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2016-2017学年河北省衡水市故城高中高三(上)第二次月考数学试卷(理科)


2016-2017 学年河北省衡水市故城高中高三(上)第二次月考数 学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知等差数列{an}中,a2=5,a4=11,则前 10 项和 S10=( A.55 B.155 C.350 D.400 2.已知向量 =(4,2), =(x,3),且 ∥ ,则 x 等于( A.9 B.6 C.5 D.3 ) ) )

3.若实数 a,b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是( A.18 B.6 C.2 D.2

4.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的中点,则下列 说法错误的是( )

A.MN 与 CC1 垂直 B.MN 与 AC 垂直 C.MN 与 BD 平行 D. MN 与 A1B1 平行 5.数列{(﹣1)n(2n﹣1)}的前 2 016 项和 S2016 等于( A.﹣2 016 B.2 016 C.﹣2 015 D.2 015 ) )

6.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( A. B. C.5 D.6

7.如果实数 x、y 满足 值 3,那么实数 k 的值为( A.2 B.﹣2 C. )

,目标函数 z=kx+y 的最大值为 12,最小

D.不存在

8.某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何

体的体积为(



A.4

B.2

C.

D.8 ,﹣1)则|2 ﹣ |的最大值,最小

9.已知向量 =(cosθ,sinθ),向量 =( 值分别是( A.4 ) C.16,0 D.4,0

,0 B.4,4

10.数列 an=

,其前 n 项之和为 )

,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)

x+y+n=0 在 y 轴上的截距为( A.﹣10 B.﹣9 C.10 D.9

11.平面四边形 ABCD 中,AD=AB=

,CD=CB=

,且 AD⊥AB,现将△ABD 沿

着对角线 BD 翻折成△A′BD, 则在△A′BD 折起至转到平面 BCD 内的过程中, 直线 A′C 与平面 BCD 所成的最大角的正切值为( A.1 B. C. D. )

12.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2, 2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2, 4),…则第 60 个数对是( A.(3,8) B.(4,7) ) C.(4,8) D.(5,7)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 设 0<θ< cosθ) , 向量 = (sin2θ, ,= (1 , ﹣cosθ) , 若 ? =0, 则 tanθ= .

14.已知点 x,y 满足不等式组 范围是 .

,若 ax+y≤3 恒成立,则实数 a 的取值

15.已知正三棱锥 P﹣ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 PC 两两垂直,则球心到截面 ABC 的距离为 .

的球面上,若 PA,PB,

16.已知数列{an}满足 a1=0,a2=1,an+2=3an+1﹣2an,则{an}的前 n 项和 Sn=



三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演 算步骤) 17.(10 分)已知不等式 mx2﹣2x﹣m+1<0. (1)若对于所有的实数 x,不等式恒成立,求 m 的取值范围; (2)设不等式对于满足|m|≤2 的一切 m 的值都成立,求 x 的取值范围. 18.(12 分)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2,A1 在底面 ABC 内的射影 O 为底面△ABC 的中心,如图所示: (1)连结 BC1,求异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小; (2)连结 A1C、A1B,求三棱锥 C1﹣BCA1 的体积.

19.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

﹣1(n∈N*).

(Ⅱ)在数列{bn}中,b1=5,bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式. 20.(12 分)设△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 ,试求 的最小值.

21.(12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正 方形,AB=4,PA=3,A 点在 PD 上的射影为 G 点,E 点在 AB 上,平面 PEC⊥平面

PDC. (Ⅰ)求证:AG∥平面 PEC; (Ⅱ)求 AE 的长; (Ⅲ)求二面角 E﹣PC﹣A 的正弦值.

22.(12 分)祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在 11 个省区设立了海峡 两岸农业合作试验区和台湾农民创业园, 台湾农民在那里申办个体工商户可以享 受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务,某台商在第一年初到大陆创办一 座 120 万元的蔬菜加工厂 M,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第二年到第 六年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第七年开始,每年初 M 的价 值为年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (2)设 An= ,若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n

年初对 M 更新,证明:必须在第九年初对 M 更新.

2016-2017 学年河北省衡水市故城高中高三(上)第二次 月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知等差数列{an}中,a2=5,a4=11,则前 10 项和 S10=( A.55 B.155 C.350 D.400 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】根据已知等差数列{an}中,a2=5,a4=11,我们易构造出基本量(首项与 公差)的方程组,解方程组后,即可得到首项与公差,代入等差数列前 n 项和公 式,即可得到答案. 【解答】解:∵等差数列{an}中,a2=5,a4=11, a1+d=5,a1+3d=11, 解得 a1=2,d=3, 则 S10=2×10+ 故选 C 【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质和数列与函数的综合,属于中档 题.其中根据已知构造出基本项(首项与公差)的方程组,是解答本题的关键. =155 )

2.已知向量 =(4,2), =(x,3),且 ∥ ,则 x 等于( A.9 B.6 C.5 D.3



【考点】平行向量与共线向量. 【分析】利用向量共线定理即可得出. 【解答】解:∵ 故选 B. 【点评】熟练掌握向量共线定理是解题的关键. ,∴2x﹣12=0,解得 x=6.

3.若实数 a,b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是( A.18 B.6 C.2 D.2



【考点】基本不等式. 【分析】先判断 3a 与 3b 的符号,利用基本不等式建立关系,结合 a+b=2,可求 出 3a+3b 的最小值 【解答】解:由于 3a>0,3b>0, 所以 3a+3b = = =6.当且仅当 3a=3b,a=b,即 a=1,b=1 时取得最小值. 故选 B 【点评】 本题主要考查了均值不等式的性质和应用,解题时要注意公式的正确应 用,属于基础题.基本不等式求最值时要注意三个原则:一正,即各项的取值为 正;二定,即各项的和或积为定值;三相等,即要保证取等号的条件成立.

4.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的中点,则下列 说法错误的是( )

A.MN 与 CC1 垂直 B.MN 与 AC 垂直 C.MN 与 BD 平行 D. MN 与 A1B1 平行 【考点】棱柱的结构特征. 【分析】先利用三角形中位线定理证明 MN∥BD,再利用线面垂直的判定定理定 义证明 MN 与 CC1 垂直,由异面直线所成的角的定义证明 MN 与 AC 垂直,故排 除 A、B、C 选 D 【解答】解:如图:连接 C1D,BD,在三角形 C1DB 中,MN∥BD,故 C 正确;

∵CC1⊥平面 ABCD,∴CC1⊥BD,∴MN 与 CC1 垂直,故 A 正确; ∵AC⊥BD,MN∥BD,∴MN 与 AC 垂直,B 正确; ∵A1B1 与 BD 异面,MN∥BD,∴MN 与 A1B1 不可能平行,D 错误 故选 D

【点评】本题主要考查了正方体中的线面关系,线线平行与垂直的证明,异面直 线所成的角及其位置关系,熟记正方体的性质是解决本题的关键

5.数列{(﹣1)n(2n﹣1)}的前 2 016 项和 S2016 等于( A.﹣2 016 B.2 016 【考点】数列的求和. 【分析】由相邻两项之和为 2,可求和 【解答】 解析 016.故选 B. C.﹣2 015 D.2 015



S2016=﹣1+3﹣5+7+…﹣ =2×1008=2 (2×2 015﹣1) + (2×2 016﹣1)

【点评】本题考查了数列求和,探究规律是关键,属于基础题.

6.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( A. B. C.5 D.6



【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】将 x+3y=5xy 转化成 =1,然后根据 3x+4y=( )(3x+4y),

展开后利用基本不等式可求出 3x+4y 的最小值. 【解答】解:∵正数 x,y 满足 x+3y=5xy, ∴ =1 )(3x+4y)= + + + ≥ +2 =5

∴3x+4y=(

当且仅当 ∴3x+4y≥5

=

时取等号

即 3x+4y 的最小值是 5 故选:C 【点评】 本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用,解答本题的关 键是由已知变形,然后进行“1”的代换,属于基础题.

7.如果实数 x、y 满足 值 3,那么实数 k 的值为( A.2 B.﹣2 C. )

,目标函数 z=kx+y 的最大值为 12,最小

D.不存在

【考点】简单线性规划. 【分析】先画出可行域,得到角点坐标.再通过对斜率的分类讨论得到最大最小 值点,与原题相结合即可得到答案. 【解答】解:可行域如图:得:A(1,4.4),B(5,2),C(1,1). 所以:l1:x﹣4y+3=0 的斜率 k1= ;L2:3x+5y﹣25=0 的斜率 k2=﹣ . ①当﹣k∈(0, )时,C 为最小值点,A 为最大值点; ②当﹣k> 时,C 为最小值点,A 为最大值点,; ③当﹣ <﹣k<0 时,C 为最小值点,A 为最大值点,; ④当﹣k<﹣ 时,C 为最小值点,B 为最大值点, 由④得 k=2,其它情况解得不符合要求. 故 k=2. 故选:A.

【点评】 本题主要考查简单线性规划以及分类讨论思想. 解决本题计算量较大. 也 可以利用选择题的特点把答案直接代入,看哪个答案符合要求即可.

8.某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何 体的体积为( )

A.4

B.2

C.

D.8

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】三视图复原的几何体是长方体的三分之二,依据三视图的数据,得出长 方体长、宽、高,即可求出几何体的体积. 【解答】解:三视图复原的几何体是长方体,长方体长、宽、高分别是:2,2, 3, 所以这个几何体的体积是 2×2×3=12, 长方体被一个平面所截,得到的几何体的是长方体的三分之二,

如图所示,则这个几何体的体积为 12× =8. 故选 D.

【点评】此题考查了由三视图判断几何体,考查三视图的读图能力,计算能力, 空间想象能力,本题是基础题,常考题型.

9.已知向量 =(cosθ,sinθ),向量 =( 值分别是( A.4 ) C.16,0 D.4,0

,﹣1)则|2 ﹣ |的最大值,最小

,0 B.4,4

【考点】平面向量数量积的运算;三角函数的最值. 【分析】先表示 2 ﹣ ,再求其模,然后可求它的最值. 【解答】解:2 ﹣ =(2cosθ﹣ |2 ﹣ |= = 故选 D. 【点评】本题考查平面向量数量积的运算,三角函数的最值,是中档题. ,最大值为 4,最小值为 0. ,2sinθ+1),

10.数列 an=

,其前 n 项之和为 )

,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)

x+y+n=0 在 y 轴上的截距为( A.﹣10 B.﹣9 C.10 D.9

【考点】数列与解析几何的综合. 【分析】由题意因为数列 an= ,其前 n 项之和为 ,有数列通项的特点

利用裂项相消得方法得到 n 的方程解出 n 的值是直线(n+1)x+y+n=0 的方程具

体化,再利用直线在 y 轴上的截距求出所求. 【解答】解:因为数列{an}的通项公式为 + =1﹣ ∴n=9, ∴直线方程为 10x+y+9=0. 令 x=0,得 y=﹣9, ∴在 y 轴上的截距为﹣9. 故选 B 【点评】此题考查了裂项相消求数列的前 n 项和,及直线 y 轴截距,此外还考查 了学生利用方程的思想解问题. = +…+ = , 且其前 n 项和为:

11.平面四边形 ABCD 中,AD=AB=

,CD=CB=

,且 AD⊥AB,现将△ABD 沿

着对角线 BD 翻折成△A′BD, 则在△A′BD 折起至转到平面 BCD 内的过程中, 直线 A′C 与平面 BCD 所成的最大角的正切值为( A.1 B. C. D. )

【考点】直线与平面所成的角. 【分析】连结 AC,BD,交于点 O,由题设条件推导出 OA=1,OC=2.将△ABD 沿着对角线 BD 翻折成△A′BD,当 A′C 与以 O 为圆心,OA′为半径的圆相切时,直 线 A′C 与平面 BCD 所成角最大,由此能求出结果. 【解答】解:如图,平面四边形 ABCD 中, 连结 AC,BD,交于点 O, ∵AD=AB= ∴BD= ,CD=CB= ,且 AD⊥AB,

=2,AC⊥BD,

∴BO=OD=1, ∴OA= 1,OC= =2.

将△ABD 沿着对角线 BD 翻折成△A′BD, 当 A′C 与以 O 为圆心,OA′为半径的圆相切时,

直线 A′C 与平面 BCD 所成角最大, 此时,Rt△OA′C 中,OA′=OA=1,OC=2, ∴∠OCA′=30°, ∴直线 A′C 与平面 BCD 所成的最大角为 30°,其正切值为 tan30°= 故选 C. .

【点评】 本题考查直线与平面所成角的正弦值的最大值的求法,解题要注意等价 转化思想和数形结合思想的合理运用.

12.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2, 2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2, 4),…则第 60 个数对是( A.(3,8) B.(4,7) ) C.(4,8) D.(5,7)

【考点】归纳推理. 【分析】根据括号内的两个数的和的变化情况找出规律,然后找出第 60 对数的 两个数的和的值以及是这个和值的第几组,然后写出即可. 【解答】解:(1,1),两数的和为 2,共 1 个, (1,2),(2,1),两数的和为 3,共 2 个, (1,3),(2,2),(3,1),两数的和为 4,共 3 个, (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),两数的和为 5,共 4 个 … ∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55, ∴第 60 个数对在第 11 组之中的第 5 个数,从而两数之和为 12,应为(5,7). 故选 D. 【点评】本题是对数字变化规律的考查,规律比较隐蔽,观察出括号内的两个数

的和的变化情况是解题的关键.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设 0<θ< . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcosθ﹣cos2θ=0,再利用同 角三角函数的基本关系求得 tanθ 【解答】解:∵ =sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0,0<θ< , ,向量 =(sin2θ,cosθ), =(1,﹣cosθ),若 ? =0,则 tanθ=

∴2sinθ﹣cosθ=0,∴tanθ= , 故答案为: . 【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式,同角三角函数的基本关系,属于 基础题.

14.已知点 x,y 满足不等式组 范围是 (﹣∞,3] .

,若 ax+y≤3 恒成立,则实数 a 的取值

【考点】简单线性规划. 【分析】画出不等式满足的平面区域,由 ax+y≤3 恒成立,结合图形确定出 a 的 范围即可. 【解答】解:满足不等式组 的平面区域如右图所示,

由于对任意的实数 x、y,不等式 ax+y≤3 恒成立, 根据图形,可得斜率﹣a≥0 或﹣a>kAB= 解得:a≤3, 则实数 a 的取值范围是(﹣∞,3]. 故答案为:(﹣∞,3]. =﹣3,

【点评】此题考查了简单线性规划,画出正确的图形是解本题的关键.

15.已知正三棱锥 P﹣ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 PC 两两垂直,则球心到截面 ABC 的距离为 【考点】球内接多面体. .

的球面上,若 PA,PB,

【分析】 先利用正三棱锥的特点,将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体 问题,从而将所求距离转化为正方体中,中心到截面的距离问题,利用等体积法 可实现此计算 【解答】解:∵正三棱锥 P﹣ABC,PA,PB,PC 两两垂直, ∴此正三棱锥的外接球即以 PA,PB,PC 为三边的正方体的外接圆 O, ∵圆 O 的半径为 ,

∴正方体的边长为 2,即 PA=PB=PC=2 球心到截面 ABC 的距离即正方体中心到截面 ABC 的距离 设 P 到截面 ABC 的距离为 h,则正三棱锥 P﹣ABC 的体积 V= S△ABC×h= S△PAB× PC= × ×2×2×2= △ABC 为边长为 2 ∴h= = ﹣ = 的正三角形,S△ABC= ×

∴正方体中心 O 到截面 ABC 的距离为 故答案为

【点评】 本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化,棱柱 的几何特征,球的几何特征,点到面的距离问题的解决技巧,有一定难度,属中

档题

16.已知数列{an}满足 a1=0,a2=1,an+2=3an+1﹣2an,则{an}的前 n 项和 Sn= ﹣n﹣1 .

2n

【考点】数列的求和;数列的概念及简单表示法. 【分析】由 a1=0,a2=1,an+2=3an+1﹣2an,可得 an+2﹣an+1=2(an+1﹣an),利用等 比数列的通项公式可得 an﹣an﹣1,再利用“累加求和”即可得到 an,再利用等比数 列的前 n 项和公式即可得出 Sn. 【解答】解:由 a1=0,a2=1,an+2=3an+1﹣2an, 可得 an+2﹣an+1=2(an+1﹣an), ∴数列{an+1﹣an}是以 a2﹣a1=1 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ (n≥2).

∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 =2n﹣2+2n﹣3+…+2+1+0 = =2n﹣1﹣1.

∴Sn=(1+2+22+…+2n﹣1)﹣n = =2n﹣n﹣1..

故答案为:2n﹣n﹣1. 【点评】数列掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式、“累加求和”等是解题的 关键.

三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演 算步骤) 17.(10 分)(2014 秋?蚌埠校级期中)已知不等式 mx2﹣2x﹣m+1<0. (1)若对于所有的实数 x,不等式恒成立,求 m 的取值范围; (2)设不等式对于满足|m|≤2 的一切 m 的值都成立,求 x 的取值范围. 【考点】一元二次不等式的应用.

【分析】(1)当 m=0 时,经检验不满足条件;解得 m≠0 时,设 f(x)=mx2﹣ 2x﹣m+1,则由题意可得有 ,解得 m∈?.综合可得结论.

g m) = m+ (2) 由题意﹣2≤m≤2, 设( (x2﹣1) (1﹣2x) , 则由题意可得 由此求得 x 的取值范围. 【解答】解:(1)当 m=0 时,1﹣2x<0,即当 条件.…(2 分)



时不等式恒成立,不满足

解得 m ≠ 0 时,设 f ( x ) =mx2 ﹣ 2x ﹣ m+1 ,由于 f ( x )< 0 恒成立,则有 ,解得 m∈?. 综上可知,不存在这样的 m 使不等式恒成立.…(6 分) (2)由题意﹣2≤m≤2,设 g(m)=(x2﹣1)m+(1﹣2x),则由题意可得 g (m)<0,故有 ,

即 所以 x 的取值范围为

,解之得

, . …(12 分)

【点评】本题主要考查一元二次不等式的应用,函数的恒成立问题,体现了分类 讨论和转化的数学思想,属于中档题.

18.(12 分)(2014?黄浦区一模)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长和底面边 长均为 2,A1 在底面 ABC 内的射影 O 为底面△ABC 的中心,如图所示: (1)连结 BC1,求异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小; (2)连结 A1C、A1B,求三棱锥 C1﹣BCA1 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;异面直线及其所成的角. 【分析】(1)根据异面直线所成的角的定义找出异面直线 AA1 与 BC1 所成的角, 再求出异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小. (2) 由题意, 先求出三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 的大小,从而得 【解答】解:如图,; (1) 联结 AO, 并延长与 BC 交于点 D, 则 AD 是 BC 边上的中线. 点 O 是正△ABC 的中心,且 A1O⊥平面 ABC, ∴BC⊥AD,BC⊥A1O,且 AD∩A1O=O. ∴BC⊥平面 ADA1. ∴BC⊥AA1. 又 AA1∥CC1, ∴异面直线 AA1 与 BC1 所成的角为∠BC1C. ∴CC1⊥BC, 即四边形 BCC1B1 为正方形. ∴异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小为 . 的大小. , 在求得

(2)∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都为 2, ∴AD= A1O= ∴ ∴ ∴ = ,AO= AD= = . ×22× ﹣ = = = =2 , . . ,

=S△ABC?A1O= =

【点评】 本题考查了空间中的异面直线所成的角以及求几何体的体积等问题,解 题时应画出图形,数形结合,适当地转化计算方法,是中档题.

19.(12 分)(2012?河北模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= (n∈N*). (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)在数列{bn}中,b1=5,bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式. 【考点】数列递推式;数列的求和. 【分析】(I)当 n=1 时, ,a1=2.当 n≥2 时,∵

﹣1



,由此得 an=3an﹣1,从而能够得到数列{an}的通项公式. b3=b2+2×3, b2=b1+2×30, (II) 由 bn+1=bn+an, 得 bn=bn﹣1+2?3n﹣2, 相加得 bn=b1+2 ×(3n﹣2+…+3+30)=5+ 【解答】解:(I)当 n=1 时, 当 n≥2 时,∵ ② ①﹣②得: ,即 an=3an﹣1,(3 分) ① ,由此能求出数列{bn}的通项公式. ,∴a1=2.(2 分)

∴数列{an}是首项为 2,公比为 3 的等比数列.(4 分) ∴an=2×3n﹣1.(6 分) (II)∵bn+1=bn+an,

∴当 n≥2 时,bn=bn﹣1+2?3n﹣2, b3=b2+2×3, b2=b1+2×30,(8 分) 相加得 bn=b1+2×(3n﹣2+…+3+30) =5+ .(11 分)

(相加(1 分),求和(1 分),结果 1 分) 当 n=1 时,31﹣1+4=5=b1,(12 分) ∴bn=3n﹣1+4.(13 分) 【点评】第(Ⅰ)题考查迭代法求数列通项公式的方法,第(II)考查累加法求 通项公式的方法,解题时要认真审题,仔细解答.

20.(12 分)(2010?盐城三模)设△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 ,试求 的最小值. .

【考点】平面向量数量积的运算;正弦定理;余弦定理. 【分析】(1)根据题目中所给的向量的数量积写出数量积的公式,得到关于三 角形边和角的等式关系,根据正弦定理把变化为角,逆用两角和的正弦公式,得 到角 B 的余弦值,根据角的范围写出角. (2)本题要求向量的数量积的最值,而这两个向量的夹角是上一问求出的 B, 在表示向量数量积时,只有两边之积是一个变量,因此要表示出两边之积,根据 余弦定理和基本不等式得到 ac 的范围,得到结果. 【解答】解:(Ⅰ)∵ ∴(2a+c)accosB+cabcosC=0, 即(2a+c)cosB+bcosC=0, 则(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0 ∴2sinAcosB+sin(C+B)=0, 即 , ,

B 是三角形的一个内角, ∴ (Ⅱ)∵ ∴12=a2+c2+ac≥3ac,即 ac≤4 ∴ 即 = 的最小值为﹣2 , ,

【点评】本题是一个三角函数同向量结合的问题,是以向量的数量积为条件,得 到三角函数的关系式, 在高考时可以以解答题形式出现, 本题又牵扯到解三角形, 是一个综合题.

21.(12 分)(2011?安徽模拟)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD, AB=4, PA=3, A 点在 PD 上的射影为 G 点, E 点在 AB 上, 四边形 ABCD 为正方形, 平面 PEC⊥平面 PDC. (Ⅰ)求证:AG∥平面 PEC; (Ⅱ)求 AE 的长; (Ⅲ)求二面角 E﹣PC﹣A 的正弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】(Ⅰ)通过证明 CD⊥平面 PAD,AG⊥平面 PCD,作 EF⊥PC 于 F,证明 EF∥AG,利用直线与平面平行的判定定理证明 AG∥平面 PEC. (Ⅱ) 证明 AE∥平面 PCD, 推出 AE=GF, 通过 PA2=PG?PD, 求出 PG, 利用 求出 AE,即可. (Ⅲ)过 E 作 EO⊥AC 于 O 点,说明∠EFO 即为二面角 E﹣PC﹣A 的平面角,利



求出结果即可.

【解答】解:(Ⅰ)证明:∵CD⊥AD,CD⊥PA ∴CD⊥平面 PAD∴CD⊥AG, 又 PD⊥AG ∴AG⊥平面 PCD …(2 分)

作 EF⊥PC 于 F,因面 PEC⊥面 PCD ∴EF⊥平面 PCD∴EF∥AG 又 AG?面 PEC,EF? 面 PEC, ∴AG∥平面 PEC …(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A、E、F、G 四点共面,又 AE∥CD∴AE∥平面 PCD ∴AE∥GF∴四边形 AEFG 为平行四边形,∴AE=GF ∵PA=3,AB=4∴PD=5,AG= , …

又 PA2=PG?PD∴PG= …(6 分) 又 ∴ ∴ …(8 分)

(Ⅲ)过 E 作 EO⊥AC 于 O 点,易知 EO⊥平面 PAC, 又 EF⊥PC,∴OF⊥PC∴∠EFO 即为二面角 E﹣PC﹣A 的平面角 ,又 EF=AG= ∴ …(13 分) …(10 分)

【点评】 本题考查二面角的平面角的求法,直线与平面垂直与平行的判定定理的 应用,考查空间想象能力以及计算能力.

22.(12 分)(2016 秋?故城县校级月考)祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以 来,在 11 个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民 在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务,某 台商在第一年初到大陆创办一座 120 万元的蔬菜加工厂 M,M 的价值在使用过 程中逐年减少,从第二年到第六年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从 第七年开始,每年初 M 的价值为年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (2)设 An= ,若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n

年初对 M 更新,证明:必须在第九年初对 M 更新. 【考点】数列的应用;数列的函数特性. 【分析】(1)根据题意,当 n≤6 时,数列{an}是一个等差数列,当 n≥7 时, 数列{an}中从 a6 开始的项构成一个等比数列, 分别确定它们的首项和公差, 公差, 写出通项公式,然后进行合并即可. (2)先对 n 进行公类,表示出 An,利用数列的单调性质确定其最佳项,并与 80 比较大小,确定 n 的值. 【解答】解: (1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为﹣10 的等差数列, 故 an=120﹣10(n﹣1)=130﹣10n, 当 n≥7 时,数列{an}从 a6 开始的项构成一个以 a6=130﹣60=70 为首项,以 为 公比的等比数列, 故 ,

∴第 n 年初 M 的价值 an=



(2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差数列和等比数列的求和公式,得: 当 1≤n≤6 时,Sn=120n﹣5n(n﹣1), =120﹣5(n﹣1)=125﹣5n, 当 n≥7 时,由于 S6=570, 故 Sn=570+(a7+a8+…+an)

=570+70× =780﹣210× = , ,

∵{an}是递减数列,∴{An}是递减数列, ∵ ≈82.734>80,

≈76.823<80, 所以必须在第九年初对 M 更新. 【点评】本题考查函数模型的建立问题,关键要理解题意,通过相应的数学知识 建立数学模型,通过不等式工具、函数最值的思想和方法达到求解的目的.考查 转化与化归的思想.


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