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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题 几何证明选讲课件 文(选修4-1)


高考定位

1.几何证明选讲内容主要是相似三角形的判定定理

和性质定理、平行线截割定理、三角形射影定理以及圆周角

定理、圆的切线长定理、切割线定理、割线定理、相交弦定
理等.2.主要考查:(1)利用三角形相似或圆中的切割线定理证 明比例关系;(2)三角形或圆中的角度与长度的求解问题.

> 真题感悟
1.(2015· 天津卷)如图,在圆 O 中,M,N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD,CE 分别经过点 M,N.若 CM=2,MD=4,CN=3,则线 段 NE 的长为( 8 A.3 10 C. 3 ) B.3 5 D.2

解析 根据相交弦定理及题设可知, 2 2 CM· MD=AM· MB= AB =8, 9 2 2 8 CN· NE=AN· NB= AB =8,而 CN=3,所以 NE= .选 A. 9 3 答案 A

2.(2015· 重庆卷)如图,圆O的弦AB,CD相交 于点 E ,过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长

线交于点 P,若 PA = 6, AE = 9,PC = 3 ,
CE∶ED=2∶1,则BE=________.
解析 首先由切割线定理得 PA2=PC· PD, 62 因此 PD= 3 =12,CD=PD-PC=9,又 CE∶ED=2∶1, 因此 CE=6,ED=3,再有相交弦定理 AE· EB=CE· ED,所以 CE· ED 6×3 BE= AE = 9 =2.

答案 2

3.(2015· 湖北卷)如图, PA 是圆的切线, A 为切点, PBC 是圆的割线, AB 且 BC=3PB,则AC=________.

解析

由切割线定理知 PA2=PB· PC,且 BC=3PB,所以 PA=

1 2PB=2PC.由弦切角定理知∠PAB=∠PCA, 又∠APC=∠BPA,所以△PAB∽△PCA. AB PA 1 所以AC=PC= . 2 1 答案 2

4.(2015· 广东卷)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O 的切线,切点为C,BC=1,过圆心O做BC的平行线,分别交 EC和AC于点D和点P,则OD=________.

解析

如图所示,连接 OC,因为 OD∥BC,又 BC⊥AC,所以

1 1 OP⊥AC.又 O 为 AB 线段的中点,所以 OP=2BC=2.在 Rt△OCD 1 中,OC=2AB=2,由直角三角形的射影定理可得
2 2 OC 2 OC2=OP· OD,即 OD= OP = 1 =8,故应填 8. 2

答案 8

考点整合 1.(1)相似三角形的判定定理
判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与 另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似. 判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另 一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三

角形相似.
判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和 另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.

(2)相似三角形的性质

①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的
比都等于相似比; ②相似三角形周长的比等于相似比; ③相似三角形面积的比等于相似比的平方. (3)直角三角形的射影定理:直角三角形中,每一条直角边是

这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项;斜边上的高
是两直角边在斜边上射影的比例中项. 2.(1)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数.

3.(1)圆内接四边形的性质定理: ①圆的内接四边形的对角互补; ②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.

(2)圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么
这个四边形的四个顶点共圆. 4.(1)圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)圆的切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线.

(3)弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
(4)相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长 的积相等.

(5)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点 到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

5.证明等积式成立,应先把它写成比例式,找出比例式中给出的
线段所在三角形是否相似,若不相似,则进行线段替换或等比 替换. 6.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时,要注意找相等的角, 找相似三角形,从而得出线段的比 . 由于圆幂定理涉及圆中线

段的数量计算,所以应注意代数法在解题中的应用.

热点一 三角形相似的判定及应用
[微题型1] 利用弦切角定理证明三角形相似
︵ ︵ 【例 1-1】如图,已知圆上的弧AC=BD,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点. 证明:(1)∠ACE=∠BCD; (2)BC2=BE· CD.

证明

︵ =BD ︵ ,所以∠ABC=∠BCD. (1)因为AC

又因为 EC 与圆相切于点 C,故∠ACE=∠ABC, 所以∠ACE=∠BCD. (2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, BC CD 所以△BDC∽△ECB,故 BE= BC ,即 BC2=BE· CD.

探究提高

在证明角或线段相等时,证三角形相似是首选的解

题思路,如果涉及弦切角,则需考虑弦切角定理.

[微题型2] 利用圆周角、圆心角定理证明三角形相似
【例 1-2】如图,已知圆 O 是△ABC 的外接圆,AB=BC,AD 是 BC 边上的高,AE 是圆 O 的直径,过点 C 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F. (1)求证:AC· BC=AD· AE; (2)若 AF=2,CF=2 2,求 AE 的长.

(1)证明 连接 BE,由题意知△ABE 为直角三角形. 因为∠ABE=∠ADC=90° ,∠AEB=∠ACB, △ABE∽△ADC, AB AE 所以AD=AC,即 AB· AC=AD· AE.又 AB=BC,所以 AC· BC= AD· AE.

(2)解

因为 FC 是圆 O 的切线,所以 FC2=FA· FB,

又 AF=2,CF=2 2,所以 BF=4,AB=BF-AF=2, 因为∠ACF=∠FBC,又∠CFB=∠AFC, 所以△AFC∽△CFB. AF· BC AF AC 所以FC=BC,得 AC= CF = 2, 4+2-4 2 cos∠ACD=cos∠ACB= = , 2×2× 2 4 14 4 14 AB ∴sin∠ACD= 4 =sin∠AEB,∴AE= = 7 . sin ∠AEB

探究提高

在证明线段的乘积相等时,通常用三角形相似或圆

的切割线定理.同时,要注意等量的代换.

【训练 1】已知 AB 为半圆 O 的直径,AB=4,C 为半圆上一点,过 点 C 作半圆的切线 CD, 过点 A 作 AD⊥CD 于 D, 交半圆于点 E, DE=1. (1)求证:AC 平分∠BAD; (2)求 BC 的长.

(1)证明 连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA.

∵CD为半圆的切线,∴OC⊥CD.∵AD⊥CD,∴OC∥AD.
∴∠OCA=∠CAD,∴∠OAC=∠CAD,∴AC平分∠BAD. (2)解 连接CE,由(1)得∠OAC= ∠CAD,由圆周角相等所对弧及 弦也相等可知BC=CE.

∵A、B、C、E四点共圆.
∴∠CED=∠ABC. ∵AB是圆O的直径,∠ACB是直角.
1 BC DE CB ∴Rt△CDE∽Rt△ACB,∴CE=AB .∴BC= ,∴BC=2. 4

热点二 四点共圆的判定及性质 [微题型1] 四点共圆的判定
【例 2-1】 如图, 已知△ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H, ∠B=60° ,F 在 AC 上,且 AE=AF. 证明:(1)B、D、H、E 四点共圆; (2)EC 平分∠DEF.

证明 (1)在△ABC中,因为∠B=60° 所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为AD、CE是角平分线,

所以∠HAC+∠HCA=60°,
故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°, 所以B、D、H、E四点共圆.

(2)连接BH,则BH为∠ABC的平分线,

得∠HBD=30°.
由(1)知B、D、H、E四点共圆,所以∠CED=∠HBD=30°. 又∠AHE=∠EBD=60°, 由已知可得EF⊥AD,可得∠CEF=30°. 所以EC平分∠DEF. 探究提高 (1) 如果四点与一定点距离相等,那么这四点共圆; (2) 如果四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点 共圆; (3) 如果四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个 四边形的四个顶点共圆.

[微题型2] 考查四点共圆的性质
【例 2-2】 如图所示, 已知 AP 是⊙O 的切线, P 为切点, AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于 B、C 两点,圆心 O 在∠PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点. (1)证明:A,P,O,M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小.

(1)证明 连接OP、OM,

∵AP与⊙O相切于P,∴OP⊥AP,
又∵M是⊙O的弦BC的中点, ∴OM⊥BC, 于是∠OMA+∠OPA=180°,由圆心O在∠PAC的内部, 可知四边形APOM的对角互补,∴A,P,O,M四点共圆.

(2)解

由(1)得A,P, O,M 四点共圆,可知∠OAM =∠OPM ,

又∵OP⊥AP,由圆心在∠PAC的内部,可知∠OPM +∠APM= 90°,∴∠OAM+∠APM=90°.

探究提高 利用四点共圆的性质可解决角的相等,或结合切割线
定理解决线段成比例问题.

【训练 2】如图,已知在△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外接圆劣 ︵ 弧AC上的点(不与点 A,C 重合),延长 BD 至 E. (1)求证:AD 的延长线平分∠CDE; (2)若∠BAC=30° ,△ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3,求△ABC 外 接圆的面积.

(1)证明

如图,设F为AD延长线上一点.∵A、B、C、D四点共圆,

∴∠CDF=∠ABC.
又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF. 又∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF, 即AD的延长线平分∠CDE.

(2)解

设 O 为外接圆圆心,连接 AO 并延长 AO 交 BC 于 H,

则 AH⊥BC. 连接 OC,由题意∠OAC=∠OCA=15° ,∠ACB=75° , 3 ∴∠OCH=60° .设圆半径为 r,则 r+ 2 r=2+ 3, 得 r=2,∴△ABC 外接圆的面积为 4π.

1.判定三角形相似的思路大致有以下几条: (1)已知条件,判定思路; (2)一对等角,再找一对等角或找夹边成比例; (3)两边成比例,找夹角相等; (4)含有等腰三角形,找顶角相等或找一对底角相等或找腰对应

成比例.
2.运用相似三角形的性质解决问题,主要考虑相似三角形的对应 边、对应角、周长、面积之间的关系,多用于求某条线段的长 度、求证比例式的存在、求证等积式的成立等,在做题时应注 意认真观察图形特点,确定好对应边、对应角等.

3.已知圆的切线时,第一要考虑过切点和圆心的连线得直角;第 二应考虑弦切角定理;第三涉及线段成比例或线段的积时要考

虑切割线定理.
4.圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关 系,从而证明三角形全等或相似,可求线段或角的大小.


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