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江苏高考数列专项复习


等差数列 任意 a, b, c 1.设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列

? S ?是公差为
n

d 的等差数列.
(1)求数列 ?an ? 的通项公式(用 n, d 表示) (2)设 c 为实数,对满足条件 m ? n ? 3k 且 m ? n 的任

意整数 m, n, k ,不等式 Sm ? Sn ? cSk 都 成立.求证: c 的最大值为

9 2

2. 已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a1 ? 3 , anbn ? 2 , bn ?1 ? an (bn ?

2 ) , n ? N* . 1 ? an

1 (1)求证:数列 { } 是等差数列,并求数列 ?bn ? 的通项公式; bn
( p ? q ? r ),使得

(2)设数列 ?cn ? 满足 cn ? 2an ? 5 ,对于任意给定的正整数 p ,是否存在正整数 q , r

1 1 1 , , 成等差数列?若存在,试用 p 表示 q , r ;若不 cr cq cp

存在,说明理由. 解:(1)因为 anbn ? 2 ,所以 an ?

2 , bn 4 2an b 2bn 4 则 bn ?1 ? anbn ? , ? 2? n ? 2? ? 2 1 ? an b ? 2 b ? 2 n n 1? bn 1 1 1 ? ? , 所以 bn ?1 bn 2
又 a1 ? 3 ,所以 b1 ? 即

?1? 2 3 1 ,故 ? ? 是首项为 ,公差为 的等差数列, 3 2 2 ? bn ?

1 3 1 n?2 2 ? ? (n ? 1) ? ? ,所以 bn ? . bn 2 2 2 n?2 (2)由(1)知 an ? n ? 2 ,所以 cn ? 2an ? 5 ? 2n ? 1 , ①当 p ? 1 时, c p ? c1 ? 1 , cq ? 2q ? 1 , cr ? 2r ? 1 ,



1 2 1 1 1 ?1? , , 成等差数列,则 (?) , 2q ? 1 2r ? 1 cr cq cp
2 1 ? 1 ,1 ? ?1 , 2q ? 1 2r ? 1

因为 p ? q ? r ,所以 q ≥ 2 , r ≥ 3 ,

所以( ? )不成立. 1 1 1 ②当 p ≥ 2 时,若 , , 成等差数列, cr cq cp 则

2 1 1 1 2 1 4 p ? 2 q ?1 ? ? ? ? ? ,所以 , 2q ? 1 2 p ? 1 2 r ? 1 2r ? 1 2q ? 1 2 p ?1 (2 p ?1)(2 q ?1) (2 p ? 1)(2q ? 1) 2 pq ? p ? 2q ,所以 r ? , 4 p ? 2q ? 1 4 p ? 2q ? 1

即 2r ? 1 ?

欲满足题设条件,只需 q ? 2 p ? 1 ,此时 r ? 4 p2 ? 5 p ? 2 , 因为 p ≥ 2 ,所以 q ? 2 p ? 1 ? p , r ? q ? 4 p2 ? 7 p ? 3 ? 4( p ? 1)2 ? p ? 1 ? 0 , 即r ? q. 综上所述,当 p ? 1 时,不存在 q , r 满足题设条件; 当 p ≥ 2 时,存在 q ? 2 p ? 1 , r ? 4 p2 ? 5 p ? 2 ,满足题设条件.

3.设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 (1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 (2)试求所有的正整数 m ,使得

n 项和,满足 a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 。

n 项和 Sn ;
am am ?1 为数列 ?an ? 中的项。 am ? 2

【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满 分 14 分。 (1)设公差为 d ,则 a2 为d
2 2 2 2 ,由性质得 ?3d (a4 ? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,因 ? a5 ? a4 ? a3

? 0 ,所以 a4 ? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5d ? 0 ,又由 S7 ? 7 得 7a1 ?

7?6 d ?7, 2

解得 a1

? ?5 , d ? 2 ,所以 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ? 7 ,前 n 项和 Sn ? n2 ? 6n
am am ?1 (2m ? 7)(2m ? 5) = ,设 2 m ? 3 ? t , 2m ? 3 am ? 2
所以 t 为 8 的约数

(2)方法一:



8 am am ?1 (t ? 4)(t ? 2) ? t ? ? 6, = t t am ? 2

(方法二)因为

am am?1 (am? 2 ? 4)(am? 2 ? 2) 8 为数列 ?an ? 中的项, ? ? am? 2 ? 6 ? am? 2 am? 2 am? 2



8 a m+2

为整数,又由(1)知: am?2 为奇数,所以 am?2 ? 2m ? 3 ? ?1,即m ? 1, 2

经检验,符合题意的正整数只有 m ? 2 。
2 【例 3】 已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,且满足 an =S2n-1,

1 令 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn. an· an+1 (1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前 n 项和 Tn; (2)是否存在正整数 m,n(1<m<n),使得 T1,Tm,Tn 成等比数列?若存在,求出所有的 m, n 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)n=1 时,由 a2 1=S1=a1,且 a1≠0,得 a1=1.因为{an}是等差数列,所以 an=a1+(n -1)d=1+(n-1)d, n?n-1? n?n-1? Sn=na1+ d=n+ d. 2 2
2 于是由 a2 (n-1)d, n=S2n-1,得[1+(n-1)d] =2n-1+(2n-1)·

即 d2n2+(2d-2d2)n+d2-2d+1=2dn2+(2-3d)n+d-1, d =2d, ? ? 2 所以?2d-2d =2-3d, ? ?d2-2d+1=d-1,
2

解得 d=2.

1 所以 an=2n-1,从而 bn= an· an+1 = 1 ? 1 1 1 - = ? ?2n-1?· ?2n+1? 2?2n-1 2n+1?

1 1 ? 1? 1 ? 1 1 1 1 1 1 - 1- 1- ? + ? - ? +…+ ? 所以 Tn = b1 + b2 +…+ bn = ? = = 2 ? 3? 2 ?3 5? 2 ?2n-1 2n+1? 2 ? 2n+1? n . 2n+1 m 1 m n 1 n (2)法一 T1= , Tm = , T n= , 若 T1, Tm, Tn 成等比数列, 则?2m+1?2= ?2n+1?, 3 ? ? 3? ? 2m+1 2n+1
2 m2 n m2 n 3 -2m +4m+1 即 2 = .由 2 = ,可得 = >0,即-2m2+4m+ n m2 4m +4m+1 6n+3 4m +4m+1 6n+3

1>0,∴1-

6 6 <m<1+ . 2 2

又 m∈N*,且 m>1,所以 m=2,此时 n=12. 因此,当且仅当 m=2,n=12 时,数列{Tn}中的 T1,Tm,Tn 成等比数列.

法二 因为

n 1 1 m2 1 = < ,故 2 < ,即 2m2-4m-1<0, 3 6 6n+3 4m +4m+1 6 6+ n

∴1-

6 6 <m<1+ ,(以下同上). 2 2

隔项性质 设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,已知对任意整数 k 属于 M,当 n>k 时, S n?k ? S n?k ? 2(S n ? S k ) 都成立。 (1)设 M={1} , a 2 ? 2 ,求 a5 的值; (2)设 M={3,4} ,求数列 {an } 的通项公式。 解 析 :( 1 )

k ? 1,??n ? 1, Sn?1 ? Sn?1 ? 2(Sn ? S1 ),? Sn?2 ? Sn ? 2(Sn?1 ? S1 ) 即 :

an?2 ? an ? 2an?1
所以, n>1 时,?an ? 成等差, 而 a 2 ? 2 , S2 ? 3, S3 ? 2(S2 ? S1 ) ? S1 ? 7,? a3 ? 4,? a5 ? 8; (2)由题意: ?n ? 3, Sn?3 ? Sn?3 ? 2(Sn ? S3 ),(1); ?n ? 4, Sn?4 ? Sn?4 ? 2(Sn ? S4 ),(2) ,

?n ? 4, Sn?4 ? Sn?2 ? 2(Sn?1 ? S3 ),(3); ?n ? 5, Sn?5 ? Sn?3 ? 2(Sn?1 ? S4 ),(4);
当 n ? 5 时,由(1) (2)得: an?4 ? an?3 ? 2a4 ,(5) 由(3) (4)得: an?5 ? an?2 ? 2a4 ,(6) 由(1) (3)得: an?4 ? an?2 ? 2an?1 ,(7); 由(2) (4)得: an?5 ? an?3 ? 2an?1 ,(8); 由(7) (8)知: an? 4 , an?1 , an?2 , 成等差, an?5 , an?1 , an?3 , 成等差;设公差分别为: d1 , d2 , 由 ( 5 ) ( 6 ) 得 :

an?5 ? an?3 ? 2d2 ? an?4 ? 2a4 ? 2d2 ,(9); an?4 ? an?2 ? 2d1 ? an?5 ? 2a4 ? 2d1,(10);
由 (9) (10) 得: an?5 ? an?4 ? d2 ? d1 , 2a4 ? d1 ? d2 , an?2 ? an?3 ? d2 ? d1; ??a n ? (n ? 2) 成 等差,设公差为 d, 在(1) (2)中分别取 n=4,n=5 得: 2a1 +6a 2 ? 15d ? 2(2a1 ? 5a2 ? 5d ),即4a2 ? 5d ? ?2;

2a1 ? 8a2 ? 28d ? 2(2a1 ? 7a2 ? 9d ),即3a2 ? 5d ? ?1 ? a2 ? 3, d ? 2,? an ? 2n ?1.

19. (本小题满分 16 分)已知数列 ?an ? 满足下列条件:①首项 a1 ? a, (a ? 3, a ? N * ) ; ②当 an ? 3k , (k ? N * ) 时, a n ?1 ? (I)当 a4 ? 1 ,求首项 a 之值; (II)当 a ? 2014 时,求 a2014 ; (III)试证:正整数 3 必为数列 ?an ? 中的某一项; 解析: (I)当 a4 ? 1 时,则 a3 ? 3 ,此时,若 a 2 ? 2 ,则 a ? 6 ;若 a 2 ? 9 ,则 a ? 27 或 8,综上所述, a 之值为 6 或 8 或 27。 (II)当 a ? 2014 时, a2 ? 2015 , a3 ? 2016, a4 ? 672, a5 ? 224,

an ;③当 an ? 3k , (k ? N * ) 时, an?1 ? an ? 1 3

a6 ? 225, a7 ? 75, a8 ? 25, a9 ? 26, a10 ? 27 , a11 ? 9, a12 ? 3, a13 ? 1
a14 ? 2, a15 ? 3, 以下出现周期为 3 的数列,从而 a2014 ? a13 ? 1;
(III)由条件知:若 an ? 3k , (k ? N * ) ,则 a n ?1 ?

an a , a n ?3 ? n ? 2 ; 3 3

若 an ? 3k ? 1, (k ? N * ) ,则 an?1 ? an ? 1 ? 3k ? 2, an?2 ? 3k ? 3 ,

a n ?3 ? k ? 1 ?

1 an ? 2 ; 3 1 (a n ? 1) , 3

若 an ? 3k ? 2, (k ? N * ) ,则 an?1 ? an ? 1 ? 3k ? 3, a n ? 2 ?

1 1 (a n ? 1) ? 1 ? a n ? 2 ; 3 3 1 2 综上所述, a n ?3 ? a n ? 2 ,从而 a n ? a n ? 3 ? ( a n ? 3) , 3 3 a n?3 ?
故当 an ? 3 时,必有 an ? an ? 3 ? 0 ,因 an ? N * ,故 an ? an?3 ? 1 , 所以数列 {an } 中必存在某一项 am ? 3 (否则会与上述结论矛盾! ) 若 am ? 3 ,则 am?1 ? 1, am?2 ? 2 ;若 am ? 2 ,则 am?1 ? 3, am?2 ? 1 ,若 am ? 1 ,则 am?1 ? 2, am?2 ? 3 , 综上所述,正整数 3 必为数列 ?an ? 中的某一项。

数列的证明 已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: an?1 ?

an ? bn an ? bn
2 2

, n ? N? .

2 ? bn ?? bn ? ? ? ? (1)设 bn ?1 ? 1 ? ,n ? N ,求证:数列 ?? ? ? 是等差数列; an a ? ?? n ? ? ?

(2)设 bn ?1 ? 2 ?

bn ,n ? N? ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

设 {an } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , 记 bn ? Sn 是其前 n 项和. 其中 c 为实数.

nS n n ? N* , , n2 ? c

(1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N* ) ; (2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 .

5. 各项均为正数的数列{an}中,设 Sn ? a1 ? a2 ? 且 (2 ? Sn )(1 ? Tn ) ? 2 , n ? N* .

? an , Tn ? 1 ? 1 ? a1 a2

? 1 , an

(1)设 bn ? 2 ? Sn ,证明数列{bn}是等比数列;

(2)设 cn ? 1 nan ,求集合 ? m, k, r ? | cm ? cr ? 2ck , m ? k ? r, m, k, r ? N* . 2 【解】 (1)当 n ? 1 时, (2 ? S1 )(1 ? T1 ) ? 2 , 即 (2 ? a1 )(1 ? 1 ) ? 2 ,解得 a1 ? 1 . a1 由 (2 ? Sn )(1 ? Tn ) ? 2 ,所以 Tn ? 当 n ≥ 2 时, Tn ?1 ? ①-② ,得
2 ?1 2 ? Sn ?1 2 ?1 2 ? Sn

?

?





2an 1 2 2 ? ? ? ( n≥ 2 ) , an 2 ? Sn 2 ? Sn ?1 (2 ? Sn )(2 ? Sn ?1 )

即 (2 ? Sn )(2 ? Sn?1 ) ? 2[(2 ? Sn?1 ) ? (2 ? Sn )]2 , 即 bnbn?1 ? 2(bn?1 ? bn )2 ,所以

bn bn?1 5 ? ? , bn?1 bn 2 bn ?1. bn?1

因为数列{an}的各项均为正数,所以数列 ?2 ? Sn ? 单调递减,所以 所以

bn 1 . ? ( n≥ 2 ) bn?1 2

因为 a1 ? 1 ,所以 b1 ? 1 ? 0 , 所以数列{bn}是等比数列.
1 1 n (2)由(1)知 2 ? Sn ? ( )n ?1 ,所以 an ? n?1 ,即 cn ? n . 2 2 2 cm cr 由 cm ? cr ? 2ck ,得 ? ? 2 (*) ck ck

又 n ≥ 2 时,

cn ?1 n ? 1 ? ? 1 ,所以数列 ?cn ? 从第 2 项开始依次递减. cn 2n

m m cm cm 4m (Ⅰ)当 m ≥ 2 时,若 k ? m ≥ 2 ,则 ≥ ? 2 ? ≥2, ck cm ? 2 m ? 2 m ? 2 2m ? 2
(*)式不成立,所以 k ? m = 1 ,即 k ? m ? 1 . 令 r ? m ? 1 ? i(i ? N* ) ,则 cr ?
r 2m ?1? i ? 2ck ? cm ? 2 ? m ? 1? 2m ?1 ? m 2 2i ?1 ? ? , 2m 2m ?1 2m ?1? i

所以 r ? 2i ?1 ,即存在满足题设的数组 ? 2i ?1 ? i ? 1, 2i ?1 ? i, 2i ?1 ? ( i ? N* ) . (Ⅱ )当 m ? 1 时,若 k ? 2 ,则 r 不存在;若 k ? 3 ,则 r ? 4 ; 若 k ≥ 4 时,
c1 c ≥ 1 ? 2, (*)式不成立. ck c4

?

?

综上所述,所求集合为 (1,3,4), (2i ?1 ? i ? 1,2i ?1 ? i,2i ?1 ) ( i ? N* ) .

?

?

4. 设数列{an}的首项不为零,前 n 项和为 Sn,且对任意的 r,t ? N*,都有 (1)求数列{an}的通项公式(用 a1 表示) ;

Sr ? r St t

? ?.
2

(2)设 a1=1,b1=3, bn ? Sbn?1 n ≥ 2 , n ? N* ,求证:数列 ?log3 bn ? 为等比数列; (3)在(2)的条件下,求 Tn ? ?
k ?2 n

?

?

bk ?1 . bk ? 1

【解】 (1)因为 a1 ? S1 ? 0 ,令 t ? 1 , r ? n ,则

Sr ? r St t

? ? ,得 S S
2

n

? n2 ,即 Sn ? a1n2 .

1

当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? a1 (2n ? 1) ,且当 n ? 1 时,此式也成立. 故数列{an}的通项公式为 an ? a1 (2n ? 1) . (2)当 a1 ? 1 时,由(1)知 an ? a1 (2n ? 1) ? 2n ? 1 ,Sn=n2. 依题意, n ≥ 2 时, bn ? Sbn?1 ? bn?12 ,

n ? N) ,且 log3 b1 ? 1 , 于是 log3 bn ? log3 bn?12 ? 2log3 bn?1 (n ≥ 2,
故数列 ?log3 bn ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列. ( 3 ) 由 ( 2 ) 得 log3 bn ? 1? 2n?1 ? 2n?1 , 所 以 bn ? 32 (n ? N* ) .
n?1

于是

32 ? 1 ? 1 2k ?2 bk ?1 3 ? ? ? 1 ? 11 . bk ? 1 32k ?1 ? 1 32k ?2 +1 32k ?2 ? 1 32k ? 2? 1 32k ? ? 1

?

?

k ?2

所以 Tn ? ?
k ?2

n

n bk ?1 ? ? 2k ?1 ? 1 ?1? 1 . bk ? 1 k ? 2 3 2 ? 1 32k ?1 ? 1 2 32n?1 ? 1

?

??

?

?

?

交错数列 若数列 {an } 满足 a1 =a 且 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1(其中 a 为常数) ,Sn 是数列 {an } 的前 n 项 和,数列 {bn } 满足 bn =a2n .

(1)求 a1 ? a3 的值; (2)试判断 {bn } 是否为等差数列,并说明理由; (3)求 Sn (用 a 表示). 解: 20.解: (1)由题意,得 ?

? a2 ? a1 ? 1 ,? a1 ? a3 ? 2 ? a3 ? a2 ? 3

(2)

? a2 n ?1 ? a2 n ? 4n ? 1 , an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,? ? ? a2 n ? 2 ? a2 n ?1 ? 4n ? 1

? a2n ? a2n?2 ? 8n ,即 bn ? bn?1 ? 8n ,? bn?1 ? bn ? 8n ? 8 , ? bn?1 ? bn?1 ? 8 ,于是当且仅当 b1 , b2 , b3 为等差数列,数列 {bn } 为等差数列,
又?

? a2 n ?1 ? a2 n ? 4n ? 1 ,? a2n?1 ? a2n?1 ? 2 , ? a2 n ? a2 n ?1 ? 4n ? 3

a1 ? a ,? a3 ? 2 ? a ,

? b1 ? a ? 1, b2 ? 7 ? a , b3 ? 9 ? a ,由 b1 , b2 , b3 为等差数列,得 a ? 1 , ? 当 a ? 1 时,数列 {bn } 为等差数列;当 a ? 1 时,数列 {bn } 不为等差数列.
(3)

an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,? an?2 ? (?1)n?1 an?1 ? 2n ? 1,

? (?1)n an?1 ? (?1)2n an ? (?1)n (2n ?1) ,即 (?1)n an?1 ? an ? (?1)n (2n ?1) ,
? an?2 ? an ? 2n ? 1 ? (?1)n (2n ?1) ,? an?3 ? an?1 ? 2n ? 3 ? (?1)n?1 (2n ? 1)

? an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 4n ? 4 ? 2(?1)n ,? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?1 ? a4n ? 16n ? 6 ,
1 ? S4 n ? (10 ? 16n ? 6)n ? 8n 2 ? 2n . 2
由(2) a2n?1 ? a2n?1 ? 2 ,

a1 ? a ,? a4 n?3 ? a , a4n?1 ? 2 ? a ,

由 a2n ? a2n?1 ? 4n ? 3 ,? a4n?2 ? a4n?3 ? 8n ? 7 ,? a4n?2 ? 8n ? 7 ? a , 又 a2n ? a2n?2 ? 8n ,? a4n?2 ? a4n ? 16n ? 8 , a4n ? 8n ?1 ? a ,

? S4n?1 ? 8n2 ? 6n ? 1 ? a , S4n?2 ? 8n2 ? 6n ?1 ? 2a , S4n?3 ? 8n2 ?14n ? 6 ? a ,

?1 2 1 ? 2 n ? 2 n ? a (n ? 4k ? 3) ? ? 1 n 2 ? 1 n ? 2 ? 2a (n ? 4k ? 2) ? 2 Sn ? ? 2 , (k ? N *) ? 1 1 2 ? n ? n ? a (n ? 4k ? 1) ?2 2 ?1 1 ? n 2 ? n ( n ? 4k ) ?2 2

数列与不等式 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2,S6=22. (1)求 Sn; (2)若 从 { a n } 中 抽 取 一 个 公 比 为 q 的 等 比 数 列 { a k n} , 其 中 k 1 = 1 , 且 k1<k2<…<kn<…,kn∈N*. ①当 q 取最小值时,求{ kn}的通项公式; ②若关于 n(n∈N*)的不等式 6Sn>kn+1 有解,试求 q 的值. 解: (1)设等差数列的公差为 d ,则 S6 ? 6a1 ? 所以 S n ?

n(n ? 5) . 3 (2)因为数列 {an } 是正项递增等差数列,所以数列 {a kn } 的公比 q ? 1 ,
若 k2 ? 2 , 则由 a 2 ? 解得 n ?

1 2 ? 6 ? 5d ? 22 ,解得 d ? ,…2 分 2 3

a2 4 8 4 2 32 32 2 ? , ? ( n ? 2) , , 得q? 此时 a k3 ? 2 ? ( ) ? , 由 a1 3 3 3 9 9 3

10 ? N * ,所以 k 2 ? 2 ,同理 k 2 ? 3 ; 3 n ?1 若 k 2 ? 4 ,则由 a 4 ? 4 ,得 q ? 2 ,此时 akn ? 2 ? 2 , 2 2 n n?1 另一方面, akn ? (kn ? 2) ,所以 ( k n ? 2) ? 2 ,即 kn ? 3? 2 ? 2 , 3 3 所以对任何正整数 n , a kn 是数列 {an } 的第 3 ? 2 n ?1 ? 2 项.所以最小的公比 q ? 2 .

? 2. 2k ? 4 ? 2q n ?1 ,得 kn ? 3qn?1 ? 2 ,而 q ? 1 , (3)因为 akn ? n 3
所以当 q ? 1 且 q ? N 时,所有的 kn ? 3qn?1 ? 2 均为正整数,适合题意; 当 q ? 2 且 q ? N 时, kn ? 3qn?1 ? 2 ? N 不全是正整数,不合题意. 而 6Sn ? kn?1 有解,所以

所以 kn ? 3 ? 2

n ?1

2n(n ? 5) ? 2 ? 1 有解,经检验,当 q ? 2 , q ? 3 , q ? 4 时, 3q n

2n(n ? 5) ? 2 ? 1 的解,适合题意; 3q n 2n(n ? 5) ? 2 2n(n ? 5) ? 2 下证当 q ? 5 时, , ? 1 无解, 设 bn ? n 3q 3q n
n ? 1 都是
则 bn?1 ? bn ? 因为

2[(1 ? q)n2 ? (7 ? 5q)n ? 7 ? q] , 3q n

5q ? 7 ? 0 ,所以 f (n) ? 2[(1 ? q)n2 ? (7 ? 5q)n ? 7 ? q] 在 n ? N * 上递减, 2 ? 2q

又因为 f (1) ? 0 ,所以 f (n) ? 0 恒成立,所以 bn?1 ? bn ? 0 ,所以 bn ? b1 恒成立, 又因为当 q ? 5 时, b1 ? 1 ,所以当 q ? 5 时, 6Sn ? kn?1 无解. 综上所述, q 的取值为 2,3, 4. 20. 已知 a,b 是不相等的正数,在 a,b 之间分别插入 m 个正数 a1,a2,…,am 和正数 b1,b2,…, bm,使 a,a1,a2,…,am,b 是等差数列,a,b1,b2,…,bm,b 是等比数列. a3 5 b (1)若 m=5,b =4,求a的值;
3

(2)若 b=λa(λ∈N*,λ≥2),如果存在 n (n∈ N*,6≤n≤m)使得 an-5=bn,求 λ 的最小值 及此时 m 的值; (3)求证:an>bn(n∈N*,n≤m). 解: (1)设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q, b-a 则 d= 6 ,q=
6

b a .

a+b a3=a+3d= 2 ,b3=aq3= ab. a3 5 b 1 因为b =4,所以 2a-5 ab+2b=0,解得a=4 或4. 3 λ-1 λ-1 (2)因为 λa=a+(m+1)d,所以 d= a,从而得 an=a+ a×n. m+1 m+1
1


n

因为 λa=a×qm 1,所以 q=λm+1,从而得 bn=a×λm+1. (λ-1)(n-5) 因为 an-5=bn,所以 a+ ×a=a×λm+1. m+1 (λ-1)(n-5) m+1 因为 a>0,所以 1+ =λ (*) . m+1 (λ-1)(n-5) 因为 λ,m,n∈ N*,所以 1+ 为有理数. m+1
n n

n

要使(*)成立,则 λm+1必须为有理数. 因为 n≤m,所以 n<m+1.
n

若 λ=2,则 λm+1为无理数,不满足条件. 同理,λ=3 不满足条件. 2n 当 λ=4 时,4m+1=2m+1.要使 2m+1为有理数,则 必须为整数. m+1 又因为 n≤m,所以仅有 2n=m+1 满足条件. 3(n-5) 所以 1+ =2,从而解得 n=15,m=29. m+1 综上,λ 最小值为 4,此时 m 为 29. (3)证法一:设 cn>0,Sn 为数列{cn}的前 n 项的和. Sn 先证:若{cn}为递增数列,则{ n }为递增数列. Sn nbn+1 证明:当 n∈N*时, n < n =bn+1. Sn n+1 S n S n +1 Sn 因为 Sn+1=Sn+bn+1>Sn+ n = n Sn,所以 n < ,即数列{ n }为递增数列. n+1 Sn 同理可证,若{cn}为递减数列,则{ n }为递减数列. Sm+1 Sn ①当 b>a 时,q>1.当 n∈N*,n≤m 时, > . m+1 n aq(qm 1-1) aq(qn-1) + q-1 q-1 aqm 1-a aqn-a 即 > ,即 > n . n m+1 m+1 b-a + 因为 b=aqm 1,bn=aqn,d= , m+1 bn-a 所以 d> n ,即 a+nd>bn,即 an>bn. Sm+1 Sn ②当 b<a 时,0<q<1,当 n∈N*,n≤m 时, < . m+1 n aq(qm 1-1) aq(qn-1) q-1 q-1 即 < . n m+1 aqm 1-a aqn-a 因为 0<q<1,所以 > n .以下同①. m+1 综上, an>bn(n∈N*,n≤m).
+ + +

n

2n

2n

20.已知数列{an}的各项都为正数,且对任意 n∈N*,a2n-1,a2n,a2n+1 成等差数列, a2n,a2n+1,a2n+2 成等比数列. (1)若 a2=1,a5=3,求 a1 的值; an+1 a2 (2)设 a1<a2,求证:对任意 n∈N*,且 n≥2,都有 a <a . n 1 (1)解法一:因为 a3,a4,a5 成等差数列,设公差为 d,则 a3=3-2d,a4=3-d. 2 2 a3 (3-2d) 因为 a2,a3,a4 成等比数列,所以 a2=a4= 3-d . (3-2d)2 3 3 因为 a2=1,所以 3-d =1,解得 d=2,或 d=4.因为 an>0,所以 d=4. 1 因为 a1,a2,a3 成等差数列,所以 a1=2a2-a3=2-(3-2d)=2. 证法二:①若 n 为奇数且 n≥3 时,则 an,an+1,an+2 成等差数列. an+2 an+1 an+2an-a2n+1 (2an+1-an)an-a2n+1 (an+1-an)2 因为 - a = = =- ≤0, an+1 an+1an an+1an an+1an n an+2 an+1 所以 ≤ . an+1 an an+2 an+1 ②若 n 为偶数且 n≥2 时,则 an,an+1,an+2 成等比数列,所以 = . an+1 an an+2 an+1 a3 由①②可知,对任意 n≥2,n∈N*, ≤ ≤…≤a . an+1 an 2 2 2 (a1-a2)2 a3 a2 2a2-a1 a2 2a2a1-a1 -a2 又因为a -a = a -a = =- a a , a2a1 2 1 2 1 2 1 2 (a1-a2) a3 a2 因为 a1<a2,所以- a a <0,即a <a . 2 1 2 1 an+1 a2 综上, a <a . n 1


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