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山西省吕梁市2015届高三上学期第一次模拟数学(文)试卷


山西省吕梁市 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 M={1,2,3,4},则集合 P={x|x∈M,且 2x?M}的子集个数为( A.2 B.3 C .4 D.8 2.若复数 z 满足 z(i﹣1)=(i+1) (i 为虚数单位) ,则 z 为( A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i

>2

)

) D.﹣1﹣i

3.一枚质地均匀的正方体骰子,六个面上分别刻着 1 点至 6 点.甲、乙二人各掷骰子一次, 则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为( ) A. B. C. D.

4.某等腰三角形中,底角的正弦值为 A.﹣ B.﹣

,则顶角的余弦值为( C.

) D.

5.给定下列三个命题: p1:函数 y=a ﹣a (a>0,且 a≠1)在 R 上为增函数; 2 2 p2:?a,b∈R,a ﹣ab+b <0; p3:cosα=cosβ 成立的一个充分不必要条件是 α=2kπ+β(k∈Z) 则下列命题中真命题为( ) A.p1∨p2 B.p2∧p3 C.¬p2∧p3 6.执行如图所示的程序枢图,输入的 a 的值为 3,则输出的 i=(
x
﹣x

D.p1∨¬p3 )

A.4

B.5

C .6

D.7

7.某几何体的正视图与俯视图如图所示,若俯视图中的多边形为正六边形,则该几何体的 俯视图的面积为( )

A.

B.6+

C. +3

D.4

8.若△ ABC 外接圆的圆心为 O,半径为 4, ( ) A.1

+2

+2

= ,则



方向上的投影为

B.
x﹣1

C.

D.4

9.若关于 x 的不等式 4a 围为( ) A. (0, )

<3x﹣4(a>0,且 a≠1 对于任意的 x>2 恒成立,则 a 的取值范 C.[2,+∞) D. (2,+∞)

B. (0, ]
2

10.已知 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,点 E 在点 C 的准线上,且在 x 轴上方,线段 EF 的 垂直平分线于 C 的准线交于点 Q(﹣1, ) ,与 C 交于点 P,则△ PEF 的面积为( A.5 B.10
x

)

C.15 ) ,若 f(x1)<f(x2) ,则( C.x1<x2 )

D.20

11.已知函数 f(x)=x(e ﹣ A.x1>x2

B.x1+x2=0

D.x1 <x2

2

2

12.已知 A,B 分别为椭圆

+

=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,直线 y=kx(k>0)
2

与椭圆交于 C,D 两点,若四边形 ABCD 的面积最大值为 2c ,则椭圆的离心率为( A. B. C. D.

)

二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 13.若变量 x,y 满足 ,则 2x+y 的取值范围为__________.

14.已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱垂直于底面,所有棱长都相等,若该三棱柱的顶点都 在球 O 的表面上,且球 O 的表面积为 7π,则三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积为__________.

15.已知函数 f(x)=

,若 f(x1)=f(x2)=f(x3) (x1,x2,x3

互不相等) ,则实数 x1+x2+x3 的取值范围为__________. 16. 在△ ABC 中, AC=2AB=2, BC= 则 PA+PB+PC=__________. , P 是△ ABC 内部的一点, 若∠APB=∠BPC=∠CPA,

三、解答题(共 8 小题,满分 70 分) 17.在公差不为零的等差数列{an}中,a1=2 且 a1、a2、a4 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=(﹣1)
n+1



+

) ,求数列{bn}的前 2n﹣1 项的和 T2n﹣1.

18. 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为梯形, PD⊥底面 ABCD, AB∥CD, AD⊥CD, E 为 PD 上异于 P,D 的一点. (Ⅰ)设平面 ABE 与 PC 交于点 F,求证 EF∥CD; (Ⅱ)若 AD=AB=1,BC= ,tan∠BPC= ,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

19.某市为了节约能源,拟出台“阶梯电价”制度,即制定住户月用电量的临界值 a,若某住 户某月用电量不超过 a 度, 则按平价计费; 若某月用电量超过 a 度, 则超出部分按议价计费. 未 超出分布按平价计费.为确定 a 的值,随机调查了该市 100 户的月用电量,工作人员已将 90 户的用电量填在了下面的频率分布表中,最后 10 户的月用电量(单位:度)为:18 63 43 119 65 77 29 97 52 100 组别 月用电量 频数统计 频数 频率 1 2 3 4 5 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) 正正一 正正正正 正正正正正 正正正正

6

[100,120)

(Ⅰ)完成频率分布表并绘制频率分布直方图; (Ⅱ) 根据已有信息, 试估计全市住户的平均用电量 (同一组数据用该区间的中点值作代表) ; (Ⅲ) 若该市计划让全市 75%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变, 试求临界值 a.

20.已知椭圆 E 的两焦点分别为(﹣1,0) (1,0) ,且经过点(1, (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)过 P(﹣2,0)的直线 l 交 E 于 A、B 两点,且 =3



,设 A、B 两点关于 x 轴的

对称点分别是 C、D,求四边形 ACDB 的外接圆的方程. 21.已知函数 f(x)=xlnx. (Ⅰ)试求曲线 y=f(x)在点(e,f(e) )处的切线方程; (Ⅱ)若 x>1,试判断方程 f(x)=(x﹣1) (ax﹣a+1)的解的个数. 22.如图,⊙O1 与⊙O2 交于 C、D 两点,AB 为⊙O1 的直径,连接 AC 并延长交⊙O2 于点 E,连接 AD 并延长交⊙O2 于点 F,连接 FE 并延长交 AB 的延长线于点 G. (Ⅰ)求证:GF⊥AG; (Ⅱ)过点 G 作⊙O1 的切线,切点为 H,若 G、C、D 三点共线,GE=1,EF=6,求 GH 的 长.

23.在极坐标系中,曲线 C 的方程为 ρ =

2

,点 R(2



) .

(Ⅰ)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线 C 的极坐标方 程化为直角坐标方程,R 点的极坐标化为直角坐标; (Ⅱ)设 P 为曲线 C 上一动点,以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴,求矩形 PQRS 周长的最小值,及此时 P 点的直角坐标.

24.设函数 f(x)=|x﹣3|+|2x﹣4|﹣a. (Ⅰ)当 a=6 时,解不等式 f(x)>0; (Ⅱ)如果关于 x 的不等式 f(x)<0 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围.

山西省吕梁市 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 M={1,2,3,4},则集合 P={x|x∈M,且 2x?M}的子集个数为( A.2 B.3 C .4 D.8 考点:集合中元素个数的最值. 专题:集合. 分析:根据题意,写出集合 P 即可. 解答: 解:根据题意, 若 1∈P,则 2×1=2∈M,故不满足题意; 若 2∈P,则 2×2=4∈M,故不满足题意; 若 3∈P,则 2×3=6?M,故满足题意; 若 4∈P,则 2×4=8?M,故满足题意; 综上,P={3,4}, 所以集合 P 的子集有:?,{3},{4},{3,4}, 故选:C. 点评:本题考查集合的定义及子集,属于基础题. 2.若复数 z 满足 z(i﹣1)=(i+1) (i 为虚数单位) ,则 z 为( ) A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值. 2 解答: 解:∵z(i﹣1)=(i+1) , ∴ = ,
2

)

故选:B. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题. 3.一枚质地均匀的正方体骰子,六个面上分别刻着 1 点至 6 点.甲、乙二人各掷骰子一次, 则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为( ) A. B. C. D.

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:列举出所有情况,看甲掷得的向上的点数比乙大的情况占总情况的多少即可. 解答: 解:甲、乙二人各掷骰子一次,得到所有的基本事件有 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 共 36 种, 显然甲掷得的向上的点数比乙大的有 15 种, 故甲掷得的向上的点数比乙大的概率为 P= .

故选:C. 点评: 此题可以采用列表法或者采用树状图法, 列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的 结果,适合于两步完成的事件. 树状图法适用于两步或两步以上完成的事件.解题时还要注意是放回实验还是不放回实 验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比

4.某等腰三角形中,底角的正弦值为 A.﹣ B.﹣

,则顶角的余弦值为( C. D.

)

考点:两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数. 专题:解三角形. 分析:先设出三个角,利用诱导公式求得 cosA=﹣cos2B,再利用余弦的二倍角公式求得答 案. 解答: 解:设三角形的顶角为 A,底角为 B,C,则 sinB=sinC=
2



cosA=cos(π﹣2B)=﹣cos2B=﹣(1﹣2sin B)=﹣(1﹣2× )=﹣ , 故选:A. 点评: 本题主要考查了诱导公式和二倍角公式的化简求值. 解题过程中注意对三角函数符号 的判断. 5.给定下列三个命题: p1:函数 y=a ﹣a (a>0,且 a≠1)在 R 上为增函数; 2 2 p2:?a,b∈R,a ﹣ab+b <0; p3:cosα=cosβ 成立的一个充分不必要条件是 α=2kπ+β(k∈Z) 则下列命题中真命题为( )
x
﹣x

A.p1∨p2

B.p2∧p3

C.¬p2∧p3

D.p1∨¬p3

考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析:p1:当 0<a<1 时,函数 y=a ﹣a (a>0,且 a≠1)在 R 上是减函数,即可判断出 真假; p2:?a,b∈R,a ﹣ab+b =
2 2 x
﹣x

≥0,即可判断出真假;

p3:cosα=cosβ?α=2kπ±β(k∈Z) ,根据充要条件的定义即可判断出其关系. ﹣x x 解答: 解:p1:当 0<a<1 时,函数 y=a ﹣a (a>0,且 a≠1)在 R 上是减函数,是假 命题; p2:?a,b∈R,a ﹣ab+b =
2 2

≥0,因此不存在 a,b∈R,a ﹣ab+b

2

2

<0,是假命题; p3:cosα=cosβ?α=2kπ±β(k∈Z) ,因此 cosα=cosβ 成立的一个充分不必要条件是 α=2kπ+β (k∈Z) ,是真命题. 因此 p1∨p2,p2∧p3,p1∨¬p3 是假命题; ¬p2∧p3 是真命题. 故选:C. 点评: 本题考查了简易逻辑的判定方法、 实数的性质、 指数函数的单调性、 三角函数的性质, 考查了推理能力,属于基础题. 6.执行如图所示的程序枢图,输入的 a 的值为 3,则输出的 i=( )

A.4

B.5

C .6

D.7

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 M,N,i 的值,当 M=115,N=243 时, 不满足条件 M>N,退出循环,输出 i 的值为 6. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 a=3,M=100,N=1,i=1 满足条件 M>N,M=103,N=3,i=2 满足条件 M>N,M=106,N=9,i=3 满足条件 M>N,M=109,N=27,i=4

满足条件 M>N,M=112,N=81,i=5 满足条件 M>N,M=115,N=243,i=6 不满足条件 M>N,退出循环,输出 i 的值为 6. 故选:C. 点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的 M,N,i 的值 是解题的关键,属于基本知识的考查. 7.某几何体的正视图与俯视图如图所示,若俯视图中的多边形为正六边形,则该几何体的 俯视图的面积为( )

A.

B.6+

C. +3

D.4

考点:简单空间图形的三视图. 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据几何体的三视图,得出该几何体上部为正六棱锥,下部为圆柱,结合数据特征求 出侧视图的面积即可. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体的上部为正六棱锥,下部为圆柱, ∴侧视图如图所示; 它的面积为 2×3+ ×2×sin 故选:A. × = .

点评:本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,也考查了面积公式的应用问题,是基础 题目.

8.若△ ABC 外接圆的圆心为 O,半径为 4, ( ) A.1 B. C.

+2

+2

= ,则



方向上的投影为

D.4

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:如图所示,利用向量的三角形法则可得: 接 OD 并延长到点 E,使得 得 ,CD,可得向量 在 ,则 OD⊥BC, 方向上的投影. ,取 BC 的中点 D,连 .可得 ,可

解答: 解:如图所示, ∵ ∴ ∴ +2 + +2 = , + , , = ,

取 BC 的中点 D,连接 OD 并延长到点 E,使得 则 OD⊥BC, ∴ ∴ ∴CD= ∴ 在 = , =3, = . , .

方向上的投影为

故选:B.

点评:本题考查了菱形的性质、向量的平行四边形法则、三角形外心的性质、向量的投影、 勾股定理、向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

9.若关于 x 的不等式 4a 围为( ) A. (0, )

x﹣1

<3x﹣4(a>0,且 a≠1 对于任意的 x>2 恒成立,则 a 的取值范 C.[2,+∞) D. (2,+∞)

B. (0, ]

考点:函数恒成立问题. 专题:分类讨论;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:关于 x 的不等式 4a <3x﹣4(a>0,且 a≠1 对于任意的 x>2 恒成立,即为 3x﹣4 x﹣1 x﹣1 ﹣4a >0 对于任意的 x>2 恒成立.令 f(x)=3x﹣4﹣4a ,即有 f(x)的最小值大于 0, 求出导数,对 a 讨论,当 0<a<1 时,当 a>1 时,判断函数的单调性,求出极值、最值, 即可得到 a 的范围. 解答: 解:关于 x 的不等式 4a <3x﹣4(a>0,且 a≠1 对于任意的 x>2 恒成立, x﹣1 即为 3x﹣4﹣4a >0 对于任意的 x>2 恒成立. x﹣1 令 f(x)=3x﹣4﹣4a ,即有 f(x)的最小值大于 0, x﹣1 f′(x)=3﹣4a ?lna, 当 0<a<1 时,lna<0,f′(x)>0,f(x)在 x>2 递增, 即有 f(x)>f(2) , 则 0≤f(2) ,即为 2﹣4a≥0,解得 a≤ ,则为 0<a≤ ; 当 a>1 时,lna>0,令 f′(x)=0 的根为 x=m, 当 x>m,f′(x)<0,f(x)递减,当 x<m,f′(x)>0,f(x)递增. 即有 x=m 处取得极大值, 若 m≥2,则 f(x)递减,无最小值,不成立; 若 m<2,则 f(x)有最大值,不成立. 综上可得,a 的范围为:0<a≤ . 故选 B. 点评: 本题考查不等式的恒成立问题注意转化为求函数的最值或范围, 同时考查函数的导数 的运用,根据函数的单调性和分类讨论的思想方法是解题的关键. 10.已知 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,点 E 在点 C 的准线上,且在 x 轴上方,线段 EF 的 垂直平分线于 C 的准线交于点 Q(﹣1, ) ,与 C 交于点 P,则△ PEF 的面积为( A.5 B.10 C.15 D.20 )
2 x﹣1 x﹣1

考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由抛物线方程求出焦点坐标,设出 E 的坐标(﹣1,m) ,利用 EF 和 QP 垂直求得 m 的值,则 EF、QP 的方程可求,求出 EF 的长度,求出 P 的坐标,由三角形的面积公式求得 △ PEF 的面积. 解答: 解:如图, 2 由抛物线方程为 y =4x,得 F(1,0) ,设 E(﹣1,m) (m>0) , 则 EF 中点为 G(0, ) , ,又 Q(﹣1, ) ,

∴ ∴E(﹣1,4) , 则|EF|= 直线 EF 的方程为

,则

,解得:m=4.

, ,化为一般式得:2x+y﹣2=0. ,即 x﹣2y+4=0.

QG 所在直线方程为 y﹣ =

联立

,得

,即 P(4,4) ,

∴P 到直线 EF 的距离为 d= 则△ PEF 的面积为 故选:B. .



点评:本题考查了抛物线的简单性质,考查了抛物线的应用,平面解析式的基础知识.考查 了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力,是中档题. 11.已知函数 f(x)=x(e ﹣ A.x1>x2
x

) ,若 f(x1)<f(x2) ,则( C.x1<x2

) D.x1 <x2
2 2

B.x1+x2=0

考点:函数单调性的判断与证明. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析:先容易判断出 f(x)在 R 上是偶函数,所以通过求导可以判断该函数在[0,+∞)上 单调递增,所以由 f(x1)<f(x2)得到 f(|x1|)<f(|x2|) ,所以由单调性即可得到|x1|<|x2|, 所以 .

解答: 解:f(﹣x)= ∴f(x)在 R 上为偶函数; ; ∴x>0 时,f′(x)>0; 所以 f(x)在[0,+∞)上为增函数;

=f(x) ;

而由 f(x1)<f(x2)得,f(|x1|)<f(|x2|) ; ∴|x1|<|x2|; ∴ .

故选 D. 点评:考查偶函数的定义及判断过程,函数导数符号和函数单调性的关系,以及偶函数定义 的运用:对于偶函数 f(x) ,f(x1)<f(x2)和 f(|x1|)<f(|x2|)等价.

12.已知 A,B 分别为椭圆

+

=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,直线 y=kx(k>0)
2

与椭圆交于 C,D 两点,若四边形 ABCD 的面积最大值为 2c ,则椭圆的离心率为( A. B. C. D.

)

考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:联立直线方程和椭圆方程,求出 C,D 的坐标,得到|CD|,再由点到直线的距离公式 求出 A,B 到直线的距离,把四边形的面积转化为两个三角形的面积和,由基本不等式求得 2 最大值,结合最大值为 2c 求得椭圆的离心率. 解答: 解:如图,

联立

,得 C(

) ,D



) ,

∴|CD|=

=



A(a,0)到直线 kx﹣y=0 的距离为

=



B(0,b)到直线 kx﹣y=0 的距离为 ∴四边形 ABCD 的面积 S= = =





当且仅当 ak=b,即 k= 时上式等号成立, ∴
2 2 2

,即 2a b =4c ,∴a b =2c ,
4

2 2

4

2 2

4

则 a (a ﹣c )=2c ,解得:



故选:D. 点评:本题考查了椭圆的几何性质,训练了点到直线的距离公式的应用,考查了利用基本不 等式求最值,是中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分) 13.若变量 x,y 满足 ,则 2x+y 的取值范围为[﹣2,2].

考点:简单线性规划的应用;分段函数的应用. 专题:不等式的解法及应用. 分析:画出约束条件的可行域,将 z=2x+y 化为 y=﹣2x+z,z 相当于直线 y=﹣2x+z 的纵截 距,由几何意义可得. 解答: 解:由题意作出 平面区域,

将 z=2x+y 化为 y=﹣2x+z,z 相当于直线 y=﹣2x+z 的纵截距, 由 解得,x=1,y=0;B(1,0)



解得,x=﹣1,y=0;

故﹣2≤z≤2, 即 Z=2x+y 的取值范围为[﹣2,2]. 故答案为:[﹣2,2].

点评:本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题. 14.已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱垂直于底面,所有棱长都相等,若该三棱柱的顶点都 在球 O 的表面上,且球 O 的表面积为 7π,则三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积为 .

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:通过球的内接体,说明几何体的中心是球的直径,由球的表面积求出球的半径,设出 三棱柱的底面边长,通过解直角三角形求得 a,然后由棱柱的体积公式得答案. 解答: 解:如图,

∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都相等,6 个顶点都在球 O 的球面上, ∴三棱柱为正三棱柱,且其中心为球的球心,设为 O, 再设球的半径为 r,由球 O 的表面积为 7π,得 4πr =7π,∴ 设三棱柱的底面边长为 a,则上底面所在圆的半径为 离 OH= , ∴ ∴a= . . ,即 r= ,
2



,且球心 O 到上底面中心 H 的距

则三棱柱的底面积为 S=

∴ 故答案为:

=



点评:本题考查球的内接体与球的关系,球的半径的求解,考查计算能力,是中档题.

15.已知函数 f(x)=

,若 f(x1)=f(x2)=f(x3) (x1,x2,x3

互不相等) ,则实数 x1+x2+x3 的取值范围为(1,8) . 考点:分段函数的应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:作出函数 f(x)=|2x+1|的图象,令 t=f(x1)=f(x2)=f(x3) ,设 x1<x2<x3,由图 象的对称性可得 x1+x2=﹣1,由条件可得 2<x3<9.作出 y=log2(x﹣m) (x>1)的图象, 由 0<t<3,即可得到 m 的值. 解答: 解:作出函数 f(x)=|2x+1|的图象,x=1 时,f(1)=3, 令 t=f(x1)=f(x2)=f(x3) ,设 x1<x2<x3, 则有 x1+x2=﹣1, 作出 y=log2(x﹣1) (x>1)的图象, 若 f(x1)=f(x2)=f(x3) ,则 0<f(x3)<3. 由 y=3,即有 log2(x﹣1)=3,x=9,即 x3<9, y=0 时,有 log2(x﹣1)=0,解得 x=2,即 x3>2, 可得 x1+x2+x3 的取值范围为(1,8) , 故答案为: (1,8) .

点评:本题考查分段函数的图象和运用,主要考查函数的对称性和对数的运算性质,正确画 图和通过图象观察是解题的关键. 16. 在△ ABC 中, AC=2AB=2, BC= 则 PA+PB+PC= . , P 是△ ABC 内部的一点, 若∠APB=∠BPC=∠CPA,

考点:正弦定理. 专题:综合题;解三角形. 分析:由∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,∠ACB=60°,可以得到∠ACP=∠PBC,判定两个三 角形相似,然后用相似三角形的性质计算求出 PB、PC 的长,再利用余弦定理求出 PA,即 可得出结论. 解答: 解:延长 BP 到 B′取点 E,使 PE=PC,EB′=AP,

∵∠BPC=120°, ∴∠EPC=60°, ∴△PCE 是正三角形, ∴∠CEB=120°=∠APC ∵AP=EB′,PC=EC, ∴PC=CE, ∴△ACP≌△B′CE, ∴∠PCA=∠B′CE,AC=B′C=2 ∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECP ∴∠ACB′=∠PCE=60°, ∵AC=2AB=2,BC= , 2 2 2 ∴AC +BC =AB , ∴∠ABC=90°,∠ACB=30° ∴∠BCB′=90°, ∵PE=PC,AP=B′E ∴PA+PB+PC=PA+EP+B′E=BB′= = ,

故答案为: . 点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质,考查余弦定理,考查学生的计算能力,属于 中档题. 三、解答题(共 8 小题,满分 70 分) 17.在公差不为零的等差数列{an}中,a1=2 且 a1、a2、a4 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=(﹣1)
n+1



+

) ,求数列{bn}的前 2n﹣1 项的和 T2n﹣1.

考点:数列的求和;等差数列与等比数列的综合. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (I) 设等差数列{an}的公差为 d≠0, 由 a1=2 且 a1、 a2、 a4 成等比数列, 可得 利用等差数列的通项公式即可得出; (II)bn=(﹣1)
n+1





+

)=

,利用“累加求和”即可得出.

解答: 解: (I)设等差数列{an}的公差为 d≠0, ∵a1=2 且 a1、a2、a4 成等比数列, ∴ ,即(2+d) =2(2+3d) ,化为 d ﹣2d=0,d≠0,解得 d=2.
2 2

∴an=2+2(n﹣1)=2n. (II)bn=(﹣1)
n+1



+

)=



∴数列{bn}的前 2n﹣1 项的和 T2n﹣1= + =1+ .



+



+…﹣

点评:本题考查了等差数列的通项公式、“累加求和”,考查了变形能力,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题. 18. 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为梯形, PD⊥底面 ABCD, AB∥CD, AD⊥CD, E 为 PD 上异于 P,D 的一点. (Ⅰ)设平面 ABE 与 PC 交于点 F,求证 EF∥CD; (Ⅱ)若 AD=AB=1,BC= ,tan∠BPC= ,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由 AB∥CD,利用线面平行的判定定理得到 AB∥平面 PDC,再由线面平行的 性质得到 AB∥EF,由平行公理得到 EF∥CD; (Ⅱ)由已知求出 BC 长,进一步证明△ PBC 为直角三角形,求得 PB,得到 PD,然后求出 底面直角梯形的面积,代入棱锥体积公式得答案. 解答: (Ⅰ)证明:如图,∵AB∥CD,CD?面 PDC,AB?面 PDC, ∴AB∥平面 PDC, 又平面 ABE∩平面 PDC=EF, ∴AB∥EF,则 EF∥CD; (Ⅱ)解:由 AD⊥CD,AB∥CD,AD=AB=1,BC= , 可得 BD= ,CD=2, ∴BC⊥BD, 又 PD⊥底面 ABCD,∴PD⊥BC, ∴BC⊥平面 PBD,则 BC⊥PB. ∵tan∠BPC= 又 ∴ . ,∴PB= ,则 PD=1, ,

点评:本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思 想方法,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力,是中档题. 19.某市为了节约能源,拟出台“阶梯电价”制度,即制定住户月用电量的临界值 a,若某住 户某月用电量不超过 a 度, 则按平价计费; 若某月用电量超过 a 度, 则超出部分按议价计费. 未 超出分布按平价计费.为确定 a 的值,随机调查了该市 100 户的月用电量,工作人员已将 90 户的用电量填在了下面的频率分布表中,最后 10 户的月用电量(单位:度)为:18 63 43 119 65 77 29 97 52 100 组别 月用电量 频数统计 频数 频率 1 2 3 4 5 6 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) [100,120) 正正一 正正正正 正正正正正 正正正正

(Ⅰ)完成频率分布表并绘制频率分布直方图; (Ⅱ) 根据已有信息, 试估计全市住户的平均用电量 (同一组数据用该区间的中点值作代表) ; (Ⅲ) 若该市计划让全市 75%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变, 试求临界值 a.

考点:频率分布直方图;频率分布表. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据题目中的数据,补充完整频率分布表,绘制出频率分布直方图; (Ⅱ)根据频率分布直方图,计算样本的平均数; (Ⅲ)列出累计频率表,计算临界值 a 即可.

解答: 解: (Ⅰ)补充频率分布表,如下: 组别 月用电量 频数统计 频数 1 2 [0,20] [20,40] 正正 T 4 12 24 30 25 5

频率 0.04 0.12 0.24 0.30 0.25 0.05

3 [40,60] 正正正正 4 [60,80] 正正正正正正 5 [80,100] 正正正正正 6 [100,120] 正 绘制频率分布直方图,如下;

(Ⅱ)根据题意,估计全体住户的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)为 10×0.04+30×0.12+50×0.24+70×0.30+90×0.25+110×0.05=65 度; (Ⅲ)计算累计频率,可得下表; 分组 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) [100,120] 频率 0.04 0.12 0.24 0.30 0.25 0.05 累计频率 0.04 0.16 0.40 0.70 0.95 1.00 由此可知临界值 a 应在区间[80,100)内,且频率分布直方图中,在临界值 a 左侧的总面积 (概率)为 0.75, 故有 0.7+(a﹣80)×0.0125=0.75,解得 a=84, ∴临界值 a 为 84. 点评:本题考查了频率分布表与频率分布直方图的应用问题,也考查了平均数的计算问题, 是基础题目.

20.已知椭圆 E 的两焦点分别为(﹣1,0) (1,0) ,且经过点(1, (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)过 P(﹣2,0)的直线 l 交 E 于 A、B 两点,且 =3



,设 A、B 两点关于 x 轴的

对称点分别是 C、D,求四边形 ACDB 的外接圆的方程. 考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (Ⅰ)由题意可得 c=1,进而可得 a =b +1,把点(1, 数,可得方程; (Ⅱ)设 l:x=my﹣2,代入椭圆 E
2

2

2

)代入

+

=1 可得系

+y =1 并整理可得(m +2)y ﹣4my+2=0,由韦达定

2

2

2

理可得 m =4 不妨取 m=2 可得圆心和半径,可得方程. 2 2 解答: 解: (Ⅰ)由题意可得 c=1,∴a =b +1, 把点(1,
2

)代入
2 2

+

=1 可得

+

=1,

解得 b =1,∴a =b +1=2, ∴椭圆 E 的方程为 +y =1; +y =1 并整理可得(m +2)y ﹣4my+2=0,
2 2 2 2

(Ⅱ)由题意设 l:x=my﹣2,代入椭圆 E 由△ =16m ﹣8(m +2)>0 可解得 m >2, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2= 由 =3
2 2 2

,①y1y2=
2 2

,②,

可得 y2=3y1,③,由①②③解得 m =4 符合 m >2

不妨取 m=2,则线段 AB 的垂直平分线方程为 y=﹣2x﹣ , 则所求圆的圆心为(﹣ ,0) ,又可得 B(0,1) , ∴圆的半径 r= ∴所求圆的方程为(x+ ) +y = 点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,设计椭圆的标准方程和圆的知识,属中档题. 21.已知函数 f(x)=xlnx. (Ⅰ)试求曲线 y=f(x)在点(e,f(e) )处的切线方程; (Ⅱ)若 x>1,试判断方程 f(x)=(x﹣1) (ax﹣a+1)的解的个数. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断. 专题:分类讨论;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得切线方程; (Ⅱ)方程 f(x)=(x﹣1) (ax﹣a+1)即为 xlnx﹣(x﹣1) (ax﹣a+1)=0,对 a 讨论,令 g(x)=xlnx﹣(x﹣1) (ax﹣a+1) ,求出导数,当 a≤0 时,当 a 时,当 0 时,通
2 2

过导数判断单调性和极值,结合零点存在定理,即可判断方程解的个数. 解答: 解: (Ⅰ)由 f(x)=xlnx,得 f′(x)=lnx+1, 则 f′(e)=2,又 f(e)=e,

∴曲线 y=f(x)在点(e,f(e) )处的切线方程为 y﹣e=2(x﹣e) , 即 y=2x﹣e; (Ⅱ)由 f(x)=(x﹣1) (ax﹣a+1) ,得 f(x)﹣(x﹣1) (ax﹣a+1)=0, 令 g(x)=f(x)﹣(x﹣1) (ax﹣a+1)=xlnx﹣(x﹣1) (ax﹣a+1) , g′(x)=lnx+1﹣(ax﹣a+1)﹣(ax﹣a)=lnx﹣2a(x﹣1) , ∵x>1,∴lnx>0, 当 a≤0 时,g′(x)>0,∴g(x)为增函数, ∴g(x)>g(1)=0,则方程 f(x)=(x﹣1) (ax﹣a+1)的解的个数为 0 个; 当 a>0 时,令 h(x)=lnx﹣2a(x﹣1) ,则 h′(x)= ﹣2a,由 h′(x)=0,得 x= 当 x∈( 若 ,即 a )时,h′(x)<0,h(x)在( )上为减函数, ,

,h(x)<h(1)=0,即 g′(x)<0,

∴g(x)在(1,+∞)上为减函数,∴g(x)<g(1)=0, 则方程 f(x)=(x﹣1) (ax﹣a+1)的解的个数为 0 个; 若 ,即 0 , )上单调递增,在( , 和 和 , , 上各有一个零点, 上各有一个极值点, )上单调递减,

由 h(x)在(1, 且 h(1)=0, ∴h(x)=g′(x)在 即函数 g(x)在 设为 x1∈

则 g(x)在(1,x1) , (x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增, g(x1)为极小值,g(x2)为极大值, ∵g(x1)<g(1)=0, g(x2)=x2lnx2﹣(x2﹣1) (ax2﹣a+1)=x2?2a(x2﹣1)﹣(x2﹣1) (ax2﹣a+1) = 当 x2> 当 <x2< =(ax2+a﹣1) (x2﹣1) ,g(x2)>0,方程 f(x)=(x﹣1) (ax﹣a+1)的解的个数为 1; ,g(x2)<0,方程 f(x)=(x﹣1) (ax﹣a+1)的解的个数为 0.

综上可得,当 a≤0 时,方程 f(x)=(x﹣1) (ax﹣a+1)的解的个数为 0; 当a 当0 时,方程 f(x)=(x﹣1) (ax﹣a+1)的解的个数为 0; 时,方程 f(x)=(x﹣1) (ax﹣a+1)的解的个数为 0 或 1.

点评:本题考查导数的运用:求切线方程,同时考查零点的个数,运用分类讨论的思想方法 是解题的关键. 22.如图,⊙O1 与⊙O2 交于 C、D 两点,AB 为⊙O1 的直径,连接 AC 并延长交⊙O2 于点 E,连接 AD 并延长交⊙O2 于点 F,连接 FE 并延长交 AB 的延长线于点 G. (Ⅰ)求证:GF⊥AG; (Ⅱ)过点 G 作⊙O1 的切线,切点为 H,若 G、C、D 三点共线,GE=1,EF=6,求 GH 的 长.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;推理和证明. 分析: (Ⅰ) 利用四点共圆证明: ∠GEC=∠ABC, 进一步证明∠EGA=90, 即可证明 GF⊥AG; 2 (Ⅱ)利用切割线定理可得 GH =GE?GF,即可求出 GH. 解答: (Ⅰ)证明:连接 BC,GD,则 因为 AB 为⊙O1 的直径, 所以∠ACB=90°, 所以∠ABC+∠CAB=90°, 由 A,B,C,D 四点共圆,得∠ABC=∠FDC; 由 C,D,F,E 四点共圆,得∠GEC=∠FDC, 所以∠GEC=∠ABC, 所以∠GEC+∠CAB=90°, 所以∠EGA=90° 所以 GF⊥AG; (Ⅱ)解:因为 GH 为⊙O1 的切线,GCD 为⊙O1 的割线, 2 所以 GH =GC?GD, 因为 GCD,GEF 为⊙O2 的割线, 所以 GC?GD=GE?GF, 2 所以 GH =GE?GF, 所以 GH= .

点评:本题考查四点共圆的性质,考查切割线定理,考查学生的计算能力,属于中档题.

23.在极坐标系中,曲线 C 的方程为 ρ =

2

,点 R(2



) .

(Ⅰ)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线 C 的极坐标方 程化为直角坐标方程,R 点的极坐标化为直角坐标; (Ⅱ)设 P 为曲线 C 上一动点,以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴,求矩形 PQRS 周长的最小值,及此时 P 点的直角坐标. 考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)首先根据变换关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程,进一步把极坐标转化 成直角坐标. (Ⅱ) 把椭圆的直角坐标形式转化成参数形式, 进一步把矩形的周长转化成三角函数的形式, 通过三角恒等变换求出最小值,进一步求出 P 的坐标. 解答: 解: (Ⅰ)由于 x=ρcosθ,y=ρsinθ, 则:曲线 C 的方程为 ρ =
2

,转化成



点 R 的极坐标转化成直角坐标为:R(2,2) . (Ⅱ)设 P( ) 根据题意,得到 Q(2,sinθ) , 则:|PQ|= 所以:|PQ|+|QR|= 当 时, (|PQ|+|QR|)min=2, ) . ,|QR|=2﹣sinθ, .

矩形的最小周长为 4,点 P(

点评:本题考查的知识要点:极坐标方程转化成直角坐标方程,极坐标和直角坐标的互化, 三角函数关系式的恒等变换,求正弦型函数的最值问题. 24.设函数 f(x)=|x﹣3|+|2x﹣4|﹣a. (Ⅰ)当 a=6 时,解不等式 f(x)>0; (Ⅱ)如果关于 x 的不等式 f(x)<0 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:选作题;不等式. 分析: (1)先分类讨论,根据 x 的范围先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求 解. (2)求出函数的最小值,原问题等价为 a>[|x﹣3|+|2x﹣4|]min,从而求出 a 的范围; 解答: 解: (1)原不等式|x﹣3|+|2x﹣4|>6 当 x<2 时,原不等式化为﹣3x+1>0,解得 x< ,∴x< ; 当 2≤x≤3 时,原不等式化为 x﹣7>0,是?;

当 x>3 时,原不等式化为 3x﹣13>0,解得 x> 综上,原不等式解集为{x|x< 或 x> };

(2)y=|x﹣3|+|2x﹣4|=

当 x<2 时,y>1 当 2≤x≤3 时,1≤y≤2 当 x>3 时,y>2 综上 y≥1,原问题等价为 a>[|x﹣3|+|2x﹣4|]min ∴a>1. 点评:此题考查绝对值不等式的解法,运用了分类讨论的思想,解题的关键是去掉绝对值, 此类题目是 2015 届高考常见的题型.


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