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2011年湖南省高中数学竞赛


2011 年湖南省高中数学竞赛
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) 1. 已 知 函 数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1(a ? R) 在 区 间 (? ,? ) 内 为 减 函 数 , 在 区 间
3 2

2 3

1 3

1 (? , ? ?) 内为增函数。则 a ?

3

.

2. 设 A、B 是两个集合,称 ( A, B) 为一个“对子”。当 A ? B 时,将 ( A, B) 与 ( B, A) 视为不 同的对子。则满足条件 A ? B ? ? 1,2,3,4? 的不同的对子 ( A, B) 的个数为
2

.

3. 设函数 f ( x) ? x ? x ? m(m ? R? ). 若 f (t ) ? 0 ,则你对函数 y ? f ( x) 在区间 (t , t ? 1) 中 零点存在的情形的判断是 .

2 x2 x0 2 2 ? y ? 1 的两个焦点分别为 F1、F2 , 点 P( x0 , y0 ) 满足 0 ? ? y0 ? 1. 则 4. 已知椭圆 C : 2 2

PF1 ? PF2 的取值范围是

.

5. 已知复数 z1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i)(i 为虚数单位) , 复数 z 2 的虚部为 2.则 z1 z2 为实数的条件是

z2 ?

.
n

6. 已知数列 ?an ? 满足递推关系式 an ?1 ? 2an ? 2 ? 1(n ? N ? ), 且 ?

? an ? ? ? ? 为等差数列。则 n ? 2 ?

? 的取值是

. .

7. 过函数 f ( x) ? x ? cos x ? 3 sin x 的图像上一点的切斜率为 k . 则 k 的取值范围是 8. 已知平面内三点 A、B、C 满足 AB ? 3, BC ? 4, CA ? 5. 则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB ? .

9. 将边长为 4 的正方形 ABCD 沿 BD 折成 60? 的二面角。 则 BC 的中点与 A 的距离为

.

10. 有黑、白、黄筷子各 8 支,不用眼睛看任意地取出筷子,使得至少有两双筷子不同色。 则至少要取出 支筷子才能做得到。 二、解答题(每小题 20 分,共 80 分) 11. 将抛物线的焦点所在的区域称为抛物线的内部。试问:在允许将抛物线平移或旋转的条
1

件下,平面内 2011 条抛物线的内部能否盖住整个平面?请作出判断,并证明你的结论。

12. 设 ak ?

( k ?1) 2 ?1 i?k 2

?

1 2 2 . 证明: 2011 ? ( , ). i a2010 a2011

13. (1)设实数 t ? 0. 证明: (1 ? ) ln(1 ? t ) ? 2. (2)从编号为 1~100 的 100 张卡片中,每次随机地抽取一张,然后放回,用这种方式 连续抽取 20 次,设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 P. 证明: P ?

2 t

1 . e2

14. 已知由 ?ABC 的顶点 A 引出的两条射线 AX、AY 分别与 BC 交于点 X、Y . 证明: AB ? CY ? CX ? AC ? BX ? BY 成立的充要条件是 ?BAX ? ?CAY.
2 2

2

2011 年全国高中数学联赛黑龙江赛区预赛
1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] , n

参考公式 样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的标准差 s ? 其中, x 为样本平均数。 在 2 ? 2 列联表中,随机变量 K ?
2

n(ad ? bc) 2 . (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 设集合 A ? ?x || x ? 2 |? 2, x ? R?, B ? y | y ? ? x ,?1 ? x ? 2 . 则 CR ( A ? B) ? (
2

?

?



A. R

B. ?

C. ?0?

D. ?x | x ? R, x ? 0?

2. 下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且图像关于直线 x ? A. y ? sin( ?

x 2

?

x ? ) B. y ? sin( ? ) 3 2 3

5? 对称的函数是( 12



C. y ? sin(2 x ?
2 2

?

3

)

D. y ? sin(2 x ?

?
3

)

3. 设 m, n 为实数,且直线 mx ? ny ? 4 和圆 x ? y ? 4 没有公共点。则关于 x 的方程

x 2 ? 2mx ? n2 ? 0 有实根的概率为(
A.

) C.

1 4

B.

1 2

4. 已知向量 m、n 的夹角为

? ,且 m ? 3 , n ? 2. 在 ?ABC 中, 6

1 8

D.

1 16

AB ? 2m ? 2n, AC ? 2m ? 6n, D 为边 BC 的中点。则 AD ? (
A.2 B.4 C.6

) D.8 )

5. 若对任意 x ? R, 不等式 x ? 4ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?

1 4

B. a ?

1 4

C. a ?

1 4

D. a ?

1 4

6. 已知三个不同的平面 ?、?、? 和两条不重合的直线 m、n ,有下列 4 个命题: ① m // ? ,? ? ? ? n, 则 m // n; ② m ? ? , m // n, n ? ? , 则 ? ? ?;
3

③ ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ? ; ④ ? ? ? ? m, m ? ? ,则 ? ? ? . 其中,正确命题的个数是( )

A.2 B.3 C.4 D. 1 7. 体育课下课后,老师要求体育委员把 5 个相同的篮球、3 个相同的排球、2 个相同的橄榄 球排成一排放好。则不同的放法有( )种。 A.420 B. 1260 C. 5040 D. 2520 8. 函数 f ( x ) ? ?

?sin ?x 2 ,?1 ? x ? 0;
x ?1 ?e ,

x?0
B. ?

满足 f (1) ? f (a) ? 2. 则 a 所有可能的值为(



A.1 或 ?

2 2

2 2

C.1

D. 1 或

2 2


9. 若点 P 在椭圆 A.1

x2 y 2 x y 6 ? ? 1 上,其到直线 ? ? 1 的距离为 , 则点 P 的个数为( 16 9 4 3 5
B.2 C.3 D.4

10. 在平面直角坐标系中, 已知 ?ABC 三个顶点为 A(2,1), B(?1,?1), C (1,3), 点 P 在直线 BC 上运动,动点 Q 满足 PQ ? PA ? PB ? PC. 则点 Q 的轨迹方程为( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 2 y ? 3 ? 0 C. x ? 2 y ? 4 ? 0 )

D. 2 x ? y ? 3 ? 0

11. 已知球的半径为 2,球面上的三个大圆所在的平面两两垂直。则以三个大圆的交点为顶 点的八面体的体积为( )

64 D.32 3 4 9 2 12. 已知 f ( x) ? 2 x ? 3 px ? 2q 和 ? ( x) ? x ? 是定义在集合 M ? {x | 1 ? x ? } 上的函 x 4
A. B. C. 数 。 对 任 意 的 x ? M , 存 在 常 数 x0 ? M , 使 得 f ( x) ? f ( x0 ), ? ( x) ? ? ( x0 ) , 且

16 3

32 3

f ( x0 ) ? ? ( x0 ). 则函数 f ( x) 在集合 M 上的最大值为(
A.4 B.

) D.8

33 8

C.6

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2n ? 1. 则 a1 ? a2 ? ? ? an ?
2 n

.

4

14. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N (1.5,? ), P(? ? 2.5) ? 0.78.
2

则 P(? ? 0.5) ?

.

15. 设 f ( x)、g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数、 偶函数, 当 x ? 0 时,F ( x) ? f ( x) g ( x) 在

(??,0) 上是增函数,且 g (2) ? 0. 则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是
16. 已知 p :| 1 ?

.

x?2 |? 2, q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0), 而 ?p 而 ?q 的必要不充分条件. 3
.
2

则实数 m 的取值范围是 三、解答题(共 70 分)

17.(10 分)已知二次函数 f ( x) ? x ? tx ? t (t ? R) 满足:①不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只 有一个元素;②若 0 ? x2 ? x1 ,总有不等式 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,设数列 ?an ? 的前 n 项和

S n ? f (n).
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求 lim

n??

?a a
k ?1 k

n

1
k ?2

.

5

18. ( 12 分 )在 ?ABC 中 , a、b、c 分 别 为 内角 ?A、?B、?C 所 对 的边 ,且满 足

sin A ? 3 cos A ? 2.
(1)求 ?A 的大小; (2)现给出三个条件: ① a ? 2, ② ?B ? 45? ,③ c ?

3b.

试从中选出两个可以确定 ?ABC 的条件,写出你的选择并以此为依据求 ?ABC 的面积 (只需写出一个选定方案即可) 。

19.(12 分)某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计 数据如表 1 所示。 表1 积极参加班级工作 学习积极性高 学习积极性一般 合 计 17 5 22 不积极参加班级工作 8 20 28 合 25 25 50 计

(1)如果随机从该班抽查一名学生,抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不 积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有 关系?并说明理由。 参考表 2

P ( k 2 ? k0 )

0.50 0.455 0.05 3.841

0.40 0.708 0.010 6.635

0.25 1.323 0.005 7.879

0.15 2.072 0.001 10.8

0.10 2.706

k0
P ( k 2 ? k0 )

k0

6

20. ( 12 分 ) 在 图 1 的 几 何 体 中 , EA ? 平 面 ABC, DB ? 平 面 ABC, AC ? BC , 且

BC ? BD ?

3 AE ? a, AC ? 2a, AM ? 2MB. 2

(1)证明: CM ? EM ; (2)求直线 CD 与平面 MCE 所成角的大小。

21. ( 12 分)已知两个动点 A、B 和一个定点 M ( x0 , y0 ) 均在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上
2

。记 F 为抛物线的焦点, Q 为对称轴上一点,有 ( A、B 与 M 不 重 合 )

(QA ?

1 FB 成等差数列。 AB) ? AB ? 0, 且 FA 、 FM 、 2

(1)求 OQ 的坐标; (2)若 OQ ? 3, FM ?

5 , A、B 两点在抛物线准线上的射影分别为 A1、B1 ,求四边形 2

ABB1 A1 面积的取值范围。

22. (12 分)函数 f ( x) ? a ln x ? 1(a ? 0). (1)证明: f ( x) ? 1 ? a(1 ? ); (2)在区间 (1, e) 上 f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的范围;
n ?1 1 (3)当 a ? 时,证明: ? f (k ) ? 2(n ? 1 ? n ? 1). 2 k ?2

1 x

7

2011 年全国高中数学联赛广东赛区预赛
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1. 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 4, a3 ? 9, an ? an ?1 ? an ? 2 ? an ?3 (n ? 4,5,?). 则 a2011 ? 2. 不等式 sin2 x ? a cos x ? a 2 ? 1 ? cos x 对一切 x ? R 成立。则实数 a 的取值范围是 3. 已知定义在正整数集上的函数 f (n) 满足条件: (1) f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? mn(m、n ? N ? );(2) f (3) ? 6. 则 f (2011) ? 4. 方程 || ? ||| x | ?1 | ?2 | ? | ?2011 |? 2011 共有 解. . . .

5. 设半径为 10cm 的球中有一个棱长为整数(cm)的正方体。则该正方体的棱长最大等 于 . 6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线 y ? x (?2 ? x ? 2) 绕 y 轴旋转而构成的。 则能接触到杯底
2

的球的半径最大是 7. 计算

. .

1 1 1 ? ?? ? sin 45? sin 46? sin 46? sin 47? sin 89? sin 90?

8. 10 名学生站成一排,要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子,要求每种颜色的 帽子都要有, 且相邻的两名学生帽子的颜色不同。 则满足要求的发帽子的方法共有 种. 二、解答题(共 56 分) 1.(16 分)若 n 是大于 2 的正整数,求

1 1 1 的最小值。 ? ??? n ?1 n ? 2 2n

2. (20 分)在一条线段上随机独立地取两点,然后从这两点处把线段分成三段。问:得到 的三条新线段能构成三角形的概率是多少?

8

3. (20 分) 已知数列 a0 , a1 ,?, an ,? 满足 a0 ? 0, a1 ? 1, a2 ? 0, 当 n ? 3 时, 有 an ? 证明:对所有整数 n ? 3, 有 an ?

2 n?2 ? ai . n ? 1 i ?0

n . 10

9


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