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四川省成都市“五校联考”2017届高三上学期九月联考试题 数学(理).doc


成都市“五校联考”高 2014 级第五学期九月考试题

数学(理)
时间 120 分钟总分 150 分 命题人:陈维军审题人:张尧何军 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) . 1.已知集合 A ? ??1, i? , i 为虚数单位,则下列选项正确的是 A. ? A B.

1 i

r />1? i ? A C. i5 ? A D. ?i ? A 1? i

x 2 2.已知集合 M ? y | y ? 2 , x ? 0 , N ? x | y ? lg(2 x ? x ) ,则 M ? N 为

?

?

?

?

A. (1,2)B. (1,+∞)C.2,+∞)D.1,+∞) 3 .如图所示的函数图象与 轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 . ...........x . ........................

A . ①③ B . ②④ . . .. . . .. C . ①② . ③④ . . .. D . . ..

4.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 (??,0) 上单调递增, 若实数 a 满足 f (2
| a ?1|

) ? f (? 2 ) ,则 a 的取值范围是
1 2 3 2
1 3 2 2 3 2

A. ( ?? , ) B. ( ?? , ) ? ( ,?? ) C. ( , ) D. ( ,?? ) 5.某流程图如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数 A. f ( x ) ?

1 2

2x ? 1 cos x ? ? (? ? x ? ) B. f ( x ) ? x x 2 2 2 ?1 x D. f ( x) ? x2 ln( x2 ? 1) x

C. f ( x ) ?

6.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a10= A.4 B.5 C.6 D.7 7.下列命题中是假命题的是 A. ?? ? R, ,使函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 是偶函数; B. ?? , ? ? R ,使得 cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ; C. ?m ? R, ,使 f ( x) ? (m ?1) ? x
m2 ?4m?3

是幂函数,且在 (0, ??) 上递减;

D. ?a, b ? R? ,lg(a ? b) ? lg a ? lg b . 8.若函数 f ( x) ?

d (a, b, c, d ? R) 的图象 ax ? bx ? c
2

如图所示,则 a : b : c : d ? A. 1: 6 : 5 : (?8) B. 1: 6 : 5 : 8 C. 1: (?6) : 5 : 8 D. 1: (?6) : 5 : (?8) 9.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ?

?
2

) 的一条对称轴为直线 x ?

F ( x) ? f '( x) ? f ( x ?

) 的图象,只需把函数 f ( x) 的图象 12 ? A.沿 x 轴向左平移 个单位,纵坐标伸长为原来的 3 倍 3 ? B.沿 x 轴向右平移 个单位,纵坐标伸长为原来的 3 倍 3 ? C.沿 x 轴向左平移 个单位,纵坐标伸长为原来的 3 倍 6 ? D.沿 x 轴向右平移 个单位,纵坐标伸长为原来的 3 倍 6

?

? ,则要得到函数 12

10.若直线 ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x﹣4y+1=0 截得的弦长为 4,则 最小值为() A . B. C.

1 1 ? 的 a b

3 3 ? 2 D. ? 2 2 2 2
2

11.若点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的最小距离为

A.1

B. 2 C.

2 D. 3 2

12.已知函数 f ( x) ? ?

2 ? ?kx ? k (1 ? a ),x ? 0 ,其中 a ? R ,若对 ?x1 ? 0 , 2 2 2 ? x ? ( a ? 4 a ) x ? ( 3 ? a ) , x ? 0 ?

?x2 ( x1 ? x2 ) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 k 的最小值为
D.8 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置) . 13.计算 2 log5 10 ? log5 0.25 ? __ ▲▲▲ . 14 .已知 . . ... f ( x) ? 1 ? log2 x (1 ? x ? 4) ,设函数 ....g ( x) ? f ( x) ? f ( x ) , .
2 2

A. ?8 B. ?6 C.6

则 ▲▲▲ .g ( x)max ? g ( x)min ? __ . . ... . .

15.若函数 f ( x) ? x2 的定义域为 D ,其值域为 ?0,1,2,3,4,5? ,则这样的函数 f ( x ) 有__ ▲▲▲ .个. (用数字作答) 16.如图,三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上,边 GD 上有 10 个不同的 点P ( AP 1, P 2, P 3 …… P 10 ,则 AF ? 1 ? AP 2 ? AP 3 ? ?? AP 10 ) =__ ▲▲▲ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos , ?1), n ? ( 3sin ,cos2 ) , 函数 f ( x) ? m ? n ? 1 . (1)若 x ?[0, ] , f ( x) ?

??? ? ??? ? ???? ????

???? ?

??

x 2

?

x 2

x 2

?? ?

?

2

11 ,求 cos x 的值; 10

(2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 2b cos A ? 2c ? 3a ,求角 B 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)在一个盒子里装有 6 张卡片,上面分别写着如下定义域为 R 的函 数:

f1 ( x) ? x ?1, f2 ( x) ? x2 , f3 ( x) ? sin x , f 4 ( x) ? log 2 ( x 2 ? 1 ? x)

f5 ( x) ? cos x ? x , f6 ( x) ? x sin x ? 2.
(1)现在从盒子中任意取两张卡片,记事件 A 为“这两张卡片上函数相加,所得新函 数是奇函数”,求事件 A 的概率; (2)从盒中不放回逐一抽取卡片,若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取,否 则继续进行,记停止时抽取次数为 ? ,写出 ? 的分布列,并求其数学期望 E? .

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60° , AB=2,PA=1,PA⊥平面 ABCD,E 是 PC 的中点,F 是 AB 的中点. (1)求证:BE∥平面 PDF; (2)求证:平面 PDF⊥平面 PAB; (3)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的大小.

20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :
2 x2 y 2 ,且点 P(2,1) 在椭 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 2 a b

圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 A 、 B 都在椭圆 C 上,且 AB 中点 M 在线段 OP (不包括端点)上.求 ?AOB 面 积的最大值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? mx (m ? R) . (1)若曲线 y ? f ( x) 过点 P(1, ?1) ,求曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最大值; (3)若函数 f ( x ) 有两个不同的零点 x1 , x2 ,求证: x1 ? x2 ? e2

请考生在第 22~24 三题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分. 22、(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 为圆 O 的直径,P 为圆 O 外一点,过 P 点作 PC ? AB 于 C,交圆 O 于 D 点, PA 交圆 O 于 E 点,BE 交 PC 于 F 点. (1)求证: ? P= ? ABE; (2)求证:CD2=CF· CP.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, Ox 轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的

1 ? x? ; ? t an? ? 方程为 ? ( ? 为参数) ,曲线 C2 的极坐标方程为: ? (cos? ? sin ? ) ? 1,若曲线 ?y ? 1 . ? t an2 ? ?
C1 与 C2 相交于 A、B 两点. (1)求|AB|的值; (2)求点 M (?1, 2) 到 A、B 两点的距离之积.

24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? | x ? 1| ? | x | ?a . (1)若 a ? 0 ,求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (2)若方程

f ( x) ? x 有三个不同的解,求 a 的取值范围.

2017 届高三数学六校联考(理科数学) 参考答案
一.选择:(12×5=60) 题号 答案 13. 2 1 C 2 A 14 5 3 A 4 C 5 A 6 B 7 D 16.180 8 D 9 A 10 C 11 B 12 D

二:填空(4×5=20) 15. 243

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

3 17.解: (Ⅰ) f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? 1 ? sin x ? 1 ? cos x ? 1 2 2 2 2 2
3 sin x ? 1 cos x ? 1 ? sin x ? ? ? 1 2 2 2 6 2 =

?

?

………2 分

? f ? x ? ? 11 ,?sin x ? ? ? 3 ,又 x ? ?0, ? ? ,? x ? ? ? ?? ? , ? ? ,? cos x ? ? ? 4 ……4 分 ? 10 6 5 6 ? 6 5 ? 2? ? ? 6 3? ?
?cos x ? cos ? x ? ? ? ? ? ? cos x ? ? cos ? ? sin x ? ? sin ? ? ? 6 6? 6 6 6 6 ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

4 3 ? 3 ………6 分 10

(Ⅱ)由 2b cos A ? 2c ? 3a 得 2 sin B cos A ? 2 sin C ? 3 sin A …………………8 分

?2sin B cos A ? 2sin ? A ? B ? ? 3 sin A ? 2sin B cos A ? 2 ?sin A cos B ? cos A sin B ? ? 3 sin A ………10 分
? 2sin A cos B ? 3 sin A,?cos B ? 3 ,? B ? 0, ? ? ………12 分 2 6? ?

?

18.解: (1)由题意得 f3 ( x), f 4 ( x) 是奇函数, f2 ( x), f5 ( x), f6 ( x) 为偶函数, f1 ( x) 为非奇 非偶函数,所以 P(A)=
2 C2 1 ? ………………(4 分) 2 C6 15

(2)由题意可知, ? 的所有可能取值为 1,2,3,4 P( ? ? 1 )=
1 1 1 1 1 1 3 C3 C3 C3 C3 C2C3 3 1 ? ? 3 ? ? , P ( 2 ) = , P ( ) = = , ? ? 1 1 1 1 1 1 C6 2 C6C5 10 C6C5C4 20 1 1 1 C3 C2C3 1 ………………(8 分) ? 1 1 1 1 C6C5C4C3 20

P( ? ? 4 )=

所以 ? 的分布列为:

?
P

1

2

3

4

1 2
………………(10 分

3 10

3 20

1 20

所以 E ? =1 ?

1 3 3 1 7 +2? +3 ? +4 ? = 。………………(12 分) 2 10 20 20 4

19.解: (Ⅰ)证明:取 PD 中点为 M,连 ME,MF. ∵E 是 PC 的中点∴ME 是△PCD 的中位线, ∴ME 平行且等于 行且等于 . .∵F 是 AB 中点且 ABCD 是菱形,∴AB 平行且等于 CD,∴ME 平

∴ME 平行且等于 FB∴四边形 MEBF 是平行四边形.从而 BE∥MF. ∵BE?平面 PDF,MF?平面 PDF, ∴BE∥平面 PDF.……………………(4 分) (Ⅱ)证明:∵PA⊥平面 ABCD,DF?平面 ABCD, ∴DF⊥PA.连接 BD, ∵底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60° ,∴△DAB 为正三角形. ∵F 是 AB 的中点,∴DF⊥AB. ∵PA∩AB=A,∴DF⊥平面 PAB. ∵ DF? 平 面 PDF , ∴ 平 面 PDF ⊥ 平 面 PAB.……………………(8 分) (Ⅲ)解:建立如图所示的坐标系,则 P(0,0,1) ,C ( ,3,0) ,D(0,2,0) , F( , ,0)由(Ⅱ)知 DF⊥平面 PAB,



是平面 PAB 的一个法向量,设平面 PCD 的一个法向量为

由 在以上二式中令 ∴

,且由 ,则得 x=﹣1, .设平面 PAB 与 ,

平面 PCD 所成锐角为 θ,则 cosθ=

=

故平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐角为 60° .……………………(12 分)

? c 2 ?e ? ? a 2 ? ?4 1 20.解: (1)由题意得: ? 2 ? 2 ? 1 ?a b ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
? x2 y2 ?a ? 6 ? ?1 ?? 所以椭圆 C 的方程为 6 3 ? ?b ? 3

………2 分

………4 分

(2)①法一、设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,直线 AB 的斜率为 k

? x12 y12 ? ?1 ? ? 6 3 则? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 3 ? 6
又直线 OP : y ?

?

2x 2 y x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 ? ? 0 ? 0 ? 0 ? k ? 0 ………6 分 6 3 6 3

1 1 x , M 在线段 OP 上, 所以 y0 ? x0 所以 k ? ?1 ………8 分 2 2

法二、设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,直线 AB 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,

? y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ? ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k ( y0 ? kx0 ) x ? 2( y0 ? kx0 ) 2 ? 6 ? 0 则 ? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?6

4k ( y0 ? kx0 ) ………6 分 1 ? 2k 2 2k ( y0 ? kx0 ) 1 又直线 OP : y ? x , M 在线段 OP 上, ? x0 ? ? 2 1 ? 2k 2
由题意, ? ? 0 所以 x1 ? x2 ? ?

1 2k ( ? k ) 1 2 ? 1 ? k ? ?1 所以 y0 ? x0 ,所以 ? 1 ? 2k 2 2

………8 分

法三、设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,直线 AB 的方程为 y ? kx ? m

? y ? kx ? m ? ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 6 ? 0 则 ? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?6

4km ………6 分 1 ? 2k 2 2km 1 (i) 又直线 OP : y ? x , M 在线段 OP 上, ? x0 ? ? 2 1 ? 2k 2 1 所以 y0 ? x0 (ii ) M 在直线 AB 上? y0 ? kx0 ? m (iii ) 2
由题意, ? ? 0 所以 x1 ? x2 ? ? 解 (i) (ii ) (iii ) 得: k ? ?1 设直线 AB 的方程为 y ? ? x ? m , m ? (0,3) ………8 分

? ?? ? 0 ? ? y ? ?x ? m 4m ? ? 2 2 2 ? 3x ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 ,所以 ? x1 ? x2 ? 则?x ………9 分 y2 3 ?1 ? ? ? 3 ?6 ? 2m 2 ? 6 x x ? ? 1 2 3 ?
所以 AB ? 1 ? (?1)2 | x1 ? x2 |?

4 9 ? m2 3

,原点到直线的距离 d ?

|m| 2

…10 分

? S?OAB ?

14 |m| 2 3 2 9 ? m2 ? ? (9 ? m2 )m2 ? 23 3 2 2
3 2 3 …12 分 2 ? (0,3) 时,等号成立.,所以 ?AOB 面积的最大值 2 2

当且仅当 m ?

21.解: (1)因为点 P(1,﹣1)在曲线 y=f(x)上,所以﹣m=﹣1,解得 m=1. 因为 f′(x)= ﹣1=0,所以切线的斜率为 0,所以切线方程为 y=﹣1.……(3 分) (2)因为 f′(x)= ﹣m= .

①当 m≤0 时,x∈(1,e) ,f′(x)>0,所以函数 f(x)在(1,e)上单调递增, 则 f(x)max=f(e)=1﹣me. ②当

1 ≥e,即 0<m≤ 时,x∈(1,e) ,f′(x)>0, m 1 <e,即 <m<1 时, m

所以函数 f(x)在(1,e)上单调递增,则 f(x)max=f(e)=1﹣me. ③当 1<

函数 f(x)在(1, 则 f(x)max=f( ④当

1 1 )上单调递增,在( ,e)上单调递减, m m

1 )=﹣lnm﹣1. m

1 ≤1,即 m≥1 时,x∈(1,e) ,f′(x)<0, m

函数 f(x)在(1,e)上单调递减,则 f(x)max=f(1)=﹣m. 综上,①当 m≤ 时,f(x)max=1﹣me; ②当 <m<1 时,f(x)max=﹣lnm﹣1; ③ 当 ≥1 时, f( x ) = ﹣ m . …… ( 8 分) (分类时,每个 分,综上所述 分) max .. . . .m . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .......1 . ......1 . .. (3)不妨设 x1>x2>0. 因为 f(x1)=f(x2)=0,所以 lnx1﹣mx1=0,lnx2﹣mx2=0, 可得 lnx1+lnx2=m(x1+x2) ,lnx1﹣lnx2=m(x1﹣x2) . 2 要证明 x1x2>e ,即证明 lnx1+lnx2>2,也就是 m(x1+x2)>2. 因为 m= 即 ln > ,所以即证明 .令 > , . = >0.

=t,则 t>1,于是 lnt>

令 f (t)=lnt﹣

(t>1) ,则 f ′(t)= ﹣

故函数 f (t)在(1,+∞)上是增函数, 所以 f (t)> f (1)=0,即 lnt> 成立.所以原不等式成立.…(12 分)

请考生在第 22~24 三题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分. 22、证明: (Ⅰ) ?AEB ? ?ACP ? 900 ,所以在 Rt ?ACP 中,

?P ? 90? ? ?PAB; 在 Rt ?ABE 中 , ?ABE ? 90? ? ?PAB; 所
以 ?P ? ?ABE. ……………………………….5 分 (Ⅱ) 在 Rt ?ADB 中, 由①得 ?BCF ∽ ?PCA , CD2 ? AC ? CB , ∴

BC CF ? , PC AC
,所以 CD2=CF· CP。………………….10 分

∴ CD2 ? BC ? AC ? CF ? CP

23.解:(Ⅰ) C1 : y ? x2 ( x ? 0), C2 : x ? y ? 1 ? 0 ,则 C 2 的参数方程为:

? 2 t, ? x ? ?1 ? ? 2 2 (t 为参数) ,代入 C1 得 t ? 2t ? 2 ? 0 , ? ? y ? 2 ? 2 t. ? ? 2

? AB ? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 10
(Ⅱ) MA ? MB ? t1t 2 ? 2 . ……….10 分

…………6 分

24 . 解 :( Ⅰ ) a ? 0 时 , f ( x) ? | x ? 1| ? | x | ?
x ? ?1 ??1, ? ?2 x ? 1, ? 1 ? x ? 0 ,……(2 分) ?1, x?0 ?

∴当 x ? ?1 时, f ( x) ? ?1 ? 0 不合题意;……(3 分)
1 当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 ? ? x ? 0 ;……(4 分) 2

当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? 0 符合题意.……(5 分)
1 综上, f ( x) ? 0 的解集为 [? , ? ?) .……(6 分) 2

(Ⅱ)设 u ( x) ? | x ? 1| ? | x | , y ? u ( x) 的图象和 y ? x 的图象如图:……(8 分) 易知 y ? u ( x) 的图象向下平移 1 个单位以内(不包括 1 个单位)与 y ? x 的图象始终有 3 个 交点,从而 ?1 ? a ? 0 .……(10 分)


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