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【人教A版】2015年秋新版高中选修2-3数学:第1章《计数原理》章末整合课件


1.两个计数原理 使用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理,要根据 我们完成某件事情时采取的方式而定,怎样确定是分类还是 分步? “分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事 情.“分步”表现为必须把各步骤均完成,才能完成所给事 情,所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原 理强调完成一件事情的几类办法互不干扰,不论哪一类办法 中的哪一种方法都能够独立完成事件.分步乘法计数原理强 调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成事件, 步与步之间互不影响,即前一步用什么方法不影响后一步采 取什么方法. 某校高中部,高一有6个班,高二有7个班, 高三有8个班,学校利用周六组织学生到某工厂进行社会实践 活动. (1)任选一个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选 法? (2)三个年级各选一个班的学生参加社会实践,有多少种 不同的选法? (3)选两个班的学生参加社会实践,要求这两个班来自不 同年级,有多少种不同选法? 【思路启迪】 应用分类加法计数原理和分步乘法计数 原理加以解决. 【解】 (1)分三类:第1类从高一年级选一个班,有6种 不同方法;第2类从高二年级选一个班,有7种不同方法;第3 类从高三年级选一个班,有8种不同方法,由分类加法计数原 理,共有6+7+8=21种不同选法. (2)每种选法分三步:第1步从高一年级选一个班,有6种 不同的方法;第2步从高二年级选一个班,有7种不同的方 法;第3步从高三年级选一个班,有8种不同方法,由分步乘 法计数原理,共有6×7×8=336种不同的选法. (3)分三类,每类又分两步,第1类从高一、高二两个年级 各选一个班,有6×7种不同方法;第2类从高一、高三两个年 级各选一个班,有6×8种不同方法;第3类从高二、高三两个 年级各选一个班,有7×8种不同方法,由分类加法计数原 理,故共有6×7+6×8+7×8=146种不同选法. 运用两个原理解答问题时注意以下两点:(1)要根据具体 问题,看是先分步后分类还是先分类后分步;(2)要思维清 晰,保证分类标准的唯一性. 用1、2、3、4四个数字可重复地任意排成三 位数,并把这些数由小到大排成一个数列{an}. (1)写出这个数列的前11项; (2)求这个数列共有多少项; (3)若an=341,求n. 【思路启迪】 先确定数字的顺序,再按位置排列. 【解】 (1)用1、2、3、4四个数字排成三位数,前11项 由小到大的顺序为 111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133. (2)这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数的个 数,每一个位置都有4种排法,根据分步乘法计数原理共有 4×4×4=64(项). (3)比an=341小的数有两类,分别是: 根据两个原理得N=2×4×4+3×4=44(项), 所以n=44+1=45. 应用两个计数原理解决有关计数问题的关键是区分事件 是分类完成还是分步完成.对于有些较复杂的既要分类又要 分步的问题,应注意层次清晰,不重不漏,在分步时,要注 意上一步的方法确定后对下一步有无影响(即是否是独立的). 2.排列与组合 解排列组合的应用题,通常有以下途径 1.以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其 他元素. 2.以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其 他位置. 3.先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去 不合要求的排列组合数. 在解排列组合应用题分类时,必须明确分类对象,确定 分类标准,做到各类互相独立,


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