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【解析】江苏省泰州市姜堰区2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题


【解析】江苏省泰州市姜堰区 2013-2014 学年高一上学期期中考试数学试题

一、填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡 ... 相应位置上 . .....
1. 集合 A ? {1,2} , B ? {2,3} ,则 A ? B ? .

? 9 ?2 2. ? ? ? ?4?

/>
1

.

3. 集合 A ? {1,3} ,用描述法可以表示为

.

4. 函数 f ( x) ? log 3 (2 x ? 5) 的定义域为

.

5. 函数 f ( x) ?

1 , x ? [2,3] 的最大值为 x

.

6. lg 20 ? lg 2 ?

.

7. (?0.72 )

3

(?0.75)3 (填“ ? ”或“ ? ” ).

8. 函数 f ( x) ? 2 x ? 3 ,函数 g ( x) ? 3x ? 5 ,则 f ( g (2)) ?

.

9. 若方程 7 x ? (m ? 13) x ? m ? 2 ? 0 的一根在区间 (0,1) 上,另一根在区间 (1,2) 上,则实
2

数 m 的范围

.

10. 若函数 y ? f ( x) 的定义域为 {x ? 3 ? x ? 8且x ? 5} ,值域为 { y ? 1 ? y ? 2且y ? 0} , 则 y ? f ( x) 的图象可能是 (填序号).

①







x?0 ? ax, 11. 函数 f ( x ) ? ? 为区间 (??,??) 上的单调增函数, 则实数 a 的取值范 ?(3 ? a ) x ? 1, x ? 0
围为 .

12. 某人定制了一批地砖,每块地砖 (如图 1 所示)是边长为 40 cm 的正方形 ABCD ,点

E , F 分别在边 BC 和 CD 上,△ CFE ,△ ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成,
制成△ CFE ,△ ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为 321. 若 将此种地砖按图 2 所示的形式铺设,能使中 间的深色阴影部分构成四边形 EFGH .则当 CE ? 料费用最省? 定制这批地砖所需的材 cm 时,

图1

图2

13. 已知函数 f ( x) ? x ?
2

1 ( x ? 0) ,若实数 a 满足 f (log2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (2) ,则 x2 2
.

实数 a 的范围是

14. 设函数 f ( x) ? e ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x ? 3 ,若实数 a, b 满足 f (a) ? 0, g (b) ? 0 ,
x 2

请将 0, f (b), g (a) 按从小到大的顺序 排列 .......

.(用“ ? ”连接).

二、解答题:本大题共 6 小题共计 90 分,请在答题卡指定区域内 作答,解答时 ........ 应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分) 已知 U ? R ,集合 A ? {x 1 ? x ? 4} , B ? {x a ? x ? a ? 2} . (Ⅰ)若 a ? 3 ,求 A ? B , B ? (CU A) ; (Ⅱ)若 B ? A ,求 a 的范围.

16.(本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图像顶点为 (1,?9) , 且图像在 x 轴截得的线
2

段长为 6. (Ⅰ)求 f (2) ; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 (m, m ? 3) 上单调 ,求 m 的范围. ..

17.(本小题满分 14 分) 在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v (单位: m / s )和燃料的质量 M (单 位: kg ),火箭(除燃料外)的质量 m (单位: kg )满足 e ? (1 ?
v

M 2000 ) .( e 为自 m

然对数的底) (Ⅰ)当燃料质量 M 为火箭(除燃料外)质量 m 两倍时,求火箭的最大速度(单位:

m/ s ) ;
(Ⅱ)当燃料质量 M 为火箭(除燃料外)质量 m 多少倍时,火箭的最大速度可以达到 8 km/ s .(结果精确到个位 ,数据: e ? 2.718, e ? 54.598, ln 3 ? 1.099 ) .......
4

18.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) 是定义域为 的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? log a ( x ? b) ,图像如图所 ....R . 示. (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? m 有两解,写出 m 的范围; (Ⅲ)解不等式 ( x ? 1) ? f ( x) ? 0 ,写出解集 . ....

19.(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ka ? a (a ? 0且a ? 1, k ? R) , f ( x) 是定义域为 R 的奇函数.
x ?x

(Ⅰ)求 k 的值,判断并证明 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在 R 上的单调性; ..

3 2x ?2 x ,函数 g ( x) ? a ? a ? 2 f ( x), x ? [?1,1] ,求 g ( x) 的值域; 2 (Ⅲ)已知 a ? 3 ,若 f (3x) ? ? ? f ( x) 对于 x ? [1,2] 时恒成立.请求出最大的整数 .....? .
(Ⅱ)已知 f (1) ?

试题解析: (Ⅰ)? f ( x) ? ka ? a 是定义域为 R 上的奇函数, ? f (0) ? 0 ,得 k ? 1 .
x x

f ( x) ? a x ? a ? x , f (? x) ? a ? x ? a x ? ? f ( x) ,即 f ( x) 是 R 上的奇函数???2 分
x2 ? x1



,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a x2 ?

1 1 1 ? (a x1 ? x1 ) ? (a x2 ? a x1 )(1 ? x2 x1 ) x2 a a a a ,

? a ? 1 ,? a x2 ? a x1 ,? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , ? f ( x) 在 R 上为增函数????5 分
? f (1) ?
(Ⅱ) 则 y ? g ( x) ? 2

1 3 1 3 a?? ,? a ? ? 2 2 (舍去) 2 a 2 ,即 2a ? 3a ? 2 ? 0 ,? a ? 2 或

2x

? 2?2 x ? 2(2 x ? 2? x ), x ? [?1,1] ,令 t ? 2 x ? 2? x , x ? [?1,1] ,

由(1)可知该函数在区间 [?1,1] 上为增函数,则 则 y ? h(t ) ? t ? 2t ? 2, t ? [?
2

3 3 t ? [? , ] 2 2

3 3 , ] ?????????????????????8 分 2 2

3 29 时, ymax ? ;当 t ? 1 时, ymin ? 1 2 4 29 所以 g ( x) 的值域为 [1, ] ???????????????????????? 10 分 4
当t ? ? (Ⅲ)由题意,即 3 ? 3
3x x ?x ?3 x

? ? (3x ? 3? x ) ,在 x ? [1,2] 时恒成立

令 t ? 3 ? 3 , x ? [1,2] ,则 t ? [ , 则 (3 ? 3 )(3
x ?x 2x

8 80 ] 3 9

? 1 ? 3?2 x ) ? ? (3x ? 3? x ),x ?[1,2] 恒成立

8 80 ] 恒成立????????????????????13 分 3 9 8 8 80 91 ? ? t 2 ? 3 , t ? [ , ] 恒成立,当 t ? 时, (t 2 ? 3) min ? 3 3 9 9 91 ? ? ? ,则 ? 的最大整数为 10??????????????????????16 分 9
即为 t (t ? 3) ? ? ? t , t ? [ ,
2

考点: 函数的奇偶性, 单调性, 换元法求函数的最值, 用分离参数的方法求参数的取值范围.

20.(本小题满分 16 分)
2 已知函数 f ( x ) ? x ? 1 , g ( x ) ? k x ? 1 .

(Ⅰ)已知 0 ? m ? n ,若 f (m) ? f (n) ,求 m ? n 的值;
2 2

(Ⅱ)设 F ( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? g ( x) 1 ,当 k ? 时,求 F ( x) 在 ( ??,0) 上的最小值; 2 ? g ( x), f ( x) ? g ( x)

(Ⅲ)求函数 G( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [ ?2,2] 上的最大值.

【答案】 (Ⅰ) m ? n ? 2 ; (Ⅱ)当 x ? ?
2 2

1 3 时, F ( x) 最小值为 ; (Ⅲ)当 k ? ?3 时, 2 4

G ( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 0;当 ? 3 ? k ? 0 时, G ( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 k ? 3 ;当

k ? 0 时, G ( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 3k ? 3 .
【解析】 试题分析: (Ⅰ)将函数 f ( x) 去掉绝对值写成分段函数形式,结合函数图像满足

f (m) ? f (n) 的 m, n 只可能为 0 ? m ? 1 ? n ? 2 ,从而 f (m) ? 1 ? m 2 , f (n) ? n2 ? 1 ,
由 f (m) ? f (n) 即可得 m ? n ? 2 ; (Ⅱ)写出 F ( x) 的表达式,根据分段函数的性质,先
2 2

求出每一段上的最小值,其中最小的即为 F ( x) 的最小值; (Ⅲ)将 G ( x) 写成分段函数的 形式,每一段均为二次函数的形式,结合二次函数图像,分类讨论函数的对称轴与区间的关 系,从而求出最大值.


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