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高中数学人教A版·必修5(有详解答案):课时作业3:距离问题


课时作业 3
时间:45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共计 36 分)

距离问题
分值:100 分

1.海面上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视 角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 30° 的视角,则 B 与 C 之间的距离是( A.10 3海里 C.5 2海

里 10 6 B. 3 海里 D.5 3海里 )

解析:在△ABC 中,C=180° -A-B=90° ,

∴BC=ABsin60° =5 3海里. 答案:D 2.甲、乙二人同时从 A 点出发,甲沿着正东方向走,乙沿着北偏东 30° 方 向走,当乙走了 2 千米到达 B 点时,两人距离恰好为 3千米,那么这时甲走的 距离是( ) B.2 千米 D.1 千米

A.2 3千米 C. 3千米

解析:假设甲走到了 C,则在△ABC 中,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2- 1 2AB· AC· cos60° ,即( 3)2=22+AC2-2×2AC· 2,解得 AC=1.故选 D. 答案:D 3.

如图,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在 观测站 C 的北偏东 20° ,灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40° ,则灯塔 A 与灯塔 B 的 距离为( )

A.a km B. 3a km C. 2a km D.2a km 解析:如题图,∠ACB=120° ,AC= BC=a. 由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos∠ACB, ∴AB2=a2+a2-2a2cos120° =3a2. ∴AB= 3a. 答案:B 4.已知 A,B 两地相距 10 km,B,C 两地相距 20 km,且∠ABC=120° ,则

A,C 两地相距( A.10 km C.10 5 km

) B.10 3 km D.10 7 km

解析:AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos120° 1 =102+202-2×10×20×(-2)=700 ∴AC=10 7 km. 答案:D 5.

如图,某炮兵阵地位于 A 点,两观察所分别位于 C,D 两点.已知△ACD 为 正三角形,且 DC= 3 km,当目标出现在 B 点时,测得∠CDB=45° ,∠BCD= 75° ,则炮兵阵地与目标的距离是( A.1.1 km C.2.9 km ) B.2.2 km D.3.5 km

解析:∠CBD=180° -∠BCD-∠CDB=60° . CDsin75° 6+ 2 在△BCD 中 ,由正弦定理,得 BD= sin60° = 2 . 在△ABD 中,∠ADB=45° +60° =105° , 由余弦定理,得

AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos105° ? 6+ 2?2 6+ 2 6- 2 =3+ + 2 × 3 × × 4 2 4 =5+2 3. ∴AB= 5+2 3≈2.9 (km). ∴炮兵阵地与目标的 距离约为 2.9 km. 答案:C 6.

如图, 货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标 方向线的水平角)为 140° 的方向航行,为了确定船的位置,船在 B 点观测灯塔 A 1 的方位角为 110° ,航行2 h 到达 C 点,观测灯塔 A 的方位角是 65° ,则货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是( A.10 km C.15 km ) B.10 2 km D.15 2 km

1 解析: 在△ABC 中, BC=40×2=20(km), ∠ABC=140° -110° =30° , ∠ACB =(180° -140° )+65° =105° , ∴A=180° -(30° +105° )=45° . 由正弦定理,得

BC· sin∠ABC 20· sin30° AC= = sinA sin45° =10 2 (km). 答案:B 二、填空题(每小题 8 分,共计 24 分) 7. 海上有 A, B 两个小岛相距 10 n mile, 从 A 岛望 C 岛与 B 岛成 60° 的视角, 从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角, 那么 B 岛与 C 岛之间的距离为________n mile. 10 BC 解析:画出示意图,易得 C=45° ,由正弦定理sin45° =sin60° ,∴BC=5 6.

答案:5 6 8.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80° 处,且 A 到 C 的距离为 2 km,B 船在灯塔 C 北偏西 40° 处,A,B 两船的距离为 3 km,则 B 到 C 的距离为________km. 解析:

如图所示,在△ABC 中,∠ACB=40° +80° =120° ,AB=3 km,AC=2 km. 设 BC=a km. a2+4-9 由余弦定理,得 cos120° = 4a ,解得 a= 6-1 或 a=- 6-1(舍去), 即 B 到 C 的距离为( 6-1)km. 答案: 6-1 9.一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏

东 60° ,行驶 4 h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15° ,这时船与灯塔 的距离为________km. 解析:如图,在△ABC 中, AC=4×15=60,

∠BAC=30° ,∠ACB=105° , ∴∠ABC=45° . 1 60×2 AC· sin30° ∴BC= sin45° = =30 2 (k m). 2 2 答案:30 2 三、解答题(共计 40 分) 10.(10 分)海上一观测站测得方位角 240° 的方向上有一艘停止待修的商船, 在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近,速度为每小时 90 海里.此时海盗船 距观测站 10 7海里,20 分钟后测得海盗船距观测站 20 海里,问再过多少分钟, 海盗船到达商船? 解:

如图,设开始时观测站、商船、海盗船分别位于 A,B,C 处,20 分钟后,

海盗船到达 D 处,在△ADC 中,AC=10 7,AD=20,CD=30,由余弦定理得 AD2+CD2-AC2 400+900-700 1 cos∠ADC= = =2. 2AD· CD 2×20×30 ∴∠ADC=60° .在△ABD 中由已知得∠ABD=30° ,∠BAD=60° -30° =30° , 20 40 ∴BD=AD=20,90×60= 3 (分钟). 40 ∴再过 3 分钟,海盗船到达商船. 11. (15 分)某观测站 C 在 A 城的南偏西 20° 的方向, 由 A 城出发有一条公路, 公路走向是南偏东 40° ,在公路上测得距离 C 31 km 的 B 处,有一人正沿公路向 A 城走去,走了 20 km 后到达 D 处,此时 C,D 之间相距 21 km,问此人还要走 多远才能到达 A 城?

解:如图,∠CAB=60° ,BD=20 km,CB=31 km,CD=21 km.在△BCD BD2+CD2-CB2 202+212-312 1 中,由余弦定理,得 cos∠BDC= = =- 2BD· CD 7,则 sin 2×20×21 4 3 ∠BDC= 7 . 在△ACD 中, ∠ACD=∠BDC-∠CAD=∠BDC-60° .由正弦定理, 可得 AD = CDsin∠ACD sin60° . ∵sin∠ACD=sin(∠BDC-60° )

5 3 =sin∠BDCcos60° -cos∠BDCsin60° = 14 , 5 3 21× 14 ∴AD= =15 (km). 3 2 ∴此人还要走 15 km 才能到达 A 城. 12. (15 分)一商船行至索马里海域时, 遭到海盗的追击, 随即发出求救信号. 正 在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在 A 处获悉后, 即测出该商船在方位角 为 45° 距离 10 海里的 C 处,并沿方位角为 105° 的方向,以 9 海里/时的速度航 行.“黄山”舰立即以 21 海里/时的速度前去营救.求“黄山”舰靠近商船所需 要的最短时间及所经过的路程. 解:

如图所示,若“黄山”舰以最短时间在 B 处追上商船,则 A,B,C 构成一 个三角形. 设所需时间为 t 小时, 则 AB=21t,BC=9t. 又已知 AC=10,依题意知,∠ACB=120° , 由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2· AC· BC· cos∠ACB. ∴(21t)2=102+(9t)2-2×10×9tcos120° , ∴(21t)2=100+81t2+90t, 即 360t2-90t-100=0.

2 5 ∴t=3或 t=-12(舍去). 2 ∴AB=21×3=14(海里). 2 即“黄山”舰需要用3小时靠近商船,共航行 14 海里.


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