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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第六章第7课时课后达标检测


[基础达标] 一、选择题 1. (2014· 安徽合肥模拟)正弦函数是奇函数, f(x)=sin(x2+1)是正弦函数, 因此 f(x)=sin(x2 +1)是奇函数,以上推理( ) A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确 解析:选 C.由于 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,故小前提不正确. 2.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,结论还正确的是( ) A.如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则也与另一条相交 B.如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则也与另一条垂直 C.如果两条直线没有公共点,则这两条直线平行 D.如果两条直线同时与第三条直线垂直,则这两条直线平行 解析:选 B.由空间立体几何的知识可知 B 正确. 3.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( ) A.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.由 an=2n-1,求出 S1=12,S2=22,S3=32,?,推断: Sn=n2 B.由 f(x)=xcos x 满足 f(-x)=-f(x)对?x∈R 都成立,推断:f(x)=xcos x 为奇函数 x2 y2 C.由圆 x2+y2=r2 的面积 S=πr2,推断:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积 S=πab a b 2 1 2 2 2 3 D.由(1+1) >2 ,(2+1) >2 ,(3+1) >2 ,?,推断:对一切 n∈N*,(n+1)2>2n 解析:选 A.选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}为等差数列, n?1+2n-1? 2 其前 n 项和等于 Sn= =n ,选项 D 中的推理属于归纳推理,但结论不正确. 2 4.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a· b=b· a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)· c=a· c+b· c”; ③“(m· n)t=m(n· t)”类比得到“(a· b)· c=a· (b· c)”; ④“t≠0,mt=xt?m=x”类比得到“p≠0,a· p=x· p?a=x”; ⑤“|m· n|=|m|· |n|”类比得到“|a· b|=|a|· |b|”; ac a a· c a ⑥“ = ”类比得到“ = ”. bc b b· c b 以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 B.①②正确;③④⑤⑥错误. 5.(2012· 高考江西卷)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5 +b5=11,?,则 a10+b10=( ) A.28 B.76 C.123 D.199 解析:选 C.记 an+bn=f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7; f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则 f(6)=f(4)+ f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9) =123.所以 a10+b10=123. 二、填空题 6.数列 2, 5,2 2, 11,?的一个通项公式是________. 解析:因为 a1= 3-1,a2= 3×2-1,a3= 3×3-1,a4= 3×4-1,

由此猜想 an= 3n-1. 答案:an= 3n-1 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类 T16 比以上结论.设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,________, 成等比数 T12 列. 解析:对于等比数列,通过类比等差数列,有等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4= T8 T12 a1a2a3a4,T8=a1a2?a8,T12=a1a2?a12,T16=a1a2?a16,所以 =a5a6a7a8, =a9a10a11a12, T4 T8 T16 T8 T12 T16 T T T 8 12 16 =a a a a ,所以 T4, , , 的公比为 q16,因此 T4, , , 成等比数列. T12 13 14 15 16 T4 T8 T12 T4 T8 T12 T8 T12 答案: T4 T8 8.(2014· 湖北省七市高三联考)挪威数学家阿贝尔,曾经根据阶梯形图形的两种不同分 割(如下图),利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式-阿贝尔公式:a1b1+a2b2+a3b3 +?+anbn=a1(b1-b2)+L2(b2-b3)+L3(b3-b4)+?+Ln-1(bn-1-bn)+Lnbn.

则其中:(1)L3=________; (2)Ln=________. 解析:(1)由图象(a)(b)可知,a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=a1(b1-b2)+(a1+a2)(b2-b3) +(a1+a2+a3)(b3-b4)+(a1+a2+a3+a4)(b4-b5)+(a1+a2+a3+a4+a5)b5, 所以 L3=a1+a2+a3. (2)归纳推理可知:a1b1+a2b2+a3b3+?+anbn= a1(b1-b2)+(a1+a2)(b2-b3)+(a1+a2+a3)(b3-b4)+?+(a1+a2+a3+?+an)bn, 所以 Ln=a1+a2+a3+?+an. 答案:(1)a1+a2+a3 (2)a1+a2+a3+?+an 三、解答题 9.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质,例如在三角形中:(1)三角 1 形两边之和大于第三边;(2)三角形的面积 S= ×底×高;(3)三角形的中位线平行于第三边 2 1 且等于第三边的 ,? 2 请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论. 解:由三角形的性质,可类比得空间四面体的相关性质为: (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; 1 (2)四面体的体积 V= ×底面积×高; 3 1 (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的 . 4 10.观察下表: 1, 2,3 4,5,6,7, 8,9,10,11,12,13,14,15, ? 问:(1)此表第 n 行的最后一个数是多少? (2)此表第 n 行的各个数之和是多少?

(3)2 014 是第几行的第几个数? 解:(1)∵第 n+1 行的第 1 个数是 2n, ∴第 n 行的最后一个数是 2n-1. - - - (2)2n 1+(2n 1+1)+(2n 1+2)+?+(2n-1) n-1 n n-1 ?2 +2 -1?· 2 - - = =3· 22n 3-2n 2. 2 (3)∵210=1 024,211=2 048,1 024<2 014<2 048, ∴2 014 在第 11 行,该行第 1 个数是 210=1 024, 由 2 014-1 024+1=991,知 2 014 是第 11 行的第 991 个数. [能力提升] 一、选择题 1.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2, S1 1 则 = ,推广到空间可以得到类似结论;已知正四面体 PABC 的内切球体积为 V1,外接球 S2 4 V1 体积为 V2,则 =( ) V2 1 1 A. B. 8 9 1 1 C. D. 64 27 V1 1 解析:选 D.正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故 = . V2 27 2.(2014· 山东枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列,则第 21 行从左向右的第 5 个 数为( ) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 ? ? ? A.809 B.852 C.786 D.893 解析:选 A.前 20 行共有正奇数 1+3+5+?+39=202=400(个),则第 21 行从左向右 的第 5 个数是第 405 个正奇数,所以这个数是 2×405-1=809. 二、填空题 3.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形, 按图所标边长, 由勾股定理有: c2=a2+b2.设想正方形换成正方体, 把截线换成如图的截面, 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN,如果用 S1,S2,S3 表示三个侧面 面积,S4 表示截面面积,那么类比得到的结论是________.

解析:将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边,可 得
2 2 2 S2 1+S2+S3=S4. 2 2 2 答案:S1+S2 2+S3=S4

4.(2014· 宜昌市一中高三考前模拟)某种平面分形图如下图所示,一级分形图是由一点 出发的三条线段,长度均为 1,两两夹角为 120° ;二级分形图是在一级分形图的每一条线 1 段末端出发再生成两条长度均为原来 的线段; 且这两条线段与原线段两两夹角为 120° ; ?; 3 依次规律得到 n 级分形图.则 (1)n 级分形图中共有________条线段. (2)n 级分形图中所有线段长度之和为________.

解析:(1)依题意,记 n 级分形图中共有 an 条线段,则有 a1=3,?,an-an-1=3· 2n 1. 由累加法得 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1) 1-2n n-1 =3(1+2+?+2 )=3· =3(2n-1). 1-2 (2)n 级分形图中所有线段的长度和等于 2?n 3×1-? 3? ×3 ? ?2?n? ? 1 1 - ?n-1= 3×1+3×2× +?+3×2n 1×? =9?1-?3? ?. ?3? 3 2 1- 3 2 ? ?n? 答案:(1)3(2n-1) (2)9? ?1-?3? ? 三、解答题 5.(2012· 高考福建卷)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一 个常数: ①sin213° +cos217° -sin 13° cos 17° ; 2 2 ②sin 15° +cos 15° -sin 15° cos 15° ; ③sin218° +cos212° -sin 18° cos 12° ; ④sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos 48° ; 2 2 ⑤sin (-25° )+cos 55° -sin(-25° )cos 55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解:(1)选择②式,计算如下: sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° 1 1 3 =1- sin 30° =1- = . 2 4 4 3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)= . 4 证明如下: 法一:sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) =sin2α+(cos 30° cos α+sin 30° sin α)2-sin α(cos 30° · cos α+sin 30° sin α) 3 3 1 3 1 3 3 3 =sin2α+ cos2α+ sin αcos α+ sin2α- sin αcos α- sin2α= sin2α+ cos2α= . 4 2 4 2 2 4 4 4 法二:sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) 1-cos 2α 1+cos?60° -2α? = + -sin α(cos 30° cos α+sin 30° sin α) 2 2 1 1 1 1 3 1 = - cos 2α+ + (cos 60° cos 2α+sin 60° sin 2α)- sin αcos α- sin2α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α+ + cos 2α+ sin 2α- sin 2α- (1-cos 2α) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos 2α- + cos 2α= . 4 4 4 4 π 6.(选做题)设函数 fn(θ)=sinnθ+(-1)ncosnθ,0≤θ≤ ,其中 n 为正整数. 4 (1)判断函数 f1(θ),f3(θ)的单调性,并就 f1(θ)的情形证明你的结论; (2)证明:2f6(θ)-f4(θ)=(cos4θ-sin4θ)(cos2θ-sin2θ). π? 解:(1)f1(θ),f3(θ)在? ?0,4?上均为单调递增函数.


对于函数 f1(θ)=sin θ-cos θ, π? 设 θ1<θ2,θ1,θ2∈? ?0,4?, 则 f1(θ1)-f1(θ2)=(sin θ1-sin θ2)+(cos θ2-cos θ1), ∵sin θ1<sin θ2,cos θ2<cos θ1,∴f1(θ1)-f1(θ2)<0, π? ∴f1(θ1)<f1(θ2),函数 f1(θ)在? ?0,4?上单调递增. (2)证明:∵原式左边=2(sin6θ+cos6θ)-(sin4θ+cos4θ) =2(sin2θ+cos2θ)(sin4θ-sin2θ· cos2θ+cos4θ)-(sin4θ+cos4θ) 4 2 2 4 =sin θ-2sin θcos θ+cos θ=(sin2θ-cos2θ)2=cos22θ. 又∵原式右边=(cos2θ-sin2θ)2=cos22θ. ∴2f6(θ)-f4(θ)=(cos4θ-sin4θ)· (cos2θ-sin2θ).


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