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【创新方案】2015高考数学(理)一轮复习配套文档:第8章 第9节 圆锥曲线的综合问题


第九节

圆锥曲线的综合问题

【考纲下载】 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法. 2.了解圆锥曲线的简单应用. 3.理解数形结合的思想.

1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A,B 不 同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y)=0,消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或 变量 y)的一元方程. ? ?Ax+By+C=0, 即? 消去 y,得 ax2+bx+c=0. ?F?x,y?=0, ? (1)当 a≠0 时,设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为 Δ,则 Δ>0?直线与圆锥曲 线 C 相交; Δ=0?直线与圆锥曲线 C 相切; Δ<0?直线与圆锥曲线 C 相离. (2)当 a=0,b≠0 时,即得到一个一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 C 相交,且只有一个 交点,此时,若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若 C 为抛物 线,则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,A(x1,y1), B(x2,y2),则 |AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 1 1 = 1+ 2· |y -y |= 1+ 2· ?y1+y2?2-4y1y2. k 1 2 k 直线与圆锥曲线只有一个公共点时,是否是直线与圆锥曲线相切? 提示:直线与圆锥曲线只有一个公共点时,未必一定相切,还有其他情况,如抛物线与 平行或重合于其对称轴的直线,双曲线与平行于其渐近线的直线,它们都只有一个公共点, 但不是相切,而是相交.

1.已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax2 相切,则 a 等于( ) 1 1 1 A. B. C. D.4 2 3 4 ?x-y-1=0, ?a≠0, ? ? 1 解析:选 C 由? 消去 y 得 ax2-x+1=0,所以? 解得 a= . 2 4 ? ? y = ax , 1 - 4 a = 0 , ? ? 2 2 b x y 2.直线 y= x+3 与双曲线 2- 2=1 的交点个数是( ) a a b

C.1 或 2 D.0 b b 解析: 选 A 因为直线 y= x+3 与双曲线的渐近线 y= x 平行, 所以它与双曲线只有 1 a a 个交点. 3.设抛物线 x2=4y 的焦点为 F,经过点 P(1,5)的直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,且 点 P 恰为线段 AB 的中点,则|AF|+|BF|=________. 解析:A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=10,由抛物线定义得|AF|+|BF|=y1+y2+p=10 +2=12. 答案:12 x2 y2 4.直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 恒有公共点,则 m 的取值范围是________. 5 m 解析: 直线 y=kx+1 过定点(0,1), 由题意, 点(0,1)在椭圆内或椭圆上. 则 m≥1, 且 m≠5. 答案:m≥1 且 m≠5 x2 y2 5.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标 5 4 原点,则△OAB 的面积为________. 解析:由 c= 5-4=1,知椭圆右焦点为(1,0),则直线方程为 y=2(x-1),联立方程得 x2 y2 ? ? 5 + 4 =1, 5 4 ? 解得 x1=0,x2= ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1=-2,y2= . 3 3 ? ?y=2?x-1?, 1 1 10 5 ∴S△= ×1×|y1-y2|= ×1× = . 2 2 3 3 5 答案: 3

A.1

B.2

压轴大题巧突破(二) 直线与圆锥曲线的综合应用 [典例] (2013· 湖北高考) (13 分)如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O,长轴均 为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别为 2m,2n(m>n) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1, m C2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D.记 λ= ,△BDM 和△ABN 的面积分 n 别为 S1 和 S2.

(1)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1=λS2,求 λ 的值; (2)当 λ 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λS2?并说明理由. [化整为零破难题] (1)基础问题 1:椭圆 C1、C2 的标准方程各是什么? x2 y2 x2 y2 C1: 2+ 2=1,C2: 2+ 2=1,其中 a>m>n>0. a m a n 基础问题 2:直线 l 与 y 轴重合时 S1,S2 各等于什么? 1 1 S1= |BD||OM|= a|BD|, 2 2 1 1 S2= |AB||ON|= a|AB|. 2 2

基础问题 3:|BD|,|AB|各等于何值? |BD|=m+n,|AB|=m-n. (2)基础问题 1:设直线 l 为 y=kx,则 M、N 到直线 l 的距离各是多少? |ak| |ak| M 到 l 的距离 d1= . 2,N 到 l 的距离 d2= 1+k 1+k2 S1 基础问题 2:S1、S2 各等于什么? 等于什么? S2 1 1 S1 |BD| S1= |BD|d1,S2= |AB|d2, = . 2 2 S2 |AB| |BD| 基础问题 3: 与 xA、xB 有何关系? |AB| |BD| xA+xB = =λ. |AB| xA-xB 基础问题 4:如何用 xA、xB、a、m、λ 来表示 k2? 2 x2 x2 k2x2 x2 k2x2 A-xB A A B B A(xA,kxA)、B(xB,kxB)分别在 C1、C2 上,所以 2+ 2 =1, 2+ 2 =1,∴ 2 + a m a n a 2 2 2 2 2 k ?xA-λ2x2 ? m ? x - x ? B A B 2 2 =0,依题意得 xA>xB>0,所以 x2 . A>xB,所以 k = 2 2 2 m2 a ?λ xB-x2 A? 基础问题 5:如何求 λ 的取值? 2 m2?x2 xA+xB λ+1 xA xA λ+1 A-xB? 由 k2>0,得 2 2 2 >0,解得 1< <λ,由 =λ, = ,即 1< <λ,得 λ>1 x x a ?λ xB-x2 ? x - x λ - 1 λ-1 B B A A B + 2. [规范解答不失分] 依题意可设椭圆 C1 和 C2 的方程分别为

x2 y2 x2 y2 m C1: 2+ 2=1,C2: 2+ 2=1.其中 a>m>n>0,λ= >1. a m a n n (1)如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,则 |BD|=|OB|+|OD|=m+n,
1 1 |AB|=|OA|-|OB|=m-n;S1= |BD|·|OM|= a|BD|, 2 2 1 1 S1 |BD| m+n λ+1 S2= |AB|·|ON|= a|AB|.所以 = = = , 2 2 S2 |AB| m-n λ-1 S1 λ+1 2 若 =λ,则 =λ,化简得λ -2λ-1=0, S2 λ-1

1分

3分

由λ>1,可解得λ= 2+1.故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1=λS2,则λ= 2+1. 5分

(2)法一:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λS2.根据对称性,不妨设直 线 l:y=kx(k>0),(Ⅰ)点 M(-a,0),N(a,0)到直线 l 的距离分别为 d1,d2,则 |-ak-0| |ak-0| ak ak 因为 d1= ,所以 d1=d2. 6分 2 = 2,d2= 2= 1+k 1+k 1+k 1+k2 1 1 S1 |BD| 又 S1= |BD|d1,S2= |AB|d2,所以 = =λ,即|BD|=λ|AB|. 2 2 S2 |AB| 由对称性可知|AB|=|CD|,(Ⅱ)所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|, |AD| λ+1 |AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是 = . ① 7分 |BC| λ-1

将 l 的方程分别与 C1,C2 的方程联立,可求得 am an xA= 2 2 . 2,xB= 2 2 a k +m a k +n2 根据对称性可知 xC=-xB,xD=-xA,于是(Ⅲ) 1+k2|xA-xD| 2xA m a2k2+n2 |AD| = = = . ② |BC| a2k2+m2 1+k2|xB-xC| 2xB n 从而由①和②式可得 a2k2+n2 λ+1 = . ③ a2k2+m2 λ?λ-1?

9分 10 分

λ+1 令 t= ,(Ⅳ) λ?λ-1? 由(1)可知当 λ=1+ 2,即 t=1 时,直线 l 与 y 轴重合,不符合题意,故 t≠1. n2?λ2t2-1? 于是由③可解得 k2= 2 .因为 k≠0,所以 k2>0,于是③式关于 k 有解, a ?1-t2? n2?λ2t2-1? 1 2 ? 2 1? 当且仅当 2 2 >0,等价于(t -1) t - 2 <0,由 λ>1,可解得 <t<1, ? λ? λ a ?1-t ? λ + 1 1 即 < <1,由 λ>1,解得 λ>1+ 2, 12 分 λ λ?λ-1? 所以当 1<λ≤1+ 2时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λS2; 当 λ>1+ 2时,存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λS2.13 分 法二:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λS2,根据对称性,不妨设直 线 l:y=kx(k>0),(Ⅰ)点 M(-a,0),N(a,0)到直线 l 的距离分别为 d1,d2,则 |-ak-0| |ak-0| ak ak 因为 d1= ,所以 d1=d2. 6分 2 = 2,d2= 2= 1+k 1+k 1+k 1+k2 1 1 S1 |BD| 又 S1= |BD|d1,S2= |AB|d2,所以 = =λ. 2 2 S2 |AB| 1+k2|xB-xD| xA+xB |BD| xA λ+1 因为 = = =λ,所以 = . 2 |AB| x x - x λ-1 B 1+k |xA-xB| A B 由点 A(xA,kxA),B(xB,kxB)分别在 C1,C2 上,可得 x2 k2x2 x2 k2x2 A A B B 2+ 2 =1, 2+ 2 =1, a m a n 2 2 2 x2 k2?x2 A-xB A-λ xB? 两式相减可得 2 + =0,依题意 xA>xB>0,(Ⅴ) 2 a m 2 m2?xA -x2 B? 2 2 所以 x2 . A>xB.所以由上式解得 k = 2 2 2 a ?λ xB-x2 A? 分
2 m2?xA -x2 xA B? 因为 k2>0,所以由 2 2 2 >0,可解得 1< <λ. xB a ?λ xB-x2 A? λ+1 从而 1< <λ,解得 λ>1+ 2,所以 λ-1 当 1<λ≤1+ 2时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λS2; 当 λ>1+ 2时,存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1=λS2.

8分

10

13

分 [易错警示要牢记] 易错点一 (Ⅰ)处没有注意对称性,k∈R,使后面求解受阻 易错点二 (Ⅱ)处不注意对称性,则|AD|与|BC|的比值不易求出,从而思路受阻 易错点三 (Ⅲ)处不注意对称性,则变量 xA、xB、xC、xD 较多运算较大,也易出错 易错点四 (Ⅳ)处如果不换元,则运算量较大,易出现错误 易错点五 (Ⅴ)处如果不注意 xA>xB,则对 λ 的范围的限制条件发生变化,从而造成结果出





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