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江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学等2015-2016学年高二数学上学期期末联考试题 文


2015-2016 学年度第一学期期末联考高二文科数学测试卷
一、选择题(本共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题只有一个正确答案) 1、命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是( ) (A)所有不能被 2 整除的数都是偶数 (B)所有 能被 2 整除的整数都不是偶数 在一个不能被 2 整除的数都是偶数 (D)存在一个能被 2 整除的数不是偶数 2

、曲线 y ? 4 x ? x 3 在点 ? ?1, ?3? 处的切线方程是( (A) y ? x ? 2 3、复数 (B) y ? 7 x ? 2 ) C. ? 2 ? i
3 2

(C)存

) (D) y ? 7 x ? 4

(C) y ? x ? 4

5i =( 1 ? 2i

A. 2 ? i

B. 1 ? 2i

D. ?1 ? 2i )

4、若 a>0,b>0,f(x)=4x -ax -2bx+2 在 x=1 处有极值,则 a+b=( A.2 B.3 C.6 D.9 5、下列命题正确的是( A )

如果两个复数的积是实数,那么这两个复数互为共轭复数
2

B 用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是: 2 方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 C 在复平面中复数 z 满足|z|=2 的点的轨迹是以原点为圆心,以 2 为半径的圆 D 等轴双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上任意一点到两焦点的距离之差= 2 3 3 3

6、王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品,非常气愤的说了句“真是便宜没好货”,按照王大妈的 理解,“不便宜”是“好货”的( ) 必要不充分条件 既不充分也不必要条件

A C

充分不必要条件 充分必要条件

B D

7、 12 月 26 号南昌地铁一号线正式运营, 从此开创了南昌地铁新时代, 南昌人民有了自己开往春天的地铁。 设地铁在某段时间内进行调试,由始点起经过 t 分钟后的距离为 s = 零的时刻是( ) D.0 分,4 分,8 分末 )

1 4 3 2 t - 4t + 16t ,则列车瞬时速度为 4

A.4 分末 B.8 分末 C.0 分与 8 分末 8、函数的图象如图所示,则导函数的图象 大致是(

9、下列说法正确的是( A


1

动物和植物的机体都是细胞组成的;植物细胞中有细胞核,所以动物细胞中也有细胞核。此推理是

归纳推理 B C D “由圆的性质推出球的有关性质”是类比推理 观察下列各式:a ? b ? 1, a2 ? b2 ? 3, a3 ? b3 ? 4, a4 ? b4 ? 7, a5 ? b5 ? 11,?则可得到 a ? b ? 122
10 10

函数 f( x)是可导函数,已知 f′(a)=0 则 a 为 f(x)的极值点 )时,复数 z= x 2+x-2 ? x 2 ? 3x+2 i (x∈R)是纯虚数 B.1 或-2 C.-1 D.-2
2

10、当 x=( A.1

?

? ?

?

11.已知椭圆 C: +y =1 的焦点为 F1、F2,若点 P 在椭圆上,且满足|PO| =|PF1|·|PF2|(其中 O 为坐标 4 原点),则称点 P 为“★点”.下列结论正确的是( A.椭圆 C 上的所有点都是“★点 C.椭圆 C 上的所有点都不是“★点” )

x2

2

B.椭圆 C 上仅有有限个点是“★点” D.椭圆 C 上有无穷多个点是“★点”

12、随着学习的深入我们发现很多对事物的看法已经颠覆了我们传统的认识,例如直线与曲线有且只有一 个交点并不能说直线是曲线的切线,曲线的切线与曲线的切点也不一定只有一个。若在曲线 f(x,y) =0 上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f(x,y)=0 的“自公切线”。下列方程: ① x 2 ? y 2 ? 1;② y ? x2 ? | x | ,③ y ? 3sin x ? 4cos x ;④ | x | ?1 ? 公切线”的有( A.①② ) B.③④ C.①④ D ②③

4 ? y 2 对应的曲线中存在“自

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、复数 z= ?3 ? 4i
x

则|z|

= (

)

14、曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线斜率为 15、函数 y=f(x)在其定义域

3 (? ,3) 内可导,其图象如 图所示,记 y=f(x)的导函数为 y=f′(x),则不等式 2

f′(x)≤0 的解集为__________

16、在抛物线 y =2px(p>0)中有如下结论:过焦点 F 的动直线 l 交抛物线 y =2px(p>0)于 A、B 两点, 则 1 |AF| + 1 |BF| =

2

2

x y 2 为 定 值 , 请 把 此 结 论 类 比 到 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 中 有 : a b p
2 2

2

2

x y 1 1 ______________________;当椭圆方程为 + =1 时, + =___________. 4 3 |AF| |BF| 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.写出必要的解答过程)
3 2 17、 (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b x+c (a, b ? R) 若函数 f ( x) 在 x ? 0, x ? 2 处取得

2

极值, ( 1)求 a, b 的值. ⑵ 若 x ? [0,1] , f ( x) ≤ c ? 2 恒成立时求实数 c 的取值范围.
2

18 、(本小题满分 12 分) 在抛物线 y ? x 2 ? ax ? 5(a ? 0) 上取横坐标为 x1 ? ?4, x2 ? 2 的两点 A,B,过这两 点引一条割线,抛物线在点 Q 平行于该割线的一条切线同时与圆 5x 2 ? 5 y 2 ? 36 相切 (1) 求切点 Q 的横坐标 (2) 求切线和坐标轴所围三角形面积

19、(本小题 12 分) 命题 p: 复数 z ? (m2 ? m ? 1) ? (m2 ? 3m)i, m ? R 表示的点位于复平面第四象限 1 3 2 2 命题 q: 函数 f(x)= x -(4m-1)x +(15m -2m-7)x+2 在 R 上是增函数 3 如 果命题“p∧q”为真命题,求实数 m 的取值范围.

20、已知函数 f ? x ? ? e ? ax ( a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ? x ? 在点 A 处的切线斜率为
x

-1. (I)求 a 的值及函数 f ? x ? 的极值; (II)证明:当 x ? 0 时, x 2 ? e x (本小题 12 分)

21、 (本小题 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,焦距为 2. (1)求椭圆 C 2 a b 2
3

的方程; (2)抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点和椭圆的右焦点重合,过右焦点作斜率为 1 的直线交椭圆于 A,B,交抛物线于 C,D,求⊿OAB 和⊿OCD 面积之比(O 为坐标原点)

22、 (本小题 12 分)已知函数 f(x)=ln(x- 1)-k(x-1)+1(k∈R) (1)求 f ( x ) 的单调区间和极值; (2)若 f ( x ) ≤0 对定义域所有 x 恒成立,求 k 的取值范围; (3)n≥2,n∈N 时证明 ln2+ln3+??lnn≤

n(n ? 1) 2

4

高二文科数学期末联考卷答案 一、选择题 DACCC BDDBA BD 二、填空题 16 (13) 5 (14) 3 (15) ( ? ,1) ? (2,3) (写闭区间也可)

1 3

2 2 2a 1 1 过椭圆 x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点 F 的直线交椭圆于 A,B 则 + = 2 为定值,当椭圆方程为 |AF| |BF| b a b

x2 y2
4

4 1 1 + =1 时, + = 3 |AF| |BF| 3

三、解答题 17 解: (1)由 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax +b =0 把 x=0,2 代入解得 a=-3. b=0????5 分
2

(2)当 x ? [0,1] ,函数 f ( x) 递减,所以 f(0) ≤ c ? 2 所以 c ? 2 ? c解得c ? ?1或c ? 2 ????????????10 分
2

18. 解:

A(?4,11 ? 4a), B(2, 2a ? 1), 所以K AB ? a ? 2 设切点Q(x0 , y0 ), 则k=2x0 ? a ? a ? 2 所以x0 ? ?1 切线方程为(a ? 2) x ? y ? 6 ? 0 d? 6 (a ? 2) ? 1
2

......6 分

?

6 所以a ? 4 5

.....9 分

所以切线方程为 2x-y-6=0 与坐标轴所围三角形面积为 9. .....12 分 解:p: 0 ? m ? 3 19 ....3 分

f ?( x) ? x 2 ? (8m ? 2) x ? 15m2 ? 2m ? 7 ? 0恒成立
q:

所以? ? 0,解得2 ? m ? 4

??9 分

P 真 q 真,所以 2 ? m ? 3 .....12 分 20 所以 当 所以当 时, 时, 【解】 (I)由 ,得 .令 单调递减;当 取得极小值,且极小值为 ,得 时, .又 ???4 分 单调递增??6 分 无极大值?8 分 ,得 ???2 分

5

(II)令 增,又

,则 ,因此,当 时,

.由(I)得 ,即 ??1 2 分

,故

在 R 上单调递

x2 ? y 2 ? 1 ?????(5 分 ) 21 解析: (1)椭圆方程为 2
x2 ? y 2 ? 1中得3x2 ? 4 x ? 0 2 4 4 2 所以|AB |? (1 ? 1)( ) 2 ? .......8分 3 3 2p 4 (2) | CD |? ? ? 8.......10分 2 sin ? 1 2 4 2 S? OAB |AB | 2 所以 ? ? 3 ? ......12分 S? OCD | CD | 8 6 把直线y ? x ? 1代入
f ?( x) ?
22.解: (1)

1 ? k, 令f ?( x) ? 0则kx ? k ? 1 x ?1

k ?1 k k ?1 k ?1 k ?1 ? f ( x)在( 1, )是递增的,在( , +?)是递减的,f(x)在x= 有极大值 k k k (2)k ? 0时,f ( x)在( 1, +?)是递增的,f(x)无极值 (1)k ? 0时,x ?
......4



(1)k ? 0时, k ?1 k ?1 1 ? f ( x)在x= 有最大值,所以f( ) ? ln ? 0, 所以k ? 1 k k k (2)k ? 0时,f ( x)在( 1, +?)是递增的,f(x)无最值,不合题意,舍去 综上,k ? 1
....8 分

由(2)知k ? 1时,f ( x) ? 0成立,所以 ln( x ? 1) ? x ? 2 令x ? 1 ? n, 得 lnn ? n ? 1对n ? 2, n ? N 成立,所以 (n ? 1)(1 ? n ? 1) n(n ? 1) ln 2 ? ln 3 ? ...... ? ln n ? 1 ? 2 ? ...... ? (n ? 1) ? ? ..............12 2 2

(3) 分

(用数学归纳法证明的也可)
6


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