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高中数学竞赛讲义


三角函数 一、基础知识 定义 1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则 角为正角, 若旋转方向为顺时针方向, 则角为负角, 若不旋转则为零角。 角的大小是任意的。 定义 2 角度制,把一周角 360 等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对 的圆心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。若圆心角的弧长为 L,则其弧度数的绝对值|α |

= L , r 其中 r 是圆的半径。 定义 3 三角函数, 在直角坐标平面内, 把角α 的顶点放在原点, 始边与 x 轴的正半轴重合, 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P,设它的坐标为(x,y) ,到原点的距离为 r,则正 x x y y ,余弦函数 cosα = ,正切函数 tanα = , 余切函数 cotα = , 正割函数 sec y r r x r r α = ,余割函数 cscα = . y x 1 1 1 定理 1 同角三角函数的基本关系式, 倒数关系: tanα = ,sinα = , cosα = ; cot? csc? sec? sin ? cos? 商数关系:tanα = ;乘积关系:tanα ×cosα =sinα ,cotα ×sinα =cos , cot? ? cos? sin ? 弦函数 sinα = α ;平方关系:sin2α +cos2α =1, tan2α +1=sec2α , cot2α +1=csc2α . 定理 2 诱导公式(Ⅰ)sin(α +π)=-sinα , cos(π+α )=-cosα , tan(π+α )=tanα , cot(π+α )=cot α ;(Ⅱ)sin(-α )=-sinα , cos(-α )=cosα , tan(-α )=-tanα , cot(-α )=cotα ; (Ⅲ)sin(π-α )=sin α , cos(π-α )=-cosα , tan=(π-α )=-tanα , cot(π-α )=-cotα ; (Ⅳ)sin ? cos ? ?? ? ? ? ? =cosα , ?2 ? ?? ? ?? ? 。 ? ? ? =sinα , tan ? ? ? ? =cotα (奇变偶不变,符号看象限) ?2 ? ?2 ? 定理 3 正弦函数的性质,根据图象可得 y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区间 ? 3 ? ? ?? ? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? 上为增函数,在区间 ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? ? 上为减函数,最小正周期 ? ? ? ? 为 2 ? . 奇偶数. 有界性:当且仅当 x=2kx+ 取最小值-1。对称性:直线 x=k ? + ? 均为其对称轴,点(k ? , 0)均为其对称中心,值域为 2 ? ? 时,y 取最大值 1,当且仅当 x=3k ? - 时, y 2 2 [-1,1]。这里 k∈Z. 定理 4 余弦函数的性质, 根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。 单调区间: 在区间[2kπ, 2kπ+π] 上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为 2π。奇偶性:偶函数。对称性: 直线 x=kπ 均为其对称轴,点 ? k? ? ? ? ? ? ,0 ? 均为其对称中心。有界性:当且仅当 x=2kπ 时,y 2 ? 取最大值 1;当且仅当 x=2kπ-π 时,y 取最小值-1。值域为[-1,1]。这里 k∈Z. 定理 5 正切函数的性质:由图象知奇函数 y=tanx(x

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