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2015高考(理)二轮复习试题:第2章 函数模型及综合问题


精品题库试题

理数

1. (2014 湖南,10,5 分)已知函数 f(x)=x2+exy 轴对称的点,则 a 的取值范围是( )

(x<0)与 g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于

A. [答案] 1.B

B.(-∞,

)

C.

D.

[解析] 1.设函数 f(x)图象上一点 A(x0,y0)(x0<0)关于 y 轴的对称点 B(-x0,y0)在函数 g(x)的图

象上,则



+

-

=

+ln(a-x0),

得 a=

+x0.令 φ(x)=

+x(x<0),

则 a=φ(x)在(-∞,0)上有解.

因为 φ'(x)= 故选 B.

· ex+1>0,故 φ(x)在(-∞,0)上为增函数,则 φ(x)<φ(0)=

,从而有 a<

,

2.(2012 陕西,7,5 分)设函数 f(x)=xex,则( A. x=1 为 f(x)的极大值点 B. x=1 为 f(x)的极小值点 C. x=-1 为 f(x)的极大值点

)

D. x=-1 为 f(x)的极小值点 [答案] 2.D [解析] 2.f '(x)=(x+1)ex,当 x<-1 时,f '(x)<0,当 x>-1 时 f '(x)>0,所以 x=-1 为 f(x)的极小值点, 故选 D. 3.(2012 重庆,8,5 分)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f '(x),且函数 y=(1-x)f '(x)的图象如 图所示,则下列结论中一定成立的是( )

A. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B. 函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D. 函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) [答案] 3. D [解析] 3.① 当 x<-2 时,1-x>0. ∵(1-x)f '(x)>0, ∴f '(x)>0,即 f(x)在(-∞,-2)上是增函数. ② 当-2<x<1 时,1-x>0. ∵(1-x)f '(x)<0, ∴f '(x)<0,即 f(x)在(-2,1)上是减函数. ③ 当 1<x<2 时,1-x<0. ∵(1-x)f '(x)>0,∴f '(x)<0, 即 f(x)在(1,2)上是减函数. ④ 当 x>2 时,1-x<0. ∵(1-x)f '(x)<0, ∴f '(x)>0,即 f(x)在(2,+∞)上是增函数.
[来源:学科网]

综上:f(-2)为极大值, f(2)为极小值. 4. (2013 山东青岛高三三月质量检测,11,5 分) 已知函数 = ,且当 时其导函数 满足 对定义域 若 内的任意 都有 则( )

A.

B.

C. [答案] 4.C [解析] 4.由 = ,即当 数是减函数,由 可知 时, ,可知 .

D.

关于直线

对称,由 时,

可知 ,函

,函数是增函数;当 , ,故可知

5. (2014 山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,15) 已知

, 是 .

有且仅有一个零点时,则 的取值范围

[答案] 5.



[解析] 5. 令

, 因为

是定义域的减函

数,而

是定义域的增函数,所以当



为减函数,其值域为



, 欲使函数

只有一个

零点, 只需使函数

的图像与函数

的图像有一个交点即可, 因此可得



.

6.(2014 江西红色六校高三第二次联考理数试题,21)已知实数

,函数

.

(1)当

时,求

的最小值;

(2)当

时, 判断

的单调性, 并说明理由;

(3)求实数 的范围,使得对于区间 以 [答案] 6.查看解析 为边长的三角形.

上的任意三个实数

,都存在

[解析] 6.易知

的定义域为

,且

为偶函数.

(1)

时,



最小值为 2.

----------------------------------3 分

(2)

时,

时,

递增;

时,

递减; --------------------5 分

为偶函数. 所以只对

时,说明

递增.



,所以

,得

所以

时,

递增; ------------8 分

(3)





从而原问题等价于求实数 的范围,使得在区间

上,恒有

---10 分

① 当

时,



上单调递增,





,从而



② 当

时,



上单调递减,在

上单调递增,







,从而



③ 当

时,



上单调递减,在

上单调递增,







,从而



④ 当

时,



上单调递减,





,从而



综上,

. ---------------------------------------14 分

7. (2 014 湖南株洲高三教学质量检测(一),19) 设某企业在两个相互独立的市场上出售同 一种商品,两个市场的需求函数分别是 , , 其中 和 分别表示该产品

在两个市场上的价格(单位:万元/吨), 和 分别表示该产品在两个市场上的销售量(即 需求量,单位:吨),并且该企业生产这种产品的总成本函数是 品在两个市场的销售总量,即 (Ⅰ )试用 和 表示总利润,确定两个市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最 大利润; (Ⅱ ) 在两地价格差别满足 小数) [答案] 7.查看解析 [解析] 7.(Ⅰ )设总利润为 的条件下,推算该企业可能获得的最大利润(取一位 ,其中 表示该产

,那么利润函数

将利润函数变形为







时,即

(万元),

(万元)企业获得最大利润 52 万元. (6 分)

(Ⅱ ) 由









,得



由实际意义知 、 、

、 都为正数得











化简得:

, (8 分)



的圆心



的距离



所以

,即



实际上

取一位小数

49.9(万元).

(13 分)

(利用直线与椭圆相切同样可得分) 8.(2014 成都高中毕业班第一次诊断性检测,18) 某种特色水果每年的上式时间从 4 月 1 号 开始仅能持续 5 个月的时间. 上式初期价格呈现上涨态势,中期价格开始下跌,后期价格在 原价格基础上继续下跌. 现有三种价格变化的模拟函数可选择:① ② 表示价格,记 ;③ 表示 4 月 1 号, ,其中 均为常数且 ;

(注: 表示上式时间, ).

表示 5 月 1 号, ,依次类推,

(Ⅰ )在上述三种价格模拟函数中,哪个更能体现该种水果的价格变动态势,请你选择, 并简要说明理由;

(Ⅱ )对(Ⅰ )所选的函数

,若



,记

,经过多年的

统计发现,当函数 取得最大值时,拓展外销市场的效果最为明显,请预测明年拓展外销 市场的时间是几月 1 号? [答案] 8.查看解析 [解析] 8. 解析 (Ⅰ )根据题意,该种水果的价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减, , (4 分)

基本符合开口向下的二次函数的变化趋势,故应选择②

(Ⅱ )由 ,



,代入

得 , (8 分)

,解得

,即

,当且仅当 故明年拓展外销的事件应为 6 月 1 号.



时取等号. (12 分)

9.(2012 陕西,21,14 分)设函数 fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R).

(1)设 n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间

内存在唯一零点;

(2)设 n=2,若对任意 x1 ,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求 b 的取值范围;

(3)在(1)的条件下,设 xn 是 fn(x)在 [答案] 9.(1)证明:b=1,c=-1,n≥2 时, fn(x)=xn+x-1.

内的零点,判断数列 x2,x3,…,xn,…的增减性.

∵fn

· fn(1)=

×1<0,

∴fn(x)在

内存在零点.

又当 x∈

时,

fn'(x)=nxn-1+1>0,

∴fn(x)在

上是单调递增的,

∴fn(x)在

内存在唯一零点.

(2)当 n=2 时, f2(x)=x2+bx+c. 对任意 x1,x2∈[-1,1]都有|f2(x1)-f2(x2)|≤4 等价于 f2(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之差 M≤4. 据此分类讨论如下:

(i)当

>1,即|b|>2 时,

M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾.

(ii)当-1≤- <0,即 0<b≤2 时,

M=f2(1)-f2

=

≤4 恒成立.

(iii)当 0≤- ≤1,即-2≤b≤0 时,

M=f2(-1)-f2

=

≤4 恒成立.

综上可知,-2≤b≤2. 注:(ii),(iii)也可合并证明如下: 用 max{a,b}表示 a,b 中的较大者.

当-1≤- ≤1,即-2≤b≤2 时,

M=max{f2(1), f2(-1)}-f2

=

+

-f2

=1+c+|b|-

=

≤4 恒成立.

(3)数列 x2,x3,…,xn,…是增函数. 理由如下:

证法一:设 xn 是 fn(x)在

内的唯一零点(n≥2), fn (xn)= +xn-1=0,

[来源:Zxxk.Com]

fn+1(xn+1)=

+xn+1-1=0,

xn+1∈

.

于是有 fn(xn)=0=fn+1(xn+1)=

+xn+1-1<

+xn+1-1=fn(xn+1),

又由(1)知 fn(x)在 故 xn<xn+1(n≥2),

上是递增的,

所以,数列 x2,x3,…,xn,…是增函数.

证法二:设 xn 是 fn(x)在

内的唯一零点,

fn+1(xn)fn+1(1)=(

+xn-1)(1n+1+1-1)=

+xn-1< +xn-1=0,

则 fn+1(x)的零点 xn+1 在(xn,1)内, 故 xn<xn+1(n≥2), 所以,数列 x2,x3,…,xn,…是增函数. 9. 10.(2012 江苏,17,14 分)如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单 位长度为 1 千米. 某炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关. 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3. 2 千米,试问它的横坐标 a 不超过 多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. (1+k2)x2(k>0)

[答案] 10.(1)令 y=0,得 kx-

( 1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知 x>0,k>0,

故 x=

=



=10,当且仅当 k=1 时取等号.

所以炮的最大射程为 10 千米.

(2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3. 2=ka?关于 k 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根 ?判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0 ?a≤6. 所以当 a 不超过 6(千米)时,可击中目标. 10.

(1+k2)a2 成立

11.(2012 上海,21,14 分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以 正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度),则救援船恰好在失事船 正南方向 12 海里 A 处,如图. 现假设:① 失事船的移动路径可视为抛物线 y= x2;② 定位后救援

船即刻沿直线匀速前往救援;③ 救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t. (1)当 t=0. 5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小 和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

[答案] 11.(1)t=0. 5 时,P 的横坐标 xP=7t= ,代入抛物线方程 y= 分)

x2,得 P 的纵坐标 yP=3. (2

由|AP|=

,得救援船速度的大小为

海里/时. (4 分)

由 tan∠OAP=

,得∠OAP=arctan

,故救援船速度的方向为北偏东 arctan

弧度. (6 分)

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为(7t,12t2).

由 vt=

,

整理得 v2=144

+337. (10 分)

因为 t2+ ≥2,当且仅当 t=1 时等号成立,所以 v2≥144×2+337=252,即 v≥25. 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. (14 分) 11. 12.(2012 河南鹤壁二模,17,12 分)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了 20 天的测试,人为地调控每天产品的单价 P(元/件):前 10 天每天单价呈直线下降趋势(第 10 天 免费赠送品尝),后 10 天呈直线上升,其中 4 天的单价记录如下表: 时间(将第 x 天记为 x)x 单价(元/件)P 1 9 10 0 11 1 18 8

而这 20 天相应的销售量 Q(百件/天)与时间 x 对应的点(x,Q)在如图所示的半圆上. (1)写出每天销售收入 y(元)与时间 x(天)的函数;
[来源:学+科+网]

(2)在这 20 天中哪一天销售收入最高?此时单价 P 定为多少元为好?(结果精确到 1 元)

[答案] 12.(1)P=

(x∈N*),

Q= ∴y=100QP

,x∈[1,20],x∈N*,

=100 (2)∵(x-10)2[100-(x-10)2]

,x∈[1,20],x∈N*.



=2 500,

∴当且仅当(x-10)2=100-(x-10)2, 即 x=10±5 时,y 有最大值.

∵x∈N*,∴当 x=3 或 17 时, ymax=700 ≈4 999(元),

此时,P=7(元). 答:第 3 天或第 17 天销售收入最高,此时应将单价 P 定为 7 元为好. 12. 13.(2012 北京,18,13 分)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值. [答案] 13.(1)f '(x)=2ax,g'(x)=3x2+b. 因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以 f(1)=g(1),且 f '(1)=g'(1). 即 a+1=1+b,且 2a=3+b. 解得 a=3,b=3.

(2)记 h(x)=f(x)+g(x). 当 b= a2 时,h(x)=x3+ax2+ a2x+1,

h'(x)=3x2+2ax+ a2.

令 h'(x)=0,得 x1=- ,x2=- . a>0 时,h(x)与 h'(x)的情况如下:

x

-∞,

-

- ,

-

- ,

h'(x) h(x) + ↗ 0
[来源:学科网]

↘ 0

+∞ + ↗

所以函数 h(x)的单调递增区间为



;单调递减区间为

.

当- ≥-1,即 0<a≤2 时,

函数 h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h(-1)=a- a2.

当- <-1,且- ≥-1,即 2<a≤6 时,

函数 h(x)在区间 为h =1.

内单调递增 ,在区间

上单调递减,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值

当- <-1,即 a>6 时,函数 h( x)在区间 上单调递增.

内单调递增,在区间

内单调递减,在区间

又因 h

-h(-1)=1-a+ a2= (a-2)2>0,

所以 h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h 13.

=1.

14.(2012 安徽,19,13 分)设函数 f(x)=aex+ (1)求 f(x)在[0,+∞)内的最小值;

+b(a>0).

(2)设曲线 y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 y= x,求 a,b 的值.

[答案] 14.(1)f '(x)=aex-

,

当 f '(x)>0,即 x>-ln a 时, f(x)在(-ln a,+∞)上递增; 当 f '(x)<0,即 x<-ln a 时, f(x)在(-∞,-ln a)上递减. (i)当 0<a<1 时,-l n a>0, f(x)在(0,-ln a)上递减,在(-ln a,+∞)上递增,从而 f(x)在[0,+∞)上的最 小值为 f(-ln a)=2+b;

(ii)当 a≥1 时,-ln a≤0, f(x)在[0,+∞)上递增,从而 f(x)在[0,+∞)上的最小值为 f(0)=a+ +b.

(2)依题意 f '(2)=ae2-

= ,解得 ae2=2 或 ae2=- (舍去).

所以 a= ,代入原函数可得 2+ +b=3,即 b= .

故 a= ,b= . 14. 15. (2012 山东聊城 5 月模拟,19,12 分)某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温 室,在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地, 当矩形温室的左后两侧边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?

[答案] 15.设温室的左侧边长为 x m,则后侧边长为

m.

∴蔬菜种植面积 y=(x-4)

=808-2

(4<X<400). span <>

∵x+

≥2

=80,

∴y≤808-2×80=648(m2).

当且仅当 x=

,即 x=40 时,y 有最大值.

此时

=20,y 最大=648 m2.

∴当矩形温室的左侧边长为 40 m,后侧边长为 20 m 时,蔬菜的种植面积最大,为 648 m2. 15.

16. (2012 北京海淀区高三 11 月月考,18,13 分)如图所示,已知边长为 米的正方形钢板 有一个角被锈蚀, 其中 内截取一个矩形块 米, ,使点 在边 米. 为了合理利用这块钢板, 将在五边形 上.

(Ⅰ )设

米,

米,将 表示成 的函数,求该函数的解析式及定义域;

(Ⅱ )求矩形

面积的最大值.

[答案] 16.(I)如图所示,作



,则

.

所以

,………………2 分

[来源:Zxxk.Com]



中,有



所以

, ………………4 分

整理得

,定义域为

. ………………6 分

(II) 设矩形

的面积为 ,则有

,………………9 分

所以当

,函数

是增函数,………………11 分

所以当 16.

米时,矩形

面积取得最大值

平方米. ………………13 分

17.(2013 福建厦门高三一月质量检查,20,14 分)某新兴城市拟建设污水处理厂,现有两个 方案: 方案一:建设两个日处理污水量分别为 xl 和 x2(单位:万 m3/d) 的污水厂,且 3≤xl≤5, 3≤x2≤5. 方案二:建设一个日处理污水量为 xl+x2(单位:万 m3/d)的污水厂. 经调研知: (1)污水处理厂的建设费用 P(单位:万元)与日处理污水量 x(单位:万 m3/d)的关系 为 P =40x2; (2)每处理 1m3 的污水所需运行费用 Q(单位:元)与日处理污水量 x(单位:万 m3/d)

的关系为: (I)如果仅考虑建设费用,哪个方案更经济? (Ⅱ )若 xl +x2 =8,问:只需运行多少年,方案二的总费用就不超过方案一的总费用? 注:一年以 250 个工作日计算;总费用=建设费用+运行费用

[答案] 17.(I)方案一的建设费用



方案二的建设费用



∵ ∴如果仅考虑建设费用,方案一更经济. (Ⅱ )由题意得,运行 年后, 方案一的总费用为

,∴



………………………… 5 分

, 方案二的总费用为



当方案二的总费用就不超过方案一的总费用时,

,



,

整理得 又 xl +x2 =8,















, ∴



∴当

或 5 时,

,即经过 3 年,方案二的总费用等于方案一的总费用,

当 总费用.

时,

,即只需经过 4 年,方案二的总费用就小于方案一的

…………… 14 分

17.


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