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惠州市2012届高三第一次调研考试数学(文科)答案与评分标准


惠州市 2012 届高三第一次调研考试
文科数学参考答案与评分标准
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 C 5 D 6 C 7 B 8 D 9 A 10 B

1. 【解析】由韦恩图知: A ? B ? ? 3? ,故选 B
1? i 1? i ? (1 ? i

)
2

2. 【解析】

(1 ? i )( 1 ? i )

?

? 2i 2

? ? i .故选 D

3. 【解析】 a ? b ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 . 即 x ? 8 ? 0 ,? x ? ? 8 ,故选 D. 4. 【解析】由频率分布直方图知; a ? 0.03 ,∴身高在[120,130]内的学生人数为
100 ? 0.03 ? 10 ? 30 ,故选 C

5.【解析】由下标和性质知 3 a 3 ? 1 5, ,∴ a 3 ? 5, ∴ S 5 ? 5 a 3 ? 2 5, 故选 D 6. 【解析】该组合体的侧视图是上面边长为 2 的正三角形,下面是边长为 2 的正方形 ∴组合体的侧视图的面积为 S ? 2 ? 2 ? 7. 【解析】 f ( x ) ? 2 sin ( 故选 B .
Y

1 2

? 2?

3 ? 4?
2

3 ,故选 C ? x ) ? 1 ? co s(

?
4

? x ) co s(

?
4

? x ) ? 1 ? 2 co s (

?
4

?
2

? 2 x ) ? ? sin 2 x ,

8. 【解析】双曲线 y ?
2

x

2

? 1 的两条渐近线为 y ? ?

1 2

x,
A(1,2)

4

抛物线 y ? ? 8 x 的准线为 x ? 2 ,
2

X

当直线 y ? ? x ? z 过点 A (1, 2) 时, z m ax ? 3 ,故选 D. 9. 【解析】提示:当 x,z 都取负数时. lg x , lg z 无意义。选 A. 10. 【解析】提示:根据运算有 1 ? k ? 1 ? k
2

? 3 , k ? R , ? k ? 1 .选 B.
*

二.填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上) 11. 1 ; 12. 720; 13. x ? ( y ? 2) ? 2 ;
2 2

14. ? sin ? ?

3;

15. 4 ? 。

11. 【解析】? f (4 ) ? lo g 2 4 ? 2, ∴ f ( f ( 4 )) ? f ( 2 ) ? lo g 2 2 ? 1 12. 【解析】由程序框图知: S ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 720 13. 【解析】设圆的方程为 x ? ( y ? b ) ? r ,则圆心为 (0 , b ),
2 2 2

?b ?1 ? ?1 ?b ? 2 ? 2 2 依题意有 ? 0 ? 1 ,得 ? 2 ,所以圆的方程为 x ? ( y ? 2) ? 2 。 ?r ? 2 ? r 2 ? ( b ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ?

14. 【解析】点 ( 2 ,

?
3

) 的直角坐标为 (1,
3

3 ) ,∴过点 (1,

3 ) 平行于 x 轴的直线方程为 y ?

3

即极坐标方程为 ? sin ? ?

15.【解析】由已知条件可求得圆 O 的半径 O A ? 2 ,∴圆 O 的面积为 4 ? 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)依正弦定理
a sin A ? b sin B

有 b sin A ? a sin B …………………………3 分 …………………………6 分
1 2

又 a ? 4 , sin A ? 4 sin B ,∴ b ? 1
a ?b ?c
2 2 2

(2)依余弦定理有 co s C ?

?

16 ? 1 ? 13 2 ? 4 ?1

?

……………………9 分

2ab

又 0 < C < 1 8 0 ,∴ C ? 60 17. (本小题满分 12 分)

?

?

?

…………………………12 分

解: (1)记甲被抽到的成绩为 x ,乙被抽到成绩为 y ,用数对 ? x , y ? 表示基本事件 从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,则共有 (5, 6), (5, 7 ), (5, 8), (5, 9), (6, 6), (6, 7 ),
(6, 8), (6, 9), (9, 6), (9, 7 ), (9, 8), (9, 9), (10, 6), (10, 7 ), (10, 8), (10, 9) 。16 种结果…2 分

记 A ? {甲的成绩比乙高} 则 A 包含 (9, 6), (9, 7 ), (9, 8), (10, 6), (10, 7 ), (10, 8), (10, 9) 有 7 种结果 …………4 分 ∴P ? A? ?
7 16 5 ? 6 ? 9 ? 10 4 6?7?8?9 4
2 2 2 2

…………………………………………6 分
? 7 .5

(2) 甲的成绩平均数 x1 ? 乙的成绩平均数 x 2 ? 甲的成绩方差 S 1 ?
2

? 7 .5

(5 ? 7 .5) ? (6 ? 7 .5) ? (9 ? 7 .5) ? (1 0 ? 7 .5) 4 (6 ? 7 .5) ? (7 ? 7 .5) ? (8 ? 7 .5) ? (9 ? 7 .5)
2 2 2 2

? 4 .2 5

乙的成绩方差 S 2 ?
2

? 1 .2 5 ………10 分

4

2 2 ∵ x1 ? x 2 , S 1 ? S 2

∴选派乙运动员参加决赛比较合适 18.(本小题满分 14 分)

…………………………………………12 分

B

E

(1)证明:取 C E 的中点 G ,连结 F G 、 B G . ∵ F 为 C D 的中点,∴ G F // D E 且 G F ? ∵ A B ? 平面 A C D , D E ? 平面 A C D , ∴ A B // D E ,∴ G F // A B . 又 AB ?
1 2 D E ,∴ G F ? A B . …………3 分 1 2 DE .

∴四边形 G F A B 为平行四边形,则 A F // B G .……………5 分 ∵ A F ? 平面 B C E , B G ? 平面 B C E , ∴ A F // 平面 B C E .…………7 分 (2)证明:∵ ? A C D 为等边三角形, F 为 C D 的中点,∴ A F ? C D …………9 分 ∵ D E ? 平面 A C D , A F ? 平 面 A C D ,∴ D E ? A F .……………10 分 又 C D ? D E ? D ,∴ A F ? 平面 C D E .……………………………12 分 ∵ B G // A F ,∴ B G ? 平面 C D E .…………………………………13 分 ∵ B G ? 平面 B C E , ∴平面 B C E ? 平面 C D E .………………14 分 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S 1 ? 2 a1 ? 1 ,∴ a1 ? 1 …………1 分

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (2 a n ? 1) ? (2 a n ?1 ? 1) ? 2 a n ? 2 a n ?1 , 即
an a n ?1 ? 2

…………………………………………………………………3 分

∴数列 { a n } 是以 a1 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列,∴ a n ? 2 设 {b n } 的公差为 d , b1 ? a1 ? 1 , b 4 ? 1 ? 3 d ? 7 ,∴ d ? 2

n ?1

, S n ? 2 ? 1 …5 分
n

∴ b n ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 1 …………………………………………………8 分 (2) c n ?
1 bn bn ?1 ? 1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1) ? 1 1 ? 1 2n ? 1 ) …………………………10 分

2 2n ? 1

(

∴ Tn ? 由Tn > ∴ Tn
101

1

(1 ?

1

?

1 3

?

1 5

? ... ?

1

2 3 1001 2012

,得

n 2n ? 1

>

2n ? 1 1001 2012

?

1 2n ? 1

)?

1 2

(1 ?

1 2n ? 1

)?

n 2n ? 1

……12 分

,解得 n > 1 0 0 .1

>

1001 2012

的 最 小 正 整 数 n

是 y A P

…………………………………………14 分

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵ | A B |? | A C |?
7 2 , | B C | ? 2 ∴ | B O |? | O C |? 1,

x B O C

| O A |?

| AC | ? | OC | ?
2 2

49 4

?1 ?

3 5 2

………2 分

∴ B ( ? 1, 0 ), C (1, 0 ), A (0,

3 5 2

) ∴P(

1 3 5 , ) ……4 分 2 4
1 2 ? 1) ? (
2

依椭圆的定义有: 2 a ? | P B | ? | P C | ?

(

3 5 4

? 0) ?
2

(

1 2

? 1) ? (
2

3 5 4

? 0)

2

?

9 4

?

7 4

? 4

∴ a ? 2 ,…………………………………………………………………………6 分 又 c ? 1 ,∴ b ? a ? c ? 3 ………………………………………………………7 分
2 2 2

∴椭圆的标准方程为

x

2

?

y

2

? 1 ……………………………………………8 分

4

3

(求出点 p 的坐标后,直接设椭圆的标准方程,将 P 点的坐标代入即可求出椭圆方程, 也可以给满分。 ) (2) 椭圆的右顶点 A1 (2, 0) ,圆 E 圆心为 E (1, 0) ,半径 r ?
2。

假设点 M 、 N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1 : 3 的两段弧,
? 则 ? M E N ? 9 0 ,圆心 E (1, 0) 到直线 l 的距离 d ?

2 2

r ? 1 ………………10 分

当直线 l 斜率不存在时, l 的方程为 x ? 2 , 此时圆心 E (1, 0) 到直线 l 的距离 d ? 1 (符合)……………………………11 分 当直线 l 斜率存在时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2 ) ,即 kx ? y ? 2 k ? 0 , ∴圆心 E (1, 0) 到直线 l 的距离 d ?
|k | k ?1
2

? 1 ,无解……………………………13 分

综上:点 M、N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1 : 3 的两段弧,此时 l 方程为 x ? 2 …14 分。 21. (本小题满分 14 分) 解: (1) f '( x ) ? 3 x ? 3 a …………………………………………………………………1 分
2

依题意有 ?

? f '(1) ? 3 ? 3 a ? 0 ? f (1) ? 1 ? 3 a ? b ? 2

,………………………………………………3 分

解得 ?

?a ? 1 ?b ? 4

,……………………………………………………………………4 分

此时 f '( x ) ? 3 x ? 3 ? 3 ? x ? 1 ? ? x ? 1 ? ,
2

x ? ? ? 1,1 ? , f ' ? x ? ? 0, x ? ? 1, ? ? ? , f ' ? x ? ? 0, 满足 f

? x ? 在 x ? 1 处取极小值

∴ f ( x ) ? x ? 3 x ? 4 ……………………………………………………………5 分
3

(2) f '( x ) ? 3 x ? 3
2

∴ g (x) ?

m 3

f (x) ? 2 x ? 3 ?
'

m 3

(3 x ? 3) ? 2 x ? 3 ? m x ? 2 x ? m ? 3 …………6 分
2 2

当 m ? 0 时, g ( x ) ? ? 2 x ? 3 ,∴ g ( x ) 在 [0 , 2 ] 上有一个零点 x ? 当 m ? 0 时,

3 2

(符合) ,……8 分

①若方程 g ( x ) ? 0 在 [0 , 2 ] 上有 2 个相等实根,即函数 g ? x ? 在 [0 , 2 ] 上有一个零点。
? ? ? 4 ? 4 m ( ? m ? 3) ? 0 3? 5 ? 则? ,得 m ? ……………………………………10 分 1 2 ? 2 ?0 ? m ?

②若 g ( x ) 有 2 个零点,1 个在 [0 , 2 ] 内,另 1 个在 [0, 2 ] 外, 则 g (0 ) g ( 2 ) ? 0 ,即 ( ? m ? 3)(3 m ? 1) ? 0 ,解得 m ? 经检验 m ? 3 有 2 个零点,不满足题意。 综上: m 的取值范围是 m ?
1 3 1 3

,或 m ? 3 …………12 分

,或 m ?

3? 2

5

,或 m ? 3 ……………………14 分


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