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【优化方案】2014届高考数学9.7 棱柱与棱锥(A、B) 随堂检测(含答案解析)


如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=CC1=2,AC⊥BC,点 D 是 AB 的中点.

(1)求证:AC1∥平面 CDB1; (2)求点 B 到平面 CDB1 的距离; (3)求二面角 B-B1C-D 的大小. 解:法一:(1)证明:连结 BC1,设 BC1 与 B1C 的交点为 E,连结 DE.

∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴DE∥AC1. ∵DE?平面 CDB1,AC1?平面 CDB1,∴AC1∥平面 CDB1. (2)设点 B 到平面 CDB1 的距离为 h. 在三棱锥 B1-BCD 中,∵VB1-BCD=VB-B1CD,且 B1B⊥平面 BCD,∴S△BCD· 1B= B S△B1CD· h. 1 易求得 S△BCD=1,S△B1CD= CD· 1D= 3, B 2 S△BCD· 1B 2 3 B ∴h= = . 3 S△B1CD 2 3 即点 B 到平面 CDB1 的距离是 . 3 (3)在平面 ABC 内作 DF⊥BC 于点 F,过点 F 作 FG⊥B1C 于点 G,连结 DG. 易证明 DF⊥平面 BCC1B1,从而 GF 是 DG 在平面 BCC1B1 内的射影, 根据三垂线定理得 B1C⊥GD. ∴∠DGF 是二面角 B-B1C-D 的平面角. 1 1 2 易求得 DF= AC=1,GF= BE= . 2 2 2 DF 在 Rt△DFG 中,∵tan∠DGF= = 2, GF ∴二面角 B-B1C-D 的大小是 arctan 2. 法二:在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AC=BC=CC1=2,AC⊥BC, ∴AC、BC、CC1 两两垂直. 如图,以 C 为原点,直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标 系, 则 C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),D(1,1,0).

(1)证明:设 BC1 与 B1C 的交点为 E,则 E(0,1,1). → → ∵DE=(-1,0,1),AC1=(-2,0,2), → 1→ ∴DE= AC1,∴DE∥AC1. 2 ∵DE?平面 CDB1,AC1?平面 CDB1,∴AC1∥平面 CDB1. (2)同法一 (3)在平面 ABC 内作 DF⊥BC 于点 F,过点 F 作 FG⊥B1C 于点 G,连结 DG. 易证明 DF⊥平面 BCC1B1,从而 GF 是 DG 在平面 BCC1B1 内的射影,根据三垂线定理 得 B1C⊥GD. ∴∠DGF 是二面角 B-B1C-D 的平面角. 1 1 易知 F(0,1,0),G(0, , ), 2 2 1 1 1 1 → → ∵GF=(0, ,- ),GD=(1, ,- ), 2 2 2 2 → → GF· GD 3 → → ∴cos〈GF,GD〉= = . 3 → → |GF||GD| 3 ∴二面角 B-B1C-D 的大小是 arccos . 3


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