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几何大题


几何大题
一.解答题(共 20 小题) 1. (2015?江苏) 如图, 在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 已知 AC⊥BC, BC=CC1, 设 AB1 的中点为 D, B1C∩BC1=E. 求证: (1)DE∥平面 AA1C1C; (2)BC1⊥AB1. 4. (2014?山东)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,AP⊥平面 PCD,AD∥BC,AB=BC= AD

,E,F 分别为线段 AD, PC 的中点. (Ⅰ)求证:AP∥平面 BEF; (Ⅱ)求证:BE⊥平面 PAC.

2. (2015?天津)如图,已知 AA1⊥平面 ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面 A1B1BA; (Ⅱ)求证:平面 AEA1⊥平面 BCB1; (Ⅲ)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小.

,AA1=

,BB1=2

,点 E

5. (2014?江苏)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,已知 PA⊥AC,PA=6, BC=8,DF=5.求证: (1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC.

6. (2014?北京)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F 分 别是 A1C1,BC 的中点. (Ⅰ)求证:平面 ABE⊥B1BCC1; (Ⅱ)求证:C1F∥平面 ABE; (Ⅲ)求三棱锥 E﹣ABC 的体积. 3. (2014?福建)如图,三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥平面 BCD,CD⊥BD. (Ⅰ)求证:CD⊥平面 ABD; (Ⅱ)若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A﹣MBC 的体积.

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7. (2013?北京) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, AB∥CD, AB⊥AD, CD=2AB, 平面 PAD⊥底面 ABCD, PA⊥AD. E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (Ⅰ)PA⊥底面 ABCD; (Ⅱ)BE∥平面 PAD; (Ⅲ)平面 BEF⊥平面 PCD.

10. (2013?天津)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等.D,E,F 分别为 棱 AB,BC,A1C1 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 A1CD; (Ⅱ)证明:平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅲ)求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值.

8. (2013?新课标Ⅱ)如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点 (Ⅰ)证明:BC1∥平面 A1CD (Ⅱ)AA1=AC=CB=2,AB= ,求三棱锥 C﹣A1DE 的体积.

11. (2013?山东)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分 别为 PB、AB、BC、PD、PC 的中点. (Ⅰ)求证:CE∥平面 PAD (Ⅱ)求证:平面 EFG⊥平面 EMN.

12. (2012?山东)如图,几何体 E﹣ABCD 是四棱锥,△ ABD 为正三角形,CB=CD,EC⊥BD. (Ⅰ)求证:BE=DE; (Ⅱ)若∠BCD=120°,M 为线段 AE 的中点,求证:DM∥平面 BEC.

9. (2013?江苏)如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC,AS=AB,过 A 作 AF⊥SB,垂 足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点.求证: (1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)BC⊥SA. 13. (2012?陕西)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AA1,∠CAB= (Ⅰ)证明:CB1⊥BA1; (Ⅱ)已知 AB=2,BC= ,求三棱锥 C1﹣ABA1 的体积. .

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14. (2012?新课标)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点. (Ⅰ)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

17. (2011?辽宁)如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD. (Ⅰ)证明 PQ⊥平面 DCQ; (Ⅱ)求棱锥 Q﹣ABCD 的体积与棱锥 P﹣DCQ 的体积的比值.

15. (2012?江苏)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不 同于点 C) ,且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.求证: (1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

18. (2011?江苏)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点,求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

19. (2010?辽宁)已知三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC= AB,N 为 AB 上一点,AB=4AN, M,S 分别为 PB,BC 的中点. (Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

16. (2011?天津)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O 为 AC 中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 ACM; (Ⅱ)证明:AD⊥平面 PAC; (Ⅲ)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值.

20. (2009?天津)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AD⊥CD,且 DB 平分∠ADC,E 为 PC 的 中点,AD=CD=1, , (Ⅰ)证明 PA∥平面 BDE; (Ⅱ)证明 AC⊥平面 PBD; (Ⅲ)求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值.

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几何答案
一.解答题(共 20 小题) 1. 【解答】证明: (1)根据题意,得; E 为 B1C 的中点,D 为 AB1 的中点,所以 DE∥AC; 又因为 DE?平面 AA1C1C,AC? 平面 AA1C1C, 所以 DE∥平面 AA1C1C; (2)因为棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC, 因为 AC? 平面 ABC, 所以 AC⊥CC1; 又因为 AC⊥BC, CC1? 平面 BCC1B1, BC? 平面 BCC1B1, BC∩CC1=C, 所以 AC⊥平面 BCC1B1; 又因为 BC1? 平面 BCC1B1, 所以 BC1⊥AC; 因为 BC=CC1,所以矩形 BCC1B1 是正方形, 所以 BC1⊥平面 B1AC; 又因为 AB1? 平面 B1AC, 所以 BC1⊥AB1. 2【解答】 (Ⅰ)证明:连接 A1B,在△A1BC 中, ∵E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点,∴EF∥A1B, 又∵A1B? 平面 A1B1BA,EF?平面 A1B1BA, ∴EF∥平面 A1B1BA; (Ⅱ)证明:∵AB=AC,E 为 BC 中点,∴AE⊥BC, ∵AA1⊥平面 ABC,BB1∥AA1,∴BB1⊥平面 ABC, ∴BB1⊥AE,又∵BC∩BB1=B,∴AE⊥平面 BCB1, 又∵AE? 平面 AEA1,∴平面 AEA1⊥平面 BCB1; (Ⅲ)取 BB1 中点 M 和 B1C 中点 N,连接 A1M,A1N,NE, ∵N 和 E 分别为 B1C 和 BC 的中点,∴NE 平行且等于 B1B, ∴NE 平行且等于 A1A,∴四边形 A1AEN 是平行四边形, ∴A1N 平行且等于 AE, 又∵AE⊥平面 BCB1,∴A1N⊥平面 BCB1, ∴∠A1B1N 即为直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角, 在△ABC 中,可得 AE=2,∴A1N=AE=2, ∵BM∥AA1,BM=AA1,∴A1M∥AB 且 A1M=AB, 又由 AB⊥BB1,∴A1M⊥BB1,

在 RT△A1MB1 中,A1B1=

=4,

在 RT△A1NB1 中,sin∠A1B1N=

= ,

∴∠A1B1N=30°,即直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小为 30°

3. 【解答】 (Ⅰ)证明:∵AB⊥平面 BCD,CD? 平面 BCD, ∴AB⊥CD, ∵CD⊥BD,AB∩BD=B, ∴CD⊥平面 ABD; (Ⅱ)解:∵AB⊥平面 BCD,BD? 平面 BCD, ∴AB⊥BD. ∵AB=BD=1, ∴S△ABD= , ∵M 为 AD 中点, ∴S△ABM= S△ABD= , ∵CD⊥平面 ABD, ∴VA﹣MBC=VC﹣ABM= S△ABM?CD= .

4. 【解答】证明: (Ⅰ)连接 CE,则 ∵AD∥BC,BC= AD,E 为线段 AD 的中点, ∴四边形 ABCE 是平行四边形,BCDE 是平行四边形, 设 AC∩BE=O,连接 OF,则 O 是 AC 的中点, ∵F 为线段 PC 的中点, ∴PA∥OF,
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∵PA?平面 BEF,OF? 平面 BEF, ∴AP∥平面 BEF; (Ⅱ)∵BCDE 是平行四边形, ∴BE∥CD, ∵AP⊥平面 PCD,CD? 平面 PCD, ∴AP⊥CD, ∴BE⊥AP, ∵AB=BC,四边形 ABCE 是平行四边形, ∴四边形 ABCE 是菱形, ∴BE⊥AC, ∵AP∩AC=A, ∴BE⊥平面 PAC.

∵F 是 BC 的中点, ∴FG∥AC,FG= AC, ∵E 是 A1C1 的中点, ∴FG∥EC1,FG=EC1, ∴四边形 FGEC1 为平行四边形, ∴C1F∥EG, ∵C1F?平面 ABE,EG? 平面 ABE, ∴C1F∥平面 ABE; (Ⅲ)解:∵AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, ∴AB= , ∴VE﹣ABC= = = .

5. 【解答】证明: (1)∵D、E 为 PC、AC 的中点,∴DE∥PA, 又∵PA?平面 DEF,DE? 平面 DEF, ∴PA∥平面 DEF; (2)∵D、E 为 PC、AC 的中点,∴DE= PA=3; 又∵E、F 为 AC、AB 的中点,∴EF= BC=4; ∴DE +EF =DF , ∴∠DEF=90°, ∴DE⊥EF; ∵DE∥PA,PA⊥AC,∴DE⊥AC; ∵AC∩EF=E,∴DE⊥平面 ABC; ∵DE? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 ABC. 6【解答】 (Ⅰ)证明:∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面, ∴BB1⊥AB, ∵AB⊥BC,BB1∩BC=B, ∴AB⊥平面 B1BCC1, ∵AB? 平面 ABE, ∴平面 ABE⊥B1BCC1; (Ⅱ)证明:取 AB 中点 G,连接 EG,FG,则,
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2 2 2

7【解答】解: (Ⅰ)∵PA⊥AD,平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,由平面和平面垂直的性质定理 可得 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)∵AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,故四边形 ABED 为平行四边形,故有 BE∥AD. 又 AD? 平面 PAD,BE 不在平面 PAD 内,故有 BE∥平面 PAD. (Ⅲ)平行四边形 ABED 中,由 AB⊥AD 可得,ABED 为矩形,故有 BE⊥CD ①. 由 PA⊥平面 ABCD,可得 PA⊥AB,再由 AB⊥AD 可得 AB⊥平面 PAD, ∴CD⊥平面 PAD,故有 CD⊥PD. 再由 E、F 分别为 CD 和 PC 的中点,可得 EF∥PD, ∴CD⊥EF ②. 而 EF 和 BE 是平面 BEF 内的两条相交直线,故有 CD⊥平面 BEF. 由于 CD? 平面 PCD,∴平面 BEF⊥平面 PCD. 8. 【解答】解: (Ⅰ)证明:连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 的中点. ∵直棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,故 DF 为三角形 ABC1 的中位线,故 DF∥BC1. 由于 DF? 平面 A1CD,而 BC1 不在平面 A1CD 中,故有 BC1∥平面 A1CD.

10. 【解答】证明: (I)三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC∥A1C1,AC=A1C1,连接 ED, (Ⅱ)∵AA1=AC=CB=2,AB=2 ,故此直三棱柱的底面 ABC 为等腰直角三角形. = . ,A1E=3. 可得 DE∥AC,DE= AC,又 F 为棱 A1C1 的中点.∴A1F=DE,A1F∥DE, 所以 A1DEF 是平行四边形,所以 EF∥DA1, DA1? 平面 A1CD,EF?平面 A1CD,∴EF∥平面 A1CD (II)∵D 是 AB 的中点,∴CD⊥AB, 又 AA1⊥平面 ABC,CD? 平面 ABC, ∴AA1⊥CD,又 AA1∩AB=A, ∴CD⊥面 A1ABB1,又 CD? 面 A1CD, ∴平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (III)过 B 作 BG⊥A1D 交 A1D 于 G, ∵平面 A1CD⊥平面 A1ABB1,且平面 A1CD∩平面 A1ABB1=A1D, BG⊥A1D, ∴BG⊥面 A1CD, 则∠BCG 为所求的角, 设棱长为 a,可得 A1D= ,由△A1AD∽△BGD,得 BG= = , . ,

由 D 为 AB 的中点可得 CD⊥平面 ABB1A1 ,∴CD= ∵A1D= 再由勾股定理可得 ∴ ∴ = = ? =

,同理,利用勾股定理求得 DE= +DE = = , ?CD=1.
2

,∴A1D⊥DE.

9. 【解答】解: (1)∵△ASB 中,SA=AB 且 AF⊥SB,∴F 为 SB 的中点. ∵E、G 分别为 SA、SC 的中点, ∴EF、EG 分别是△SAB、△SAC 的中位线,可得 EF∥AB 且 EG∥AC. ∵EF?平面 ABC,AB? 平面 ABC, ∴EF∥平面 ABC,同理可得 EG∥平面 ABC 又∵EF、EG 是平面 EFG 内的相交直线, ∴平面 EFG∥平面 ABC; (2)∵平面 SAB⊥平面 SBC,平面 SAB∩平面 SBC=SB, AF? 平面 ASB,AF⊥SB. ∴AF⊥平面 SBC. 又∵BC? 平面 SBC,∴AF⊥BC. ∵AB⊥BC,AF∩AB=A,∴BC⊥平面 SAB. 又∵SA? 平面 SAB,∴BC⊥SA.

在直角△BGC 中,sin∠BCG=

∴直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值

11. 【解答】解: (Ⅰ)证明:∵四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD, E,F,G,M,N 分别为 PB、AB、BC、PD、PC 的中点,取 PA 的中点 H,

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则由 HE∥AB,HE= AB,而且 CD∥AB,CD= AB,可得 HE 和 CD 平行且相等, 故四边形 CDHE 为平行四边形,故 CE∥DH. 由于 DH 在平面 PAD 内,而 CE 不在平面 PAD 内,故有 CE∥平面 PAD. (Ⅱ)证明:由于 AB⊥AC,AB⊥PA,而 PA∩AC=A,可得 AB⊥平面 PAC.再由 AB∥CD 可得,CD⊥平面 PAC. 由于 MN 是三角形 PCD 的中位线,故有 MN∥CD,故 MN⊥平面 PAC. 由于 EF 为三角形 PAB 的中位线,可得 EF∥PA,而 PA 在平面 PAC 内,而 EF 不在平面 PAC 内,故有 EF∥平面 PAC. 同理可得,FG∥平面 PAC. 而 EF 和 FG 是平面 EFG 内的两条相交直线,故有平面 EFG∥平面 PAC. ∴MN⊥平面 EFG,而 MN 在平面 EMN 内,故有平面 EFG⊥平面 EMN. 12. 【解答】证明: (I)设 BD 中点为 O,连接 OC,OE,则由 BC=CD 知,CO⊥BD, 又已知 CE⊥BD,EC∩CO=C,

∴ND∥BC, 又 DN?平面 BEC,BC? 平面 BEC, ∴DN∥平面 BEC,又 MN∩DN=N,故平面 DMN∥平面 BEC,又 DM? 平面 DMN, ∴DM∥平面 BEC 证法二:延长 AD,BC 交于点 F,连接 EF,

∵CB=CD,∠BCD=120°, ∴∠CBD=30°, ∵△ABD 是等边三角形, ∴∠BAD=60°,∠ABC=90°,因此∠AFB=30°, ∴AB= AF, 所以 BD⊥平面 OCE. 所以 BD⊥OE,即 OE 是 BD 的垂直平分线, 所以 BE=DE. (II)证法一: 取 AB 中点 N,连接 MN,DN, 又 AB=AD, ∴D 为线段 AF 的中点,连接 DM,DM∥EF,又 DM?平面 BEC,EF? 平面 BEC, ∴DM∥平面 BEC 13. 【解答】解: (I)连接 AB1, ∵ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, ∴平面 ABC⊥平面 ABB1A1, 又∵平面 ABC∩平面 ABB1A1=AB,AC⊥AB, ∴AC⊥平面 ABB1A1, ∵BA1? 平面 ABB1A1,∴AC⊥BA1, ∵矩形 ABB1A1 中,AB=AA1, ∴四边形 ABB1A1 是正方形, ∴AB1⊥BA1, 又∵AB1、CA 是平面 ACB1 内的相交直线, ∴BA1⊥平面 ACB1, ∵CB1? 平面 ACB1,∴CB1⊥BA1; (II)∵AB=2,BC= , ∴Rt△ABC 中,AC= =1

∵M 是 AE 的中点, ∴MN∥BE,又 MN?平面 BEC,BE? 平面 BEC, ∴MN∥平面 BEC, ∵△ABD 是等边三角形, ∴∠BDN=30°,又 CB=CD,∠BCD=120°, ∴∠CBD=30°,

∴直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1C1=AC=1 又∵AC∥A1C1,AC⊥平面 ABB1A1, ∴A1C1 是三棱锥 C1﹣ABA1 的高.
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∵△ABA1 的面积等于正方形 ABB1A1 面积的一半 ∴ = AB =2 ×A1C1= .
2

∴直线 A1F∥平面 ADE. 16. 【解答】解: (I)证明:连接 BD,MO 在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中点, 所以 O 为 BD 的中点,又 M 为 PD 的中点,所以 PB∥MO 因为 PB?平面 ACM,MO? 平面 ACM 所以 PB∥平面 ACM (II)证明:因为∠ADC=45°,且 AD=AC=1,所以∠DAC=90°,即 AD⊥AC 又 PO⊥平面 ABCD,AD? 平面 ABCD,所以 PO⊥AD,AC∩PO=O,AD⊥平面 PAC (III)解:取 DO 中点 N,连接 MN,AN 因为 M 为 PD 的中点,所以 MN∥PO,且 MN= PO=1,由 PO⊥平面 ABCD,得 MN⊥平面 ABCD

三棱锥 C1﹣ABA1 的体积为 V= ×

14. 【解答】证明: (1)由题意知 BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C, ∴BC⊥平面 ACC1A1,又 DC1? 平面 ACC1A1, ∴DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°, ∴∠CDC1=90°,即 DC1⊥DC,又 DC∩BC=C, ∴DC1⊥平面 BDC,又 DC1? 平面 BDC1, ∴平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)设棱锥 B﹣DACC1 的体积为 V1,AC=1,由题意得 V1= × 又三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 V=1, ∴(V﹣V1) :V1=1:1, ∴平面 BDC1 分此棱柱两部分体积的比为 1:1. 15. 【解答】解: (1)∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, ∴CC1⊥平面 ABC, ∵AD? 平面 ABC, ∴AD⊥CC1 又∵AD⊥DE,DE、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴AD⊥平面 BCC1B1, ∵AD? 平面 ADE ∴平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)∵△A1B1C1 中,A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点 ∴A1F⊥B1C1, ∵CC1⊥平面 A1B1C1,A1F? 平面 A1B1C1, ∴A1F⊥CC1 又∵B1C1、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴A1F⊥平面 BCC1B1 又∵AD⊥平面 BCC1B1, ∴A1F∥AD ∵A1F?平面 ADE,AD? 平面 ADE, ×1×1= ,

所以∠MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角. 在 Rt△DAO 中, ∴ , = = ,所以 ,

在 Rt△ANM 中,

即直线 AM 与平面 ABCD 所成的正切值为

17. 【解答】解: (I)由条件知 PDAQ 为直角梯形, 因为 QA⊥平面 ABCD,所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD,所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC 在直角梯形 PDAQ 中可得 所以 PQ⊥平面 DCQ; (Ⅱ)设 AB=a, 由题设知 AQ 为棱锥 Q﹣ABCD 的高,所以棱锥 Q 一 ABCD 的体积 由(Ⅰ)知 PQ 为棱锥 P﹣DCQ 的高而 PQ= 所以棱锥 P﹣DCQ 的体积 故棱锥 Q﹣ABCD 的体积与棱锥 P﹣DCQ 的体积的比值为 1:l. 18. 【解答】证明: (1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF 不在平面 PCD 中,PD? 平面 PCD 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60°.
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,则 PQ⊥DQ,又 DQ∩DC=D,

.△DCQ 的面积为



所以△ABD 为正三角形.因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF? 平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF? 平面 EBF,所以平面 BEF⊥平面 PAD.

19. 【解答】证明:设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z 轴正向建立空间直角坐标系如图. 则 P(0,0,1) ,C(0,1,0) ,B(2,0,0) , M(1,0, ) ,N( ,0,0) ,S(1, ,0) . (4 分) (Ⅰ) 因为 所以 CM⊥SN(6 分) (Ⅱ) , , ,

20. 【解答】解: (1)证明:设 AC∩BD=H,连接 EH,在△ADC 中, 因为 AD=CD,且 DB 平分∠ADC, 所以 H 为 AC 的中点,又有题设, E 为 PC 的中点,故 EH∥PA, 又 HE? 平面 BDE,PA?平面 BDE,所以 PA∥平面 BDE (2)证明:因为 PD⊥平面 ABCD, AC? 平面 ABCD,所以 PD⊥AC 由(1)知,BD⊥AC,PD∩BD=D, 故 AC⊥平面 PBD (3)由 AC⊥平面 PBD 可知, BH 为 BC 在平面 PBD 内的射影, 所以∠CBH 为直线与平面 PBD 所成的角. 由 AD⊥CD,AD=CD=1,DB=2 在 Rt△BHC 中,tan∠CBH= ,可得 DH=CH= ,

设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,



令 x=2,得 a=(2,1,﹣2) .

所以直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值为 .

因为



所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45°.

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