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2011届高考数学二轮复习课件2.8 函数模型及其应用


§2.8 函数模型及其应用 基础知识 自主学习
要点梳理
1.三种增长型函数模型的图象与性质 1.三种增长型函数模型的图象与性质 性 函 数 y=ax (a>1) y=logax (a>1) _______ 增函数 y=xn (n>0) ________ 增函数

质 (0,+∞)上 在(0,+∞)上 ________ 增函数 的增减性 增长速度

越来越快 越来越慢 相对平稳 ________ ________

随x增大逐渐 随x增大逐 随n值变 表现为与 渐表现为与 化而不同 图象的变化 x轴 ______平行 ______平行 ______平行 ______平行 y轴 2.三种增长型函数之间增长速度的比较 2.三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数y=ax (a>1)与幂函数y=xn (n>0) >1)与幂函数 与幂函数y (1)指数函数y 指数函数 在区间(0,+∞),无论n 在区间(0,+∞),无论n比a大多少,尽管在x的一定 (0,+∞) 大多少,尽管在x 范围内a 会小于x 但由于y 的增长速度_____ _____y 范围内ax会小于xn,但由于y=ax的增长速度_____y=xn 快于 的增长速度,因而总存在一个x 时有_______. 的增长速度,因而总存在一个x0,当x>x0时有_______. ax>xn

>1)与幂函数 与幂函数y (2)对数函数y=logax (a>1)与幂函数y=xn (n>0) 对数函数y 对数函数y=logax (a>1)的增长速度,不论a与n值的 对数函数y >1)的增长速度,不论a 的增长速度 大小如何总会______y 的增长速度, 大小如何总会______y=xn的增长速度,因而在定义域 ______ 慢于 logax<xn 内总存在一个实数x 时有____________. 内总存在一个实数x0,使x>x0时有____________. 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函 (1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函 数,但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上, 但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上, 因此在(0,+∞)上 总会存在一个x 因此在(0,+∞)上,总会存在一个x0,使x>x0时有 _____________. ax>xn>logax

3.常用的几类函数模型 3.常用的几类函数模型 (1)一次函数模型 f(x)=kx+b (k、b为常数,k≠0); (1)一次函数模型 )=kx+ 为常数, kx

k (2)反比例函数模型 为常数, (2)反比例函数模型 y = + b (k、b为常数,k≠0); x
a≠0); ≠0);

(3)二次函数模型 )=ax bx+ 为常数, (3)二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c (a、b、c为常数,

(4)指数函数模型 f(x)=a·bx+c (a、b、c为常数, )=a 为常数, (4)指数函数模型 a≠0,b>0,b≠1); ≠0,b>0,b≠1); (5)对数函数模型 (5)对数函数模型 f(x)=mlogax+n(m、n、a为常 数,m ≠0, a>0,a≠1); 0, >0,a≠1) (6)幂函数模型 )=ax 为常数, (6)幂函数模型 f(x)=axn+b(a、b、n为常数,a≠0, n≠1).

4.求解函数应用问题的思路和方法, 4.求解函数应用问题的思路和方法,我们可以用示意 求解函数应用问题的思路和方法 图表示为

5.实际问题中函数的定义域要特别注意,另外, 5.实际问题中函数的定义域要特别注意,另外,结果 实际问题中函数的定义域要特别注意 要回到实际问题中写答案. 要回到实际问题中写答案.

基础自测
1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控, 1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控,除了应征税 我国为了加强对烟酒生产的宏观调控 外还要征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元 外还要征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元, 70 不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100 不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100 100万瓶 元国家要征附加税为x 元国家要征附加税为x元(税率x%),则每年销售量 税率x 减少10x万瓶, 减少10x万瓶,为了要使每年在此项经营中收取的附 10 加税额不少于112万元, 加税额不少于112万元,则x的最小值为 112万元 A.2 解析 B.6 C.8 D.10
x ≥ 112, 依题意 (100 ? 10 x) ? 70 ? 100

(A)

解得2≤x≤8,则 的最小值为2. 解得2≤x≤8,则x的最小值为2. 2≤

2.从1999年11月 日起,全国储蓄存款征收利息税, 2.从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税,利 息税的税率为20%,由各银行储蓄点代扣代收,某人 息税的税率为20%,由各银行储蓄点代扣代收, 20% 2000年 2000年6月1日存入若干万元人民币,年利率为2%, 日存入若干万元人民币,年利率为2%, 2% 到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元, 2001年 日取款时被银行扣除利息税138.64元 138.64 则该存款人的本金介于 A.3万 A.3万~4万元 C.5万 C.5万~6万元 解析 则x·2%·20%=138.64, ·2%·20%=138.64, B.4万 B.4万~5万元 D.2万 D.2万~3万元 ( A)

设存入的本金为x 设存入的本金为x,

∴x =

1 386 400 = 34 660. 40

3.在一定范围内,某种产品的购买量y 吨与单价x 3.在一定范围内,某种产品的购买量y 吨与单价x元之 在一定范围内 间满足一次函数关系,如果购买1 每吨为800 间满足一次函数关系,如果购买1 000 吨,每吨为800 每吨为700 700元 一客户购买400 元;购买2 000 吨,每吨为700元;一客户购买400 吨, 购买2 单价应该是 A.820元 A.820元 解析 B.840元 B.840元 C.860元 C.860元 (C ) D.880元 D.880元

依题意,可设y与x的函数关系式为 依题意,可设y

y=kx+b,由x=800,y=1 000及x=700,y=2 000, kx+ =800,y 000及 =700,y 可得k 10,b 000,即 10x 可得k=-10,b=9 000,即y=-10x+9 000, 将y=400代入得x=860. =400代入得x 代入得

4.某物体一天中的温度T 单位:℃)是时间t 单位: 4.某物体一天中的温度T(单位:℃)是时间t(单位:h) 某物体一天中的温度 :℃)是时间 的函数: )=t +60,t=0表示中午12∶00,其后t 表示中午12∶00 的函数:T(t)=t3-3t+60,t=0表示中午12∶00,其后t 取正值,则下午3 取正值,则下午3时温度为 A.8℃ 解析 B.78℃ C.112℃ ( B ) D.18℃

由题意,下午3时,t=3,∴T(3)=78℃. 由题意,下午3 =3,

5.为了保证信息安全,传输必须使用加密方式, 5.为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一 为了保证信息安全 种方式其加密、解密原理如下: 种方式其加密、解密原理如下:
解密 明文 加密 密文 发送 密文

明文

已知加密为y 为明文, 为密文) 已知加密为y=ax-2 (x为明文,y为密文),如果明文 “3”通过加密后得到密文为“6”,再发送,接受 3”通过加密后得到密文为“6”,再发送, 通过加密后得到密文为 方通过解密得到明文“3”,若接受方接到密文为 方通过解密得到明文“3”, “14”,则原发的明文是______. 14”,则原发的明文是______. 4 解析 依题意y =3时 =6,故6=a 依题意y=ax-2中,当x=3时,y=6,故6=a3-2, 解得a=2.所以加密为y 因此, =14时 解得a=2.所以加密为y=2x-2,因此,当y=14时,由 所以加密为 2,解得 解得x 14=2x-2,解得x=4.

题型分类 深度剖析
题型一 一次、 一次、二次函数模型 【例1】如图所示,在矩形 如图所示, ABCD中 已知AB= ABCD中,已知AB=a,BC=b AB BC= (b<a),在AB,AD,CD, AB,AD,CD, CB上分别截取AE,AH,CG, CB上分别截取AE,AH,CG, 上分别截取AE CF都等于x CF都等于x,当x为何值时,四边形EFGH的面积最 都等于 为何值时,四边形EFGH的面积最 EFGH 大?并求出最大面积. 并求出最大面积. 思维启迪 依据图形建立四边形EFGH的面积S关于 依据图形建立四边形EFGH的面积S EFGH的面积 自变量x的目标函数, 自变量x的目标函数,然后利用解决二次函数的最值 问题求出S的最大值. 问题求出S的最大值.

设四边形EFGH的面积为S EFGH的面积为 解 设四边形EFGH的面积为S, 1 2 则S△AEH=S△CFG= x, 2 1 (a )(b S△BEF=S△DGH= (a-x)(b-x), 2 1 2 1 ∴ S = ab ? 2 [ x + (a ? x)(b ? x)] 2 2 a + b 2 ( a + b) 2 2 = ?2 x + (a + b) x = ?2( x ? ) + , 4 8 由图形知函数的定义域为{ |0<x 由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}. 0<b ,∴0<b a + b , 又0<b<a,∴0<b< 2

a+b ≤3b 若 ≤b,即a≤3b时, 4 ( a + b) 2 a+b ; 则当 x = 时,S有最大值 8 4 a+b > b, 即a>3b时,S(x)在(0,b]上是增函数, >3b 0,b 上是增函数, 若 4 此时当x 此时当x=b时,S有最大值为 a + b 2 ( a + b) 2 ? 2(b ? ) + = ab ? b 2 , 4 8 a+b 综上可知, ≤3b 综上可知,当a≤3b时,x = 时, 4 2 ( a + b) , 四边形面积S 四边形面积Smax= 8

ab当a>3b时,x=b时,四边形面积Smax=ab-b2. >3b 四边形面积S

探究提高

二次函数是我们比较熟悉的基本函数, 二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建

立二次函数模型可以求出函数的最值, 立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的 最优化问题,值得注意的是: 最优化问题,值得注意的是:一定要注意自变量的取 值范围, 值范围,根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的 区间之间的位置关系讨论求解. 区间之间的位置关系讨论求解.

知能迁移1 知能迁移1

某人要做一批地砖,每块地砖(如图1 某人要做一批地砖,每块地砖(如图1所

示)是边长为0.4米的正方形ABCD,点E、F分别在 是边长为0.4米的正方形ABCD, 0.4米的正方形ABCD 边BC和CD上,△CFE、△ABE和四边形AEFD均由 BC和CD上 CFE、 ABE和四边形AEFD均由 和四边形AEFD 单一材料制成,制成△CFE、 ABE和四边形AEFD 单一材料制成,制成△CFE、△ABE和四边形AEFD 和四边形 的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若 的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若 3∶2∶1. 将此种地砖按图2所示的形式铺设, 将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色 阴影部分成四边形EFGH. 阴影部分成四边形EFGH. EFGH

图1

图2

(1)求证:四边形EFGH是正方形; (1)求证:四边形EFGH是正方形; 求证 EFGH是正方形 (2)E (2)E、F在什么位置时,做这批地砖所需的材料费用 在什么位置时, 最省? 最省? (1)证明 (1)证明 图2是由四块图1所示地砖组成,由图1依次 是由四块图1所示地砖组成,由图1

逆时针旋转90°,180°,270°后得到, 逆时针旋转90° 180°,270°后得到, 90 ∴EF=FG=GH=HE, EF=FG=GH=HE, ∴△CFE为等腰直角三角形, CFE为等腰直角三角形, 为等腰直角三角形 ∴四边形EFGH是正方形. 四边形EFGH是正方形. EFGH是正方形

(2)解 CE= BE=0.4 =0.4(2)解 设CE=x,则BE=0.4-x, 每块地砖的费用为W, 每块地砖的费用为W 制成△CFE、 ABE和四边形AEFD三种材料的每平 制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平 和四边形AEFD 方米价格依次为3 方米价格依次为3a、2a、a(元),

0.2x+0.24) =a(x2-0.2x+0.24)

1 2 1 W = x ? 3a + × 0.4 × (0.4 ? x) × 2a 2 2 1 2 1 + [0.16 ? x ? × 0.4 × (0.4 ? x)]a 2 2

0<x<0.4) =a[(x-0.1)2+0.23] (0<x<0.4), [(x 由a>0,当x=0.1时,W有最小值,即总费用最省. >0, =0.1时 有最小值,即总费用最省. CE=CF=0.1米时,总费用最省. =0.1米时 答 当CE=CF=0.1米时,总费用最省.

题型二

分段函数模型

【例2】某公司研制出了一种新产品,试制了一批样 某公司研制出了一种新产品, 品分别在国内和国外上市销售, 品分别在国内和国外上市销售,并且价格根据销售 情况不断进行调整,结果40天内全部销完. 情况不断进行调整,结果40天内全部销完.公司对 40天内全部销完 销售及销售利润进行了调研,结果如图所示, 销售及销售利润进行了调研,结果如图所示,其中 图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是 一条折线)、图 )、 一条抛物线段) 国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系, 国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系,图 ③是每件样品的销售利润与上市时间的关系. 是每件样品的销售利润与上市时间的关系.

(1)分别写出国外市场的日销售量f (1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t 分别写出国外市场的日销售量 与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g 的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关 与上市时间t 系; (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等 (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等 300万元 若有,请说明是上市后的第几天; 万元? 于6 300万元?若有,请说明是上市后的第几天;若 没有,请说明理由. 没有,请说明理由.

思维启迪

第(1)问就是根据图①和②所给的数据, (1)问就是根据图① 问就是根据图 所给的数据,

运用待定系数法求出各图象中的解析式;第(2)问 运用待定系数法求出各图象中的解析式; 先求得总利润的函数关系式, 先求得总利润的函数关系式,再将问题转化为方程是 否有解. 否有解. (1)图 是两条线段,由一次函数及待定系数法, 解 (1)图①是两条线段,由一次函数及待定系数法,

0 ≤ t ≤ 30, ?2t , 得f (t ) = ? ?? 6t + 240, 30 < t ≤ 40.
图②是一个二次函数的部分图象, 是一个二次函数的部分图象,

3 2 故g (t ) = ? t + 6t (0 ≤ t ≤ 40). 20

(2)每件样品的销售利润h (2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为 每件样品的销售利润 与上市时间t

故国外和国内的日销售利润之和F 与上市时间t 故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的 关系为

?3t ,0 ≤ t ≤ 20, h(t ) = ? ?60,20 < t ≤ 40.

3 2 ? ?3t (? 20 t + 8t ),0 ≤ t ≤ 20, ? 3 2 ? F (t ) = ?60(? t + 8t ),20 < t ≤ 30, 20 ? ?60(? 3 t 2 + 240),30 < t ≤ 40. ? 20 ?

当0≤t≤20时, 0≤t≤20时

3 2 9 3 F (t ) = 3t (? t + 8t ) = ? t + 24t 2 , 20 20 27 2 27 ∴ F ' (t ) = ? t + 48t = t (48 ? t ) ≥ 0, 20 20
∴F(t)在[0,20]上是增函数, 20]上是增函数, ∴F(t)在此区间上的最大值为 F(20)=6 000<6 300. 20) 当20<t≤30时,F (t ) = 60(? 3 t 2 + 8t ). 20<t≤30时 由F(t)=6 解得t 解得t= 300, 160t 300,得3t2-160t+2

20

100=0,

70 (舍去 舍去) (舍去)或t=30. 3

当30<t≤40时,F (t ) = 60(? 30<t≤40时 得F(t)<F(30)=6 300. )<F

由F(t)在(30,40]上是减函数, 30,40]上是减函数,

3 2 t + 240). 20

故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300 万元,为上市后的第30天 万元,为上市后的第30天. 30 探究提高 (1)分段函数主要是每一段自变量变化 (1)分段函数主要是每一段自变量变化 所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题, 所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各 段的变化规律分别找出来,再将其合到一起, 段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意 各段自变量的范围,特别是端点值. 各段自变量的范围,特别是端点值. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁, (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段 构造分段函数时 合理不重不漏. 合理不重不漏.

知能迁移2 知能迁移2

某公司生产一种电子仪器的固定成本为

000元 每生产一台仪器需增加投入100 100元 20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总

1 2 ? 收益满足函数: 收益满足函数: ( x ) = ? 400 x ? 2 x R ? ?80 000 ? 其中x是仪器的月产量. 其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数; 将利润表示为月产量的函数;

(0 ≤ x ≤ 400) , ( x > 400)

(2)当月产量为何值时公司所获利润最大?最大利 当月产量为何值时公司所获利润最大? 润是多少元?(总收益=总成本+利润) 润是多少元?(总收益=总成本+利润) ?(总收益

设月产量为x 解 (1)设月产量为x台, 则总成本为( 000+100x 则总成本为(20 000+100x)元,

? 1 2 从而 f ( x) = ?? 2 x + 300 x ? 20 000 (0 ≤ x ≤ 400). ? ?60 000 ? 100 x ( x > 400) ? 1 0≤x≤400时 (2)当0≤x≤400时, f ( x) = ? ( x ? 300) 2 + 25 000, 2 当x=300时,有最大值25 000; =300时 有最大值25 000;
000-100x是减函数, 当x>400时,f(x)=60 000-100x是减函数, >400时 000-100× f(x)<60 000-100×400<25 000. 所以, =300时 有最大值25 所以,当x=300时,有最大值25 000. 所以,当月产量为300台时,公司所获利润最大, 所以,当月产量为300台时,公司所获利润最大,最 300台时 大利润是25 000元 大利润是25 000元.

题型三

指数函数模型与幂函数模型

【例3】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然 某城市现有人口总数为100万人, 100万人 增长率为1.2%,试解答以下问题: 增长率为1.2%,试解答以下问题: 1.2% (1)写出该城市人口总数y 万人)与年份x (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的 写出该城市人口总数 函数关系式; 函数关系式; (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人); (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人); 计算10年以后该城市人口总数 0.1万人 (3)计算大约多少年以后,该城市人口将达到120万 (3)计算大约多少年以后,该城市人口将达到120万 计算大约多少年以后 120 人(精确到1年). 精确到1 (4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人, (4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人,年 如果20年后该城市人口总数不超过120万人 自然增长率应该控制在多少? 自然增长率应该控制在多少?

≈1.127, (参考数据:1.0129≈1.113,1.01210≈1.127, 参考数据:1.012 ≈1.113, lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.301 0,lg 1.012≈0.005, 9) lg 1.009≈0.003 9) 增长率问题是指数函数问题, 增长率问题是指数函数问题,利用指数 思维启迪 函数模型,构造函数. 函数模型,构造函数.

解 (1)1年后该城市人口总数为 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%) =100+100×1.2%=100× 2年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2% =100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)× =100× =100×(1+1.2%)2. 3年后该城市人口总数为 +100× y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2% =100× =100× =100×(1+1.2%)3. x年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)x. =100×

(2)10年后, (2)10年后,人口总数为 年后 100×(1+1.2%)10≈112.7(万人). 100× ≈112.7(万人). (3)设 年后该城市人口将达到120万人, (3)设x年后该城市人口将达到120万人, 120万人 即100×(1+1.2%)x=120, 100× 120 x = log1.012 = log1.012 1.20 ≈ 16(年). 100 (4)由100×(1+x ≤120,得(1+x (4)由100×(1+x%)20≤120,得(1+x%)20≤1.2, 两边取对数得20lg(1+x 两边取对数得20lg(1+x%)≤lg 1.2=0.079, 20lg(1+ 所以 lg(1 + x%) ≤ 0.079 = 0.003 95, 20 所以1+ %≤1.009,得 1+x 所以1+x%≤1.009,得x≤0.9, 即年自然增长率应该控制在0.9%. 即年自然增长率应该控制在0.9%.

探究提高

此类增长率问题, 此类增长率问题,在实际问题中常可以

用指数函数模型y (1+p 其中N是基础数, 用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长 率,x为时间)和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础 为时间)和幂函数模型y (1+x 其中a 数,x为增长率,n为时间)的形式.解题时,往往用到 为增长率, 为时间)的形式.解题时, 对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解. 对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解.

知能迁移3 1999年10月12日“世界60亿人口日”, 知能迁移3 1999年10月12日 世界60亿人口日” 60亿人口日 提出了“人类对生育的选择将决定世界未来” 提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主 题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前. 控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前. (1)世界人口在过去40年内翻了一番,问每年人口 世界人口在过去40年内翻了一番, 40年内翻了一番 平均增长率是多少? 平均增长率是多少? (2)我国人口在1998年底达到12.48亿,若将人口平 我国人口在1998年底达到12.48亿 1998年底达到12.48 均增长率控制在1%以内,我国人口在2008年底至多 均增长率控制在1%以内,我国人口在2008年底至多 1%以内 2008 有多少亿? 有多少亿?

以下数据供计算时使用: 以下数据供计算时使用:
数N 对数 lg N 数N 对数 lg N 1.010 1.015 1.017 0.007 3 12.48 1.096 2 1.310 0.117 3 13.11 1.117 6 2.000 0.301 0 13.78 1.139 2

0.004 3 0.006 5 3.000 5.000

0.477 1 0.699 0

设每年人口平均增长率为x 解 (1)设每年人口平均增长率为x,n年前的人口 数为y 数为y, 则y·(1+x)n=60,则当n=40时,y=30, ·(1+x =60,则当n=40时 =30, 即30(1+x)40=60,∴(1+x)40=2, 30(1+x =60, (1+x =2, 两边取对数, 40lg(1+x 2, 两边取对数,则40lg(1+x)=lg 2, lg 2 lg(1+x 525, 则lg(1+x)= =0.007 525, 40 1+x≈1.017, ∴1+x≈1.017,得x=1.7%. (2)依题意,y≤12.48(1+1%)10, 依题意, 12.48+10× 得lg y≤lg 12.48+10×lg 1.01=1.139 2, ∴y≤13.78,故人口至多有13.78亿. ≤13.78,故人口至多有13.78亿 13.78 答 每年人口平均增长率为1.7%,2008年人口至多有 每年人口平均增长率为1.7%,2008年人口至多有 1.7% 13.78亿 13.78亿.

题型四

函数的综合应用

【例4】(12分)有一个受到污染的湖泊,其湖水的体 (12分 有一个受到污染的湖泊, 积为V立方米, 积为V立方米,每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的 水量,都为r立方米.现假设下雨和蒸发正好平衡, 水量,都为r立方米.现假设下雨和蒸发正好平衡, 且污染物质与湖水能很好的混合. 且污染物质与湖水能很好的混合.用g(t)表示任一 时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数, 时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数,我们称其 为在时刻t时的湖水污染质量分数. 为在时刻t时的湖水污染质量分数.已知目前污染源 以每天p克的污染物质污染湖水, 以每天p克的污染物质污染湖水,湖水污染质量分数 r p p ?vt ≥0), 满足关系式 g (t ) = + [ g (0) ? ] e (p≥0),其中 r r (0)是湖水污染的初始质量分数 是湖水污染的初始质量分数. g(0)是湖水污染的初始质量分数.

(1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染的 当湖水污染质量分数为常数时, 初始质量分数; 初始质量分数;

p 求证: (2)求证:当g(0)< 时,湖泊的污染程度将越来越 r
严重; 严重; (3)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染 如果政府加大治污力度, 停止, 停止,那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平 下降到开始时(即污染源停止时)污染水平的5%? 下降到开始时(即污染源停止时)污染水平的5%? 5%

水污染质量分数为常数, 思维启迪 (1)水污染质量分数为常数,即g(t) 为常数函数; 为常数函数; (2)污染程度越来越严重,即证明g 为增函数; (2)污染程度越来越严重,即证明g(t)为增函数; 污染程度越来越严重 (3)转化为方程即可解决. (3)转化为方程即可解决. 转化为方程即可解决 (1)解 (1)解 设0≤t1<t2 , 0≤t 2分 2分
r r

∵g(t)为常数,∴g(t1)=g(t2), 为常数,
? t1 ? t2 p v 即[ g (0) ? ] ? (e ? e v ) = 0, r p ∴ g ( 0) = . r

4分

(2)证明 (2)证明

设0≤t1<t2, 0≤t
r r

? t1 ? t2 p v g (t1 ) ? g (t 2 ) = [ g (0) ? ] ? (e ? e v ) r

p e ?e = [ g (0) ? ] ? r , ( t1 + t 2 ) r v e p (0)<0,t ∵g(0)<0,t1<t2,

r t2 v

r t1 v

)<0,∴g )<g ∴g(t1)-g(t2)<0,∴g(t1)<g(t2). 故湖泊污染质量分数随时间变化而增加, 故湖泊污染质量分数随时间变化而增加,污染越来 越严重. 越严重. 8分 8分

r

(3)解 (3)解

污染源停止, 污染源停止,即p=0,此时 g (t ) = g (0) ? e =0,

r ? t v

.

设要经过t 设要经过t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染 水平的5%. 水平的5%. 即g(t)=5%·g(0),即有5%·g(0)= g (0) ? e )=5%·g(0),即有5%·g 5%· r ? t 1 由实际意义知g(0)≠0, 由实际意义知g(0)≠0, ∴ =e v . 20 v 天时间. 即需要 v ln 20天时间. ∴ t = ln 20 (天 ), r r
r ? t v

10分 . 10分

12分 12分

(1)对此类问题的解决关键是认真审题 对此类问题的解决关键是认真审题, 探究提高 (1)对此类问题的解决关键是认真审题, 理顺数量关系. 理顺数量关系. (2)应用数学模型,抽象出方程、 (2)应用数学模型,抽象出方程、不等式或函数解析 应用数学模型 式. (3)用函数、方程、不等式解答. (3)用函数、方程、不等式解答. 用函数

知能迁移4 经市场调查, 知能迁移4 经市场调查,某城市的一种小商品在过 去的近20天内的销售量( 去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间 20天内的销售量 与价格( t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80-2t(件),价 的函数,且销售量近似满足g )=80),价 格近似满足

1 f ( x) = 20 ? | t ? 10 | (元). 2 (1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20) (1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t 试写出该种商品的日销售额
的函数表达式; 的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值. (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值. 求该种商品的日销售额

解 (1)y=g(t )· f (t )

1 = (80 ? 2t ) ? (20 ? | t ? 10 |) 2 40- )(40 40- 10|) =(40-t)(40-|t-10|)

(30 + t )(40 ? t ),0 ≤ t < 10, = ? ?

(2)当0≤t<10时,y的取值范围是[1 200,1 225], 0≤t<10时 的取值范围是[1 在t=5时,y取得最大值为1 225; =5时 取得最大值为1 225; 当10≤t≤20时,y的取值范围是[600,1 200], 10≤t≤20时 的取值范围是[600, 200], 在t=20时,y取得最小值为600. =20时 取得最小值为600. 答 第5天,日销售额y取得最大值为1 225元; 日销售额y取得最大值为1 225元 第20天,日销售额y取得最小值为600元 . 20天 日销售额y取得最小值为600元 600

?(40 ? t )(50 ? t ),10 ≤ t ≤ 20.

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.求解函数应用题的一般方法 1.求解函数应用题的一般方法 “数学建模”是解决数学应用题的重要方法,解应用 数学建模”是解决数学应用题的重要方法, 题的一般程序是: 题的一般程序是: (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; 审题 (2)建模:将文字语言转化成数学语言, (2)建模:将文字语言转化成数学语言,用数学知识建 建模 立相应的数学模型; 立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得到数学结论; (3)求模:求解数学模型,得到数学结论; 求模 (4)还原: (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题 还原 的意义. 的意义.

2.几种重要的函数模型 2.几种重要的函数模型 (1)一次函数模型:f(x)=kx+b (k,b为常数,k≠0); (1)一次函数模型: )=kx+ 为常数, 一次函数模型 kx (2)二次函数模型: )=ax bx+ 为常数, (2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数, 二次函数模型 a≠0); ≠0); k≠0);

k (3)反比例型函数模型 反比例型函数模型: 为常数, (3)反比例型函数模型: f ( x) = + b (k,b为常数, x
(4)指数型函数模型: )=ab 为常数, (4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0, 指数型函数模型 b>0,b≠1); >0,b≠1); (5)对数型函数模型: )=m 为常数, (5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数, 对数型函数模型 m≠0,a>0,a≠1); ≠0,a>0,a (6)分段函数模型. (6)分段函数模型. 分段函数模型

失误与防范
1.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以, 1.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以,正 函数模型应用不当 确理解题意,选择适当的函数模型. 确理解题意,选择适当的函数模型. 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围, 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确 要特别关注实际问题的自变量的取值范围 定函数的定义域. 定函数的定义域. 3.注意问题反馈.在解决函数模型后, 3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个 注意问题反馈 数学解对实际问题的合理性. 数学解对实际问题的合理性.

一、选择题

定时检测

1.某电信公司推出两种手机收费 1.某电信公司推出两种手机收费 方式: 种方式是月租20元 方式:A种方式是月租20元,B种 20 方式是月租0 方式是月租0元.一个月的本地网 内打出电话时间t(分钟)与打出 内打出电话时间t 分钟) 电话费s 电话费s(元)的函数关系如图, 的函数关系如图, 当打出电话150分钟时, 当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差 150分钟时 ( 40 D. 元 3 )

A.10元 A.10元

B.20元 B.20元

C.30元 C.30元

解析

设A种方式对应的函数解析式为S=k1t+20, 种方式对应的函数解析式为S

B种方式对应的函数解析式为S=k2t, 种方式对应的函数解析式为S 当t=100时,100k1+20=100k2, =100时 100k +20=100k

1 ∴ k 2 ? k1 = , 5 1 =150时 150k 150k 当t=150时,150k2-150k1-20= 150 × ? 20 = 10. 5 故选A. 故选A.
答案 A

2.由方程x |+y |=1确定的函数y 2.由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f(x)在(-∞,+∞) 由方程 确定的函数 上是 A.增函数 A.增函数 C.先增后减 C.先增后减 解析 B.减函数 B.减函数 D.先减后增 D.先减后增 ( B )

①当x≥0且y≥0时,x2+y2=1, ≥0且 ≥0时

②当x>0且y<0时,x2-y2=1, >0且 <0时 ③当x<0且y>0时,y2-x2=1, <0且 >0时 ④当x<0且y<0时,无意义. <0且 <0时 无意义. 由以上讨论作图如右, 由以上讨论作图如右, 易知是减函数. 易知是减函数.

3.国家规定个人稿费纳税办法是:不超过800元的不 3.国家规定个人稿费纳税办法是:不超过800元的不 国家规定个人稿费纳税办法是 800 纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部 元的按超过800 纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部 800元而不超过 分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税 元的按全部稿酬的11%纳税. 分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税. 14%纳税 已知某人出版一本书,共纳税420元 已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得 420 稿费(扣税前)为 稿费(扣税前) 800元 A.2 800元 000元 B.3 000元 800元 C.3 800元 ( 818元 D.3 818元 )

解析

设扣税前应得稿费为x 设扣税前应得稿费为x元,则应纳税额为分段

函数,由题意, 函数,由题意,得

?0 ? y = ?( x ? 800) × 14% ?11% ? x ?

(0 ≤ x ≤ 800) (800 < x ≤ 4 000). ( x > 4 000)

如果稿费为4 000元应纳税为448元,现知某人共纳税 元应纳税为448 如果稿费为4 000元应纳税为448元 420元 所以稿费应在800~ 000元之间 元之间, 420元,所以稿费应在800~4 000元之间, 800 ∴(x 800)×14%=420,∴x ∴(x-800)×14%=420,∴x=3 800. 答案 C

汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、 4. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶 之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时 间t的函数,其图象可能是 的函数, ( A)

1 2 >0), ),匀速 解析 根据汽车加速行驶 s = at (a>0),匀速 2 行驶s vt, <0)结合函数图象可 行驶s=vt,减速行驶 s = 1 at 2 (a<0)结合函数图象可 2
知选A. 知选A.

5.某产品的总成本y 万元)与产量x 5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数 某产品的总成本 关系是y 000+20x 0.1x (0<x<240,x ),若每台 关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台 产品的售价为25万元,则生产者不亏本时( 产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入 25万元 不小于总成本) 不小于总成本)的最低产量是 A.100台 A.100台 解析 B.120台 B.120台 C.150台 C.150台 设利润为f(x)(万元), 设利润为f 万元) ( C ) D.180台 D.180台

000+20x 0.1x 则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2) )=25x =0.1x +5x =0.1x2+5x-3 000≥0, ∴x ≥150.

6.已知a>0且 ≠1, )=x ∈(-1,1)时均有 6.已知a>0且a≠1,f(x)=x2-ax,当x∈(-1,1)时均有 已知

1 则实数a f(x)< , 则实数a的取值范围是 ( 2 A.(0, 1 ] ∪ [2,+∞) B.[ 1 ,1) ∪ (1,4] 2 4 C.[ 1 ,1) ∪ (1,2] D.(0, 1 ] ∪ [4,+∞) 2 4



由题意可知 a x > x 2 ? 1 2 上恒成立, 在(-1,1)上恒成立, 1 令y1 =ax, y 2 = x 2 ? , 2 由图象知: 由图象知: 解析

1 ? ?1 2 ?a ≥ (?1) ? 2 , ? 1 ? 1 2 1 ∴ ≤ a < 1或1 < a ≤ 2. a ≥1 ? , ? 2 2 ? ?a > 0且a ≠ 1, ? ?
答案 C

二、填空题

2 7.计算机的价格大约每 计算机的价格大约每3 那么今年花8 7.计算机的价格大约每3年下降 ,那么今年花8 100 3 元买的一台计算机,9年后的价格大约是_____ ,9年后的价格大约是_____元 元买的一台计算机,9年后的价格大约是_____元. 300
解析 设计算机价格平均每年下降p 设计算机价格平均每年下降p%, 由题意可得 1 = (1 ? p %) 3 , 31 1 3 ∴ p% = 1 ? ( ) , 3 ∴9年后的价格

1 3 1 3 9 y = 8 100[1 + ( ) ? 1] = 8 100 × ( ) = 300(元). 3 3

1

8.设函数f )=x |+bx+ 给出下列命题: 8.设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列命题: 设函数 bx ①b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实数根; =0,c>0时 方程f )=0只有一个实数根; 只有一个实数根 ②c=0时,y=f(x)是奇函数; =0时 是奇函数; ③方程f(x)=0至多有两个实根. 方程f )=0至多有两个实根. 至多有两个实根 上述三个命题中所有正确命题的序号为____. 上述三个命题中所有正确命题的序号为____. 解析

? x2 + c )=x |+c ①f(x)=x|x|+c= ? 2 ?? x + c

( x ≥ 0) , ( x < 0)

如图① 曲线与x轴只有一个交点, 如图①,曲线与x轴只有一个交点, 所以方程f )=0只有一个实数根,正确. 所以方程f(x)=0只有一个实数根,正确. 只有一个实数根 ②c=0时,f(x)=x|x|+bx,显然是奇函数. =0时 )=x |+bx,显然是奇函数. bx ③当c=0,b<0时, =0,b<0时
? x 2 + bx ( x ≥ 0) )=x |+bx bx= , f(x)=x|x|+bx= ? 2 ? ? x + bx ( x < 0) 如图② 方程f )=0可以有三个实数根 可以有三个实数根. 如图②,方程f(x)=0可以有三个实数根.

综上所述,正确命题的序号为①②. 综上所述,正确命题的序号为①②. ①② 答案 ①②

9.已知f (x +3a 为锐角), ),在区间 9.已知f(x)=? log cos? (x2-ax +3a)( ? 为锐角),在区间 已知 [2,+∞)上为增函数,则实数a [2,+∞)上为增函数,则实数a的取值范围是 上为增函数 4<a -4<a≤4 _________. 解析 ax+3 +3a 令u=x2-ax+3a, ∵ 0 < cos ? < 1, 在定义域内为减函数, ∴ y = log cos? u 在定义域内为减函数,

∴f(x)= ? log cos? (x2-ax+3a)在[2,+∞)上为增函数, (x ax+3 +3a [2,+∞)上为增函数 上为增函数, ax+3 >0在[2,+∞)上恒成立 且为增函数, +3a 上恒成立, 则u=x2-ax+3a>0在[2,+∞)上恒成立,且为增函数,
?a ? ≤2 , 解得 ? 4 < a ≤ 4. 所以? 2 ? u( 2) = 4 ? 2a + 3a > 0 ?

三、解答题 10.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这 10.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用, 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用 些自行车的费用是每日115元 根据经验, 些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自 115 行车的日租金不超过6 行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出; 则自行车可以全部租出; 若超出6 若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增 则每超过1 加3辆. 为了便于结算,每辆自行车的日租金x 为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整 数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这 一日的管理费用, 一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净 收入( 收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用 后的所得) 后的所得).

(1)求函数y (1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域; 求函数 的解析式及其定义域; (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时, (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使 试问当每辆自行车的日租金为多少元时 一日的净收入最多? 一日的净收入最多? 解 (1)当x≤6时,y=50x-115, ≤6时 =50x 令50x-115>0,解得x>2.3. 50x 115>0,解得x ∵x∈N*,∴x≥3,∴3≤x≤6,x∈N*, ≥3, 3≤x≤6, 当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115. >6时 =[5068x 令[50-3(x-6)]x-115>0,有3x2-68x+115<0, [50115>0,有 上述不等式的整数解为2≤x (x 上述不等式的整数解为2≤x≤20 (x∈N*), 2≤ ∴6<x (x ∴6<x≤20 (x∈N*).

?50 x ? 115 (3 ≤ x ≤ 6, x ∈ N* ) 故y=? , 2 * ? ? 3 x + 68 x ? 115 (6 < x ≤ 20, x ∈ N )

定义域为{ |3≤x≤20,x 定义域为{x|3≤x≤20,x∈N*}. (2)对于y=50x (3≤x≤6,x (2)对于y=50x-115 (3≤x≤6,x∈N*). 对于 显然当x=6时 =185(元 显然当x=6时,ymax=185(元), 对于y +68x 对于y=-3x2+68x-115
= ?3( x ? 34 2 811 ) + (6 < x ≤ 20, x ∈ N* ). 3 3

=270( 当x=11时,ymax=270(元). =11时 ∵270>185, ∵270>185,

∴当每辆自行车的日租金定在11元时,才能使一日的 当每辆自行车的日租金定在11元时, 11元时 净收入最多. 净收入最多.

11.通过研究学生的学习行为,专家发现, 11.通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注 通过研究学生的学习行为 意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时, 意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时, 学生的兴趣激增;中间有一段时间, 学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持 较理想的状态,随后学生的注意力开始分散, 较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f(t) 表示学生注意力随时间t 分钟)的变化规律( 表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t) 越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知: 越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知: ),经过实验分析得知 ? ? t 2 + 24t + 100, 0 < t ≤ 10, ? f ( t ) = ? 240, 10 < t ≤ 20, ? ? 7t + 380, 20 < t ≤ 40. ?

(1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中? (1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能 讲课开始后多少分钟 持续多少分钟? 持续多少分钟? (2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较, (2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时 讲课开始后 25分钟比较 学生的注意力更集中? 学生的注意力更集中? (3)一道数学难题,需要讲解24分钟,并且要求学生 (3)一道数学难题,需要讲解24分钟, 一道数学难题 24分钟 的注意力至少达到180,那么经过适当安排, 的注意力至少达到180,那么经过适当安排,教师能 180 否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目? 否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?



(1)当0<t≤10时,f(t)=-t2+24t+100 0<t≤10时 )=- +24t

+244是增函数 是增函数, (10)=240; =-(t-12)2+244是增函数,且f(10)=240; 当20<t≤40时,f(t)=-7t+380是减函数, 20<t≤40时 )=- +380是减函数, 是减函数 且f(20)=240. 所以,讲课开始10分钟,学生的注意力最集中, 所以,讲课开始10分钟,学生的注意力最集中,能持 10分钟 续10分钟. 10分钟. 分钟 (2)f(5)=195,f(25)=205, =195, 25)=205, 故讲课开始25分钟时,学生的注意力比讲课开始后5 故讲课开始25分钟时,学生的注意力比讲课开始后5 25分钟时 分钟更集中. 分钟更集中.

+24t+100=180, (3)当0<t≤10时,f(t)=-t2+24t+100=180, 0<t≤10时 则t=4; =4; 当20<t≤40时,令f(t)=-7t+380=180, 20<t≤40时 )=t≈28.57,则学生注意力在180以上所持续的时间为 ≈28.57,则学生注意力在180以上所持续的时间为 则学生注意力在180 28.57-4=24.57>24, 28.57所以,经过适当安排, 所以,经过适当安排,老师可以在学生达到所需要的 状态下讲授完这道题. 状态下讲授完这道题.

12.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品, 12.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,

其生产的总成本y 万元)与年产量x 其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数 生产线年产量最大为210吨 生产线年产量最大为210吨. 210 本最低,并求最低成本; 本最低,并求最低成本;

x2 关系式可以近似地表示为y 48x 000,已知此 关系式可以近似地表示为y= -48x+8 000,已知此 5

(1)求年产量为多少吨时, (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成 求年产量为多少吨时 (2)若每吨产品平均出厂价为40万元, (2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量 若每吨产品平均出厂价为40万元
为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少? y (1)每吨平均成本为 万元). 解 (1)每吨平均成本为 (万元). x y x 8 000 x 8 000 则 = + ? 48 ≥ 2 ? ? 48 = 32, x 5 x 5 x

x 8 000 =200时取等号 时取等号. 当且仅当 = , 即x=200时取等号.

∴年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元. 年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元. 200吨时 32万元 (2)设年获得总利润为R 万元, (2)设年获得总利润为R(x)万元, 设年获得总利润为
x2 )=40x =40x +48x 则R(x)=40x-y=40x+48x-8 000 5 2 x =+88x-8 000 +88x 5 1 680(0≤x =(x-220)2+1 680(0≤x≤210). 5

5

x

∵R(x)在[0,210]上是增函数, 0,210]上是增函数, ∴x=210时,R(x)有最大值为 =210时
1 (210(210-220)2+1 680=1 660. 5

-

万元. ∴年产量为210吨时,可获得最大利润1 660万元. 年产量为210吨时,可获得最大利润1 660万元 210吨时
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