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2016届河南省罗山高中高考数学(理)二轮精选练习:函数模型及其应用(1)(人教版含解析)


河南省罗山高中 2016 届高三数学复习精选练习(理数,含解析) :函 数模型及其应用(1)
1、某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25%出售,后因库存积压降价,按九折出售, 每件还获利( ) A.25 元 B.20.5 元 C.15 元 D.12.5 元 【答案】D 【解析】九折出售时价格为 100×(1+25%)×90%=112.5 元,此时每件还获利 1

12.5-100 =12.5 元. 2、如果幂函数 y ? x 的图象经过点 (2, A.
?

2 ) ,则 f (4) 的值等于( 2
D. 16

).

1 2

B.2

C.

1 16

【答案】A 【解析】∵幂函数 y ? x 的图象经过点 (2,
1

?

2 ), 2
1

? ? 1 2 1 ? ? 2? ,解得 a ? ? ,? y ? x 2 ,故 f (4) ? 4 2 ? . 2 2 2

3、如图所示,当 ab ? 0 时,函数 y ? ax 与f ( x ) ? ax ? b 的图象是
2

(

)

【答案】D 4、 银行计划将某客户的资金给项目 M 和 N 投资一年, 其中 40%的资金给项目 M,60%的资金给 项目 N,项目 M 能获得 10%的年利润,项目 N 能获得 35%的年利润.年终银行必须回笼资金, 同时按一定的回报率支付给客户.为了使银行年利润不小于给 M、N 总投资的 10%而不大于 总投资的 15%,则给客户的回报率最大值为( ) A.5% B.10% C.15% D.20% 【答案】C 5、下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A、y=1, y=

x x
5 5

B、y= x ? 1 × x ? 1 , y= x ? 1
2

C、y=x, y= x 【答案】C

D、y=|x|, y=( x )

2

1

6、某校甲、乙两食堂 2013 年元月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月增 加值相同; 乙食堂的营业额也逐月增加, 且每月增加的百分率相同.已知 2013 年 9 月份两食 堂的营业额又相等,则 2013 年 5 月份营业额较高的是( ) A.甲 B.乙 C.甲、乙营业额相等 D.不能确定 【答案】A 7、已知 f ( x) 是奇函数,且在 (0,??) 是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则 f ( x) < 0 的解集是( A. (?3,0) ? (3,??) C. (??,?3) ? (3,??) B. (??,?3) ? (0,3) D. (?3,0) ? (0,3) )

【答案】B 8、某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,之后增 长越来越慢, 若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系, 可选用 ( ) C .指数型函数 A .一次函数 B .二次函数 D .对数型函数 【答案】D 9、已知函数 y=f (x)的图象如图甲所示,则函数 y=f (2-x)的图象是下图中的( )

【答案】A
2 2 10、如图,正方形 ABCD 的顶点 A(0, 2 ),B( 2 ,0) ,顶点 C,D 位于第一象限,直线

l : x ? t (0 ? t ? 2) 将正方形 ABCD 分成两部分,记位于直线左侧阴影部分的面积为 f (t ) ,
则函数 S ? f (t ) 的图象大致是( )

【答案】C 11、 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 当 x ? 0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 且 f (?2) ? 0, 则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集为( )

2

A. ? ??, ?2 ? ? ? 0, 2 ? C. ? ??, ?2 ? ? ? 2, ?? ? 【答案】D

B. ? ?2, 0 ? ? ? 0, 2 ? D. ? ?2, 0 ? ? ? 2, ?? ?

12 、设函数 f ( x) 的 定义域 为 A ,若 存在非零实数,使得对于任意 x ? C (C ? A) , 有

x ? t ? A, 且 f ( x ? t ) ? f ( x), 则称 f ( x) 为 C 上的低调函数.如果定义域为 ?0,??) 的函数
f ( x) ? ? x ? m 2 ? m 2 , 且 f ( x) 为 ?0,??) 上的 10 低调函数,那么实数 m 的取值范围是
( ) B. ? ? 5, 5 ?

A. ? ?5,5?

?

?

C. ? ? 10, 10 ?

?

?

D. ? ?

? ?

5 5? , ? 2 2 ?

【答案】B 2 13、某产品的总成本 C(万元)与产量 x(台)之间有函数关系式:C=3000+20x-0.1x ,其中 x ? (0,240)。若每台产品售价为 25 万元,则生产者不亏本的最低产量为 台. 【答案】 150. 设生产者不亏本的最低产量为 x 万元, 则由题意, 25x-(3000+20x-0.1x ) ? 0, 2 即 x +50x-30000 ? 0. ∴ x ? 150 或 x ? -200,又 ∵x ? (0,240), ∴x ? 150。 14、设 [ x] 表示不超过的最大整数,如: [? ] ? 3 , [?4.3] ? ?5 .给出下列命题: ①对任意实数,都有 [ x] ? x ? 0 ;
2

②若 x1 ? x2 ,则 [ x1 ] ? [ x2 ] ; ③ [lg1] ? [lg 2] ? [lg 3] ? ? ? [lg100] ? 90 ;

2x 1 ? ,则 y ? [ f ( x)] ? [ f (? x)] 的值域为 {?1, 0} . x 1? 2 2 其中所有真命题的序号是__________. 【答案】①②④ 15、一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到?0.3 mg/mL?,在停止喝酒后, 血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全 法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过?0.09 mg/mL?,那么,一个喝了少量酒后的 驾驶员,至少经过 小时才能开车?(精确到 1 小时) . 【答案】5
④若函数 f ( x) ? 16、在洗衣机的洗衣桶内用清水清洗衣服,如果每次能洗去污垢的

2 ,则要使存留在衣服上 3

的污垢不超过最初衣服上的污垢的 1%,该洗衣机至少要清洗的次数为______________. 【答案】5 【解析】设经过 x 次清洗存留在衣服上的污垢为 y,则 y=(1(1-

2 x ). 3

2 x ) <1% ? x≥5. 3

17、某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为 50 元,其成本价为 25 元,因为在生产过程

3

中平均每生产一件产品有 0.5 立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计两套方案对污水 进行处理,并准备实施. 方案一:工厂的污水先净化处理后再排出,每处理 1 立方米污水所用原料费 2 元,并且每月 排污设备损耗费为 30 000 元; 方案二: 工厂将污水排到污水处理厂统一处理, 每处理 1 立方米污水需付 14 元的排污费. 问: (1)工厂每月生产 3 000 件产品时,你作为厂长,在不污染环境,又节约资金的前提下应选 择哪种方案?通过计算加以说明; (2)若工厂每月生产 6 000 件产品,你作为厂长,又该如何决策呢? 【答案】解:设工厂生产 x 件产品时,依方案一的利润为 y1,依方案二的利润为 y2,由题意 知 y1=(50-25)x-2×0.5x-30 000=24x-30 000, y2=(50-25)x-14×0.5x=18x. (1)当 x=3 000 时,y1=42 000,y2=54 000, ∵y1<y2,∴应选择方案二处理污水. (2)当 x=6 000 时,y1=114 000,y2=108 000, ∵y1>y2,∴应选择方案一处理污水. 18、一片森林原来面积为 a ,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少 p% ,10 年 后森林面积变为

a 1 ,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林 2 4

面积为

2 a. 2

(1)求 p% 的值; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 【答案】(1)由题意得: a (1 ? p%)10 ?
1 1 10 解得: p% ? 1 ? ( ) 2

a 1 ,即 (1 ? p%)10 ? , 2 2

(2)设经过 m 年森林面积为

2 a ,则 2
m 1

a (1 ? p%) m ?

2 1 1 m 1 a ,即 ( ) 10 ? ( ) 2 , ? ,解得 m ? 5 2 2 2 10 2

故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,以后砍了 n 年,则 n 年后森林面积为

2 a (1 ? p%) n 2



2 2 1 , a (1 ? x) n ≥ a ,即 (1 ? x) n ≥ 2 4 4
4

1 1 n 3 ( ) 10 ≥ ( ) 2 , ≤ ,解得 n ≤ 15 2 2 10 2
故今后最多还能砍伐 15 年. 19、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次 的效果作如下假定:用 1 .... 个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的

n

3

1 ,用水越多洗掉的农药量也越多,但总还有农 2

药残留在蔬菜上. 设用 x 单位量的水清洗一次 以后, 蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留 .... 的农药量之比为函数 f(x). (1)试规定 f(0)的值,并解释其实际意义; (2)试根据假定写出函数 f(x)应该满足的条件和具有的性质; (3)设 f(x)=

1 ,现有 a(a>0)单位量的水,可以清洗一次,也 1 ? x2

可以把水平均分成 2 份后清洗两次,试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说 明理由 【答案】 (1)f(0)=1 表示没有用水洗时,蔬菜上的农药量将保持原样. (2)函数 f(x)应该满足的条件和具有的性质是:f(0)=1,f(1)= 在[0,+∞)上 f(x)单调递减,且 0<f(x)≤1. (3)设仅清洗一次,残留的农药量为 f1=
2

1 , 2

1 ,清洗两次后,残留的农药量为 1? a2

? ? ? 1 ? 16 f2= ? , ? ? a (4 ? a 2 ) 2 ?1 ? ( ) 2 ? ? 2 ?
则 f1-f2=

1 16 a 2 (a 2 ? 8) . ? ? 1 ? a 2 (4 ? a 2 ) 2 (1 ? a 2 )(4 ? a 2 ) 2

于是,当 a>2 因此,当 a>2 当 a=2

2 时,f1>f2;当 a=2 2 时,f1=f2;当 0<a<2 2 时,f1<f2. 2 时,清洗两次后残留的农药量较少;

2 时,两种清洗方法具有相同的效果; 2 时,一次清洗残留的农药量较少.

当 0<a<2

【解析】本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力。以及函数概念、性质 和不等式证明的基本方法。

5

20、有一种新型的洗衣液,去污速度特别快.已知每投放 k (1 ? k ? 4 且 k ? R ) 个单位的洗衣 液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度 y (克/升)随着时间 x (分钟)变化的函

? 16 ? 1 ? 0 ? x ? 5? ? ?9 ? x 数关系式近似为 y ? k ? f ( x ) ,其中 f ( x) ? ? .根据经验,当水中 ?11 ? 2 x 2 ? 5 ? x ? 16 ? ? 45 ?
洗衣液的浓度不低于 4 (克/升)时,它才能起到有效去污的作用. (Ⅰ)若投放 k 个单位的洗衣液,分钟时水中洗衣液的浓度为 4 (克/升) ,求 k 的值; (Ⅱ)若投放 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟? 【答案】 (Ⅰ) k ?

12 ; (Ⅱ)14. 5 16 ? 1) ? 4 ,求得 k 的值; 9? x

思路点拨: (Ⅰ)将 x ? 3 代入 k (

? 16 4( ? 1) ? 0 ? x ? 5 ? ? ? 9? x (Ⅱ)当 k ? 4 时, y ? ? ,当 0 ? x ? 5 时,由 y ? 4 ,解得 2 2 ?4(11 ? x ) ? 5 ? x ? 16 ? ? 45 ?

1 ? x ? 5 ;当 5 ? x ? 16 时,由 y ? 4 ,解得 5 ? x ? 15 ;所以1 ? x ? 15 ,故有效去污时间
可达钟.对于函数应用问题,要仔细审题,认真领悟题中每一句话的意思,特别是能列出数 学关系式的语句要做为重点,反复研读,然后准确建立数学模型,再正确求解,并检验所得 结果是否合理;若不合理,要查明出错原因,重新建模求解;若合理,则需将求得数学结果 回归到实际问题中;应用分段时,要注意自变量取值范围与解析式相适应. 试题解析: (Ⅰ)由题意知, k (

16 12 ? 1) ? 4 ,解得 k ? ; 9?3 5

? 16 4( ? 1) ? 0 ? x ? 5 ? ? ? 9? x (Ⅱ)当 k ? 4 ,所以 y ? ? ?4(11 ? 2 x 2 ) ? 5 ? x ? 16 ? ? 45 ?
16 ? 1) ? 4 解得 x ? 1 ,所以 1 ? x ? 5 ; 9? x 2 2 当 5 ? x ? 16 时,由 4(11 ? x ) ? 4 ,∴ x 2 ? 225 ,∴ ?15 ? x ? 15 ;所以 5 ? x ? 15 45 综上,满足条件的 x 的取值范围为 1 ? x ? 15 ,故若投放 4 个单位的洗衣液,则有效去污时
∴当 0 ? x ? 5 时,由 4( 间可达钟. 21、如图所示,n 台机器人 M1,M2, ,Mn 位于一条直线上,检测台 M 在线段 M1Mn 上,n 台机器 人需把各自生产的零件送交 M 处进行检测,送检程序设定:当 Mi 把零件送达 M 处时,Mi+1 即 刻自动出发送检 (i=1,2,,n-1) 已知 Mi 的送检速度为 V(V>0),且 M i M i ?1 ? 1(i ? 1, 2, ? , n ? 1)

6

记 M 1M ? x ,n 台机器人送检时间总和为 f(x). M1 M2 M3 Mn

(1)求 f(x)的表达式; (2)当 n=3 时,求 x 的值使得 f(x)取得最小值; (3)求 f(x)取得最小值时,x 的取值范围.

? x ? ?0, n ? 1? ; 【答案】 (1)f(x)= ( x ? x ? 1 ? x ? 2 ? 1? x ? (n ? 1) ) (2)x=1; (3)n n ?1 n n ? 1 , ];n 为奇数时 x ? . 2 2 2

1 V

为偶数时 x∈[

(1)先求出 n 台机器人送检的路程总和,再除以送检速度 v 即为 n 台机器人送检时间总和 f(x) ; 而

M 1M ? x



M i M i ?1 ? 1(i ? 1, 2, ? , n ? 1)





(2)当 M 2 M ? x ? 1, M 3 M ? x ? 2 ,?, M n M ? x ? (n ? 1) ,从而可得 f(x)的表达式; n=3 时,f(x) ?

1 ( x ? x ? 1 ? x ? 2 ) x ? (0,2] 是一个含有绝对值符号的函数,只须采用零 v

点分段讨论法,去掉绝对值符号,转化为一个分段函数,结合函数图就可求得使 f(x)取得 最小值对应的 x 的值; (3) 由(1)知 f(x)是一个含有多个绝对值符号的函数,再由(2)的经验, 须去掉绝对值符号,所以我们只须设 i≤x≤i+1,(0≤i<n-2,i∈Ζ ),就可去掉所有的绝对值 符号,从而转化为一个一次函数,其单调性由 x 系数的正负来确定, 讨论 x 系数的正负, 并结 合 n 的奇偶性就可求出 f(x)取得最小值时,x 的取值范围. (1)以 M1 为坐标原点,M1,M2,Mn 所在直线为 x 轴建立数轴,则 Mi 的坐标为 i-1,M 的坐标 为 x.

? x ? ?0, n ? 1? f(x)= ( x ? x ? 1 ? x ? 2 ? 1? x ? (n ? 1) )
?? x ? 3,0 ? x ? 1 ? x ? 1,1 ? x ? 2

1 V

(2)n=3 时,Vf(x)= x ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?

? f(x)在 x=1 处取得最小值
(3)当 i≤x≤i+1,(0≤i<n-2,i∈Ζ )时,

vf ( x) ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? i ? x ? (i ? 1) ? ? ? x ? (n ? 1)
=x+(x-1)++(x-i)-(x-(i+1))--(x-(n-1)) =[(i+1)x-(1+2++i)]-[n-(i+1)·x-(i+1+i+2++(n-1)] =-[n-2(i+1)]·x-

i (i ? 1) ? (i ? n)(n ? i ? 1) 2
7

当 0≤i<

n n ? 1 时,f(x)单调递减:当 - 1 ? i ? n ? 1 时,f(x)单调递增 2 2

当i ?

n - 1时 ,f(x)为常函数,又 f(x)图象是一条连续不断的图象,所以 2 n n n n - 1, )内单调递减,在( ? 1, )为常函数,在( ,n-1)单 2 2 2 2

①n 为偶数时,f(x)在(0,

调递增,所以当 x∈[

n n ? 1 , ]时 f(x)取得最小值. 2 2
? ? ?n ? ? ?n ? ?n ? 内单调递减, ( ? ? 1? 表示 ? ? 1? 的整数部分) ,在 ? 1? ? 1? ? ?2 ? ? ?2 ? ?2 ?

②n 为奇数时, f ? x ? 在 ? ?0, ?

??n ? ? n ?1 ?n ? ? ? ? 2 ? 1? ? 1, n ? 1? ? 内单调递增,所以当 x ? ? 2 ? 1? ? 1 ? 2 时 f ? x ? 取得最小值 ? ? ? ?? ?
【解析】 22、某城市计划在空地 ABCD 上竖一块长方形液晶广告屏幕 MNEF ,宣传该城市未来十 年计划、 目标等相关政策.已知四边形 ABCD 是边长为 30m 的正方形, 电源在点 P 处, 点P ∶NE ? 16 ∶ 9, 到边 AD、AB 的距离分别为 9m, 3m, 且 MN 线段 MN 必过点 P , 端点 M 、N 2 分别在边 AD、AB 上,设 AN ? x m,液晶广告屏幕 MNEF 的面积为 S m . (1)求 S 关于 x 的函数关系式及其定义域; (2)若液晶屏每平米造价为 1500 元,当 x 为何值时,液晶广告屏幕 MNEF 的造价最低?
F

D M
A

E
C

P ?
N

B

【答案】 (1)由题意在 ?AMN 中, 所以 AM ?

9 MP 3 NP 9 3 ,所以 ? ? , ? ? 1. x MN AM MN x AM

3x . x ?9
2 2 2

9x2 所以 MN = AM ? AN ? x ? , ( x ? 9) 2

0 ? x ? 30 ,所以 10 ? x ? 30 . 因为 0 ? AM ? 30,
所以 S ?

9 ? 2 9 x2 ? ,其定义域为 [10,30] . ?x ? 2? 16 ? x ? 9 ? ? ? ? ?
8

(2)根据已知条件,要使液晶广告屏幕的造价最低,即要使液晶广告屏幕的面积 S 最小. 设 S ? f ( x) ?

9 ? 2 9 x2 ? x ? ?10 ? x ? 30 ? ,则 16 ? ( x ? 9) 2 ? ? ?

9 ? 18 x( x ? 9) 2 ? 9 x 2 ? 2( x ? 9) ? 9 2 x[( x ? 9)3 ? 81] f ?( x) ? ? 2 x ? , ? ? 16 ? 16 ? ( x ? 9) 4 ( x ? 9)3 ?
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 9 ? 3 3 3 , 因为 10 ? x ? 9 ? 3 3 3 时, f ?( x) ? 0 ; 9 ? 3 3 3 ? x ? 30 时, f ?( x) ? 0 , 所以 x ? 9 ? 3 3 3 时, S 取得最小值,即液晶广告屏幕 MNEF 的造价最低. 故当 x ? 9 ? 3 3 3 时,液晶广告屏幕的造价最低.

9


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