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对称问题经典例题


对称问题经典例题
一、要点梳理 1. 对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称,要充分利用转化的思想将问题转化为这 两类对称中的一种加以处理. 2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。 3.求对称曲线的常用思想方法:代入转移法 4.许多问题中都隐含着对称性,要注意挖掘、充分利用对称变换来解决,如角平分线、线段中垂线、光线反 射等 二、基础练习 1

、已知圆 C 与圆(x-1)2+y2=1 关于直线 y=-x 对称,则圆 C 的方程为 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A.(x+1) +y =1 B.x +y =1 C.x +(y+1) =1 D.x +(y-1) =1 2、方程|2x+y|+|2x-y|=4 表示的曲线曲线 ( ) A.关于 x 轴对称但不关于 y 轴对称 B.关于 y 轴对称但不关于 x 轴对称 C.关于原点对称 D.以上都不对 x 3、函数 y=-e 的图象 ( ) x A.与 y=e 的图象关于 y 轴对称 B.与 y=ex 的图象关于坐标原点对称 C.与 y ? e 的图象关于 y 轴对称
?x

D.与 y ? e 的图象关于坐标原点对称

?x

4、曲线 x2+4y2=4 关于点 M(3,5)对称的曲线方程为___________. 5、光线从点 A(-3,4)发出,经过 x 轴反射,再经过 y 轴反射,光线经过点 B(-2,6) ,求射入 y 轴后的反射 线的方程。 变式:已知直线 l1: x+my+5=0 和直线 l2:x+ny+P=0,则 l1、l2 关于 y 轴对称的充要条件是( A、 )

5 p ? m n

B、p=-5

C、m=-n 且 p= -5

D、

1 1 ? ? 且 p=-5 m n

6. 直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 交 x、y 轴于 A、B 两点,试在直线 y ? ? x 上求一点 P,使 P 1A ? P 1 B 最小,则 P 点 的坐标是_______ 思考、已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? x 的图象 C 上存在一定点 P 满足:若过点 P 的直线 l 与曲线 C 交于不同于 P 3


的两点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,且恒有 y1 ? y2 为定值 y0 ,则 y0 的值为( A. ?

1 3

B. ?

2 3

C. ?

4 3

D. ?2

7、已知点 M(3,5) ,在直线: x ? 2 y ? 2 ? 0 和 y 轴上各找一点 P 和 Q,使 ?MPQ 的周长最小。 8、 在直线 l : x ? y ? 9 ? 0 上任取一点 P, 过点 P 且以椭圆 所作椭圆的长轴最短?并求具有最短长轴的椭圆的方程。

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为焦点作椭圆。 问: 点 P 在何处时, 12 3

9、已知长方形的四个顶点 A(0,0) 、B(2,0) 、C(2,1)和 D(0,1) ,一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹 角为θ 的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3 和 P4(入射角等于反射角).设 P4 的坐标为(x4,0).若 1<x4<2,求 tanθ 的取值范围.

第 1 页 共 8 页

10、已知抛物线 y=ax2-1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点,试求实数 a 的取值范围.

变式: 已知椭圆方程为 对称。

x2 y2 试确定实数 m 的取值范围, 使得椭圆上有不同的两点关于直线 y ? 4 x ? m ? ? 1, 4 3

11、已知函数 f (x) ? ln

x (0 ? x ?1) 1? x

(1)在函数 y ? f ( x) 的图象上是否存在一点(m,n) ,使得 y ? f ( x) 的图象关于(m,n)对称? (2)令 g ( x ) ? f (

1? x 1 1 ) ,是否存在这样的实数 b,使得任意的 a ∈ [ , ] 时,对任意的 x∈ (0,??) ,不等式 2? x 4 3

g( x) ? x ? ax2 ? b 恒成立?若存在,求出 b 的取值范围;若不存在,说明理由.

12、已知抛物线 C : y 2 ? 4x ,过 M(m,0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)若 m=3,l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程; (Ⅱ)若 m ? 0 ,且存在直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列,求 m 的取值范围. (Ⅲ)若 m ? 0 ,记 A 关于 x 轴的对称点为 A1 ,求证:直线 A1 B 过定点.

13、设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两点在抛物线 y ? 2 x 上,l 是 AB 的垂直平分线.
2

(Ⅰ)当且仅当 x1 ? x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; (Ⅱ)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围.

14、已知函数 f(x)= (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)设 g(x)=f(x)+

1 3 x ? x 2 ? ax ? b 的图像在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=3x-2. 3

m 是[ 2, ?? ]上的增函数。 x ?1

(i)求实数 m 的最大值; (ii)当 m 取最大值时,是否存在点 Q,使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形,则这两个封 闭图形的面积总相等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由。

第 2 页 共 8 页

参考解答:
1、C;2、C;3、D;4、 (x-6)2+4(y-10)2=4; 5、解:? A(-3,4)关于 x 轴的对称点 A1 (-3,-4)在经 x 轴反射的光线上;A1(-3,-4)关于 y 轴的对称点

A2 (3,-4)在经过射入 y 轴的反射的光线上,∴ k A2 B =

6?4 ? ?2 ?2?3

∴所求直线方程为 y ? 6 ? ?2( x ? 2) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 变式、C;6、(0,0); 思考、B;解析:

1 3 1 1 1 x ? x 2 ? x ? ( x3 ? 3x 2 ? 3x ? 1 ? 1) ? ( x ? 1)3 ? 3 3 3 3 1 1 1 ? f ( x) ? ? ( x ? 1)3 从而 f ( x) 的图像关于定点 ( ?1, ? ) 对称, 3 3 3 1 1 2 所以点 P 为 ( ?1, ? ) , y1 ? y2 ? y0 ? 2(? ) ? ? 3 3 3 f ( x) ?

7、解:可求得点 M 关于 l 的对称点为 M 1 (5,1) ,点 M 关于 y 轴的对称点为 M 2 (-3,5) ,则

?MPQ 的周长就是 M 2Q ? QP ? PM1 ,连 M 2 M 1 ,
则直线 M 2 M 1 与 y 轴及直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的交点 P、Q 即为所求。 直线 M 1 M 2 的方程为 x ? 2 y ? 7 ? 0 ,直线 M 1 M 2 与 y 轴的交点坐标为 Q (0, ) , 由方程组 ?

7 2

?x ? 2 y ? 2 ? 0 5 9 5 9 7 得交点 P ( , ) ,∴点 P ( , ) 、 Q (0, ) 即为所求。 2 4 2 4 2 ?x ? 2 y ? 7 ? 0

8、略 9、解:设 P1B=x,∠P1P0B=θ ,则 CP1=1-x,

PB ∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3 均为θ ,∴tanθ = 1 =x. P0 B CP 1 ? x 1? x 1 又 tanθ = 1 = =x,∴CP2= = -1. CP2 CP2 x x
而 tanθ=

D (0,1) P2 P3 A P0 P 4

C(2,1) P 1 B(2,0)

P3 D = P2 D

DP3 DP3 1 = =x,∴DP3=x(3- )=3x-1. 1 1 x 2 ? ( ? 1) 3 ? x x

又 tanθ =

AP3 1 ? (3 x ? 1) 2 ? 3 x 2 ? 3x 2 = = =x,∴AP4= = -3. AP4 AP4 AP4 x x

依题设 1<AP4<2,即 1< .∴

2 2 1 x 1 -3<2,∴4< <5, > > x x 4 2 5

1 2 >tanθ > . 2 5

10、解法一:设抛物线上关于直线 l 对称的两相异点为 P(x1,y1) 、Q(x2,y2) ,线段 PQ 的中点为 M(x0,y0) ,

第 3 页 共 8 页

? y ? x ? b, 设直线 PQ 的方程为 y=x+b,由于 P、Q 两点存在,所以方程组 ? 有两组不同的实数解,即得方程 2 ? y ? ax ? 1

ax2-x-(1+b)=0. 判别式Δ =1+4a(1+b)>0. 由①得 x0=

① ②

x1 ? x 2 1 1 = ,y0=x0+b= +b. 2a 2a 2 1 1 1 3 ∵M∈l,∴0=x0+y0= + +b,即 b=- ,代入②解得 a> . a 4 2a 2a 解法二:设同解法一,由题意得

? y1 ? ax12 ? 1, ? y ? ax 2 ? 1, 2 ? 2 ? y1 ? y2 ? 1, ? ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 x1 ? x2 ? ? 0. ? ? 2 2

① ② ③ ④

将①②代入③④,并注意到 a≠0,x1-x2≠0,得

1 ? ? x1 ? x2 ? a , 由二元均值不等式易得 2(x12+x22)>(x1+x2)2(x1≠x2). ? 1 2 ? x12 ? x2 2 ? ? 2 ? . a a ?
将⑤⑥代入上式得 2(-

1
2

a 解法三:同解法二,由①-②,得 y1-y2=a(x1+x2) (x1-x2). y ? y2 ∵x1-x2≠0,∴a(x1+x2)= 1 =1. x1 ? x 2
x1 ? x 2 1 = .∵M(x0,y0)∈l, 2a 2 1 1 1 ∴y0+x0=0,即 y0=-x0=- ,从而 PQ 的中点 M 的坐标为( ,- ). 2a 2a 2a
∴x0= ∵M 在抛物线内部,∴a(

+

2 1 3 )>( )2,解得 a> . a a 4

1 1 3 2 ) -(- )-1<0. 解得 a> .(舍去 a<0,为什么?) 4 2a 2a

变式:解法一:该问题等价于存在直线 y ? ? 中点落在直线 y ? 4 x ? m 上。

1 x ? n ,使得这直线与椭圆有两个不同的交点 P 、Q ,线段 PQ 的 4

? x2 y2 ? ?1 ? ? 2 2 3 由? 4 消去 y 得 13x ? 8nx ? 16n ? 48 ? 0 ?y ? ? 1 x ? n ? 4 ?
∵直线与椭圆有两个不同交点。 ∴ ? ? 64n 2 ? 4 ? 13(16n 2 ? 48) ? 0 ? ? 由韦达定理得: x1 ? x 2 ?

13 13 ?n? 2 2



8n 1 24 n , y1 ? y 2 ? ? ( x1 ? x 2 ) ? 2n ? 。 13 4 13
第 4 页 共 8 页

故 PQ 中点为 M ( ∴

4n 12 n , ) 13 13

又 M 在直线 ②

y ? 4x ? m 上

12 4n 4 n ? 4? ? m ,∴ m ? ? n 13 13 13

由①②知 ?

2 13 2 13 ?m? 13 13

解法二:设 A( x1 , y2 ) 、 B( x2 , y 2 ) 是椭圆上关于直线 y ? 4 x ? m 对称的相异的两点,

AB 中点为 M ( x0 , y0 ) 。

x12 y12 x2 2 y2 2 ? ? 1, ? ?1, 则 4 3 4 3

由点差法得 y0 ? 3x0 ,代入 y0 ? 4x0 ? m 解得, M 点坐标为 (?m,?3m) 。 而 M 是 AB 中点,∴ M 点在椭圆内部。 ∴

m 2 9m 2 2 13 2 13 。 ? ? 1 。解得 ? ?m? 4 3 13 13

11、 【解析】 (1)若存在一点(m,n) ,使得 y =f(x)的图象关于点(m,n)对称,则 f(x+m)+f(m-x)=2n 即 ln

x?m m? x m2 ? x 2 ? ln ? ln 1? x ? m 1? m ? x (1 ? m)2 ? x 2
1 1 ? 在 y=f(x)的图像上, , n ? 0 时 f(x+m)+f(m-x)=2n 且 ? ? ,0? 2 ?2 ?

当m ?

1 ? ?1 ? 所以在 y=f(x)的图像上存在一点 ? ? , 0 ? ,使得 y=f(x)的图像关于 ? , 0 ? 对称。 ?2 ? ?2 ?

1? x 2 (2)g ? x ? =ln 2 ? x ? l n ?x ? 1? ( x >-1), 构造函数 F ? x ? = l n ?1 ? x? ? x ? ax , 1? x 1? 2? x
1 ? 2ax2 ? 2ax ? x ? 1 1 则 F ??x ? ? ? 2ax ? 1 ? ? x ?1 x ?1
因为 x ? 0, a ∈ [ , ] 所以 x ? 1 ? 0,2ax ? 0,

1 ? ? 2ax? x ? 1 ? ? 2 a? ? , x ?1

1 1 4 3

1 1 ? 1),? F ( x)在(0, ? 1) 上是减函数; 2a 2a 1 1 ? 1,?? ),? F ( x)在( ? 1,?? ) 上是增函数; 若 F ?( x) ? 0 ,则 x∈ ( 2a 2a 1 1 1 1 1 ? 1时, F ( x) 取最小值,即 F ( x) min ? F ( ? 1) =ln ? ? 1 ? a ( ? 1) 2 所以当 x ? 2a 2a 2a 2a 2a 1 1 1 1 1 ? ?1? ? a ? 1 =ln ? ?a =ln 2a 2a 4a 2a 4a
若 F ?( x) ? 0 ,则 x∈ (0, 记 h(a) ? ln

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? a ,又 h?(a) ? 2a ? (? 2 ) ? 2 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ( ? 2) 2 , 2a 4a a 4 a 2a 4a 4a
第 5 页 共 8 页

1 1 1 1 3 ∈[3,4]所以 h ?(a ) ? 0 ,即 h(a) 在 [ , ] 上为增函数,所以 h(a ) min ? h( ) ? ln 2 ? 4 4 a 4 3 3 所以若使 F ( x) ? b 恒成立,只需 b ? l n 2 ? . 4 3 1 1 所以存在这样的实数 b ? ln 2 ? , 使得对 a ∈ [ , ] ,对任意的 x∈ (0,??) 时, 4 4 3
因为 不等式 ln(1+x)>x-ax2+b 恒成立.

12、 (Ⅰ)解:由题意, 直线 l 的方程为 y ? x ? 3 ,由 ?

?y ? x ?3
2 ? y ? 4x



y2 ? 4 y ?12 ? 0 ? y1 ? ?2, y2 ? 6 ,故 A?1, ?2? , B ?9,6?
以 AB 为直径的圆的圆心为 AB 中点 ? 5, 2 ? ,半径为

AB ?4 2 2

? 圆的方程为 : ? x ? 5 ? ? ? y ? 2 ? ? 32 .
2 2

(Ⅱ)解:设 A, B 两点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , MB ? ? AM (? ? 0) . 则 AM ? (m ? x1, ? y1 ), MB ? ( x2 ? m, y2 ) , 所以 ?

? x2 ? m ? ? ( m ? x1 ) ? y2 ? ?? y1

1 ○

因为点 A, B 在抛物线 C 上,
2 所以 y12 = 4x1 , y2 = 4x2 ,

2 ○

由○ 1○ 2 ,消去 x2 , y1 , y2 得 ? x1 ? m . 若此直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列,则 | OM |2 ?| MB | ? | AM | ,
2 即| O M 2 ,所以 , m2 ? ?[( x1 ? m) 2? y1 ] | ? ? | A M? | | A M |

因为 y12 = 4 x1 , ? x1 ? m ,所以 m2 ?
2 整理得 x1 ? (3m ? 4) x1 ? m2 ? 0 ,

m [( x1 ? m)2 ? 4 x1 ] , x1
3 ○

因为存在直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列,所以关于 x1 的方程○ 3 有正根, 因为方程○ 3 的两根之积为 m2>0, 所以只可能有两个正根,

?3m ? 4 ? 0 ? 所以 ? m 2 ? 0 ,解得 m ? 4 . ?? ? (3m ? 4) 2 ? 4m 2 ? 0 ?
第 6 页 共 8 页

故当 m ? 4 时,存在直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列. (Ⅲ)定点位 N(-m,0)。 13、解: (Ⅰ) F ? l ?| FA |?| FB |? A, B 两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛物线的准线是 x 轴的平行线, y1 ? 0, y2 ? 0, 依题意y1 , y2 不同时为 0,
2 ∴上述条件等价于 y1 ? y2 ? x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0;

∵ x1 ? x 2 ,

∴上述条件等价于

x1 ? x2 ? 0.

即当且仅当 x1 ? x2 ? 0 时,l 经过抛物线的焦点 F. 另解: (Ⅰ)∵抛物线 y ? 2 x 2 ,即 x ?
2

y 1 1 ,? p ? ,∴焦点为 F (0, ) 2 4 8

(1)直线 l 的斜率不存在时,显然有 x1 ? x2 ? 0 (2)直线 l 的斜率存在时,设为 k,截距为 b 即直线 l :y=kx+b 由已知得:
?y ? y ? 2 2 2 ? ? 1 ? k ? x1 x 2 ? b ? 2x 2 ? 2 x 1 ? k ? x1 x 2 ? b ? 2 2 ? 2 2 ? ? ?? 2 2 y1 ? y 2 ? ? 1 ? ? ? 2 x1 2 x 2 ? ? 1 ? ? ? k k x1 ? x 2 x1 x 2 ? ?

? ? 2 2 ? ? k ? x1 x 2 ? b 1 1 ? 2 2 ? x1 x 2 2 ? x1 ? x 2 ? ? ? b ? 0 ? b ? ?? 4 4 1 ? ? x2 ? ? x 1 ? 2k ?

即 l 的斜率存在时,不可能经过焦点 F (0, ) 所以当且仅当

1 8

x ?x
1

2

=0 时,直线 l 经过抛物线的焦点 F

(II)设 l 在 y 轴上的截距为 b,依题意得 l 的方程为 y ? 2 x ? b ; 过点 A、B 的直线方程可写为 y ? ? 所以 x1 , x 2 满足方程 2 x ?
2

1 x?m, 2

1 1 x ? m ? 0, 得 x1 ? x 2 ? ? ; 2 4 1 1 ? 8m ? 0, 即 m ? ? . 4 32

A,B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 ? ? 设 AB 的中点 N 的坐标为 ( x0 , y0 ) , 则 x0 ?
1 1 1 1 ( x1 ? x 2 ? ? , y 0 ? ? x0 ? m ? ? m. 2 8 2 16

由 N ? l, 得

1 1 5 5 1 9 ? m ? ? ? b, 于是 b ? ?m? ? ? . 16 4 16 16 32 32
32

即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为( 9 ,?? ) .
第 7 页 共 8 页

法二:y1=2x1 , y2=2x2 , 相减得

2

2

y1 ? y2 1 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 x0 , 即 ? ? 4 x0 , x1 ? x2 2

1 1 9 2 x0 ? ? , y0 ? ? ? b , 中点在抛物线内必 y0 ? 2 x0 得b ? 8 4 32
14、解: (Ⅰ)由 f '( x) ? x2 ? 2 x ? a 及题设得 ?

? f '(0) ? 3 ?a ? 3 即? 。 ? f (0) ? ?2 ?b ? ?2
得 g ' (x ) ? x ? 2 x? 3?
2

(Ⅱ) (ⅰ)由 g ( x) ?

1 3 m x ? x 2 ? 3x ? 2 ? 3 x ?1

m 。 (x ? 12 )

g ( x) 是 [2, ??) 上的增函数, ? g '( x) ? 0 在 [2, ??) 上恒成立,
即 x ? 2x ? 3 ?
2

m ? 0 在 [2, ??) 上恒成立。 ( x ? 1) 2
x ?[2, ??),?t ?[1, ??) ,即不等式 t ? 2 ?
m ? 0 在 [1, ??) 上恒成立 t

设 ( x ? 1)2 ? t 。

m ? 0 在 [1, ??) 上恒成立。 t m 当 m ? 0 时,设 y ? t ? 2 ? , t ? [1, ??) t m m 因为 y ' ? 1 ? 2 ? 0 ,所以函数 y ? t ? 2 ? 在 [1, ??) 上单调递增,因此 ymin ? 3 ? m 。 t t
当 m ? 0 时,不等式 t ? 2 ?

ymin ? 0,?3 ? m ? 0 ,即 m ? 3 。又 m ? 0 ,故 0 ? m ? 3 。
综上, m 的最大值为 3。

1 3 3 1 x ? x 2 ? 3x ? 2 ? ,其图像关于点 Q (1, ) 成中心对称。 3 x ?1 3 1 3 3 2 证明如下: g ( x) ? x ? x ? 3 x ? 2 ? 3 x ?1 1 3 1 8 3 ? g (2 ? x) ? (2 ? x)3 ? (2 ? x) 2 ? 3(2 ? x) ? 2 ? ? ? x3 ? x 2 ? 3x ? ? 3 2 ? x ?1 3 3 1? x 2 因此, g ( x ) ? g (2 ? x ) ? 。 3 2 上式表明,若点 A( x, y) 为函数 g ( x) 在图像上的任意一点,则点 B(2 ? x, ? y ) 也一定在函数 g ( x) 的图像上。 3 1 而线段 AB 中点恒为点 Q (1, ) ,由此即知函数 g ( x) 的图像关于点 Q 成中心对称。 3
(ⅱ)由(ⅰ)得 g ( x) ?

第 8 页 共 8 页


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