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导数常见题型与解题方法总结


导数题型总结 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 f ' ( x) ? 0 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 第三种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元) 。 例 1:设函数 y ? f ( x) 在区间 D 上的导数为 f ?( x ) , f ?( x ) 在区间 D 上的导数为 g ( x) ,若在 区间 D 上, g ( x) ? 0 恒成立,则称函数 y ? f ( x) 在区间 D 上为“凸函数” ,已知实数 m 是常数,
f ( x) ? x 4 mx3 3x 2 ? ? 12 6 2

(1)若 y ? f ( x) 在区间 ?0,3? 上为“凸函数” ,求 m 的取值范围; (2) 若对满足 m ? 2 的任何一个实数 m , 函数 f ( x) 在区间 ? a, b ? 上都为 “凸函数” , 求b ? a 的最大值. 解:由函数 f ( x) ?
x 4 mx3 3x 2 x3 mx 2 ? ? ? 3x 得 f ?( x) ? ? 12 6 2 3 2

? g ( x) ? x2 ? mx ? 3
(1) ? y ? f ( x) 在区间 ?0,3? 上为“凸函数” , 则 ? g ( x) ? x2 ? mx ? 3 ? 0 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于 gmax ( x) ? 0

? g (0) ? 0 ??3 ? 0 ?? ?m?2 ? ? g (3) ? 0 ?9 ? 3m ? 3 ? 0

解法二:分离变量法: ∵ 当 x ? 0 时, ? g ( x) ? x2 ? mx ? 3 ? ?3 ? 0 恒成立, 当 0 ? x ? 3 时, g ( x) ? x2 ? mx ? 3 ? 0 恒成立
x2 ? 3 3 ? x ? 的最大值( 0 ? x ? 3 )恒成立, 等价于 m ? x x
3 而 h( x ) ? x ? ( 0 ? x ? 3 )是增函数,则 hmax ( x) ? h(3) ? 2 x
?m ? 2

(2)∵当 m ? 2 时 f ( x) 在区间 ? a, b ? 上都为“凸函数” 则等价于当 m ? 2 时 g ( x) ? x2 ? mx ? 3 ? 0 恒成立 变更主元法 再等价于 F (m) ? mx ? x2 ? 3 ? 0 在 m ? 2 恒成立(视为关于 m 的一次函数最值问题)
2 ? F (?2) ? 0 ? ??2 x ? x ? 3 ? 0 ?? ?? ? ?1 ? x ? 1 2 ?2 x ? x ? 3 ? 0 ? F (2) ? 0 ?

?b ? a ? 2
-2 2

1 例 2:设函数 f ( x) ? ? x 3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b(0 ? a ? 1, b ? R) 3

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], 不等式 f ?( x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ?x2 ? 4ax ? 3a2 ? ? ? x ? 3a ?? x ? a ?
?0 ? a ? 1

f ?( x)
a 3a a 3a

令 f ?( x) ? 0, 得 f ( x) 的单调递增区间为(a,3a)

令 f ?( x) ? 0, 得 f ( x) 的单调递减区间为(- ? ,a)和(3a,+ ? ) ∴当 x=a 时, f ( x) 极小值= ?
3 3 a ? b; 4

当 x=3a 时, f ( x) 极大值=b.

(Ⅱ)由| f ?( x ) |≤a,得:对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], ?a ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? a 恒成立①

? g ( x) ? a 则 等 价 于 g ( x) 这 个 二 次 函 数 ? m a x ? gm i ( n x) ? ?a
? 0 ? a ? 1,
a ? 1 ? a ? a ? 2a (放缩法)

g ( x) ? x2 ? 4ax ? 3a2 的 对 称 轴 x ? 2a

即定义域在对称轴的右边, g ( x) 这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。

g ( x) ? x2 ? 4ax ? 3a2 在[a ? 1, a ? 2] 上是增函数.


g ( x)max ? g (a ? 2) ? ?2a ? 1. g ( x)min ? g (a ? 1) ? ?4a ? 4.

?a ? 1,

x ? 2a

a ? 2?

于是,对任意 x ? [a ? 1, a ? 2] ,不等式①恒成立,等价

? g (a ? 2) ? ?4a ? 4 ? a, 4 解得 ? a ? 1. ? 5 ? g (a ? 1) ? ?2a ? 1 ? ?a
又 0 ? a ? 1, ∴
4 ? a ? 1. 5

点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 例 3:已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 图象上一点 P(1, b) 处的切线斜率为 ?3 ,
g ( x) ? x 3 ? t ?6 2 x ? (t ? 1) x ? 3 2 (t ? 0)

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)当 x ?[?1, 4] 时,求 f ( x) 的值域; (Ⅲ)当 x ? [1, 4] 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围。

? f / (1) ? ?3 解: (Ⅰ) f / ( x) ? 3x2 ? 2ax ∴ ? , b ? 1 ? a ?

?a ? ?3 解得 ? ?b ? ?2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) 在 [?1, 0] 上单调递增,在 [0, 2] 上单调递减,在 [2, 4] 上单调递减 又 f (?1) ? ?4, f (0) ? 0, f (2) ? ?4, f (4) ? 16 ∴ f ( x) 的值域是 [?4,16]

t (Ⅲ)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? x 2 ? (t ? 1) x ? 3 2

x ? [1, 4]

思路 1:要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立,只需 h( x) ? 0 ,即 t ( x2 ? 2x) ? 2x ? 6 分离变量 思路 2:二次函数区间最值 二、参数问题 1、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法 1:转化为 f ' ( x) ? 0或f ' ( x) ? 0 在给定区间上恒成立, 回归基础题型 解法 2:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求 的增或减区间的子集; 做题时一定要看清楚“在(m , n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a , b) ” ,要弄 清楚两句话的区别:前者是后者的子集 例 4:已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

1 3 a ?1 2 x ? x ? (4a ? 1) x . 12 2

(Ⅰ)如果函数 g ( x) ? f ?( x) 是偶函数,求 f ( x) 的极大值和极小值; (Ⅱ)如果函数 f ( x) 是 (??, ? ?) 上的单调函数,求 a 的取值范围. 解: f ?( x) ?
1 2 x ? (a ? 1) x ? (4a ? 1) . 4

(Ⅰ)∵ f ?( x ) 是偶函数,∴ a ? ?1 . 令 f ?( x) ? 0 ,解得: x ? ?2 3 . 列表如下: (-∞,- (- -2 3

此时 f ( x) ?

1 3 1 x ? 3 x , f ?( x ) ? x 2 ? 3 , 12 4

x
2 3)
f ?( x )

2 3 ,2 3 ) -

2 3

(2 3 ,+ ∞)

+

0

0

+

f ( x)

递增

极大值

递减

极小值

递增

可知: f ( x) 的极大值为 f (?2 3) ? 4 3 , (Ⅱ)∵函数 f ( x) 是 (??, ? ?) 上的单调函数, ∴ f ?( x) ?

f ( x) 的极小值为 f (2 3) ? ?4 3 .

1 2 x ? (a ? 1) x ? (4a ? 1) ? 0 ,在给定区间 R 上恒成立判别式法 4

1 则 ? ? (a ? 1) 2 ? 4 ? ? (4a ? 1) ? a 2 ? 2a ? 0, 4

解得: 0 ? a ? 2 .

综上, a 的取值范围是 {a 0 ? a ? 2}. 例 5、已知函数 f ( x) ?
1 3 1 x ? (2 ? a) x 2 ? (1 ? a) x(a ? 0). 3 2

(I)求 f ( x) 的单调区间; (II)若 f ( x) 在[0,1]上单调递增,求 a 的取值范围。子集思想 解: (I) f ?( x) ? x2 ? (2 ? a) x ? 1 ? a ? ( x ? 1)( x ? 1 ? a). 1、 当a ? 0时, f ?( x) ? ( x ? 1)2 ? 0恒成立, 当且仅当 x ? ?1 时取“=”号, f ( x)在(??, ??) 单调递增。 2、 当a ? 0时,由f ?( x) ? 0, 得x1 ? ?1, x2 ? a ? 1, 且x1 ? x2 ,

f ?( x)
-1 a-1

单调增区间: (??, ?1), (a ? 1, ??) 单调增区间: (?1, a ? 1)

(II)当? f ( x)在[0,1]上单调递增,

则 ?0,1? 是上述增区间的子集:

1、 a ? 0 时, f ( x)在(??, ??) 单调递增 符合题意 2、 ?0,1? ? ? a ?1, ??? ,? a ? 1 ? 0 综上,a 的取值范围是[0,1]。 2、题型二:根的个数问题 题1 函数 f(x)与 g(x)(或与 x 轴)的交点,即方程根的个数问题
?a ?1

解题步骤 第一步:画出两个图像即“穿线图” (即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势 “是先增后减再增”还是“先减后增再减” ; 第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) ;主要看极大值和极小值与 0 的关 系; 第三步:解不等式(组)即可。 例 6、已知函数 f ( x) ?
1 1 3 (k ? 1) 2 x ? x , g ( x) ? ? kx ,且 f ( x) 在区间 (2,??) 上为增函数. 3 3 2

(1) 求实数 k 的取值范围;

(2) 若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围. 解: (1)由题意 f ?( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ∵ f ( x) 在区间 (2,??) 上为增函数, ∴ f ?( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ? 0 在区间 (2,??) 上恒成立(分离变量法) 即 k ? 1 ? x 恒成立,又 x ? 2 ,∴ k ? 1 ? 2 ,故 k ? 1 ∴ k 的取值范围为 k ? 1 (2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?
x 3 (k ? 1) 2 1 ? x ? kx ? , 3 2 3

h?( x) ? x 2 ? (k ? 1) x ? k ? ( x ? k )(x ? 1)
令 h ?( x) ? 0 得 x ? k 或 x ? 1 由(1)知 k ? 1 , ①当 k ? 1 时, h?( x) ? ( x ? 1) 2 ? 0 , h( x) 在 R 上递增,显然不合题意? ②当 k ? 1 时, h( x) , h ?( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
h ?( x ) h( x )

(??, k )

k
0

(k ,1)

1
0

(1,??)

?


— ↘

?


极大值
k3 k2 1 ? ? ? 6 2 3

极小 值
k ?1 2

由于

k ?1 ? 0 ,欲使 f ( x) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点,即方程 h( x) ? 0 有三个不同的 2

实根,故需 ?

?k ? 1 k3 k2 1 ? ? ? 0 ,即 (k ? 1)(k 2 ? 2k ? 2) ? 0 ∴ ? 2 ,解得 k ? 1 ? 3 6 2 3 ?k ? 2k ? 2 ? 0

综上,所求 k 的取值范围为 k ? 1 ? 3

根的个数知道,部分根可求或已知。 例 7、已知函数 f ( x) ? ax3 ?
1 2 x ? 2x ? c 2

(1)若 x ? ?1 是 f ( x) 的极值点且 f ( x) 的图像过原点,求 f ( x) 的极值;
1 (2)若 g ( x ) ? bx 2 ? x ? d ,在(1)的条件下,是否存在实数 b ,使得函数 g ( x) 的图像与函 2

数 f ( x) 的图像恒有含 x ? ?1 的三个不同交点?若存在,求出实数 b 的取值范围;否则说明理

由。高 1 考 1 资 1 源 2 网解: ( 1 ) ∵ f ( x) 的 图 像 过 原 点 , 则 f (0) ? 0 ? c ? 0

f ?( x) ? 3ax2 ? x ? 2 ,
又∵ x ? ?1 是 f ( x) 的极值点,则 f ?(?1) ? 3a ? 1 ? 2 ? 0 ? a ? ?1

f ?( x)
-1

? f ?( x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ? 1) ? 0
f 极大值 ( x ) ? f ( ?1) ? 3 2

2 22 f 极小值 ( x) ? f ( ) ? ? 3 7

2 3

(2)设函数 g ( x) 的图像与函数 f ( x) 的图像恒存在含 x ? ?1 的三个不同交点,
1 等价于 f ( x) ? g ( x) 有含 x ? ?1 的三个根,即: f (?1) ? g (?1) ? d ? ? (b ? 1) 2 1 1 1 ? x3 ? x 2 ? 2 x ? bx 2 ? x ? (b ? 1) 整理得: 2 2 2 1 1 即: x3 ? (b ? 1) x 2 ? x ? (b ? 1) ? 0 恒有含 x ? ?1 的三个不等实根 2 2 1 1 h( x) ? x 3 ? (b ? 1) x 2 ? x ? (b ? 1) ? 0 有含 x ? ?1 的根, 2 2

则 h( x) 必可分解为 ( x ? 1)(二次式) ? 0 ,故用添项配凑法因式分解,
1 1 x 3 ? x 2 ? x 2 ? (b ? 1) x 2 ? x ? (b ? 1) ? 0 2 2

1 ?1 ? x 2 ( x ? 1) ? ? (b ? 1) x 2 ? x ? (b ? 1) ? ? 0 2 ?2 ?
1 x 2 ( x ? 1) ? ? (b ? 1) x 2 ? 2 x ? (b ? 1) ? ? ??0 2 1 十字相乘法分解: x 2 ( x ? 1) ? ? (b ? 1) x ? (b ? 1) ? ? x ? 1? ? 0 2

1 1 ? ? ( x ? 1) ? x 2 ? (b ? 1) x ? (b ? 1) ? ? 0 2 2 ? ?
1 1 ? x3 ? (b ? 1) x 2 ? x ? (b ? 1) ? 0 恒有含 x ? ?1 的三个不等实根 2 2 1 1 等价于 x 2 ? (b ? 1) x ? (b ? 1) ? 0 有两个不等于-1 的不等实根。 2 2

1 1 ? 2 ? ? ( b ? 1) ? 4 ? (b ? 1) ? 0 ? ? 4 2 ?? ? b ? (??, ?1) ? (?1,3) ? (3, ??) 1 1 2 ?(?1) ? (b ? 1) ? (b ? 1) ? 0 ? ? 2 2

题2

切线的条数问题,即以切点 x0 为未知数的方程的根的个数 例 7、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极小值-4,使其导数 f '( x) ? 0 的 x 的

取值范围为 (1,3) ,求: (1) f ( x) 的解析式; (2)若过点 P(?1, m) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切 线,求实数 m 的取值范围. (1)由题意得: f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 3a( x ?1)( x ? 3),(a ? 0) ∴在 (??,1) 上 f '( x) ? 0 ;在 (1,3) 上 f '( x) ? 0 ;在 (3, ??) 上 f '( x) ? 0 因此 f ( x) 在 x0 ? 1 处取得极小值 ?4 ∴ a ? b ? c ? ?4 ①, f '(1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ②, f '(3) ? 27a ? 6b ? c ? 0 ③
? a ? ?1 ? 由①②③联立得: ?b ? 6 ,∴ f ( x) ? ? x3 ? 6 x2 ? 9 x ? c ? ?9 ?

(2)设切点 Q (t , f (t )) , y ? f (t ) ? f , (t )( x ? t )

y ? (?3t 2 ? 12t ? 9)( x ? t ) ? (?t 3 ? 6t 2 ? 9t ) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (3t 2 ?12t ? 9) ? t (t 2 ? 6t ? 9) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (2t 2 ? 6t ) 过 (?1, m) m ? (?3t 2 ? 12t ? 9)(?1) ? 2t 3 ? 6t 2 g (t ) ? 2t 3 ? 2t 2 ?12t ? 9 ? m ? 0
令 g '(t ) ? 6t 2 ? 6t ?12 ? 6(t 2 ? t ? 2) ? 0 , 求得: t ? ?1, t ? 2 ,方程 g (t ) ? 0 有三个根。

? g (?1) ? 0 ??2 ? 3 ? 12 ? 9 ? m ? 0 ?m ? 16 需: ? ?? ?? ? g (2) ? 0 ?m ? ?11 ?16 ? 12 ? 24 ? 9 ? m ? 0
故: ?11 ? m ? 16 ;因此所求实数 m 的范围为: (?11,16)

题3

已知 f ( x) 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0 的根的个数

解法:根分布或判别式法 例 8、

解:函数的定义域为 R (Ⅰ)当 m=4 时,f (x)=
2

1 3 7 2 x - x +10x, 3 2

f ?( x ) =x -7x+10,令 f ?( x) ? 0 , 解得 x ? 5, 或 x ? 2 .

令 f ?( x) ? 0 , 解得 2 ? x ? 5 可知函数 f(x)的单调递增区间为 (??, 2) 和(5,+∞) ,单调递减区间为 ? 2,5? . (Ⅱ) f ?( x ) =x2-(m+3)x+m+6, 要使函数 y=f (x)在(1,+∞)有两个极值点, ? f ?( x) =x2 -(m+3)x+m+6=0 的根在(1,+∞) 根分布问题:
1

? ?? ? (m ? 3) 2 ? 4(m ? 6) ? 0; ? 则 ? f ?(1) ? 1 ? (m ? 3) ? m ? 6 ? 0; , 解得 m>3 ?m ? 3 ? ? 1. ? 2

例 9、已知函数 f ( x) ?

1 a 3 1 2 x ? x ,(a ? R, a ? 0) (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)令 g ( x) = x4 4 3 2

+f(x) (x∈R)有且仅有 3 个极值点,求 a 的取值范围. 解: (1) f ' ( x) ? ax2 ? x ? x(ax ? 1)
1 1 当 a ? 0 时,令 f ' ( x) ? 0 解得 x ? ? 或x ? 0 ,令 f ' ( x) ? 0 解得 ? ? x ? 0 , a a 1 1 所以 f ( x) 的递增区间为 (?? ,? ) ? (0,?? ) ,递减区间为 (? ,0) . a a 1 1 ? ) ,递减区间为 (?? ,0) ? (? ,?? ) . 当 a ? 0 时,同理可得 f ( x) 的递增区间为 (0, a a

(2) g ( x) ?

1 4 a 3 1 2 x ? x ? x 有且仅有 3 个极值点 4 3 2

? g?( x) ? x3 ? ax2 ? x ? x( x2 ? ax ? 1) =0 有 3 个根,则 x ? 0 或 x 2 ? ax ? 1 ? 0 , a ? ?2
方程 x 2 ? ax ? 1 ? 0 有两个非零实根,所以 ? ? a 2 ? 4 ? 0,
? a ? ?2 或 a ? 2

而当 a ? ?2 或 a ? 2 时可证函数 y ? g ( x) 有且仅有 3 个极值点 其它例题:

( a ? 0) 1、 (最值问题与主元变更法的例子).已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b 在区

间 ??2,1? 上的最大值是 5,最小值是-11. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式;
? tx ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围. (Ⅱ)若 t ? [?1,1] 时, f ?( x)

解: (Ⅰ)? f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b,? f ' ( x) ? 3ax2 ? 4ax ? ax(3x ? 4) 令 f ' ( x) =0,得 x1 ? 0, x2 ?
4 ? ? ?2,1? 3

因为 a ? 0 ,所以可得下表:

x
f ' ( x)

??2,0?
+ ↗

0 0 极大

? 0,1?


f ( x)

因此 f (0) 必为最大值,∴ f(0) ? 5 因此 b ? 5 , ? f (?2) ? ?16a ? 5, f (1) ? ?a ? 5,? f (1) ? f (?2) , 即 f (?2) ? ?16a ? 5 ? ?11,∴ a ? 1 ,∴ f ( x) ? x 3 ? 2x 2 ? 5.
? tx ? 0 等价于 3x 2 ? 4 x ? tx ? 0 , (Ⅱ)∵ f ?( x) ? 3x 2 ? 4x ,∴ f ?( x)

令 g (t ) ? xt ? 3x 2 ? 4x , 则问题就是 g(t ) ? 0 在 t ? [?1,1] 上恒成立时, 求实数 x 的取值范围,

?3x 2 ? 5x ? 0 ? g (?1) ? 0 为此只需 ? ,即 ? 2 , 1) ? 0 ? g( ? x ? x?0
解得 0 ? x ? 1 ,所以所求实数 x 的取值范围是[0,1].

2、 (根分布与线性规划例子) 已知函数 f ( x) ?
2 3 x ? ax 2 ? bx ? c 3

(Ⅰ) 若函数 f ( x) 在 x ? 1 时有极值且在函数图象上的点 (0, 1) 处的切线与直线 3x ? y ? 0 平行, 求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ) 当 f ( x) 在 x ? (0, 1) 取得极大值且在 x ? (1, 2) 取得极小值时, 设点 M (b ? 2, a ? 1) 所在平面区域为 S, 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 求直线 L 的方程. 解: (Ⅰ). 由 f ?( x) ? 2 x2 ? 2ax ? b , 函数 f ( x) 在 x ? 1 时有极值 , ∴ 2a ? b ? 2 ? 0 ∵ f (0) ? 1 ∴
c ?1

又∵ f ( x) 在 (0, 1) 处的切线与直线 3x ? y ? 0 平行, ∴ f ?(0) ? b ? ?3 ∴ f ( x) ? 分 (Ⅱ) 解法一: 由 f ?( x) ? 2 x2 ? 2ax ? b 及 f ( x) 在 x ? (0, 1) 取得极大值且在 x ? (1, 2) 取得 极小值,
? f ?(0) ? 0 ? ∴ ? f ?(1) ? 0 ? f ?(2) ? 0 ? ?b ? 0 ? 即 ? 2a ? b ? 2 ? 0 ? 4a ? b ? 8 ? 0 ?



a?

1 2

2 3 1 2 x ? x ? 3x ? 1 3 2

????????. 7

令 M ( x,

y) ,

?x ? b ? 2 则 ? ? y ? a ?1

?a ? y ?1 ∴ ? ?b ? x ? 2

?x ? 2 ? 0 ? ∴ ?2 y ? x ? 2 ? 0 ?4 y ? x ? 6 ? 0 ?

故点 M 所在平面区域 S 为如图△ABC,
3 E (0, ? ) , 2

易得 A(?2, 0) , B(?2, ? 1) , 同时 DE 为△ABC 的中位线, ∴ 所求一条直线 L 的方程为:

C (2, ? 2) ,

D(0, ? 1) ,

S?ABC ? 2

1 S ?DEC ? S四边形ABED 3
x?0

另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 设直线 L 方程 为 y ? kx ,它与 AC,BC 分别交于 F、G, 则 k ? 0 , S四边形DEGF ? 1

? y ? kx 由 ? ?2 y ? x ? 2 ? 0 ? y ? kx 由 ? ?4 y ? x ? 6 ? 0

得点 F 的横坐标为: xF ? ?

2 2k ? 1 6 4k ? 1

得点 G 的横坐标为: xG ? ?

∴ S四边形DEGF ? S?OGE ? S?OFD ? 解得: k ?
1 2

1 3 6 1 2 ? ? ? ? 1? ? 1 即 16k 2 ? 2k ? 5 ? 0 2 2 4k ? 1 2 2k ? 1
故这时直线方程为: y ?
1 x 2



k??

5 (舍去) 8

综上,所求直线方程为: x ? 0 或
y? 1 x 2

.?????.????.12 分 由 f ?( x) ? 2 x2 ? 2ax ? b 及 f ( x) 在 x ? (0, 1) 取得极大值且在 x ? (1, 2) 取得

(Ⅱ) 解法二: 极小值,

? f ?(0) ? 0 ? ∴ ? f ?(1) ? 0 ? f ?(2) ? 0 ?

?b ? 0 ? 即 ? 2a ? b ? 2 ? 0 ? 4a ? b ? 8 ? 0 ?

令 M ( x,

y) ,

?x ? b ? 2 则 ? ? y ? a ?1

?a ? y ?1 ∴ ? ?b ? x ? 2

?x ? 2 ? 0 ? ∴ ?2 y ? x ? 2 ? 0 ?4 y ? x ? 6 ? 0 ?

故点 M 所在平面区域 S 为如图△ABC,
3 E (0, ? ) , 2

易得 A(?2, 0) , B(?2, ? 1) , 同时 DE 为△ABC 的中位线,

C (2, ? 2) ,

D(0, ? 1) ,

S?ABC ? 2

1 S ?DEC ? S四边形ABED 3

∴所求一条直线 L 的方程为: x ? 0

另一种情况由于直线 BO 方程为: y ?
1 ? ? y? x 由 ? 2 ? ?2 y ? x ? 2 ? 0

1 x , 设直线 BO 与 AC 交于 H , 2

1 得直线 L 与 AC 交点为: H (?1, ? ) 2

∵ S?ABC ? 2 ,

1 1 1 S ?DEC ? ? ? 2 ? , 2 2 2

1 1 1 1 S?ABH ? S?ABO ? S?AOH ? ? 2 ?1 ? ? 2 ? ? 2 2 2 2
∴ 所求直线方程为: x ? 0 或 y ?
1 x 2

3、 (根的个数问题)已知函数 f(x) ? ax3 ? bx2 ? (c ? 3a ? 2b)x ? d (a ? 0) 的图象如图所示。

(Ⅰ)求 c、 d 的值;
) )的 切 线 方 程 为 (Ⅱ)若函数 f (x) 的 图 象 在 点 ( 2 , f ( 2处 3 x? y? 1 1 ? ,求函数 0 f ( x )的解析式;

(Ⅲ)若 x0 ? 5, 方程 f (x) ? 8a 有三个不同的根,求实数 a 的取值 范围。 解:由题知: f ?(x) ? 3ax2 ? 2bx+c-3a-2b (Ⅰ)由图可知 函数 f ( x )的图像过点( 0 , 3 ),且 f ??1? = 0

?d ? 3 ?d ? 3 得? ?? ?c ? 0 ? 3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0
(Ⅱ)依题意
f ??2? = – 3 且 f ( 2 ) = 5

?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 解得 a = 1 , b = – 6 ? 8 a ? 4 b ? 6 a ? 4 b ? 3 ? 5 ?
所以 f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 (Ⅲ)依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a>0 ) 由 f ??5? = 0 ? b = – 9a ①

f ?? x ? = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b

若方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根,当且仅当 由① ② 所以 当 得 – 25a + 3<8a<7a + 3 ?

满足 f ( 5 )<8a<f ( 1 ) ②

1 <a<3 11

1 <a<3 时,方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根。???? 12 分 11 1 4、 (根的个数问题)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? x ? 1(a ? R ) 3

(1) 若函数 f ( x) 在 x ? x1 , x ? x2 处取得极值, 且 x1 ? x2 ? 2 , 求 a 的值及 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ?
1 1 5 ,讨论曲线 f ( x) 与 g ( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? (?2 ? x ? 1) 的交点个数. 2 2 6

解: (1) f' ( x) ? x2 ? 2ax ? 1

? x1 ? x2 ? 2a, x1 ? x2 ? ?1
? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4a 2 ? 4 ? 2
? a ? 0 ???????????????????????????2 分

f ?( x) ? x2 ? 2ax ? 1 ? x2 ? 1

令 f ?( x) ? 0 得 x ? ?1, 或x ? 1 令 f ?( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 1 ∴ f ( x) 的单调递增区间为 (??, ?1) , (1, ??) ,单调递减区间为 (?1,1) ????5 分
1 1 5 (2)由题 f ( x) ? g ( x) 得 x3 ? ax 2 ? x ? 1 ? x 2 ? (2a ? 1) x ? 3 2 6 1 1 1 即 x 3 ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? ? 0 3 2 6 1 1 1 令 ? ( x) ? x3 ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? (?2 ? x ? 1) ????????6 分 3 2 6

?? ?( x) ? x2 ? (2a ? 1) x ? 2a ? ( x ? 2a)( x ? 1)
令 ? ?( x) ? 0 得 x ? 2a 或 x ? 1 ?????????????????7 分
?a ? 1 2

当 2a ? ?2 即 a ? ?1 时

x

?2

(?2,1)

1

? ?( x )


?8a ? 9 2

? ( x)

a

9 ? 0 , a ? 0 ,有一个交点;??????????9 分 2 1 当 2a ? ?2 即 ?1 ? a ? 时, 2

此时, ?8a ?

x

?2

(?2, 2a)

2a 0

(2a,1)

1

? ?( x )
? ( x)
?8a ? 9 2





2 2 1 a (3 ? 2a) ? 3 6

a

2 1 ? a 2 (3 ? 2a) ? ? 0 , 3 6 9 9 ∴当 ?8a ? ? 0 即 ?1 ? a ? ? 时,有一个交点; 2 16 9 9 当 ?8a ? ? 0,且a ? 0 即 ? ? a ? 0 时,有两个交点; 2 16 1 9 当 0 ? a ? 时, ?8a ? ? 0 ,有一个交点.?????????13 分 2 2

综上可知,当 a ? ? 当?

9 1 或 0 ? a ? 时,有一个交点; 16 2

9 ? a ? 0 时,有两个交点.?????????????14 分 16

5、 (简单切线问题)已知函数 f ( x) ?
g ( x) ? f ( x) ? 3bx ? 3. a2

x3 2 10 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 ,函数 2 5 a

(Ⅰ) 若函数 g ( x) 在 x ? 1 处有极值,求 g ( x) 的解析式; (Ⅱ) 若函数 g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上为增函数,且 b 2 ? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上都成立,求 实数 m 的取值范围. (1)∵f′(x)= 3/a2 ?x2, ∴由 3/a2 ?x2=3 得 x=±a, 即切点坐标为(a,a) , (-a,-a) ∴切线方程为 y-a=3(x-a) ,或 y+a=3(x+a) (2 分) 整理得 3x-y-2a=0 或 3x-y+2a=0 解得 a=±1, ∴f(x)=x3. ∴g(x)=x3-3bx+3(4 分) ∵g′(x)=3x2-3b,g(x)在 x=1 处有极值, ∴g′(1)=0, 即 3×12-3b=0,解得 b=1 ∴g(x)=x3-3x+3(6 分) (2)∵函数 g(x)在区间[-1,1]上为增函数, ∴g′(x)=3x2-3b≥0 在区间[-1,1]上恒成立, ∴b≤0, 又∵b2-mb+4≥g(x)在区间[-1,1]上恒成立, ∴b2-mb+4≥g(1) (8 分) 即 b2-mb+4≥4-3b,若 b=0,则不等式显然成立,若 b≠0, 则 m≥b+3 在 b∈(-∞,0)上恒成立 ∴m≥3. 故 m 的取值范围是[3,+∞)


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