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2015届高考数学总复习第五章数列第6课时数列的综合应用教学案(含最新模拟、试题改编)


第五章 第六章 数列第 6 课时 数列的综合应用 (对应学生用书(文)、(理)82~83 页) 考情分析 灵活运用等差数列、等比数列公式与性质解 决一些综合性问题. 考点新知 掌握一些简单的递推数列、子数列问题 的处理方法及一些数列证明题的证明方法. 1. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件) n 近似地满足关系式 Sn= (21n-n2-5)(n=1,2,…,12),按此预测,在本年度内,需求量 90 超过 1.5 万件的月份是________. 答案:7、8 解析:由 Sn 解出 an= 1 (-n2+15n-9), 30 1 再解不等式 (-n2+15n-9)>1.5,得 6<n<9. 30 → → → 2. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若OB=a100·OA+a101OC,且 A、B、C 三点共 线(该直线不过点 O),则 S200=________. 答案:100 → → → 解析:∵ OB=a100OA+a101OC且 A、B、C 三点共线(该直线不过点 O),∴ a100+a101 200×(a1+a200) =1,∴ S200= =100×(a1+a200)=100×1=100. 2 3. 设 1=a1≤a2≤…≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等 比数列,a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________. 3 答案: 3 解析:设 a2=t,则 1≤t≤q≤t+1≤q2≤t+2≤q3,由于 t≥1,所以 q≥max{t, t+1, 3 3 t+2},故 q 的最小值是 3. 4. 已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an、an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点,则 b10=________. 答案:64 an+2 + 解析: 依题意有 anan+1=2n, 所以 an+1an+2=2n 1, 两式相除得 =2, 所以 a1, a3, a5, … an 成等比数列, a2, a4, a6, …也成等比数列, 而 a1=1, a2=2, 所以 a10=2×24=32, a11=1×25 第 1 页 共 9 页 =32,又因为 an+an+1=bn,所以 b10=a10+a11=64. 1. 2. 3. 4. 形如 an+1=λan+μ 的线性递推关系,可用待定系数法; 形如 an+1=an+f(n)的递推关系,可用叠加法; 形如 an+1=an·f(n)的递推关系,可用叠乘法; 递推数列的求解方法还有倒数法、等价转化法、利用周期性等. [备课札记] 题型 1 子数列问题 例 1 (2013· 南通模拟)设无穷数列{an}满足: n∈Ν ,an<an+1,an∈N 记 bn=aan, cn=aan+1(n∈N*). (1) 若 bn=3n(n∈N*),求证:a1=2,并求 c1 的值; (2) 若{cn}是公差为 1 的等差数列,问{an}是否为等差数列,证明你的结论. 解:(1) 因为 an∈N ,所以若 a1=1,则 b1=aa1=a1=3 矛盾, 若 a1≥3=aa1,可得 1≥a1≥3 矛盾,所以 a1=2.于是 a2=aa1=3,从而 c1=aa1+1=a3 =aa2=6. (2) {an}是公差为 1 的等差数列,证明如下:an+1>an n≥2 时,an>an-1,所以 an≥an-1 +1 an≥am+(n-m),(m<n) aan+1+1≥aan+

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