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巧解椭圆离心率题


巧解椭圆离心率题
椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点为 F, 若过点 F 且倾斜角为 45o 的直线与椭圆交 a 2 b2

于 A、B 两点且 F 分向量 BA 的比为 2/3,求椭圆的离心率 e。 本题通法是设直线方程, 将其与椭圆方程联立, 借助韦达定理将向量比转化为横坐标的 比。思路简单,运算繁琐。下面介绍两种简单解法。 解法(一) :设点 A ? xA , yA ? ,B ? xB , yB ? ,由焦半径公式可得 则 2(a ? exA ) ? 3(a ? exB ) , 变形 2(a ? exA ? a ? exB ) ? a ? exB , 所以 2e( xA ? xB ) ? a ? exB 因为直线倾斜角为 45 ,
o

a ? exA 3 ? , a ? exB 2

所以有 2e ?

2 2 2 AB ? AB ,所以 e ? 2 5 5

提示: 本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式, 借助焦半径公式将向量比转化为横坐标 的关系。焦半径是圆锥曲线中的重要线段,巧妙地运用它解题,可以化繁为简,提高解题效 率。一般来说,如果题目中涉及的弦如果为焦点弦,应优先考虑焦半径公式。 解法(二) :

D

C

A ? xA , y A ?
450 450
F

E

B ? xB , yB ?

BE ?

1 1 2 BF ? ? AB e e 5

AD?

1 1 3 A F? ? AB e e 5

AC ??

2 AB 2

AD ? BE ?? AC

1 3 1 2 2 ? AB ? ? AB ? AB e 5 e 5 2 e? 2 5

提示:本解法巧妙运用了几何性质,运算简介直观。需要注意的是解析几何和平面几何都是 研究图形性质的,只不过平面几何只限于研究直线形和圆。因此,在题设条件中有关圆、直 线的问题,或题目中构造出直线形与圆,可以利用平面几何的性质简化计算。


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