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2013年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)数学(理科)(1)


2013 年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)

数学(理科)参考答案与评分参考
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题 的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该

部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 一、 选择题 参考答案 1 C 2 A 3 B 4 D 5 B 6 D 7 C 8 D 9 C 10 B 11 A 12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.
5 5

14. 2023

15. a n ? 3 n

16.18

三、解答题:本大题共 70 分. 17.解: 由正弦定理
b sin B

=

c sin C

及 c ? b (1 ? 2 cos A ) 可知, sin C ? sin B ? (1 ? 2 cos A ) ,

………………………………………………………………………………3 分 又在 ? ABC 中, A ? B ? C ? ? , 所以 sin C ? sin( B ? A ) ? sin A cos B ? sin B cos A , 从而 sin A cos B ? cos A sin B ? sin B , 所以 sin( A ? B ) ? sin B , …………………………………………………………………9 分 即 A ? B ? B 或 A ? B ? ? ? B (舍), ? ? 所以 A ? 2 B ,又 B ? ,所以 A ? .
12

…………………………………6 分

…………………………………………………12 分

6

18.解: (1) (方法一) 连接 AC 交 B D 于 O 点,连接 OF ,可得 OF 是 ? ACE 的中 位线,所以 OF // AE , 又 AE ? 平面 B D F , O F ? 平面 B D F ,所以 EA // 平面
BDF .

………………………………………………………………………………………………4 分 (方法二) 如图所示建立空间直角坐标系 D ? xyz .

由已知得
?3 3? D ? 0, 0, 0 ? , A ? 0, 2, 0 ? , B ? 2, 2, 0 ? , C ? 2, 0, 0 ? , E 1, 0, 3 , F ? , 0, ? , ……………2 分 ?2 2 ? ? ?

?

?

??? ? ???? ???? ? 3 3? E A ? ? 1, 2, ? 3 , D B ? ? 2, 2, 0 ? , D F ? ? , 0, ?, ?2 2 ? ? ?

?

?

??? ? ??? ? ???? C B ? ? 0, 2, 0 ? , C E ? ? 1, 0, 3 , D E ? 1, 0, 3 .

?

?

?

?

?? ? 令 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? 为平面 B D F 的一个法向量,则有
?? ???? ? 2 x1 ? 2 y 1 ? 0 ? n1 ? D B ? 0 ? ? ,? ? 3 , 令 z1 ? ? ?? ???? 3 z1 ? 0 ? n1 ? D F ? 0 ? x1 ? ? ?2 2
?? ? n1 ? ? 1,1, 3 .

3, 则

?

?

??? ?? ? ??? ? 从而 E A ? n1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 0 ,又 E A 不在平面 B D F ,所以 EA // 平面 B D F .…………4 分

?? ? (2)令 n 2 ? ? x 2 , y 2 , z 2 ? 为平面 BCE 的一个法向量,则有
?? ??? ? ? ? n2 ? C B ? 0 ?? ? ? ? ? 2 y2 ? 0 ,令 z 2 ? 3 , 则 n 2 ? 3, 0, 3 . ……………………8 分 ,? ? ? ? ? ?? ??? ? ? x2 ? 3 z 2 ? 0 ? n2 ? C E ? 0 ? ? ?? ? 令 n3 ? ? x3 , y 3 , z 3 ? 为平面 B D E 的一个法向量,则有

?

?

?? ???? ? ? n3 ? D B ? 0 ? 2 x3 ? 2 y 3 ? 0 ? ? ,令 z 3 ? ,? ? ? ? ?? ???? n3 ? D E ? 0 ? x3 ? 3 z 3 ? 0 ? ? ?

?? ? 3 , 则 n 3 ? ? 3, 3, 3 .……………………10 分

?

?

令二面角 D ? EB ? C 的平面角为 ? ,观察知 ? 为锐角,
?? ?? ? ? n 2 ? n3 7 7 co s ? ? ?? ?? ? ,所以 ? ? arccos . ? ? 7 7 n 2 n3

……………………………………12 分

19.解: (1)从甲组中应抽取的同学人数为 从乙组中应抽取的同学人数为

3 15 3 15

? 10 ? 2 , ? 5 ? 1 ; ………………………………2 分

(2)从甲组中抽取的同学中至少有 1 名女同学的概率
P ? 1? C6 C
2

2 10

?

2 3

(或 P ?

C 4C 6 ? C 4
1 1

2

C

2 10

?

2 3

). ………………………………………5 分

(3) X 的可能取值为 0,1,2,3, ………………………………………………6 分

P ( X ? 0) ?

C4 C

2

2 10

?

C2 C

1

1 5

?

4 75

, P ( X ? 1) ?

C4C6 C
2 10

1

1

?

C2 C

1

1 5

?

C4 C

2

2 10

?

C3 C

1

1 5

?

22 75



P ( X ? 3) ?

C6 C

2

2 10

?

C3 C

1

1 5

?

1 5

,P ( X ? 2) ? 1 ? P ( X ? 0) ? P ( X ? 1) ? P ( X ? 3) ?

34 75



(或 P ( X ? 2) ?

C6 C

2

2 10

?

C2 C

1

1 5

?

C6C4 C
2 10

1

1

?

C3 C

1

1 5

?

34 75

).

……………………………………8 分

∴ X 的分布列为:

X

0

1

2

3

P?X

?
………………10 分

EX ? 0 ?

4 75

? 1?

22 75 c
a

? 2?
?
2

34 75

? 3?

1 5

?
2

9 5

.
2

……………………………………12 分
2

20.解: (1) c ? 1, e ?
x
2

1 2

, 得 a ? 2,? b ? a ? c ? 3 ,

所以椭圆的方程为

?

y

? 1.

………………………………………………………4 分

4

3

依题意可设 A B 所在的直线方程为 y ? kx ?

3 7

,代入椭圆方程,得

? 3+ 4 k ? x
2

2

?

8 3 7

kx ?

576 49

? 0 .设 A ? x1 , y1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,

则 x1 ? x 2 ?

8 3k 7 ?3 ? 4k
2

?

, x1 x 2 ?

? 576 49 ? 3 ? 4 k
2

?

.

…………………………………………6 分

因为 Q 0, 3 ,? Q A ? Q B ? x1 , y1 ? 3 ? x 2 , y 2 ? 3 ? ? x1 , kx1 ? ?
?

?

?

??? ??? ? ?

?

??

?

?

8 3? ? 8 3? ? ? ? x 2 , kx 2 ? ? ? ? 7 ? ? 7 ? ?

? ?1 ? k

2

?x x
1

2

?

8 3 7

k ? x1 ? x 2 ? ?

192 49

? ?1 ? k
2

2

?

? 576 49 ? 3 ? 4 k
2

?

?

8 3 7

k

8 3k 7 ?3 ? 4k
2

?

?

192 49

?

? 576 ? 576 k ? 192 k ? 576 ? 768 k
2 2

49 ? 3 ? 4 k

2

?

?0,

所以 ? A Q B ?

?
2

.

………………………………………………………………………8 分

(2)因为 P O ?

????

? ? ???? ???? ? ? 1 ???? ???? ? 1 ???? ???? ????? P F1 ? P F2 , F2 M ? P M ? P F2 ? P F1 ? P F 2 , 2 3

?

?

???? ????? 因为 PO ? F2 M ? 0 ,

所以

? ? 1 ???? ???? ? 1 ???? ???? ? P F1 ? P F 2 ? ? P F1 ? P F 2 ? ? 0 , 2 ?3 ?

?

?

化简得 PF 1 ? 2 PF 1 · 2 - 3 PF 2 ? 0 , PF
???? 即, P F1
2

2

2

???? ???? ? ???? ? ? 2 P F1 P F2 cos ? F1 P F2 ? 3 P F2

2

? 0 , …………………………………10 分

在 ? F1 P F2 中,由余弦定理,
???? 有 P F1
2

???? ? ? P F2
2

2

???? ???? ? 2 ? 2 P F1 P F2 cos ? F1 P F2 ? 4 c ,

???? ? 所以 4 P F2

???? ? 2 ? 4 c , P F2 ? c ,
???? ?

又因为 a ? c ? P F2 ? a ? c ,? a ? 2 c , 即e ?
c a ? 1 ?1 ? ,? 0 ? e ? 1 ? e ? ? ,1 ? . …………………………………………………12 分 2 ?2 ?

21.解: (1) f ( x ) ? x 2 ?
3 2a ln(2 ax ? a ? 3) ,

所以 f ?( x ) ? 2 x ?

3 2 ax ? a ? 3

?

4 ax ? 2( a ? 3) x ? 3
2

2 ax ? a ? 3
a?3 2a ? 1 2 ? 3

?

(2 ax ? 3)(2 x ? 1) 2 ax ? a ? 3

.

令 f ?( x ) ? 0 ,由 2 ax ? a ? 3 ? 0 ,即 x ? 所以 (2 ax ? 3)(2 x ? 1) ? 0 , 即
3 2a ? x? 1 2 ? 3 2a 3 2a 9 4a
2

(因 a ? 0 ),

…………………5 分

2a

,从而 f ( x ) 的单调增区间为 (
]. ? 3 2a

3 2a

,

a?3 2a

) . …………………………7 分

同理, f ( x ) 的单调减区间为 ( ? ? , (2)由(1)知 f ( x ) m in ? f (
3 2a ) ?

………………………………………………8 分
ln( ? a ) .

…………………………………9 分

考虑函数 g ( x ) ? x ? 1 ? ln x , 因为 g ?( x ) ? 1 ?
1 x ? x ?1 x

,

令 g ?( x ) ? 0 ,即 x ? 1 ,

所以 g ( x ) 在 (1, ?? ) 上单调递增,同理 g ( x ) 在 (0,1) 上单调递减,
g ( x ) m in ? g (1) ? 0 ,

所以 g ( x ) ? g ( x ) min ? 0 . 从而 x ? 1 ? ln x , ………………………………………………………………………10 分

于是 ln( ? a ) ? ? a ? 1 ,
f ( x ) m in ? f ( 3 2a ) ? 9 4a
2

?

3( a ? 1) 2a 3 ?? . 2

?

9 4a
2

?

3 2a

?

3 2

. …………………………………11 分

又因为 a ? 0 ,所以 f ( x ) m in 综上, f ( x ) ? ? (
3 2

.

………………………………………………………………………12 分

22.解:(1)因为 MD 为 ? O 的切线,由切割线定理知, MD =MAMB,又 MD=6,MB=12,MB=MA+AB , 所以 MA=3,AB=12-3=9.
2

………………………………………………2 分

…………………………………………………………………5 分

(2)因为 AM=AD,所以∠AMD=∠ADM, 连接 DB,又 MD 为 ? O 的切线,由弦切角定理知, ∠ADM=∠ABD, ……………………………………………………………………………7 分

又因为 AB 是 ? O 的直径,所以∠ADB 为直角, 即∠BAD=90°-∠ABD. 又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD, 于是 90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°. …………………………8 分 又四边形 ABCD 是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°,所以∠DCB=120°…………10 分 23.解: (1)由已知 ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? 得 ? ? 2 ? ? sin ? ? ? cos ? ? ,
2

所以 x ? y ? 2 y ? 2 x ,即圆 C 的普通方程为: ? x ? 1 ? ? ? y ? 1 ? ? 2 . …………3 分
2 2
2 2

?x ? 2 ? t 由? ,得 y ? ? 1 ? 2( x ? 2) ,所以直线的普通方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 . …6 分 ? y ? ? 1 ? 2t

(2)方法一:由圆的几何性质知点 P 到直线的距离的最小值为圆心 C 到直线的距离减去圆 的半径,令圆心 C 到直线的距离为 d ,则 d ?
2 ? ? ? 1? ? 1 ? 5 2 ?1
2

?

8 5 5

,………9 分

所以最小值

8 5 5

?

2 .……………………………………………………………………10 分

方法二:令 P ? 1 ?

?

2 cos ? ,1 ?

2 sin ? ,………………………………………………7 分

?

设点 P 到直线的距离为 d .
2 ? ?1 ? d ?

?

2 cos ? ? 1 ? 2 ?1
2

? ?
?

2 sin ? ? 5 ?

?

2 2 cos ? ? 5

2 sin ? ? 8

?

10 cos ? ? ? ? ? ? 8 5

8?

10 5

?

8 5 5

?

2 .………………………………………10 分

24.解: (1)因为 a ? 1 , 所以原不等式为 x ? 2 ? x ? 1 ? 2 . 当 x ? 1 时, 原不等式化简为 1 ? 2 x ? 0 ,即 x ?
1 2

; ………………………………………2 分

当 1 ? x ? 2 时, 原不等式化简为 1 ? 2 ,即 x ? ? ; 当 x ? 2 时, 原不等式化简为 2 x ? 3 ? 2 ,即 x ? 综上,原不等式的解集为 ? x | x ?
? ? 1 2 或x ? 5? ?. 2?
5 2

.

…………………………………………5 分

(2)由题 f ( a ) ? a ,
f (b ) ? b ? 2 a ? b ? a ? 2 a ? b ? b ? a ? 2a ? b ? b ? a ? a ,所以 f ( b ) ? f ( a ) ,8 分

又等号成立当且仅当 2a ? b 与 b ? a 同号或它们至少有一个为零, 从而 (2 a ? b )( b ? a ) ? 0 . 即 3 ab ? 2 a 2 ? b 2 ? 0 , 即 ( )2 ?
a b 3b a ? 2 ? 0 ,从而 1 ? b a ? 2 . ……………………………………………………10 分


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