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2014届高三数学辅导精讲精练6


2014 届高三数学辅导精讲精练 6
1.下列函数中,在区间(-∞,0)上是减函数的是 A.y=1-x2 C.y=- -x 答案 D B.y=x2+x D.y= x x-1 ( )

2.若 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上是减函数,则实数 a 的取值 范围是 A.a<-3 C.a>-3 答案 解析 B 对称轴 x

=1-a≥4,∴a≤-3. B.a≤-3 D.a≥-3 ( )

f?x2?-f?x1? 3.下列函数满足“对?x1,x2∈(0,+∞)且 x1≠x2 时恒有 <0”的 x2-x1 是 A.f(x)= 1 x B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1) ( )

C.f(x)=ex 答案 解析 A

1 条件即 f(x)在(0,+∞)为减函数,只有x 符合条件.

?2,x≥0, 4.(2013· 石家庄一模)已知函数 f(x)=? 则满足不等式 f(3- ?-x+2,x<0, x2)<f(2x)的 x 的取值范围为 A.(-3,- 3) C.[-3,0) 答案 解析 D 作出 f(x)图像如图. B.(-3,1) D.(-3,0) ( )

∵f(3-x2)<f(2x),
2 ?3-x >2x, ∴? ?2x<0.

解得-3<x<0.选 D. 5.函数 f(x)=1- 1 x-1 ( )

A.在(-1,+∞)上单调递增 B.在(1,+∞)上单调递增 C.在(-1,+∞)上单调递减 D.在(1,+∞)上单调递减 答案 解析 B 1 f(x)可由- x沿 x 轴向右平移一个单位, 再向上平移一个单位得, 如图.

1 6.若函数 f(x)=loga(x2-ax+2)有最小值,则实数 a 的取值范围是 ( A.(0,1) C.(1, 2) 答案 解析 ?1<a< 2. 7.若函数 f(x)是 R 上的增函数,对实数 a、b,若 a+b>0,则有 A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) ( C B.(0,1)∪(1, 2) D.[ 2,+∞)

)

2-a2 ?a>1, 1 当 a>1 且 x2-ax+2有最小值时, f(x)才有最小值 loga 4 , ? ∴ ?Δ<0

)

C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b) D.f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b) 答案 解析 A ∵a+b>0,∴a>-b,b>-a.

∴f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),∴选 A. 8.函数 f(x)=log0.5(x+1)+log0.5(x-3)的单调递减区间是 A.(3,+∞) C.(-∞,1) 答案 解析 A ?x+1>0, 由已知易得? 即 x>3,又 0<0.5<1, ?x-3>0, B.(1,+∞) D.(-∞,-1) ( )

∴f(x)在(3,+∞)上单调递减. 1 9.设函数 f(x)=2x+x -1(x<0),则 f(x) A.有最大值 C.是增函数 答案 解析 A 1 1 当 x<0 时, -x>0, -(2x+x )=(-2x)+(- x)≥2 1 ?-2x?· x ?=2 2, ?- B.有最小值 D.是减函数 ( )

1 1 即 2x+x ≤-2 2,2x+ x -1≤-2 2-1,即 f(x)≤-2 2-1,当且仅当-2x= 1 2 -x,即 x=- 2 时取等号,此时函数 f(x)有最大值,选 A. 1 10. 已知 f(x)为 R 上的减函数, 则满足 f(|x |)<f(1)的实数 x 的取值范围是 ( A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) 答案 解析 C 1 由已知得|x|>1?-1<x<0 或 0<x<1,故选 C. B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) )

11.(2012· 安徽)若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a= ________.

答案

-6

解析

?2x+a,x≥-a, ? 2 f(x)=|2x+a|=? a ? ?-2x-a,x<-2,

∵函数 f(x)的增区间是[3,+∞), a ∴-2=3,即 a=-6. 12.(2012· 上海)已知函数 f(x)=e|x-a|(a 为常数),若 f(x)在区间[1,+∞)上是 增函数,则 a 的取值范围是________. 答案 解析 (-∞,1]
x-a ?e ,x≥a, f(x)=? a-x 当 x≥a 时 f(x)单调递增,当 x<a 时,f(x)单调递 ?e ,x<a,

减,又 f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以 a≤1. 13.(2012· 山东)若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为 4,最小 值为 m,且函数 g(x)=(1-4m) x在[0,+∞)上是增函数,则 a=________. 答案 解析 1 4 1 当 0<a<1 时,f(x)=ax 在[-1,2]上的最大值为 a-1=4,即 a=4,最小

1 1 3 值为 a2=m,从而 m=16,故 g(x)=(1-4×16) x,即 g(x)=4 x在[0,+∞)上 是增函数.当 a>1 时,f(x)=ax 在[-1,2]上的最大值 a2=4,得 a=2,最小值 a-1 1 =m, m=2, 即 这时 g(x)=(1-4m) x=- x在[0, +∞)上为减函数, 不合题意, 1 舍去.所以 a=4. 14.若奇函数 f(x)在(-∞,0]上单调递减,则不等式 f(lgx)+f(1)>0 的解集是 ________. 答案 解析 1 (0,10) 因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),又因为 f(x)在(-∞,0]上单

调递减,所以 f(x)在[0,+∞)上也为单调递减函数,所以函数 f(x)在 R 上为单调 递减函数.

1 不等式 f(lgx)+f(1)>0 可化为 f(lgx)>-f(1)=f(-1), 所以 lgx<-1, 解得 0<x<10. 15.给出下列命题 1 ①y=x 在定义域内为减函数; ②y=(x-1)2 在(0,+∞)上是增函数; 1 ③y=-x 在(-∞,0)上为增函数; ④y=kx 不是增函数就是减函数. 其中错误命题的个数有________. 答案 解析 3 ①②④错误,其中④中若 k=0,则命题不成立.

16.函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的单调递增区间是________. 答案 [1,+∞)

解析

函数图像如图.

17.在给出的下列 4 个条件中, ?0<a<1, ①? ?x∈?-∞,0? ?a>1, ③? ?x∈?-∞,0? ?0<a<1, ②? ?x∈?0,+∞? ?a>1, ④? ?x∈?0,+∞?

1 能使函数 y=logax2为单调递减函数的是________. (把你认为正确的条件编号都填上). 答案 解析 ①④ 利用复合函数的性质,①④正确.

?ax-1,x≤2, 18.f(x)=? 是定义域上的单调函数,则 a 的取值范围是 ?loga?x-1?+3,x>2 ________. 答案 (1,2]

解析

?ax-1,x≤2, 由题意知 a>0, f(x)=? 且 是定义域上的单调增函 ?loga?x-1?+3,x>2

?a>1, 数,因此? ?2a-1≤loga?2-1?+3. 故 1<a≤2. 19.设函数 f(x)=2x+a·-x-1(a 为实数).若 a<0,用函数单调性定义证明: 2 y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 解析 设任意实数 x1<x2,

则 f(x1)-f(x2)

∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x)是增函数. 20.已知 f(x)= x (x≠a). x-a

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. 答案 解析 (1)略 (1)证明 (2)0<a≤1 任设 x1<x2<-2, 2?x1-x2? x1 x2 - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2?

则 f(x1)-f(x2)=

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)解 任设 1<x1<x2,则 a?x2-x1? x1 x2 - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?

f(x1)-f(x2)=

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1.

综上所述知 0<a≤1.

2 ?ax +1?x≥0?, 1.已知函数 f(x)=? 为 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范 ax ??a+2?e ?x<0?

围是 A.[-1,0) C.[-2,0) 答案 解析 A 若 f(x)在 R 上单调递增, B.(0,+∞) D.(-∞,-2)

(

)

?a>0, 则有?a+2>0, ?a+2≤1, ?a<0, 则有?a+2>0, ?a+2≥1,

此不等式组无解;

若 f(x)在 R 上单调递减,

解得-1≤a<0.

综上,实数 a 的取值范围是[-1,0). 2.若函数 f(x)= 答案 解析 (-1,0] ∵f′(x)= 4?1-x2? , ?x2+1?2 4x 在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则 m∈________. x +1
2

令 f′(x)>0,得-1<x<1. ∴f(x)的增区间为(-1,1). 又∵f(x)在(m,2m+1)上单调递增, ?m≥-1, ∴? ∴-1≤m≤0. ?2m+1≤1, ∵区间(m,2m+1), ∴2m+1>m,即 m>-1. 综上,-1<m≤0.

3.函数 f(x)= 答案 解析

x2 (x∈R 且 x≠1)的单调增区间是______. x-1

(-∞,0)和(2,+∞) x2 1 将原函数 y= 变形为 y=(x-1)+ +2, x-1 x-1

显然 x-1 在区间(-∞,-1)和(1,+∞)内取值时,函数单调递增,即得 x 在区间(-∞,0)和(2,+∞)内取值时,函数单调递增.
2 ?x +1,x≥0, 4.已知函数 f(x)=? 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的取值 1,x<0, ?

范围是________. 答案 解析 (-1, 2-1)

2 ?x +1,x≥0, 画出 f(x)= ? 的图像,由图像可知,若 f(1-x2)>f(2x),则 ?1,x<0 2 ?-1<x<1, ?1-x >0, ? 即? 2 ?1-x >2x, ?-1- 2<x<-1+ 2,

得 x∈(-1,

2-1). ax (a≠0)在区间(-1,1)上的单调性. x -1
2

5.判断函数 f(x)= 答案

a>0 时,函数 f(x)在(-1,1)上为减函数;

a<0 时,函数 f(x)在(-1,1)上为增函数. 解析 方法一 设-1<x1<x2<1, a?x1x2+1??x2-x1? . ?x2-1??x2-1? 1 2

则 f(x1)-f(x2)= ∵

?x1x2+1??x2-x1? >0, ?x2-1??x2-1? 1 2

∴a>0 时,函数 f(x)在(-1,1)上为减函数; a<0 时,函数 f(x)在(-1,1)上为增函数.

方法二

-a?x2+1? 对 f(x)求导,有 f′(x)= 2 , ?x -1?2

∵x∈(-1,1),∴(x2-1)2>0,x2+1>0. ∴当 a<0 时,f′(x)>0,f(x)在(-1,1)上为增函数, 当 a>0 时,f′(x)<0,f(x)在(-1,1)上为减函数. 6.函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时, f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3. 答案 解析 (1)略 4 (2){m|-1<m<3}

(1)证明:设 x1,x2∈R,且 x1<x2,

则 x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0. ∴f(x2)>f(x1). 即 f(x)是 R 上的增函数. (2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, ∴f(2)=3. ∴原不等式可化为 f(3m2-m-2)<f(2). ∵f(x)是 R 上的增函数, 4 ∴3m2-m-2<2,解得-1<m<3. 4 故 m 的解集为{m|-1<m<3}. 7. 已知函数 f(x)自变量取值区间 A, 若其值域区间也为 A, 则称区间 A 为 f(x) 的保值区间. (1)求函数 f(x)=x2 形如[n,+∞)(n∈R)的保值区间; (2)g(x)=x-ln(x+m)的保值区间是[2,+∞),求 m 的取值范围. 答案 解析 (1)[0,+∞)或[1,+∞) (2)-1 (1)若 n<0,则 n=f(0)=0,矛盾.

若 n≥0,则 n=f(n)=n2,解得 n=0 或 1. 所以 f(x)的保值区间为[0,+∞)或[1,+∞). (2)因为 g(x)=x-ln(x+m)的保值区间是[2,+∞), 所以 2+m>0,即 m>-2. 令 g′(x)=1- 1 >0,得 x>1-m. x+m

所以 g(x)在(1-m,+∞)上为增函数, 同理可得 g(x)在(-m,1-m)上为减函数. 若 2≤1-m 即 m≤-1 时, 则 g(1-m)=2 得 m=-1 满足题意. 若 m>-1 时,则 g(2)=2,得 m=-1,矛盾. 所以满足条件的 m 值为-1. 1 1 8.已知函数 f(x)=a- x(a>0,x>0). (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; 1 1 (2)若 f(x)在[2,2]上的值域是[2,2],求 a 的值. 解析 (1)证明:方法一 设 x2>x1>0,则

x2-x1>0,x1x2>0. 1 1 1 1 ∵f(x2)-f(x1)=(a-x )-(a-x )
2 1

1 1 x2-x1 =x -x = x x >0,
1 2 1 2

∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 方法二 1 1 1 1 1 ∵f(x)=a- x,∴f′(x)=(a- x)′=x2>0.

∴f(x)在(0,+∞)上为增函数. 1 1 1 (2)∵f(x)在[2,2]上的值域是[2,2],又 f(x)在[2,2]上单调递增, 1 1 2 ∴f(2)=2,f(2)=2,∴a=5.


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