlnm- 2 . 1 1 1 3 H(x1)-H(x2)<1? 2 m2-mlnm- 2 <1? 2 m-lnm- 2 m <0. 1 3 1 1 3 2 记 h(m)= 2 m-lnm- 2? (1<m≤e),则 h′(m)= 2 - m + 2 m >0, 1 3 所以函数 h(m)= 2 m-lnm- 2 m 在(1,e]上是单调增函数, e 3 所以 h(m)≤h(e)= 2 -1- 2 e <0,故对?x1,x2∈[1,m],恒有 H(x1)-H(x2)<1 1 m 【思路点拨】 (1)由题意 f(x)= 2 x2+mlnx,得 f′(x)=x+ x .讨论 m 的范围判断函数的单调
性与其最值,通过最小值与 0 的关系得到 m 的范围.

m ( x ? 1)( x ? m) x (2)H′(x)=x+ x -(m+1)= ≤0, 1 1 所以函数 H(x)在[1,m]上单调递减.H(x1)-H(x2)<1? 2 m2-mlnm- 2 <1 1 3 1 3 ? 2 m-lnm- 2 m <0,所以设 h(m)= 2 m-lnm- 2 m (1<m≤e)判断其单调性求其最值即可证
得. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。如果多做。则按所做的第一题计分.

【数学文卷·2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考(201412) 】21.(本小题满分 14 分)

f ( x ) ? ln
已知函数

x a.

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线为 x ? y ? 1 ? 0 ,求 a 的值;

x?a
(2)设 g ( x) ?

ax , a ? 0 ,证明:当 x ? a 时, f ( x) 的图象始终在 g ( x) 的图象的下
83

方; (3)当 a ? 1 时,设 h( x) ? f ( x) ? e[1 ?

x ? g ( x)] , ( e 为自然对数的底数) , h' ( x ) 表示

h( x) 导函数,求证:对于曲线 C 上的不同两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ,存在唯一的
x 0 ? ( x1 , x2 ) ,使直线 AB 的斜率等于 h' ( x0 ) .
【知识点】导数,导数应用 B11 B12 【答案】 【解析】 (1) a ? 1 (2)略(3)略

f '( x) ?
解析:(1)

1 1 f (1) ? ln x ,此时 f '(1) ? 1 ,又 a ,所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处 1 1 ?0 ?1 ? ln ? ?1 a a ,由题意得, , a ? 1 . ……… 3 分

x ? y ? 1 ? ln
的切线方程为

? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ln a ?
(2)

x?a ax

, ( x ? a).


? ?( x) ? ?

( x ? a )2 ? 0. 2 x ax

? ? ( x) 在 (0,??) 单调递减,且 ? (a) ? 0.

? 当 x ? a 时, ? ( x) ? ? (a) ? 0, 即 f ( x) ? g ( x) , ? 当 x ? a 时, f ( x) 的图像始终在 g ( x) 的图象的下方.
(3)由题得, h( x) ? ln x ? ex , …………… 7分

h '( x ) ?

1 ?e x ,

x2 ? x1 x ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) 1 ? ln 2 ? 0 ?e ? h' ( x0 ) ? k AB ,∴ x0 x0 x1 x2 ? x1 ∵ ,∴ , x0 ln


x2 ? ( x2 ? x1 ) ? 0 x1 ,

………………………………………9 分

? ( x) ? x ln


x2 ? ( x2 ? x1 ) x1 ,则 ? ( x) 是关于 x 的一次函数, 故要在区间 ( x1 , x 2 ) 证明存在唯

一性,只需证明 ? ( x) 在区间 ( x1 , x 2 ) 上满足 ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? 0 .下面证明之:

? ( x1 ) ?

x1 ln

x2 x ? ( x2 ? x1 ) x2 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) x1 x1 , ? ( x2 ) ? ,

为了判断 ? ( x1 ),? ( x2 ) 的符号,可以分别将 x1 , x 2 看作自变量得到两个新函数 ? ( x1 ),? ( x2 ) ,

84

讨论他们的最值:

? ( x1 ) ?

x1 ln

x2 x ? ( x2 ? x1 ) ln 2 ? 0 ' x1 x1 ,将 x1 看作自变量求导得 ? ( x1 ) ? ,

? ? ( x1 ) 是 x1 的增函数,
∵ x1 ? x2 ,∴ ? ( x1 ) ? ? ( x2 )

? x2 ln

x2 ? ( x2 ? x2 ) ? 0 x2 ;………..11 分

同理: ? ( x2 ) ?

x2 ln

x2 x ? ( x2 ? x1 ) ln 2 ? 0 ' x1 x1 ,将 x2 看作自变量求导得 ? ( x2 ) ? ,

? ? ( x2 ) 是 x2 的增函数,
∵ x1 ? x2 ,∴ ? ( x2 ) ? ? ( x1 )

? x1 ln

x1 ? ( x1 ? x1 ) ? 0 x1 ;∴ ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? 0 ,

? ( x) ? x ln
∴函数

x2 ? ( x2 ? x1 ) x x1 在 ( x1 , x2 ) 内有零点 0 ,……………..13 分

x x2 x ? ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) ? 1,? ln 2 ? 0 x x1 x1 又 1 ,函数 在 ( x1 , x2 ) 是增函数,

? ( x) ? x ln
∴函数

x2 ? ( x2 ? x1 ) x x1 在 ( x1 , x2 ) 内有唯一零点 0 ,从而命题成立.

……14 分

【思路点拨】 (1)由题意直接求解即可; (2)要证当 x ? a 时, f ( x) 的图象始终在 g ( x) 的 图象的下方,就是证明当 x ? a 时, f ( x) ? g ( x) ;

? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ln a ?


x?a ax

, ( x ? a).

,由导数易得 ? ( x) 在 (0,??) 单调递

减,且 ? (a) ? 0. ? 当 x ? a 时, ? ( x) ? ? (a) ? 0, 即 f ( x) ? g ( x) 得证.

(3) h( x) ? ln x ? ex ,

h '( x ) ?

x 1 x0 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ?e h' ( x0 ) ? k AB ,得 x1 x ,∵ ,

? ( x) ? x ln


x2 ? ( x2 ? x1 ) x1 ,则 ? ( x) 是关于 x 的一次函数, 故要在区间 ( x1 , x 2 ) 证明存在唯

一性,只需证明 ? ( x) 在区间 ( x1 , x 2 ) 上满足 ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? 0 .

85

【数学文卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】21.(本小 题满分 14 分)

已知函数

f ? x ? ? ? 2 ? a ? ln x ?

1 ? 2ax ? a ? R ? x .

f ? x? (I)当 a ? 0 时,求 的极值;
(II)当 a ? 0 时,求 ( III ) 若 对

f ? x?


的单调区间; 意

a ? ? ?3, ?2?







x1, x2 ??1,3?







? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立,求实数 m 的取值范围.
【知识点】 利用导数求闭区间上函数的最值; 函数恒成立问题; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值.B11 B12

1 f ( ) ? 2 ? 2 ln 2, 【答案】 【解析】 (Ⅰ)极小值为 2 无极大值.(Ⅱ)当 a ? ?2 时, f ( x) 的递
1 1 1 1 (0, ? ) ( , ??) (? , ) a 和 2 减区间为 ,递增区间为 a 2 ;当 a = ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调 1 1 1 1 (0, ) (? , ??) ( ,? ) 2 和 a , 递增区间为 2 a (Ⅲ)

递减; 当 ?2 ? a ? 0 时,f ( x) 的递减区间为

m??

13 . 3

1 2 1 2x ?1 f ( x) ? 2 ln x ? ( x ? 0) f ?( x) ? ? 2 ? x x x x2 . 解析: (Ⅰ)当 a ? 0 时, ,
? 令 f ( x) ? 0 ,得
上递增, 所以 f ( x) 的极小值为 (
2

x?

1 1 1 1 , (0, ) ( , ??) 0? x? ? 2 令 f ( x) ? 0 ,得 2 ,即 f ( x) 在 2 上递减,在 2

1 f ( ) ? 2 ? 2 ln 2, 2 无极大值.


???????4 分 )

1 1 2a( x ? )( x ? ) a 2?a 1 2ax ? (2 ? a) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) 2 f ?( x) ? ? 2 ? 2a ? ? ? 2 x x x x x ,
1 1 ? , 当 a 2 即 a ? ?2 时, ?
86

? 令 f ( x) ? 0 , 得

0? x??

1 1 1 1 x? ? ?x? ; ? 2 .令 f ( x) ? 0 得 a a或 2

1 1 ? , a 2 即 ?2 ? a ? 0 时, 当 ?
? 令 f ( x) ? 0 , 得

0? x?

1 1 1 1 或x ? ? ?x?? ; 2 a ,令 f ?( x) ? 0 , 得 2 a

当 a = ? 2 时,

f ?( x) ? ?

(2 x ? 1) 2 ?0 x2 .
1 1 1 1 (0, ? ) ( , ??) (? , ) a 和 2 ,递增区间为 a 2 ;

综上所述,当 a ? ?2 时, f ( x) 的递减区间为 当 a = ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减;

1 1 1 1 (0, ) (? , ??) ( ,? ) 2 和 a 当 ?2 ? a ? 0 时, f ( x) 的递减区间为 ,递增区间为 2 a .?9 分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 a ? (?3, ?2) 时, f ( x) 在区间 [1,3] 上单调递减. 当 x ? 1 时, f ( x) 取得最大值;当 x ? 3 时, f ( x) 取得最小值.

1 ? ? 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (3) ? (1 ? 2a) ? ?(2 ? a) ln 3 ? ? 6a ? ? ? 4a ? (a ? 2) ln 3 3 ? ? 3 .
因为

(m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

恒成立,

(m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ?


2 2 ? 4a ? ( a ? 2) ln 3 ma ? ? 4a 3 3 ,整理得 ,

又 a ? 0, 所以

m?

2 ?4 3a 恒成立. ?

13 2 38 13 ? ?4? ? , m?? . 9 所以 3 ??????14 分 由 ?3 ? a ? ?2,得 3 3a
1 f ( x) ? 2 ln x ? ( x ? 0) x 【思路点拨】 (Ⅰ)当 a ? 0 时, ,求导,令 f′(x)=0,解方程,
分析导数的变化情况,确定函数的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,求导,对导数因式分解,比较两

) 恒有 根的大小,确定函数 f(x)单调区间; ( Ⅲ ) 若 对 任 意 a ? ( ?3 , ? 2 ,

87

(m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
可求实数 m 的取值范围.

成立,求函数 f(x)的最大值和最小值,解不等式,

【数学文卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】21、 (本题满分 13 分)

f ( x) ? (2 ? a) ln x ?
已知函数

1 ? 2 ax( a ? R). x

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值; (2)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (3)若对任意当 a ? ( ?3, ?2) 及

x1 , x2 ?[1,3] ,恒有 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成

立,求实数 m 的取值范围. 【知识点】 利用导数求闭区间上函数的最值; 函数恒成立问题; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值.B11 B12 【答案】 【解析】(1) f ( x) 的极小值为 2 ? ln 2, 无极大值;(2) 当 a ? ?2 时, f ( x) 的递减区

1 1 1 1 (0, ? ) ( , ??) (? , ) a 和 2 间为 , 递增区间为 a 2 ; 当 a = ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减;
1 1 1 1 (0, ) (? , ??) ( ,? ) 2 和 a 当 ?2 ? a ? 0 时 , f ( x ) 的 递 减 区 间 为 , 递 增 区 间 为 2 a ; (3)

m?

13 3 .

? ?) , 解析: (1)依题意知 f ( x) 的定义域为 (0,

1 2 1 2x ?1 f ( x) ? 2 ln x ? , f ?( x) ? ? 2 ? , 2 a ? 0 x x x x 当 时,
? 令 f ( x) ? 0 ,解得

x?

1 1 1 , 0? x? x? 2 当 2 时, f ?( x) ? 0 . 2 时, f ?( x) ? 0 ;当

1 f ( ) ? 2 ? ln 2, 又∵ 2 ∴ f ( x) 的极小值为 2 ? ln 2, 无极大值.??????(3 分)

f ?( x) ?
(2)

2?a 1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? 2 ? 2a ? . x x x2
88

1 1 1 1 x? ? , 0? x?? ? 2, a或 当 a ? ?2 时, a 2 令 f ( x) ? 0 得

?

1 1 1 1 ? ? , ? ?x? ; ? f ( x ) ? 0 2 当 ?2 ? a ? 0 时,得 a 2 令 得 a
? 令 f ( x) ? 0 得

0? x?

1 1 1 1 或x ? ? ?x?? ; 2 a ,令 f ?( x) ? 0 得 2 a

当 a = ? 2 时,

f ?( x) ?

(2 x ? 1) 2 ? 0, x2
1 1 1 1 (0, ? ) ( , ??) (? , ) a 和 2 ,递增区间为 a 2 ;

综上所述,当 a ? ?2 时, f ( x) 的递减区间为 当 a = ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减;

1 1 1 1 (0, ) (? , ??) ( ,? ) 2 和 a 当 ?2 ? a ? 0 时, f ( x) 的递减区间为 ,递增区间为 2 a .?(8 分)
(3)由(2)可知,当 a ? (?3, ?2) 时, f ( x) 在区间 [1,3] 上单调递减; 当 x=1 时, f ( x) 取得最大值;当 x=3 时, f ( x) 取得最小值;

1 ? ? 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (3) ? (1 ? 2a) ? ?(2 ? a) ln 3 ? ? 6a ? ? ? 4a ? ( a ? 2) ln 3, 3 ? ? 3

(m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ?

恒成立,

2 2 ma ? ? 4a ? 4a ? (a ? 2) ln 3 3 3 ,整理得 ,

a ? 0, ?m ?

2 13 2 38 ?4 ?3 ? a ? ?2, ?? ? ?4? ? , 3a 3 3a 9 恒成立,

?m ? ?

13 . 3 ????????????????????????(13 分)

1 2 1 2x ?1 f ( x) ? 2 ln x ? , f ?( x) ? ? 2 ? , x x x x2 【思路点拨】(1) 当 a ? 0 时,
? 令 f ( x) ? 0 ,令 f′(x)=0,解方程,分析导数的变化情况,确定函数的极值;(2) 当 a
<0 时,求导,对导数因式分解,比较两根的大小,确定函数 f(x)单调区间;(3) 若对任
89

意 a ? (?3, ?2) 及

x1 , x2 ?[1,3] ,恒有 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求函数

f ( x) 的最大值和最小值,解不等式,可求实数 m 的取值范围.

【数学文卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】21.已知函数 f(x)=x-1-lnx (1)求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值。 (3)对

?x ? ? 0, ???

,f(x) ? bx ? 2 恒成立,求实数 b 的取值范围;

【知识点】导数的应用 B12

1 2 【答案】 (Ⅰ)x-2y-2ln2=0(Ⅱ)极小值为 f(1)=0(Ⅲ)b≤1- e 1 1 【解析】 (Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞) ,f′(x)=1- x ,则 f′(2)= 2 ,f(2)=1-ln2, 1 ∴曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y-(1-ln2)= 2 (x-2),即 x-2y-2ln2=0; 1 (Ⅱ)f′(x)=1- x ,令 f′(x)>0,得 x>1,
列表: x f′(x) f(x) (0,1) ↘ 1 0 0 (1,+∞) + ↗

∴函数 y=f(x)的极小值为 f(1)=0; (Ⅲ)依题意对?x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx-2 恒成立

1 ln x 等价于 x-1-lnx≥bx-2 在(0,+∞)上恒成立,可得 b≤1+ x - x
在(0,+∞)上恒成立,

1 ln x ln x ? 2 2 令 g(x)=1+ x - x ,g′(x)= x
令 g′(x)=0,得 x=e2 列表: x (0,e2) e2 (e2,+∞)

90

g'(x)

-

0

+

g(x)



1 1- e



1 2 ∴函数 y=g(x)的最小值为 g(e2)=1- e , 1 2 根据题意,b≤1- e .
【思路点拨】 (Ⅰ)求出 f(2) ,再根据导数的几何意义,求出该点的导数值,即得曲线在 此点处的切线的斜率,然后用点斜式写出切线方程即可 (Ⅱ)令导数大于 0 解出增区间,令导数小于 0,解出函数的减区间,然后由极值判断规则 确定出极值即可.

1 ln x (Ⅲ)由于 f(x)≥bx-2 恒成立,得到 b≤1+ x - x 在(0,+∞)上恒成立,构造函数 g(x) 1 ln x =1+ x - x ,b≤g(x)min 即可

91

92

93

94

【数学文卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】19.已知二次函 数 f(x)=a x +bx+c(c>0)的导函数的图像如图所示 (1)求 a,b 的值。
2

f ( x) ?1, 2? 上的最大值。 (2)令 g(x)= x ,求 y=g(x)在

【知识点】导数的应用 B12

?1 ? c ? 3, 0 ? c ? 2 a ? 1 ? ?2 ? b ? 1 (2)g(x)max= ? ? c ? 2, c ? 2 【答案】 (1) ?
【解析】 (1)因为 f′(x)=2ax+b,由图可知,f′(x)=2x+1,

? 2a ? 2 ?a ? 1 ? ? b ? 1 ,解得 ?b ? 1 , 由?
f ( x) x2 ? x ? c c c ( x ? c )( x ? c ) 2 x x2 (2)g(x)= x = =x+ x +1,则 g′(x)=1- x = ,
①若 c ≤1,即 0<c≤1 时,g′(x)≥0,g(x)在[1,2]上递增,

1 故 g(x)max=g(2)= 2 c+3;
②若 1< c <2,即 1<c<4,当 1≤x< c 时,g′(x)<0,此时 g(x)单调递减; 当 c <x≤2 时,g′(x)>0,此时 g(x)单调递增;

1 又 g(1)=c+2,g(2)= 2 c+3, 1 所以当 1≤c≤2 时,g(1)≤g(2) ,即 g(x)max=g(2)= 2 c+3;
95

当 2<x≤4 时,g(1)>g(2) ,即 g(x)max=g(1)=c+2; ③若 c ≥2,即 c≥4 时,g′(x)≤0,g(x)在[1,2]上单调递减, 故 g(x)max=g(1)=c+2;

?1 ? c ? 3, 0 ? c ? 2 ?2 ? c ? 2, c ? 2 综上所述,g(x)max= ?
【思路点拨】 (1)先求出 f′(x)=2ax+b,根据图象可得 f′(x)=2x+1,由此可得 a,b 的 方程组;

( x ? c )( x ? c ) x2 (2)由(1)先求出 g(x) ,从而可得 g′(x)= ,分 c ≤1,1< c <
2, c ≥2 三种情况进行讨论,根据导数符号与单调性的关系可得最大值;

【数学卷·2015 届江苏省南通中学高三上学期期中考试(201411) 】23. (本题满分 10 分)
2 已知函数 f ( x) ? (2 x ? 1) ln(2 x ? 1) ? a(2 x ? 1) ? x(a ? 0) .

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处取极值,求 a 的值;
1 x ? ? , y ? ?x 2 (2)如图,设直线 将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域(不含边界) ,

若函数 y ? f ( x) 的图象恰好位于其中一个区域内判断其所在的区域并求对应的 a 的取值围; (3)比较 3 ? 4 ? 5 ?
2 3 4

? 20142013 与 23 ? 34 ? 45 ?

? 20132014 的大小,并说明理由.
Ⅰ Ⅱ Ⅱ

【知识点】导数的应用 B12 1 1 a? a? 4 (2) e (3)略 【答案】 (1)
2 【解析】 (1) f ( x) ? (2 x ? 1) ln(2 x ? 1) ? a(2 x ? 1) ? x(a ? 0) ,

y
x Ⅲ

f ? ( x) ? 2 ln(2 x ? 1) ? 4a(2 x ? 1) ? 1 . ? ∵ f ( x) 在 x ? 0 处取极值,∴ f (0) ? ?4a ? 1 ? 0 .

y Ⅰ x 1 Ⅲ Ⅱ O ?
2

x


?


1 2

Ⅳ O

x
x



a?

1 1 a? 4 符合题意) 4 (经检验 .

Ⅳ (第 23 题) Ⅲ (第 23 题)

x

1 (? , ??) (2)因为函数的定义域为 2 ,且当 x ? 0 时, f (0) ? ?a ? 0 .

又直线 y ? ? x 恰好通过原点,所以函数 y ? f ( x) 的图象应位于区域Ⅳ内,
2 于是可得 f ( x) ? ? x ,即 (2 x ? 1)ln(2 x ? 1) ? a(2 x ? 1) ? x ? ? x .

96

∵ 2 x ? 1 ? 0 ,∴
? 令 h ( x) ? 0 ,得
x?(

a?

2 ? 2 ln(2 x ? 1) ln(2 x ? 1) ln(2 x ? 1) h? ( x) ? h( x ) ? (2 x ? 1) 2 2 x ? 1 ,∴ 2 x ? 1 .令 .

x?

e ?1 1 1 e ?1 x?? x ? (? , ) 2 .∵ 2 ,∴ 2 2 时, m?( x) ? 0 , m( x) 单调递增,

e ?1 e ?1 1 , ??) hmax ( x) ? h( )? ?( x) ? 0 m( x) m 2 2 e. 时, , 单调递减.∴ a? 1 e. m( x ) ? ln(2 x ? 1) e ?1 在x ? ( , ??) 2x ? 1 2 时单调递减,

∴ a 的取值范围是

(3)由(2)知,函数

ln x ∴函数 p(x)= x ,在 x∈(e,+∞)时,单调递减, ln( x ? 1) ln x ∴ x ? 1 < x ,∴xln(x+1)<(x+1)lnx,
∴ln(x+1)x<lnx(x+1) ,即(x+1)x<x(x+1) , ∴令 x=3,4,…,2011,则 43<34,54<45,…,20122011<20112012. 又 32×43<23×34,∴32×43×54×…×20122011<23×34×45×…×20112012. 【思路点拨】根据导数极值求出 a,再利用单调性求出范围证明大小。

97

【数学卷·2015 届江苏省南通中学高三上学期期中考试(201411) 】19. (本题满分 16 分)
x 2 已知函数 f ( x ) ? a ? x ? x ln a (a ? 0, a ? 1).

(1)求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 单调递增区间; (3)若存在 x 1 , x 2 ? [?1,1] ,使得 取值范围. 【知识点】导数的应用 B12 【答案】⑴ y ? 1 (2) (0, +?) (3)
f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e

是自然对数的底数) ,求实数 a 的

1 a ? (0, ] [e, +?) e

x 2 【解析】⑴因为函数 f ( x) ? a + x ? x ln a (a ? 0, a ? 1) , x ? ? 所以 f ( x) ? a ln a + 2 x ? ln a , f (0) ? 0 ,

又因为 f (0) ? 1 ,所以函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 .
x x ? ⑵由⑴, f ( x) ? a ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + (a ? 1)ln a .

? 因为当 a ? 0, a ? 1 时,总有 f ( x) 在 R 上是增函数, ? ? 又 f (0) ? 0 ,所以不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (0, +?) ,
故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) . ⑶因为存在 x1 , x2 ? [?1,1] ,使得 而当 x ? [?1,1] 时,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1

成立, ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x) max ? f ( x) min

? 所以只要 f ( x) max ? f ( x) min ≥ e ? 1 即可.又因为 x , f ( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:
x

(??,0)

0 0
极小值

(0, +?)

f ?( x)

?
减函数

+
增函数

f ( x)

98

f x 所以 f ( x) 在 [?1,0] 上是减函数,在 [0,1] 上是增函数,所以当 x ? [?1,1] 时, ? ? 的最小值
f ? x ?min ? f ? 0 ? ? 1


f ? x?

的最大值

f ? x ?max



f ? ?1?



f ?1?

中的最大值.

1 1 f (1) ? f (?1) ? (a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? ? 2ln a a a 因为 , g (a) ? a ? 1 1 2 1 ? 2ln a(a ? 0) g ?(a) ? 1 + 2 ? ? (1 ? ) 2 ? 0 a a a a ,因为 , 1 ? 2ln a a ? 0, ?? ? ? 上是增函数. a 在
g ?a? ? 0
,即 f (1) ? f (?1) ;



所以

g (a) ? a ?

而 g (1) ? 0 ,故当 a ? 1 时, 当 0 ? a ? 1 时,

g ?a? ? 0

,即 f (1) ? f (?1) .

所以,当 a ? 1 时, f (1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即 a ? ln a ≥ e ? 1 ,函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 上

1 ? ln a ≥ e ? 1 是增函数,解得 a ≥ e ;当 0 ? a ? 1 时, f (?1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即 a ,函数 y? 1 1 ? ln a 0 ? a≤ a ? (0,1) a e. 在 上是减函数 ,解得 1 a ? (0, ] [e, +?) e .

综上可知,所求 a 的取值范围为

【思路点拨】根据导数的意义求出切线方程,根据单调性求出参数的范围。

【 数 学 卷 · 2015 届 江 苏 省 南 通 中 学 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ( 201411 ) 】7.已知函数

f ( x) ? 2 f ?(1) ln x ? x ,则 f ( x) 的极大值为

.

【知识点】导数的应用 B12 【答案】2ln2-2 【解析】f'(x)=2f'(1)/x-1 令 x=1 得: f'(1)=2f'(1)-1 f'(1)=1 所以:f(x)=2lnx-x,f'(x)=2/x-1 f'(x)=2/x-1 的零点 x=2 所以:0<x<2 时,f'(x)>0,f(x)是增函数 x>2 时,f'(x)<0,f(x)是减函数 所以:x=2 是 f(x)的极大值点 极大值 f(2)=2ln2-2 【思路点拨】利用求导数,根据单调性求出极大值。

B13 定积分与微积分基本定理

99

k?
【数学理卷· 2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考 (201412) 】 13 已知 直线

??

1

2

?2

4 ? x 2 dx


y ? kx ? 1 交圆 P : x ? y ? 1 于 A , B 两点,则 AB ?
2 2



【知识点】定积分 直线与圆的位置关系 B13 H4

4 5 【答案】 【解析】 5
k?
解析:因为

??

1

2

?2

4 ? x 2 dx ?

1 1 ? ? 4? ? 2 ? 2 ,圆心到直线 y=2x+1 的距离为 5 ,所
1

AB ? 2 1 ?


1 4 5 ? 5 5 .

【思路点拨】求根式相关的定积分时,若直接求原函数不方便时,可考虑利用定积分的几何 意义求值,求直线被圆截得的弦长时,可结合圆心距及半径进行求值.

【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】13.由直线

x?

1 1 ,x ? 2 y? x 及 x 轴所围成的图形的面积是___________. 2 ,曲线

【知识点】定积分在求面积中的应用.B13 【 答 案 】【 解 析 】 2 l n 2 解 析 : 由 定 积 分 的 几 何 意 义 , 得 围 成 的 面 积
2

?

1 2

1 1 dx ? ln x |2 ? ln 4 ? 2 ln 2 1 ? ln 2 ? ln x 2 2 .
x? 1 1 ,x ? 2 y? x 及x 2 ,曲线

【思路点拨】由题意利用定积分的几何意义知,欲求由直线

轴所围成的图形的面积即求一个定积分即可,再计算定积分即可求得.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 安 徽 省 屯 溪 一 中 高 三 第 四 次 月 考 ( 201412 ) 】5.由直线

x?? 1 A. 2

?
3

,x ?

?
3

,y ? 0

与曲线 y ? sin x 所围成的封闭图形的面积为(



3 B. 2

C. 3

D. 1

【知识点】定积分在求面积中的应用.B13 【答案】 【解析】D 解析:作出对应的图象如图:

100


?


?




?









?? ? 3 S ? ? 3? sin xdx ? 2? 3 sin xdx ? 2 ? ? cos x ? |0 ? 2 ?1 ? cos ? ? 2 ? 1 ? 1 0 ? 3? ? 2 3 ,故选:D
【思路点拨】先根据题意画出直线及 y ? sin x 所围成的封闭图形,然后利用定积分表示区 域面积,最后转化成等价形式.

B14 单元综合 【数学理卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】19. (本小题满分 12 分) 对于定义域为 ?0,1? 上的函数 f ( x) ,如果同时满足下列三条:①对任意的 x ? ?0,1? , 总有 f ( x) ≥ 0 ;② f (1) ? 1 ;③若 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x1 ? x2 ≤1 ,都有

f ( x1 ? x2 ) ≥ f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则称函数 f ( x) 为理想函数.
(1) 若函数 f ( x) 为理想函数,求 f (0) 的值; (2) 判断函数 g ( x) ? 2 ? 1 ( x ? ?0,1? )是否为理想函数,并给出证明;
x

x ? ?0,1? ,使得 f ( x0 ) ? ?0,1? , (3) 若函数 f ( x) 为理想函数,假定存在 0


f ? f ( x0 )? ? f ( x0 ) ,求证: f ( x0 ) ? x0 .

【知识点】函数的值;抽象函数及其应用.B1 B14 【答案】 【解析】(1) f (0) ? 0 ; (2) 见解析;(3)见解析. 解析: (1)取 x1 ? x2 ? 0 得 f (0) ≥ f (0) 又 f (0) ≥ 0 ,故 f (0) ? 0 ; (2)当 x ? ?0,1? 时,函数 g ( x) ≥ 0 ,满足条件①;又 g (1) ? 1 满足条件②; 若 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x1 ? x2 ≤ 1 ,
101

? f (0) ,则 f (0) ≤ 0 ,

则 g ( x1 ? x2 ) ? ?g ( x1 ) ? g ( x2 )? ? 2

x1 ? x2

? 1 ? (2 x1 ? 1) ? (2 x2 ? 1) ? (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ≥

?

?

0 ,满足条件③,故函数 g ( x) 是理想函数.
(3)由条件③,任给 m, n ? ?0,1? ,当 m ? n 时, n ? m ? ?0,1?,且 f (n) ? f (n ? m ? m) ≥

f (n ? m) ? f (m) ≥ f ( m) .
若 若 故

x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ≤ f ? f ( x0 )? ? x0 ,矛盾. x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ≥ f ? f ( x0 )? ? x0 ,矛盾. f ( x0 ) ? x0 .

【思路点拨】 (1)取 x1 ? x2 ? 0 可得 f (0) ≥ f (0)
x

? f (0) ? f (0) ≤ 0 ,由此可求出 f(0)

的值. (2)g ( x) ? 2 ? 1 在 x ? ?0,1? 满足条件① g ( x) ≥ 0 , 也满足条件② g (1) ? 1 . 若 x1 ≥

0 , x2 ≥ 0 , x1 ? x2 ≤1 ,满足条件③,收此知故 g(x)理想函数. (3)由条件③知,任
给 m, n ? ?0,1? ,当 m ? n 时, n ? m ? ?0,1?,且 f (n) ? f (n ? m ? m) ≥ f (n ? m) ? f (m)

f ( x0 ) ? x0 . ≥ f ( m ) .由此能够推导出

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】12.定义区 间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为 d=b 一 a.用[x]表示不超过 x 的最大整数, 记 {x)=x 一[x],其中 x∈R.设 f(x)= [x].{x},g(x)=x-1,若用 d 表示不等式 f(x)<g(x)解集区间的长 度,则当 0≤x≤3 时,有 A.d=1 B.d=2 C.d=3 D.d=4 【知识点】单元综合 B14 【答案】A 【解析】f(x)=*x+?,x-=*x+?(x-[x])=[x]x-[x]2,g(x)=x-1 f(x)<g(x)?[x]x-[x]2<x-1 即([x]-1)x<[x]2-1 当 x∈[0,1)时,[x]=0,上式可化为 x>1,∴x∈?; 当 x∈[1,2)时,[x]=1,上式可化为 0>0,∴x∈?; 当 x∈[2,3]时,[x]-1>0,上式可化为 x<[x]+1,∴x∈[2,3]; ∴f(x)<g(x)在 0≤x≤3 时的解集为[2,3],故 d=1 【思路点拨】先化简 f(x)=*x+?,x-=*x+?(x-[x])=[x]x-[x]2,再化简 f(x)<(x) ,再分类讨 论:①当 x∈[0,1)时,②当 x∈[1,2)时③当 x∈[2,3]时,求出 f(x)<g(x)在 0≤x≤3 时的解集的长度.

102

【 数 学 文 卷 · 2015 届 安 徽 省 屯 溪 一 中 高 三 第 四 次 月 考 ( 201412 ) 】8、已知函数

?2x ?1,( x ? 0), f ( x) ? ? ? f ( x ? 1) ? 1,( x ? 0), 把方程 f ( x) ? x ? 0 的根按从小到大的顺序 排成一个数列,
则该数列的前 n 项和为( )

A.

Sn ? 2 ?1(n ? N? )
n

B.

Sn ?

n(n ? 1) (n ? N ? ) 2

C.

Sn ? n ? 1(n ? N? )

D.

Sn ? 2n?1(n ? N ? )

【知识点】数列与函数的综合.B14 D5 【答案】 【解析】B 解析:当 0<x≤1 时,有﹣1<x﹣1<0,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2x﹣1, 当 1<x≤2 时,有 0<x﹣1≤1,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2x﹣2+1, 当 2<x≤3 时,有 1<x﹣1≤2,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2x﹣3+2, 当 3<x≤4 时,有 2<x﹣1≤3,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2x﹣4+3, 以此类推,当 n<x≤n+1(其中 n∈N)时,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2x﹣n﹣1+n, 所以,函数 f(x)=2x 的图象与直线 y=x+1 的交点为: (0,1)和(1,2) , 由于指数函数 f(x)=2x 为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点. 然后①将函数 f(x)=2x 和 y=x+1 的图象同时向下平移一个单位,即得到函数 f(x)=2x﹣1 和 y=x 的图象, 取 x≤0 的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0) . 即当 x≤0 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=0. ②取①中函数 f(x)=2x﹣1 和 y=x 图象﹣1<x≤0 的部分,再同时向上和向右各平移一个单 位, 即得 f(x)=2x﹣1 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,此时它们仍然只有一个交点(1,1) . 即当 0<x≤1 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=1. ③取②中函数 f(x)=2x﹣1 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,继续按照上述步骤进行, 即得到 f(x)=2x﹣2+1 和 y=x 在 1<x≤2 上的图象,此时它们仍然只有一个交点(2,2) . 即当 1<x≤2 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=2. ④以此类推,函数 y=f(x)与 y=x 在(2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的交点依次为(3,3) , (4,4) ,…(n+1,n+1) . 即方程 f(x)﹣x=0 在(2,3], (3,4],…(n,n+1]上的根依次为 3,4,…,n+1. 综上所述方程 f(x)﹣x=0 的根按从小到大的顺序排列所得数列为: 0,1,2,3,4,…,

∴该数列的前 n 项和

Sn ?

n(n ? 1) (n ? N ? ) 2 .

故选 B. 【思路点拨】函数 y=f(x)与 y=x 在(0,1], (1,2], (2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的 交点依次为(0,0) , (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) ,…, (n+1,n+1) .即方程 f(x) ﹣x=0 在(2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的根依次为 3,4,…n+1.方程 f(x)﹣x=0 的根 按从小到大的顺序排列所得数列为 0,1,2,3,4,…,可得数列的前 n 项和.

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