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2014年高考山东数学理科卷21题解法研究


? ZHONGXUESHUXUEZAZHI? ? ? ? ? ? ? ? ? ? p + x 0 + 2p + x0


?

? ? ? ? 1 ?2 2

中学数学杂志? 2014 年第 7 期

x0 - y0



p 2

?( y 0 + p 2 )2

2p p ) - y0 2


于是 ?ABE 的面积 S= ? p) = 4p 2

2p ( x 0 +

12 + ( p 2( x 0 + ) 2 2 x0 x0 + 2px 0 p 2

x0 - y0

1 ?2 2p ?2 2 p

p x0 ? ?(2 2 x0 2 x0 且 x0 =

2 x0



)?( x 0 +

p2 + p) 4x 0

x0 ?

p2 + 4x 0



=2

2p ( x 0 +

2 x0



).

当且仅当 x 0 =

等号,故 ?ABE 的面积的最小值为 4p 2 .

p2 p 即 x 0 = 时取 4x 0 2

2014 年高考山东数学理科卷 21 题解法研究
山东省胶州市实验中学? ? 266300? ? 胡翠霞 ? ? 为 F ,A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l 形. 题目 ? 已知抛物线 C :y 2 = 2px( p > 0) 的焦点 经知道答案是(1,0) ! 题光学法类似) : ( 法二) 光学性质 + 几 如图 1,做 EG ? x 轴,交 图1

交 C 于另一点 B ,交 x 轴的正半轴于点 D,且有| FA | = | FD | . 当点 A 的横坐标为 3 时,?ADF 为正三角 ( Ⅰ) 求 C 的方程; ( Ⅱ) 若直线 l 1 ? l,且 l 1 和 C 有且只有一个公共 ( ⅰ) 证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; ( ⅱ) ?ABE 的面积是否存在最小值? 若存在, ( Ⅱ) ( ⅰ) ( 法一 ) 导数法 ( 与 2013 年山东理科

何法( 与 2013 年山东理科 22

点 E,

AB 于 G ,由抛物线的光学入 射及 反 射 原 理 知:?DAE =

请求出最小值;若不存在,请说明理由. 解析( Ⅰ) 抛物线 C 的方程:y 2 = 4x;( 略) 22 题(3) 问导数法一样) : y0 2

设 A( x 0 ,y 0 ) ( x 0 y 0 ? 0) ?D( x D ,0) ( x D > 0) , 因 为 FA = FD , 所 以 x D - 1 = x 0 + 1,x D = x 0 + 2?k AB = - ; 2 ?k AB = y

又因为 ( y 2 ) ? = ( 4x ) ??2yy? = 4,所以 y? = y0 2 4 4 = - ,所以 y E = - ,x E = 2 . yE 2 y0 y0

4 4 ? ? - y 0 ) ;AF = (1 - x 0 , - y 0 ) ? ? AE = ( 2 - x 0 , - y0 y0 ? ? 满足:AE ? AF ,所以 A,F ,E 三点共线!
56

( 由对称性及特殊情况 通径 在解答之前就已

?AEH = ?GEW = ?EGA = ?FDA = ?DAF ;所以 A,F ,E 三点共线; ( Ⅱ) ( ⅱ) ( 法一 ) 巧用切线转化三角形面积, 与 2014 青岛二模 20 题类似. 设 A( x 0 ,y 0 ) ( x 0 y 0 ? 0) ,D( x D ,0) ( x D > 0) , 因 为 FA = FD , 所 以 x D - 1 = x 0 + 1,x D = x 0 + y0 2?k AB = - ; 2 2 又因为 ( y 2 ) ? = ( 4x ) ??2yy? = 4 所以 y? = ?k AB = y y0 2 4 = - ,所以 y E = - = yG . yE 2 y0 y0 2 l AB :y - y 0 = - ( x - x 0 ) ,即:x = - y + x 0 + 2,代入 2 y0 8 8 y 2 = 4x 得:y 2 + y - 4x 0 - 8 = 0?y 0 + y B = - . y0 y0 8 如图 1:结合 y B = - y 0 - ,不难求得: y0 4 1 H( - 2 ,0) = ( - ,0) , x y0 0

中学数学杂志? 2014 年第 7 期? ? S ?ABE = = ? ? ? ? = 1 HD 2 y0 - yB y0 + y0 + 8 y0

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

ZHONGXUESHUXUEZAZHI?

( Ⅱ) ( ⅱ) ( 法二) 光学原理 + 几何性质.

1 8 1 + 2 2y 0 + x0 + ? 16. x0 y0 2 当且仅当 x 0 = 1 且 y 0 = ? 2 时取等号.

1 1 +2 x + 2 0 x0

y0 2 4 = - ,所以 y E = - = yG . yE 2 y0 y0 - yB y0 - yB y0 4 = 2 = =- = 又因为 k AB = 2 x0 - xB y0 + yB 2 y0 yB - 4 4 y0 + yB 2 ?y G = ?G 为 AB 中点. yG 2 所以 S ?ABE = 2S ?AGE = AE
2 16 ? 4 ? ? ÷ sinθ = ? 16, 2 sin θ sin 3 θ è ? ? ? 等号当且仅当 θ = 90? , 即 AE 斜率不存在时取

及反射原理知: y0 2

做 EG ? x 轴,交 AB 于 G ,由抛物线的光学入射

GE sinθ = AE 2 sinθ =

设 A( x 0 ,y 0 ) ( x 0 y 0 ? 0) ?D( x D ,0) ( x D > 0) , 因 为 FA = FD , 所 以 x D - 1 = x 0 + 1,x D = x 0 + 2 又因为 ( y ) ? = ( 4x ) ??2yy? = 4 所以 y? = ?k AB = y


2?k AB = -



得. 其中,焦点弦公式 AE = 斜角.

2p ,θ 为直线 AE 的倾 sin 2 θ

2014 年高考山东数学文科卷 21 题的探究
山东梁山县第一中学? ? 272600? ? 王? 敏 a x2


? ? 题目 ? 在平面直角坐标系中,椭圆 C : 1( a > b > 0) 的离心率为 得的线段长为 4 10 . 5



y2 b




3 ,直线 y = x 被椭圆 C 截 2

λk 2 ;(2) 三角形 OMN 面积的最大值是 B ( - x 1 , - y 1 ) . 直线 AB 的斜率 k AB = 知直线 AD 的斜率 k = - m ? 0. x1 y1 . y1 x1

证明 ? 设 A( x 1 ,y 1 ) ( x 1 y 1 ? 0) ,D( x 2 ,y 2 ) ,则有 ,由 AD ? AB ,

c4 . 4ab

( Ⅰ) 求椭圆 C 的方程;

B 不是椭圆 C 的顶点 ) , 点 D 在椭圆 C 上, 且 AD ? AB ,直线 BD 与 x 轴?y 轴分别交于 M,N 两点, ( ⅱ) 求 ?OMN 面积最大值. x2 y2 b2 ( ⅰ) 设直线 BD,AM 的斜率分别为 k 1 ,k 2 , 证明 存在常数 λ 使得 k 1 = λk 2 ,并求出 λ 的值; 形. 通过探究,可以将本题的结果推广到更一般情 定 理 ? 椭圆 C : a2 + = 1( a > b > 0) ,过原点

( Ⅱ) 过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点( A,

设直线 AD 的方程为 y = kx + m,由条件知 k ? 0,

x2 y2 ì ? ? 2 + 2 = 1, 联立 ía 消去 y,整理得 ( a 2 k 2 + b 2 ) x 2 b ? ? y = kx + m, ? 2 + 2a kmx + a 2 m 2 - a 2 b 2 = 0. 有 x1 + x2 = - 2a 2 km , a2 k2 + b2 2mb 2 . a2 k2 + b2

的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点 ( A,B 不是椭圆 C 的 顶点) ,点 D 在椭圆 C 上,且 AD ? AB ,直线 BD 与 x 轴, y 轴分别交于 M,N 两点,(1) 设直线 BD,AM 的斜 率分别为 k 1 ,k 2 ,则存在常数 λ = 1 - 2e2 , 使得 k 1 =

y 1 + y 2 = k( x 1 + x 2 ) + 2m =

b2 y1 b2 =- 2 = 2 , 由条件知 x 1 ? - x 2 ,k 1 = x1 + x2 a k a x1 则直线 BD 的方程为 y + y 1 = a2 x1 b2 y1 ( x + x1 ) ,
57

y1 + y2


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