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河北省衡水市冀州中学2015-2016学年高二数学上学期第一次月考试题A卷 理


河北冀州中学 2015----2016 学年上学期第一次月考 高二年级 理科数学试题
考试时间:120 分钟 试题分数:150 分 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1、设集合 P={x∈R|x +2x<0},Q={x∈R| A、 (﹣2,1) B、 (﹣1,0)
2

r />
>0},则 P ? Q = C、 ?

( D、 (﹣2,0)



2、已知菱形 ABCD 的边长为 a , ?ABC ? 60? ,则 BD ? CD ? A、 ?

??? ? ??? ?





3 2 3 3 3 B、 ? a 2 C、 a 2 D、 a 2 a 2 4 4 2 1 1 3、若 ? ? 0, 则下列不等式: (1) a ? b ? a ? b ; (2) a ? b ;(3) a ? b 中, a b
正确的不等式有 A、1 个 ( B、2 个 C、3 个 D、0 个 )

4 4、已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? , 则?an ?的前10项和等于 ( ) 3 1 -10 -10 -10 -10 A、 -6 ?1-3 ? B、 ?1-3 ? C、 3 ?1-3 ? D、 3 ?1+3 ? 9
5、函数 f ? x ? ? 2cos x ? sin x ? cos x ? 的最大值和最小正周期分别是 ( ) A. 2,π B. 2 ? 1, ? C. 2,2π D. 2 ? 1, 2?

6、若按如图的算法流程图运行后,输出的结果是 ,则输入的 N 的值为 ( )

A、5 B、6 C、7 D、8 7、一个四棱锥的三视图如图所示,其侧视图是等 边三角形, 则该四棱锥的体积等于 ( ) A. 8 3 B. 16 3 C. 24 3 D. 48 3

8、函数 f ? x ? ? ? cos x ? lg x 的部分图象是





1

A、

B、

C、

D、 ( )

9、在 ?ABC 中, a ? 2 3 , b ? 2 2 , B ? 45? ,则 A ?

A、 30 ? B、 60 ? C、 30 ? 或 150 ? D、 60 ? 或 120 ? 10、把 y = ln( x + 1) 的图像的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的三倍,再向右移动一个单 位,得到的函数解析式是 ( )

x+ 2 D、 y = ln(3x - 2) 3 ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? 11、 ???C 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a 、 b 满足 ?? ? 2a , ?C ? 2a ? b ,
A、 y = ln 3x B、 y = ln C、 y = ln 则下列结论正确的是 A、 b ? 1 ( B、 a ? b )

x 3

?

?

?

C、 a ? b ? 1

? ?

D、 4a ? b ? ?C

?

?

?

?

??? ?

12、若 tan ? ? 2 tan

?
5

cos(? ?
,则

sin(? ?

3? ) 10 ?

?





5

)
C、3 D、4

A、1

B、2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )
?x ? y ≤0, ? 13、若 x , y 满足 ? x ? y ≤ 1 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x≥0, ?



14、 已知三棱锥 S﹣ABC, 所有顶点都在球 O 的球面上, 侧棱 SA⊥平面 ABC, SA=AC=2, BC=2 ∠A=90°,则球 O 的表面积为 . sin 2 A 15、在 △ ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则 . ? sin C 16、如果函数 f ? x ? ?



1 1 ? , 2 ? 上单调递 ? m ? 2 ? x 2 ? ? n ? 8 ? x ? 1 ? m ? 0, n ? 0? 在区间 ? ? 2 ?2 ?


减,则 mn 的最大值为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 17、 (本小题满分 10 分)

?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3a cos C ? 2c cos A , tan A ?

1 , 3
2

求 B.

18、 (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {

1 1 成立的 n 的最小值. } 的前 n 项和 Tn ,求得 | Tn ? 1|? 1000 an

19、 (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,Q 为 AD 的中点. (1)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA=PD=AD=2,点 M 在线段 PC 上,且 PM=3MC, 求三棱锥 P﹣QBM 的体积.

20、 (本小题满分 12 分)

3

已知函数 f ( x) ? sin

x x x 3 cos ? 3 cos 2 - 3 3 3 2

(1)求 f ( x ) 的最小正周期及其对称中心; (2)如果三角形 ABC 的三边 a、b、c 满足 b =ac,且边 b 所对角为 x,试求 x 的范围及此时 函数 f (3x) 的值域。
2

21、 (本小题满分 12 分)
? 已知首项都是 1 的两个数列 an , bn , bn ? 0, n ? N ,满足

? ?? ? ?

?

anbn?1 ? an?1bn ? 2bn?1bn ? 0 。
(1)令 cn ?

an ,求数列 ?cn ? 的通项公式; bn

(2)若 bn ? 3n?1 ,求数列 an 的前 n 项和

? ?

22、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log9 (9x ? 1) ? kx(k ? R) 为偶函数. (1)求 k 的值; (2)解关于 x 的不等式 f ( x ) ? log 9 (a ?

1 ) ? 0(a ? 0) a

高二理科数学第一次月考答案 A 卷:1—6::BDACBB ; 7——12 AADCDC B 卷:1—6:CBBDDB ; 7——12 DACBBB 13、2 ;14、 16? ;15、1 ; 16、18

4

?B ?

3? 4

18、 (1)由已知 S n ? 2an ? a1 ,有 an ? S n ? S n ?1 ? 2an ? 2an ?1 (n ? 2) , 即 an ? 2an ?1 (n ? 2) . ——————————————— 2 分 从而 a2 ? 2a1 , a3 ? 4a1 . 又因为 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列,即 a1 ? a3 ? 2(a2 ? 1) . 所以 a1 ? 4a1 ? 2(2a1 ? 1) ,解得 a1 ? 2 .—————————— 4 分 所以,数列 {an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 故 an ? 2n . ——————————————————————6 分 (2)由(1)得

1 1 ? n. an 2

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 2 ? 1 ? 1 .———8 分 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 1 2 2 2 2 2n 1? 2
由 | Tn ? 1|?
9

1 1 1 n ,得 |1 ? n ? 1|? ,即 2 ? 1000 . 1000 2 1000
10

因为 2 ? 512 ? 1000 ? 1024 ? 2 , 所以 n ? 10 . 于是,使 | Tn ? 1|?

1 成立的 n 的最小值为 10. 1000

——————————12 分

19、解答:解: (1)∵PA=PD, ∴PQ⊥AD, 又∵底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°, ∴BQ⊥AD,PQ∩BQ=Q, ∴AD⊥平面 PQB 又 AD ? 平面 PAD, ∴平面 PQB⊥平面 PAD;————————————————— 4分 (2)∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PQ⊥AD, ∴PQ⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD, ∴PQ⊥BC, 又 BC⊥BQ,QB∩QP=Q,
5

∴BC⊥平面 PQB, 又 PM=3MC, ∴VP﹣QBM=VM﹣PQB= ——————————12 分

x x x 3 1 2x cos ? 3 cos2 ? ? sin ? 3 3 3 3 2 2 3 2x ? 2x ? 2x ? cos ? cos sin ? sin( ? ) …………….4 分 = sin 3 3 3 3 3 3 2? ……………5 分 ? f ? x ? 的最小正周期为 T ? ? 3? 2 3
20、解:(1) f ( x) ? sin

1 ? cos

2x 3 ? 3 2 2

? 3k? ? ? f ? x ? 的对称中心为 ? ? ,0? 2 ? ? 2
2 (2) ? b ? ac

?k ? z?

…………….6 分

? cos x ?

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2
?

………..8 分
x ? (0, ] 3



x ? ? 0, ? ?

?

-------------------------------------------------- 10 分 而 f ? 3x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?

? ?? ? ? 由 x ? (0, ] ,得 2 x ? ? ? , ? ? 3 3 ?3 ?

?? ? ? f ? 3x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ?0,1? 3? ?

……………….12 分

6

所以 Sn ? (n ? 1) ? 3n ? 1. 22.解: (1)∵f(x)为偶函数, ∴f(-x)=f(x)..
9

即 log9(9 +1)-kx=log9(4 +1)+kx,

-x

9

x x 1 ∴log9 9 ? -log9(9 +1)=2kx, x

∴ 1 . 2

(2k



1)x



0



∴k





..................................................................4 分
1? x 1? ? x (2) f ? x ? ? log9 ? ? a ? ? ? 0 ? log9 ? 9 ? 1? ? ? log9 ? a ? ? ? a? 2 ? a?
? log 9 9x ? 1 9
x 2

1? ? ? log 9 ? a ? ? a? ?

?

9x ? 1 1 ?a? x 3 a

…………6 分

? 3x

? ?

2

1? 1? ? ? ? ? a ? ? 3x ? 1 ? 0 ? 3x ? a ? 3x ? ? ? 0 a? a? ? ?

?

?

…………8 分

? ? ? a ? 1 时 ? 3 x ? a 或 3x ?
a

1 1? ? ?x x ? log3 a 或 x ? log3 ? a a? ? ? x x ? log 3 1 或 x ? log3 a? a

1 ? ?? ? 0 ? a ? 1 时 ? 3x ? 或 3x ? a

? ??? ? a ? 1 时 ? 3x ? 1 ? ?x x ? 0?

…………12 分

7


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