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2010年全国高中数学联赛贵州省预赛试题及答案[1]


声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》

2010 年全国高中数学联赛 贵州赛区预赛
试题所涉及的知识范围不超出现行 《全日制普通高中高级中学数学教学大纲》 中所规定的教学内容 和要求,在方法的要求上有所提高,主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况,包括 8 道填空题

和 3 道解答题,全卷满分 120 分,考试时间为 150 分钟.

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一、 填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1、已知函数 f ( x ) ?
a
x ? 2 ax ? 3a ,
2 2



且方程

f (x) ? 8

有三个不同的实根,则实数

=

. 2 、 设 ?x? 表 示 不 超 过 .
?

x

的 最 大 整 数 , 则

? lg 1 ? ? ? lg 2 ? ? ? lg 3 ? ? ? ? ? ? ? lg 2 0 1 0 ? ?

3、l , l
1

2

, ? ? ?, l1 0 0

为 1 0 0 条共面且不同的直线, 若其中编号为 4 k ( k ? N ) 的直线互

相平行,编号为 4 k ? 1 的直线都过定点 A .则这 1 0 0 条直线的交点个数最多 为 . 4、若将半径为 1 2 c m 四个篮球在水平地面上任意堆放,则你能堆放的最大 高度是
cm

.
2

5、若抛物线 y

? 2x

的焦点是 F ,准线是 l ,点 M (2, 个.
c

m )

是抛物线上一点,则

经过点 F 、 M 且与 l 相切的圆一共有

6、若直线 a x ? b y ? 2 ? 0 ( a ? 0, b ? 0 ) 和函数 y ? lo g 恒过同一个定点,则 7、 若 e 是 .
sin ?

( x ? 2 ) ? 2 ( c ? 0 且 c ? 1) 的图象

1 a

?

1 b

的最小值为
co s ?

.
? , 且 ? ? ?0 , 2 ? , 则 角 ? 的 取 值 范 围

? ln co s ? ? e

? ln sin ?

8、已知半径分别为 2, 3 的两圆外切于 T ,直线 M N 为此两圆的外公切线且
M ,N

分别为切点,则

MT NT

?



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二、解答题(第 9 小题 16 分,第 10 小题 20 分,第 11 小题 20 分,共 56 分) 9、已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

,过坐标原点 O 的直线 l 交椭圆于 A 、 B 两
??? ???? ? ? O B ?O C

点, C 是椭圆上的一点,且满足 O A ?O C (1)求证:
1 ??? ? OA
2

??? ???? ?



1 ? ???? OC

2

是定值;

(2)求 ? A B C 面积的最小值.

10、已知数列 ? a ? 满足 a
n n

1

? 1, a 2 ? 6, 4 a n ? 1 ? a n ? 1 ? 4 a n ( n ? 2 ) 。

(1)求数列 ? a ? 的通项公式; (2)求数列 ? a ? 的前 n 项和 S .
n
n

11、已知 a , b , c 是 R t ? A B C 的三边,c 为斜边,若 y 范围.

?

a ?b ?c
3 3

3 2

c(a ? b ? c)

,求 y 的取值

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1、 方程 线y
?8


x ? 2 ax ? 3a
2 2 2

f (x) ? 8

有三个不同的实根, 即函数 y ?
f (a ) ? 8 ? a ? 2 a ? 3a
2 2

的图象与直
2

有三个交点,由图象知,

?8? a ? ?

.

2、因为
1 ? k ? 9 ? ? lg k ? ? 0, 1 0 ? k ? 9 9 ? ? lg k ? ? 1,
1 0 0 ? k ? 9 9 9 ? ? lg k ? ? 2 , 1 0 0 0 ? k ? 2 0 1 0 ? ? lg k ? ? 3

所以
? lg 1 ? ? ? lg 2 ? ? ? lg 3 ? ? ? ? ? ? ? lg 2 0 1 0 ? ? 9 0 ? 1 ? 9 0 0 ? 2 ? 1 0 1 1 ? 3 ? 4 9 2 3 .

3、100 条直线任意两条的组合有 C ,其中编号为 4 k ( k ? N ) 的直线互相平
2

?

100

行,编号为 4 k ? 1 的直线都过定点 A ,所以这 100 条直线的交点个数最多为
C100 ? C 25 ? C 25 ? 1 ? 4 3 5 1 .
2 2 2

4、四个篮球在水平地面上任意堆放的最大高度应是四个篮球两两相切的 堆放在地面上,其中球心相连形成棱长为 2 4 cm 的四面体,此四面体的高为
8 6 cm

,所以能堆放的最大高度应是 2 4 ? 8
2

6cm

.
? ?2

5、因为点 M ( 2 , m ) 在抛物线 y
?1 ? F ? ,0? ?2 ?

? 2x

上,所以 m

,即 M ( 2 , ? 2 ) ,又焦点

,由抛物线的定义知,过点 F 、 M 且与 l 相切的圆的圆心即为线段 F M 的

垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有四个,故过点 F 、 M 且与 l 相切 的圆共有四个. 6、因为函数
y ? lo g c ( x ? 2 ) ? 2

的图象恒过点 ? ? 1, 2 ? ,故 ? a ? 2 b ?

2 ? 0 ,即

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1 2

a?b ?1.

又因为 a ? 0, b ? 0, 所以
1 a ? a 3 ?1 ?? 1 1 ? 3 b ? ? a ? b?? ? ? ? ? ? ? ? b ?2 2b 2 ?? a b ? 2 a 1 2



等号当且仅当 a 7、由
e
sin ?

?

2b

时成立.

? ln co s ? ? e

co s ?

? ln sin ? ? e

sin ?

? ln sin ? ? e

co s ?

? ln co s ?





f ( x ) ? e ? ln x
x

,则

f ( sin ? ) ? f ( co s ? )

,因为函数 f ( x ) ?

e ? ln x
x

在 ? 0 , ? ? ? 上是增

函数,所以 sin ?

? co s ? ? 0

,又因为 ? ? (0, 2 ? ) ,故
,

? ??

?? ? 4

? ?

? ? 3? ? ? 5 ? 3? ? ? 3? 7 ? ? , , ??? , ??? ??? ? 2 ? ? 2 4 ? ? 4 2 ? ? 2 4 ?
??

.
? ? ??

8、如图, ? C , ?

D

的半径分别为 2,3.设 ? M C T
D

,则 ? N D T

,

因为直线 M N 与 ? C , ?
M

相切于 M , N ,所以
N

C

T

D

?NMT ?

?
2

,?MNT ?

? ??
2

? ?NMT ? ?MNT ?

?
2

? ?M TN ?

?
2

,


? M T ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 co s ? ? 2 3 2 MT 6 ? N T ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 co s( ? ? ? ) ? ? ? 2 2 2 NT 3 ?MT ? NT ? MN 2 2 2 ? ? M N ? (3 ? 2 ) ? (3 ? 2 )
2 2 2

.

注:也可用坐标法或平面几何法.

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9、由 O A ? O C

??? ???? ?

???? ??? ? ???? ??? ? ??? ???? ? ???? ??? ??? ? ? ? O B ?O C ? O C ? (O A ? O B ) ? 0 ? O C ? A B ? 0 ? O C ? A B ???? ??? ? ? OA .

又点 O 、 A 、 B 同为直线 l 上的三点,所以 O C (1) 设 OA
??? ? ???? ? r1 , O C ? r2 , ? xO A ? ?

,则 ? x O C

?? ?

?
2

. .

于是点 A 、 C 的坐标分别为 ? r 因为点 A 在椭圆上,所以

1

? ? ? ? c o s ? , r1 s in ? ? , ? r2 c o s (? ? ), r2 s in (? ? ) ? 2 2 ? ?

? r1 c o s ? r s in ? ? 1 ?1 ? 2 2 a b ? ? 2 ? ? 2 2 2 ? r2 c o s (? ? ) r2 s in (? ? ) 2 ? 2 ?1 ? 2 2 a b ?
2 2 2 2

? 1 cos ? s in ? ? , ? 2 ? 2 2 a b ? r1 ? ? 2 2 ? 1 ? s in ? ? c o s ? . 2 2 ?r2 a b ? 2
2 2

?

1 r1
2

?

1 r2
2

?

1 a
2

?

1 b
2

,



1 ??? ? OA

2

1 ? ???? OC

2

是一个定值.
? ? ??? ???? ? 1 ??? ???? A B ? O C ? O A ? O C ? r1 ? r2 . 由(1)得 2

(2) S

?ABC

1 a
2

?

1 b
2

? 2

1 r1
2

?

1 r2
2

? r1 r2 ?

2 1 a
2

?

1 b
2

?

2a b
2

2

2 2

a ?b

,

当r
2a b
2 2 2 2

1

? r2

,即当 A 、 B 、 C 三点共圆时等号成立。故 ? A B C 面积的最小值是

a ?b

.

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10、 (1)因为 a

1

? 1, a 2 ? 6, 4 a n ? 1 ? a n ? 1 ? 4 a n ( n ? 2 ) ,所以
n ?1

a n ? 1 ? 2 a n ? 2 ( a n ? 2 a n ? 1 ), a 2 ? 2 a 1 ? 4 ? a n ? 1 ? 2 a n ? 4 ? 2 ? a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?1?

an 2
n

?

1 2

? ( n ? 1) ? 1 ? n ?

1 2

? an ? (n ?

1 2

)?2

n

? a n ? ( 2 n ? 1) ? 2

n ?1

(2)由(1)知:
S n ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? ? ? ( 2 n ? 3) ? 2
2 n?2

? ( 2 n ? 1) ? 2

n ?1



①?2 :
2 S n ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? ? ? ( 2 n ? 3) ? 2
2 3 n ?1

? ( 2 n ? 1) ? 2

n



① ? ②:
?Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? 2
2 3 n ?1

? ( 2 n ? 1) ? 2
n

n

? 1?

2 (1 ? 2
2

n ?1

)

1? 2

? ( 2 n ? 1) ? 2 ? (3 ? 2 n ) ? 2 ? 3
n n

? S n ? ( 2 n ? 3) ? 2 ? 3


S n ? ( 2 n ? 3) ? 2 ? 3( n ? N )
n ?

.
2

11、因为 a , b , c 是 R t ? A B C 的三边, c 为斜边,所以 a 令?
? a ? c cos ? ? b ? c s in ? (0 ? ? ?

?b ? c
2

2

.

?
2

)

,所以
3 3 3 3 3

y ?

c c o s ? ? c s in ? ? c c ( c c o s ? ? c s in ? ? c )
2

2

?

c o s ? ? s in ? ? 1
3 3

(c o s ? ? s in ? ? 1)
2

2

? ?

(c o s ? ? s in ? )(c o s ? ? c o s ? ? s in ? ? s in ? ) ? 1 (c o s ? ? s in ? ? 1) (c o s ? ? s in ? ? 1)
?
2 2

(c o s ? ? s in ? )(1 ? c o s ? ? s in ? ) ? 1

又令 x ? co s ?

? sin ?

,因为 0 ? ?

?
2

,所以
2 s in (? ?
2

x ? c o s ? ? s in ? ?

?
4

) ? 1,

?

2?, ?

c o s ? ? s in ? ?

x ?1 2

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于是
x (1 ? y ? x ?1
2

)?1 ?

2 2 ( x ? 1)
2

2 ? 3x ? x 2 ( x ? 1) 2? x? x 2 ( x ? 1) ?x
? ?
2

3

? ?

( 2 ? x ? x )( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 ( x ? 1)
2

2

? 1 2

( 2 ? x )( x ? 1)

? 1?

显然 y 范围.

?1?

1 2

?x

在 x ? ? 1,

2? ?

上是减函数,所以 y ? ?1 ?

2 2

,

1? ? ? 2?

, 此即为 y 的取值


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