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江西省赣州市上犹三中2013届高三上学期期中考试数学(文)试题


上犹三中 2013 届高三上学期期中考试数学(文)试题

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、集合 A ? {x | x ? 2 x ? 0} , B ? {x | y ? lg(1 ? x)}

,则 A ? B 等于
2





A、 {x | 0 ? x ? 1}

B、 {x |1 ? x ? 2}

C、 {x |1 ? x ? 2}
)

D、 {x | 0 ? x ? 1}

2、函数 f ( x) ? x ? lg x ? 3 的零点所在区间为( A (3, ??) B(2,3)

C(1,2)

D(0,1)

3.已知在等比数列 {a n } 中, a1 ? a3 ? 10, a 4 ? a6 ? 值为( 1 A. 4 ) B.
1 2

5 ,则等比数列 {a n } 的公比 q 的 4

C.2

D.8

4、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积 为( )

A、 12 3

B、6

C、 27 3

D、 36 3

5 已知向量 a, b , 满足 (a ? 2b)( a ? b) ? ?6 , a ? 1, b ? 2 , a与b 的夹角为 且 则 ( A.



? 4

B.

? 3

C.

? 6

D.

2? 3

6、函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b )的图象如下面右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的图 象是 ( )

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7.已知直线 l 、 m ,平面 ?、? ,则下列命题中: ①.若 ? // ? , l ? ? ,则 l // ? ③.若 l // ? , m ? ? ,则 l // m 其中,真命题有( A.0 个 ) C.2 个 D.3 个 ②.若 ? // ? , l ? ? ,则 l ? ? ④.若 ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l ,则 m ? ? .

B.1 个

8 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?)( A ? 0, ? ? 0,| ? | ? 如图示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移

?

? 个单位后,得到的 6

) 的部分图象 2

图象解析式为( A.y= sin 2x

) B.y= sin(2 x ?

?
6

)

C.y= sin(2 x ?

2? ) 3

D.y= sin(2 x ?

?
6

)

? x ? ?1 ? ? ? ? ? 9.已知向量 a ? ( x ? z,1), b ? (2, y ? z ) ,且 a ? b ,若变量 x, y 满足约束条件 ? y ? x ?3 x ? 2 y ? 5 ?
则 z 的最大值为 A.1 ( B.2 ) C.3 D.4
?

10、如下图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有 n (n ? 1 , n ? N ) 个点,相应的图案中总的点数记为 an ,则

9 9 9 9 ? ? ? ?? ? ?( ) a2 a3 a3a4 a4 a5 a2012 a2013

2010 2011 2012 B、 C、 2011 2012 2013 二、填空题: 本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) (
A、
2

D、

2013 2012

11、 a , , 成等比数列, 若 则函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像与 x 轴交点的个数为_______. b c
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12、曲线 C: f ( x) ? x ln x( x ? 0) 在 x =1 处的切线方程为_______

13.已知 tan ? ? 2 ,则 sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2cos2 ? 的值为__________

??? ??? ???? ? ? ? 14. 已知三个非零向量OA, OB, OC.且A, B, C三点共线,数列?an ?为等差数列,Sn为其 ??? ? ??? ? ??? ? 前n项和. OA=a2 OB ? a2012 OC , 则S2013 ? ____ 若
15、已知函数 y ? f (x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ? [ ? 1 , 1 ]时, f ( x) ? x ,则
2

y ? f (x) 与 g ( x) ? log5 x 的图象的交点个数为
??? ?

.

三、解答题(本大题共 6 小题,16—19 每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分) 16 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量 m ? ( 2 cos x , 3 ) , n ? ( 1 , sin 2 x ) , 函 数
2

???

??? ??? ? f ( x) ? m ? n

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期及当 x ? 0,

? ?? ? 2 ? 时,函数 f ( x) 的值域; ? ?

(2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 f (C ) ? 3 , c ? 1 , ab ? 2 3 ,且 a ? b , 求 a, b 的值. 17. (本小题满分 12 分)如图, A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 P 在单位圆上,

?AOP ? ? (0 ? ? ? ? ) , OQ ? OA ? OP ,四边形 OAQP 的面积为 S .

(1)求 OA ? OQ ? S 的最大值及此时 ? 的值 ? 0 ; (2)设点 B 的坐标为 (? , ) , ?AOB ? ? ,在(1)的条件下,求 tan(? ? ? 0 ) 的值. 18(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若当 x ? [1, ??) 时, f ( x) ?

3 4 5 5

1 3 x ? bx 2 ? 2 x ? a, x ? 2 是 f ( x) 的极值点, 3

2 ? a 2 恒成立,求 a 的取值范围. 3

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ABC ? A1B1C1 ?ABC ? 90 , AB ? 4 ,BC ? 4 , 19(本小题满分 12 分)如图, 直三棱柱 中,
?

BB1 ? 3

,M、N 分别是

B1C1

和 AC 的中点.

(1)求异面直线 AB1 与 C1 N 所成的角的余弦;

(2)求三棱锥 M ? C1CN 的体积. 20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? e , g ? x ? ? ax ? 1( a 是不为零的常数且 a ? R ) 。
x

(1)讨论函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调性; (2)当 a ? ?1 时,方程 f ? x ? ? g ? x ? ? t 在区间 ? ?1,1? 上有两个解,求实数 t 的取值范围;

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx(a ? 0) 的导函数 f ' ( x) ? ?2 x ? 7, 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,点 Pn (n, Sn )(n ? N* ) 均在函数 y ? f (x) 的图象上. (1)求数列 {a n } 的通项公式及 S n 的最大值; (2)令 bn ? 2 an ,其中 n ? N* ,求 {nbn } 的前 n 项和.
高三期中考试文科数学参考答案 一选择题

DB B DB A C DCB

二、填空题:

? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 2? ∴函数 f ( x) 的最小周期 T ? ??
2
当 x ? ? 0,

?

………3 分 ………4 分

? ? ? 7? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 时, 2 x ? 6 ? ? 6 , 6 ? , sin(2 x ? 6 ) ? ? ? 2 ,1? 。 ? 2? ? ? ? ?

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∴函数 f ( x) 的值域为 ? 0,3? ………7 分 (2) f (C ) ? 2 sin(2C ?

?
6

) ?1 ? 3

? sin(2C ? ? ) ? 1
6
………9 分 ………10 分

? C 是三角形内角,∴ 2C ?
∴ cos C ?

? ? ? ? 即: C ? 6 2 6
即: a 2 ? b 2 ? 7 .

b2 ? a2 ? c2 3 ? 2ab 2

将 ab ? 2 3 代入可得: a 2 ? ∴a ?
?

12 ? 7 ,解之得: a 2 ? 3或4 2 a
………11 分

3或2 ,? b ? 2或 3

a ? b ,∴ a ? 2 , b ? 3 .

17(本小题满分 12 分)

解: (1)由已知, A 、 P 的坐标分别为(1,0) cn ) ? 、o i, ss (

? ,

??? ???? ? ???? ? OQ ? (1 ? cos ? ,sin ? ) , OA ? OQ ? 1 ? cos ? ,又 S ? sin ? , ??? ???? ? ? OA ? OQ ? S ? sin ? ? cos ? ? 1
= 2 sin(? ? 故? ? ………………………………… 4 分

?
4

) ? 1(0 ? ? ? ? ) , ……………………… 6 分

?
4

时 OA ? OQ ? S 取最大值 2 ? 1 ,所以 ?0 ?

?
4

. ……………………… 8 分

(2)? cos ? ? ? ∴ tan(? ? ? 0 ) =

3 4 4 , sin ? ? ,∴ tan ? ? ? 5 5 3

……………………… 10 分

tan ? ? tan ? 0 1 =- .…………………………………… 12 分 1 ? tan ? tan ? 0 7

由 f '( x) ? 0 得 x ? 2 或 x ? 1,∴函数 f ( x) 的单调增区间为 (??,1) , (2, ??) ;
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由 f '( x) ? 0 得 1 ? x ? 2 ,∴函数 f ( x) 的单调减区间为 (1, 2) , (2)由(1)知,函数 f ( x) 在 (1, 2) 上单调递减,在 (2, ??) 上单调递增 ∴当 x ? 2 时,函数 f ( x) 取得最小值, f ( x) min ? f (2) = a ?

2 , 3
B1 M C1 H Q A1

2 2 ? a 2 恒成立等价于 a 2 ? f ( x)min ? , x ? [1, ??) 3 3 2 即 a ? a ? 0 ? 0 ? a ? 1。

x ? [1, ??) 时, f ( x) ?

19,解: (1)过A作AQ∥ C1 N 交 A1C1 于Q,连结 B1Q ,

? ∠B1AQ为异面直线AB1与C1N所成的角(或其补角) .……2分
根据四边形 AA1C1C 为矩形,N是中点,可知Q为 A1C1 中点

B C

N A

计算 AB1 ? 5, B1Q ? 2 2 , AQ ? 17 由已知条件和余弦定理 可得 cos ?B1 AQ ?

……3分

B1 M C1

17 5

A1

……5分
B

? 异面直线AB1与C1N所成的角的余弦为 17 5

…6分
N A

P C

(2)方法一:过 M 作 MH ? A1C1 于H,面 A1 B1C1 ? 面 AA1C1C 于 A1C1

? MH ? 面 AA1C1C
由条件易得: MH ?

……9分

2

……11分 ……12分

VM ? NCC1 ?

1 1 1 1 ? NC ? C1C ? MH ? ? ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 2 3 2 3 2

方法二:取BC的中点P,连结MP、NP,则MP∥ BB1

? MP ? 平面ABC,
又 NP ? 平面ABC ,? MP ? NP 又∵ NP // AB , ∴ NP ? BC

……9分

∴ NP ? 平面 BCC1 B1

VM ? NCC1 ? V N ?C1CM

1 AB ? 2 , 2 1 1 1 1 ? ? MC1 ? C1C ? NP ? ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 3 2 3 2
……11分 PN ?

……12分

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所以 F ? x ? 在区间 (??, ?1 ? ) 上是减函数,在区间 (?1 ? 当 a ? 0 时, F ' ? x ? ? 0 ? x ? ?1 ?

1 a

1 , ??) 上是增函数;……4 分 a

1 , a
1 , ??) 上是减函数;……7 分 a

所以 F ? x ? 在区间 (??, ?1 ? ) 上是增函数,在区间 (?1 ?

1 a

(2)当 a ? ?1 时,由(1)知道 F ? x ? 在区间 ? ??, 0 ? 上是增函数,在区间 ? 0, ?? ? 上是减函 数,所以当 x ? 0 时取得极大值 F ? 0 ? ? 1 ,……………………9 分

2 , F ?1? ? 0 ,方程 f ? x ? ? g ? x ? ? t 在区间 ? ?1,1? 上有两个解, e 2 实数 t 的取值范围是 [ ,1) ;…………………………………………13 分 e
又 F ? ?1? ? 21 解: (1)? f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) ,? f ' ( x) ? 2ax ? b .
2

由 f ' ( x) ? ?2 x ? 7 得: a ? ?1, b ? 7, 所以 f ( x) ? ? x ? 7 x .
2
2 又因为点 Pn (n, S n )(n ? N* ) 均在函数 y ? f (x) 的图象上,所以 S n ? ?n ? 7 n .

当 n=1 时, a1 ? S1 ? 6 ; 当 n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ? ?2n ? 8,

? an ? ?2n ? 8(n ? N? ) .
令 an ? ?2n ? 8 ? 0, 得n ? 4, ∴当 n=3 或 n=4 时, S n 取得最大值 12.
* 综上, an ? ?2n ? 8(n ? N ) ,当 n=3 或 n=4 时, S n 取得最大值 12.

(2)由题意得 b1 ? 所以

2 6 ? 8, bn ? 2 ?2 n ?8 ? 2 ? n ? 4 ,

bn ?1 1 1 ? ,即数列 {bn } 是首项为 8,公比是 的等比数列, bn 2 2

1 bn ? 8( ) n?1 ? 2 4?n ,故 {nbn } 的前 n 项和 Tn ? 1 ? 2 3 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 ? n? 4 , ① 2
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1 Tn ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 ?n? 4 ? n ? 2 ?n?3 , 2 1 所以①-②得 Tn ? 2 3 ? 2 2 ? ? ? 2 ?n ? 4 ? n ? 2 ?n ?3 , 2 1 n 16[1 ? ( ) ] 2 ? n ? 2 4?n ? 32 ? (2 ? n)2 4?n . ? Tn ? 1 1? 2



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