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新课标2016年高三数学寒假作业9


【KS5U】新课标 2016 年高三数学寒假作业 9

一、选择题. 1.设 f(x)=|lnx|,若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在区间(0,3]上有三个零点,则实数 a 的取值范 围是( ) ,e) C. (0, ] D.[ , ) )

A. (0, ) B. (

2.若数列{an}的通项公式是 an=(﹣1)

n(3n﹣2) ,则 a1+a2+…+a10=( A.15 B.12 C.﹣12 D.﹣15 <β<0,cos( D.﹣ +α)= ,cos( ﹣ )=

3.若 0<α< A.

,﹣ C.

,则 cos(α+

)=(

)

B.﹣

4.已知 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 边 BC 上的动点,则 A.是定值 6 B.最大值为 8 C.最小值为 2 D.与 P 点位置有关

的值(

)

5.已知 a>0,x,y 满足约束条件 A. B. C.1 D.2

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=(

)

6.已知 a,b 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列说法正确的是( A.若 a∥b,b? α ,则 a∥α B.若 a∥α ,b? α ,则 a∥b

)

C.若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b D.若 a⊥b,b⊥α ,则 a∥α 7.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 5,则输出结果为( )

A.5

B.6

C.11

D.16

8.f(x)= x3﹣x2+ax﹣1 己知曲线存在两条斜率为 3 的切线,且切点的横坐标都大于零,则实数 a 的 取值范围为( A. (3,+∞) ) B. (3, ) C. (﹣∞, ] D. (0,3) )

9.在△ABC 中,AB=2BC,以 A,B 为焦点,经过 C 的椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2,则( A. ﹣ =1 B. ﹣ =2

C.



=1 D.



=2

10. (1 ? x) 的展开式中 x 的系数是(
7
2

)

( A) 42
二.填空题.

( B ) 35

(C ) 28

( D) 21

11. 已知 (1 ? x) n ? 1 ? a1 x ? a2 x 2 ? ... ? an x n , n ? N ? 且 S n ? a1 ? 2a2 ? ... ? nan , n ? N ? 当 n ? 3 时, S 3? ; 当 n ? N 时,
?

?S
i ?1

n

i

?

. . . .

12.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,an=4Sn﹣3,则 S4= 13.函数 f(x)=1﹣3sin2x 的最小正周期为 14.已知 x>1,则函数 y=2x+ 的最小值为

三、解答题. 15.已知向量 =(sinx,﹣cosx) , =(cosθ,﹣sinθ) ,其中 0<θ<π.函数 f(x)= 最小值. (Ⅰ)求 θ 的值; (Ⅱ)设 A,B,C 为△ABC 的三个内角,若 sinB=2sinA, 16.已知向量 =( sinx,cosx) , =(cosx,cosx) , =(2 ,求 A. ,1) ,且 cosx≠0. 在 x=π 处取

(Ⅰ)若 ∥ ,求 ? 的值; (Ⅱ)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, f(A)的值域. 17.某校高三数学竞赛初赛考试后,对 90 分以上(含 90 分)的成绩进行统计,其频率分布直方图如 图所示.若 130~140 分数段的人数为 2 人. (1)求这组数据的平均数 M; (2)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、?、第五组) 中任意选出两人, 形成帮扶学习小组. 若选出的两人成绩之差大于 20, 则称这两人为“黄金搭档组”, 试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率. ,且 ,求函数

【KS5U】新课标 2016 年高三数学寒假作业 9 1.D 【考点】根的存在性及根的个数判断;函数零点的判定定理. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】首先,画出函数 f(x)=|lnx|的图象,然后,借助于图象,结合在区间(0,3]上有三个 零点,进行判断. 【解答】解:函数 f(x)=|lnx|的图象如图示:

当 a≤0 时,显然,不合乎题意, 当 a>0 时,如图示, 当 x∈(0,1]时,存在一个零点, 当 x>1 时,f(x)=lnx, 可得 g(x)=lnx﹣ax, (x∈(1,3]) g′(x)= = ,

若 g′(x)<0,可得 x> ,g(x)为减函数, 若 g′(x)>0,可得 x< ,g(x)为增函数,

此时 f(x)必须在[1,3]上有两个零点,



解得,



在区间(0,3]上有三个零点时, , 故选 D. 【点评】本题重点考查函数的零点,属于中档题,难度中等. 2.A 【考点】数列的求和. 【专题】计算题. 【分析】通过观察数列的通项公式可知,数列的每相邻的两项的和为常数,进而可求解. 【解答】解:依题意可知 a1+a2=3,a3+a4=3?a9+a10=3 ∴a1+a2+?+a10=5×3=15 故选 A. 【点评】本题主要考查了数列求和.对于摇摆数列,常用的方法就是隔项取值,找出规律. 3.C 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值. 【专题】三角函数的求值. 【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得 sin( 用 cos(α + )=cos[( +α )﹣( ,﹣ < = ﹣ ﹣ +α )和 sin( ﹣ )的值,进而利

)]通过余弦的两角和公式求得答案.

【解答】解:∵0<α < ∴ < +α < +α )= ,

<β <0, < ﹣ )= =

∴sin(

,sin(

∴cos(α + ( ﹣ )=

)=cos[(

+α )﹣(



)]=cos(

+α )cos(



)+sin(

+α )sin

故选 C 【点评】 本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值. 关键是根据 cos (α + ﹣( 4.A 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题. 【分析】先设 = , = , =t ,然后用 和 表示出 ,再由 = + 将 = 、 =t ﹣ )],巧妙利用两角和公式进行求解. ) =cos[ ( +α )

代入可用 和 表示出 而可得到答案. 【解答】解:设 则
2

,最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得

的值,从

=

=

=t

=
2



= ﹣ ,

=4= = ?﹙

? =2×2×cos60°=2 = +t﹙ ﹣ ﹚=﹙1﹣t﹚ +t + + = +
2

+

﹚=﹙﹙1﹣t﹚ +t ﹚?﹙ + ﹚=﹙1﹣t﹚ +[﹙1﹣t﹚+t]

+t

2

=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6 故选 A. 【点评】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算.高考对向量的考查一般不会太难,以 基础题为主,而且经常和三角函数练习起来考查综合题,平时要多注意这方面的练习. 5.B 【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】 先根据约束条件画出可行域, 设 z=2x+y, 再利用 z 的几何意义求最值, 只需求出直线 z=2x+y 过可行域内的点 B 时,从而得到 a 值即可. 【解答】解:先根据约束条件画出可行域, 设 z=2x+y, 将最大值转化为 y 轴上的截距,

当直线 z=2x+y 经过点 B 时,z 最小, 由 故选:B. 得: ,代入直线 y=a(x﹣3)得,a=

【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想, 属中档题.借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想.线 性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定. 6.C 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】探究型;空间位置关系与距离. 【分析】根据有关定理中的诸多条件,对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定即可. 【解答】解:若 a∥b、b? α ,则 a∥α 或 a? α ,故 A 错误; 若 a∥α 、b? α ,则 a∥b 或 a,b 异面,故 B 错误; 若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b,满足线面垂直的性质定理,故正确 若 b⊥α ,a⊥b,则 a∥α 或 a? α ,故 D 错误; 故选:C 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,是基础题.解题时要 认真审题,仔细解答,注意空间想象能力的培养. 7.C 考点: 循环结构.

专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 s,i 的值,当 i=6 时,不满足条件 i≤n,退 出循环,输出 s 的值为 11. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 n=5,i=1,s=1 满足条件 i≤n,s=1,i=2 满足条件 i≤n,s=2,i=3 满足条件 i≤n,s=4,i=4 满足条件 i≤n,s=7,i=5 满足条件 i≤n,s=11,i=6 不满足条件 i≤n,退出循环,输出 s 的值为 11. 故选:C. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的 s,i 的值是解题的关 键,属于基本知识的考查. 8.B 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】转化思想;转化法;导数的概念及应用. 【分析】求得 f(x)的导数,由题意可得 2x ﹣2x+a﹣3=0 有两个不等的正根,运用判别式大于 0, 两根之和大于 0,两根之积大于 0,解不等式即可得到 a 的范围. 【解答】解:f(x)= x3﹣x2+ax﹣1 的导数为 f′(x)=2x2﹣2x+a, 由题意可得 2x2﹣2x+a=3,即 2x2﹣2x+a﹣3=0 有两个不等的正根, 则△=4﹣8(a﹣3)>0,x1+x2=1>0,x1x2= (a﹣3)>0, 解得 3<a< . 故选 B. 【点评】本题考查导数的几何意义,考查二次方程实根的分布,以及韦达定理的运用,考查运算能 力,属于中档题. 9.A 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
2

分析: 以 AB 所在直线为 x 轴,其中点为原点,建立坐标系,再通过椭圆及双曲线的基本概念即可 得到答案. 解答: 解:以 AB 所在直线为 x 轴,其中点为原点,建立坐标系, 则 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,C(1+cosθ ,sinθ ) , 所以 AC= 对于椭圆而言,2c=2,2a=AC+BC= 所以 = = ; = +1, ,

对于双曲线而言,2c=2,2a=AC﹣BC= 所以 = = ;

﹣1,





=



=1,

故选:A. 点评: 本题考查椭圆、双曲线的概念,建立坐标系是解决本题的关键,属于中档题. 10.B 11.12, n ? 2 12. 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: an=4Sn﹣3,当 n=1 时,a1=4a1﹣3,解得 a1.当 n≥2 时,Sn﹣Sn﹣1=4Sn﹣3,化为 ,利用等比数列的通项公式即可得出. 解答: 解:∵an=4Sn﹣3, ∴当 n=1 时,a1=4a1﹣3,解得 a1=1. 当 n≥2 时,Sn﹣Sn﹣1=4Sn﹣3, 化为 ∴数列 , 是等比数列,首项为 ,公比为﹣ ,
n ?1



=

. = .

令 n=4,则 S4= + 故答案为: .

点评: 本题考查了等比数列的通项公式,考查了变形能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题. 13.π 【考点】三角函数的周期性及其求法. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式,再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期. 【解答】解:∵函数 f(x)=1﹣3sin x=1﹣3 ∴函数的最小正周期为 故答案为:π . 【点评】本题主要考查半角公式的应用,余弦函数的周期性,属于基础题. 14.5 考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:变形利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵x>1, ∴函数 y=2x+ ∴函数 y=2x+ 故答案为:5. 点评:本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 15.【考点】余弦定理的应用. 【专题】计算题. 【分析】 (Ⅰ) 通过向量的数量积以及两角和的正弦函数, 化简函数为一个角的一个三角函数的形式, 通过 x=π 处取最小值求 θ 的值; =2x﹣1+ +1 +1=5,当且仅当 x= 时取等号. =π ,
2

=﹣ + cos2x,

的最小值为 5.

(Ⅱ)发一:通过 接求 A. 法二:通过

,求出 C 的值,利用三角形的内角和与 sinB=2sinA,通过三角代换直

,求出 C 的值,利用正弦定理和余弦定理,求出 B,然后求出 A. =sinxcosθ +cosxsinθ =sin(x+θ )?

【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)=

又∵函数 f(x)在 x=π 处取最小值,∴sin(π +θ )=﹣1,即 sinθ =﹣1? 又 0<θ <π ,∴ (Ⅱ)法一:∵ ∵A+B+C=π ,∴ 代入 sinB=2sinA 中,∴ ∴ ,? . ,∴ ? ∵0<C<π ,∴ ? . ?8 分 ?∴ ,∴ ? ,∴ , ∵0<C<π ,∴ ?6 分 . ?8 分

∵0<A<π ,∴ (Ⅱ)法二:∵

∵sinB=2sinA,由正弦定理有 b=2a. 又由余弦定理得 ∴a2+c2=b2,∴ ∵A+B+C=π ,∴ ? . ?

【点评】本题通过向量的数量积,考查三角函数的基本公式的应用,正弦定理与余弦定理的应用, 考查计算能力,好题,常考题型. 16.【考点】平面向量的综合题. 【专题】三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 【分析】 (1) 若 的式子求解. (2) (Ⅱ)△ABC 中, sin(B+C)=﹣sinA 求出 B,又 ,2sinAcosB=﹣(cosBsinC+sinBcosC)=﹣ , 得 , 求出 tanx=2, ? = sinxcosx+cos2x, 转化为关于 tanx

.代入 f(A)的式子 求解,转化为三角变换. 【解答】解: (Ⅰ)若 sinx=2cosx, 因为 cosx≠0,所以 tanx=2, 所以 , ,得

(Ⅱ)∵△ABC 中, 2sinAcosB+cosBsinC=﹣sinBcosC ∴2sinAcosB=﹣(cosBsinC+sinBcosC)=﹣sin(B+C)=﹣sinA 又 sinA>0 得: 又 所以 因为 所以 ,所以 ,即函数 f(A)的值域为 ,所以 . , ,因为 0<B<π ,所以 .则 . .

【点评】本题综合考查了向量和三角函数的结合的题目,难度属于中等,计算化简容易出错,做题 要仔细. 17.【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】 (I)根据频率分布直方图可知,各个小组的频率,再根据平均数的求法即可解出这组数据 的平均数 M. (II)本题是一个等可能事件的概率,可以列举出从第一组和第五组中任意选出两人共有下列 15 种 选法,满足条件的事件是两人成绩之差大于 20,则两人分别来自于第一组和第五组,共有 8 种选法, 根据等可能事件的概率公式得到结果. 【解答】解: (Ⅰ)由频率分布直方图可知:90~100 分的频率为 0.1,100~110 分的频率为 0.25, 110~120 分的频率为 0.45,120~130 分的频率为 0.15,130~140 分的频率为 0.05; ∴这组数据的平均数 M=95×0.1+105×0.25+115×0.45+125×0.15+135×0.05=113(分)

(Ⅱ)∵第五组 130~140 分数段的人数为 2 人,频率为 0.05; 故参加的总人数为 2÷0.05=40 人. 第一组共有 40×0.01×10=4 人,记作 A1、A2、A3、A4; 第五组共有 2 人,记作 B1、B2 从第一组和第五组中任意选出两人共有下列 15 种选法:{A1,A2}、{A1,A3}、 {A1,A4}、{A2,A3}、{A2,A4}、{A3,A4};{A1,B1}、{A2,B1}、{A3,B1}、 {A4,B1};{A1,B2}、{A2,B2}、{A3,B2}、{A4,B2};{B1,B2}.共有 15 种结果, 设事件 A:选出的两人为“黄金搭档组”. 若两人成绩之差大于 20,则两人分别来自于第一组和第五组,共有 8 种选法, 故 P(A)= .

【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体的频率分布,考查等可能事件的概率,考查用列举法 来数出事件数,这是一个概率与统计的综合题目.


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