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2014-2015学年福建省福州八中高三(下)第九次月考数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年福建省福州八中高三(下)第九次月考数学试卷 (理科)
一、选择题(共 10 小题,满分 50 分) 1.设全集 U={1,2,3,4,5,6,7},M={2,3,4,6},N={1,4,5},则{1,5}等于( A. M∪N B. M∩N C. (?UM)∩N D. M∩?UN 2.设 i 是虚数单位,复数 Z=1+ 为( )



A. 1+i B. 1﹣i C. C、﹣1+i D. ﹣1﹣i 3.下列四个结论: ①若 x>0,则 x>sinx 恒成立; ②命题“若 x﹣sinx=0,则 x=0”的逆否命题为“若 x≠0,则 x﹣sinx≠0”; ③“命题 p∨q 为真”是“命题 p∧q 为真”的充分不必要条件; ④命题“?x∈R,x﹣lnx>0”的否定是“?x0∈R,x0﹣lnx0≤0”. 其中正确结论的个数是( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=﹣11,a5+a9=﹣2,则当 Sn 取最小值时,n 等于 ( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

5.已知抛物线 y =8x 的焦点与双曲线 ( ) A. B. C.

2

﹣y =1 的一个焦点重合,则该双曲线的离心率为

2

D.

6.已知函数

,则 y=f(x)的图象大致为(



A.

B.

C.

D. 7.三棱锥 S﹣ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱 SB 的长为( )

A. 2

B. 4

C.

D. 16

8.在区间[0,π]上随机取一个数 x,则事件“ A. B. C. D.

”发生的概率为(



9.已知点 A(3,

) ,O 是坐标原点,点 P(x,y)的坐标满足

,设 z





上的投影,则 z 的取值范围是( , ] C. [﹣

) ,3] D. [﹣3, ]

A. [﹣3,3] B. [﹣

10.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′(x)<f(x) ,且 f(x+2) x 为偶函数,f(4)=1,则不等式 f(x)<e 的解集为( ) A. (﹣2,+∞) B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. (4,+∞)

二、填空题(共 5 小题,满分 20 分)

11.在

的展开式中,常数项等于

(用数字作答)

12.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为



13.有 4 本不同的书,其中语文书 1 本,数学书 2 本,物理书 1 本,若将书随机第并排摆成 一排,则同一科目的书不相邻的摆法有 种. (用数字作答) 14.在 Rt△ ABC 中,C=

,B=

,CA=1,则|2



|=



15.已知有限集 A={a1,a2,a3…,an}(n≥2) .如果 A 中元素 ai(i=1,2,3,…,n)满足 a1a2…an=a1+a2+…+an,就称 A 为“复活集”,给出下列结论: ①集合{ , }是“复活集”;

②若 a1,a2∈R,且{a1,a2}是“复活集”,则 a1a2>4; * ③若 a1,a2∈N 则{a1,a2}不可能是“复活集”; * ④若 ai∈N ,则“复合集”A 有且只有一个,且 n=3. 其中正确的结论是 . (填上你认为所有正确的结论序号)

三、解答题(共 5 小题,满分 66 分) 16. (13 分) (2015 春?福州校级月考)已知函数 f(x)=2sin x+bsinxcosx 满足 f( (1)求实数 b 的值以及函数 f(x)的最小正周期; (2)记 g(x)=f(x+t) ,若函数 g(x)是偶函数,求实数 t 的值. 17. (13 分) (2014?北京模拟)在一次对某班 42 名学生参加课外篮球、排球兴趣小组(每 人参加且只参加一个兴趣小组)情况调查中,经统计得到如下 2×2 列联表: (单位:人) 篮球 排球 总计 男同学 16 6 22 女同学 8 12 20
2

)=2.

总计 24 18 42 (Ⅰ)据此判断是否有 95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关? (Ⅱ)在统计结果中,如果不考虑性别因素,按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取 7 名同学进行座谈.已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”. ①求在甲被抽中的条件下,乙丙也都被抽中的概率; ②设乙、丙两人中被抽中的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X) . 下面临界值表供参考: P(K ≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式:K =
2 2



18. (13 分) (2015?南京模拟)如图,将长为 4,宽为 1 的长方形折叠成长方体 ABCD﹣ A1B1C1D1 的四个侧面,记底面上一边 AB=t(0<t<2) ,连接 A1B,A1C,A1D1 (1)当长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积最大时,求二面角 B﹣A1C﹣D 的值; (2)线段 A1C 上是否存在一点 P,使得 A1C⊥平面 BPD,若有,求出 P 点的位置,没有请 说明理

由.

19. (13 分) (2015?南昌一模)已知圆 E:x +(y﹣ ) = 经过椭圆 C:

2

2

+

=1(a>b

>0)的左右焦点 F1,F2,且与椭圆 C 在第一象限的交点为 A,且 F1,E,A 三点共线,直 线 l 交椭圆 C 于 M,N 两点,且 =λ (λ≠0)

(1)求椭圆 C 的方程; (2)当三角形 AMN 的面积取得最大值时,求直线 l 的方程.

20. (14 分) (2015?茂名一模)设函数 f(x)=ln|x|﹣x +ax. (Ⅰ)求函数 f(x)的导函数 f′(x) ;

2

(Ⅱ)若 x1、x2 为函数 f(x)的两个极值点,且

,试求函数 f(x)的单调递

增区间; (Ⅲ)设函数 f(x)在点 C(x0,f(x0) ) (x0 为非零常数)处的切线为 l,若函数 f(x)图 象上的点都不在直线 l 的上方,试探求 x0 的取值范围.

四、 【选修 4-2:矩阵与变换】 21.已知 a,b∈R,若矩阵 A= (Ⅰ)求矩阵 A; (Ⅱ)求矩阵 A 的逆矩阵. 所对应的变换 TA 把直线 l:2x﹣y=3 变换为它自身.

五、 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 22.选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方 程为 a,曲线 C2 的参数方程为 (φ 为参数,0≤φ≤π) ,

(Ⅰ)求 C1 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 C1 与 C2 有两个不同公共点时,求实数 a 的取值范围.

六、 【选修 4-5:不等式选讲】 23. (2015 春?福州校级月考)已知函数 f(x)=log2(|x﹣1|+|x﹣5|﹣a) . (Ⅰ)当 a=5 时,求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)当函数 f(x)的定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围.

2014-2015 学年福建省福州八中高三(下)第九次月考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,满分 50 分) 1.设全集 U={1,2,3,4,5,6,7},M={2,3,4,6},N={1,4,5},则{1,5}等于( A. M∪N B. M∩N C. (?UM)∩N D. M∩?UN 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据 1、5?M,而且 A 显然不符合条件,从而得出结论.



解答: 解:∵1、5?M,故排除 B、D,A 显然不符合条件, 故选:C. 点评: 本题主要考查元素与集合的关系判定,两个集合的交集、补集运算,属于基础题.

2.设 i 是虚数单位,复数 Z=1+

为(



A. 1+i B. 1﹣i C. C、﹣1+i D. ﹣1﹣i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 解答: 解:Z=1+ =1+ =1﹣i,

故选:B. 点评: 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题. 3.下列四个结论: ①若 x>0,则 x>sinx 恒成立; ②命题“若 x﹣sinx=0,则 x=0”的逆否命题为“若 x≠0,则 x﹣sinx≠0”; ③“命题 p∨q 为真”是“命题 p∧q 为真”的充分不必要条件; ④命题“?x∈R,x﹣lnx>0”的否定是“?x0∈R,x0﹣lnx0≤0”. 其中正确结论的个数是( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 阅读型;函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 令 y=x﹣sinx,求出导数,判断单调性,即可判断①;由命题的逆否命题,先将体 积、结论调换,再分别对它们否定,即可判断②;由命题 p∨q 为真,则 p,q 中至少有一 个为真,不能推出 p∧q 为真,即可判断③;由全称性命题的否定为存在性命题,即可判断 ④. 解答: 解:对于①,令 y=x﹣sinx,则 y′=1﹣cosx≥0,则有函数 y=x﹣sinx 在 R 上递增, 则当 x>0 时,x﹣sinx>0﹣0=0,则 x>sinx 恒成立.则①对; 对于②,命题“若 x﹣sinx=0,则 x=0”的逆否命题为“若 x≠0,则 x﹣sinx≠0”,则②对; 对于③,命题 p∨q 为真,则 p,q 中至少有一个为真,不能推出 p∧q 为真,反之成立, 则应为必要不充分条件,则③错; 对于④,命题“?x∈R,x﹣lnx>0”的否定是“?x0∈R,x0﹣lnx0≤0”.则④对. 综上可得,其中正确的叙述共有 3 个. 故选 C. 点评: 本题考查函数的单调性的运用,考查复合命题的真假和真值表的运用,考查充分必 要条件的判断和命题的否定,属于基础题和易错题. 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=﹣11,a5+a9=﹣2,则当 Sn 取最小值时,n 等于 ( )

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知求出等差数列的首项和公差,写出通项公式,由通项小于等于 0 求得 n 的值 得答案. 解答: 解:设等差数列的首项为 a1,公差为 d, 由 a2=﹣11,a5+a9=﹣2,得 ,解得: ∴an=﹣15+2n. 由 an=﹣15+2n≤0,解得: . .

∴当 Sn 取最小值时,n 等于 7. 故选:C. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前 n 项和,是基础题.

5.已知抛物线 y =8x 的焦点与双曲线 ( ) A. B. C.

2

﹣y =1 的一个焦点重合,则该双曲线的离心率为

2

D.

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先求出抛物线 y =8x 的焦点坐标 F,从而得到双曲线 能求出 a ,进而能求出此双曲线的离心率. 2 解答: 解:抛物线 y =8x 的焦点坐标为 F(2,0) , ∵双曲线 ﹣y =1)的一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点重合,
2 2 2 2

﹣y =1 的一个焦点 F,由此

2

∴双曲线
2

﹣y =1 的一个焦点为 F(2,0) ,
2

2

∴a +1=4,解得 a =3, ∴此双曲线的离心率 e= .

故选:C. 点评: 本题考查双曲线的离心率的求法,涉及到抛物线、双曲线的简单性质,是中档题.

6.已知函数

,则 y=f(x)的图象大致为(



A.

B.

C.

D. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的图象. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 利用函数的定义域与函数的值域排除 B,D,通过函数的单调性排除 C,推出结果 即可. 解答: 解:令 g(x)=x﹣lnx﹣1,则 ,

由 g'(x)>0,得 x>1,即函数 g(x)在(1,+∞)上单调递增, 由 g'(x)<0 得 0<x<1,即函数 g(x)在(0,1)上单调递减, 所以当 x=1 时,函数 g(x)有最小值,g(x)min=g(0)=0, 于是对任意的 x∈(0,1)∪(1,+∞) ,有 g(x)≥0,故排除 B、D, 因函数 g(x)在(0,1)上单调递减,则函数 f(x)在(0,1)上递增,故排除 C, 故选 A. 点评: 本题考查函数的单调性与函数的导数的关系, 函数的定义域以及函数的图形的判断, 考查分析问题解决问题的能力. 7.三棱锥 S﹣ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱 SB 的长为( )

A. 2

B. 4

C.

D. 16

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC,底面△ ABC 为等腰三角形,SC=4,△ ABC 中 AC=4,AC 边上的高为 2 ,进而根据勾股定理得到答案. 解答: 解:由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC, 且底面△ ABC 为等腰三角形, 在△ ABC 中 AC=4,AC 边上的高为 2 , 故 BC=4, 在 Rt△ SBC 中,由 SC=4, 可得 SB=4 , 故选 B 点评: 本题考查的知识点是简单空间图象的三视图,其中根据已知中的视图分析出几何体 的形状及棱长是解答的关键.

8.在区间[0,π]上随机取一个数 x,则事件“ A. B. C. D.

”发生的概率为(



考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 先化简不等式,确定满足 sin(x+ 型利用长度之比可得结论. 解答: 解:∵ ∴sin(x+ )≥ , ∈[ , ], )≥ 的 x+ , ∈[ , ], ], ,即 sin(x+ )≥ , )≥ 且在区间[0,π]内 x 的范围,根据几何概

∵x∈[0,π],∴x+ ∴在区间[ ,

]内,满足 sin(x+ )≥

∴在区间[0,π]内,满足 sin(x+

的 x∈[

∴事件

发生的概率为 P=

= .

故选 B. 点评: 本题考查几何概型,考查三角函数的化简,考查学生的计算能力,属于中档题.

9.已知点 A(3,

) ,O 是坐标原点,点 P(x,y)的坐标满足

,设 z





上的投影,则 z 的取值范围是(



A. [﹣3,3] B. [﹣



] C. [﹣

,3] D. [﹣3,

]

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,根据数量积的定义转化为向量夹角问题即可得到结 论. 解答: 解:∵z 为 ∴z= = 在 上的投影, =|OA|cosθ=2 cosθ, (θ 为向量为 与 的夹角) ,

由图象可知当 P 在直线 OB 上时,此时 θ 最小, 当 P 在直线 OC 上时,此时 θ 最大, ∵A(3, ) ,∴OA 的倾斜角为 30°,OB 的倾斜角为 60°, 则 θ 最小值为 60°﹣30°=30°,θ 最大值为 180°﹣30°=150°, 即 30°≤θ≤150°,则 则﹣3≤2 cosθ≤3, 故 z∈[﹣3,3], 故选:A ≤cosθ≤ ,

点评: 本题主要考查线性规划的应用,根据 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关 键. 10.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′(x)<f(x) ,且 f(x+2) x 为偶函数,f(4)=1,则不等式 f(x)<e 的解集为( ) A. (﹣2,+∞) B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. (4,+∞) 考点: 利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 构造函数 g(x)= (x∈R) ,研究 g(x)的单调性,结合原函数的性质和函

数值,即可求解 解答: 解:∵y=f(x+2)为偶函数,∴y=f(x+2)的图象关于 x=0 对称

∴y=f(x)的图象关于 x=2 对称 ∴f(4)=f(0) 又∵f(4)=1,∴f(0)=1 设g (x) = (x∈R) , 则 g( ′ x) = =

又∵f′(x)<f(x) ,∴f′(x)﹣f(x)<0 ∴g′(x)<0,∴y=g(x)在定义域上单调递减 x ∵f(x)<e ∴g(x)<1 又∵g(0)= =1

∴g(x)<g(0) ∴x>0 故选 B. 点评: 本题考查函数单调性与奇偶性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函 数的单调性是解题的关键. 二、填空题(共 5 小题,满分 20 分) 11.在 的展开式中,常数项等于 112 (用数字作答)

考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,可得其二项展开式的通项为 Tr+1,进而分析可得,8﹣ 将 r=6 代入可得答案. 解答: 解:根据题意,可得其二项展开式的通项为 Tr+1=C8 ?(2x)
r 8﹣r

=0 时,有 r=6,

?(﹣

) =C8 ?

r

r

(﹣1) ?(2) 分析可得,8﹣

r

8﹣r

?



=0 时,有 r=6,

此时,T7=112, 故答案为 112. 点评: 本题考查二项式定理,注意其展开式的通项公式的形式.

12.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为



考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 由题意可知,该程序的作用是求解 S= 求和即可求解. 解答: 解:由题意可知,该程序的作用是求解 S= 而 S= + +…+ = (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + +…+ )= (1﹣ 的值 )= . + +…+ 的值,然后利用裂项

故答案为: 点评: 本题考查了程序框图中的循环结构的应用,解题的关键是由框图的结构判断出框图 的计算功能. 13.有 4 本不同的书,其中语文书 1 本,数学书 2 本,物理书 1 本,若将书随机第并排摆成 一排,则同一科目的书不相邻的摆法有 12 种. (用数字作答) 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 不相邻问题采用插空法,先排语文和物理,形成了三个空,插入数学,问题得以解 决. 解答: 解:先排语文书和物理书,形成了三个空,插入数学书,故有 故答案为:12 点评: 本题考查了排列组合种不相邻问题,属于基础题. 14.在 Rt△ ABC 中,C= =12 种,

,B=

,CA=1,则|2



|=

2



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 由已知可得 | =4,开方可得答案.
2

=1,

=2,<



>=

,进而利用平方法,可得|2



解答: 解:∵在 Rt△ ABC 中,C= ∴ ∴ ∴|2 ∴|2
2

,B= ,

,CA=1,

=1, =1, ﹣ ﹣
2 2

=2,< =4, ? ﹣



>=

=1, ) =4
2 2

| =(2 |=2,

+

2

﹣4

?

=4,

故答案为:2 点评: 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,当已知中没有坐标时,经常采用平方 法进行计算. 15.已知有限集 A={a1,a2,a3…,an}(n≥2) .如果 A 中元素 ai(i=1,2,3,…,n)满足 a1a2…an=a1+a2+…+an,就称 A 为“复活集”,给出下列结论: ①集合{ , }是“复活集”;

②若 a1,a2∈R,且{a1,a2}是“复活集”,则 a1a2>4; * ③若 a1,a2∈N 则{a1,a2}不可能是“复活集”; * ④若 ai∈N ,则“复合集”A 有且只有一个,且 n=3. 其中正确的结论是 ①③④ . (填上你认为所有正确的结论序号) 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 根据已知中“复活集”的定义,结合韦达定理及反证法,逐一判断四个结论的正误, 进而可得答案. 解答: 解:∵ ? = + =﹣1,故①是正确的;

②不妨设 a1+a2=a1a2=t, 2 则由韦达定理知 a1,a2 是一元二次方程 x ﹣tx+t=0 的两个根, 由△ >0,可得 t<0,或 t>4,故②错; ③不妨设 A 中 a1<a2<a3<…<an, 由 a1a2…an=a1+a2+…+an<nan,得 a1a2…an﹣1<n,当 n=2 时, 即有 a1<2, ∴a1=1,于是 1+a2=a2,a2 无解,即不存在满足条件的“复活集”A,故③正确. 当 n=3 时,a1a2<3,故只能 a1=1,a2=2,求得 a3=3,于是“复活集”A 只有一个,为{1,2, 3}. 当 n≥4 时,由 a1a2…an﹣1≥1×2×3×…×(n﹣1) ,即有 n>(n﹣1)!,

也就是说“复活集”A 存在的必要条件是 n>(n﹣1)!,事实上, (n﹣1)!≥(n﹣1) (n﹣2) =n ﹣3n+2=(n﹣2) ﹣2+n>2,矛盾, ∴当 n≥4 时不存在复活集 A,故④正确. 故答案为:①③④ 点评: 本题考查的知识点是元素与集合的关系,正确理解已知中的新定义“复活集”的含义 是解答的关键,难度较大. 三、解答题(共 5 小题,满分 66 分) 16. (13 分) (2015 春?福州校级月考)已知函数 f(x)=2sin x+bsinxcosx 满足 f( (1)求实数 b 的值以及函数 f(x)的最小正周期; (2)记 g(x)=f(x+t) ,若函数 g(x)是偶函数,求实数 t 的值. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)化简可得 f(x)=1﹣cos2x+ sin2x,由 f( ﹣ + (2x﹣ =2,从而解得 b=2 ) ,从而可求 T= )=2.有 1﹣cos2× + sin2× =1
2 2 2

)=2.

,有 f(x)=1﹣cos2x+ sin2x=1﹣cos2x+

sin2x=1﹣2sin

=π. ]=1﹣2sin(2x+2t﹣ ,k∈Z ) ,函数 g(x)是偶

(2)由 g(x)=f(x+t)=1﹣2sin[2(x+t)﹣ 函数,从而有 2t﹣ =k
2

,k∈Z,从而解得 t=

解答: 解: (1)f(x)=2sin x+bsinxcosx=1﹣cos2x+ sin2x ∵f( )=2. + sin2× =1﹣ + =2,从而解得 b=2 sin2x=1+2sin(2x﹣ )

∴1﹣cos2×

∴f(x)=1﹣cos2x+ sin2x=1﹣cos2x+ ∴T= =π

即函数 f(x)的最小正周期是 π. (2)g(x)=f(x+t)=1+2sin[2(x+t)﹣ ∵函数 g(x)是偶函数, ∴2t﹣ =k ,k∈Z,从而解得 t= ,k∈Z ]=1+2sin(2x+2t﹣ )

点评: 本题主要考查了正弦函数的图象,三角函数中的恒等变换应用,属于基本知识的考 查.

17. (13 分) (2014?北京模拟)在一次对某班 42 名学生参加课外篮球、排球兴趣小组(每 人参加且只参加一个兴趣小组)情况调查中,经统计得到如下 2×2 列联表: (单位:人) 篮球 排球 总计 男同学 16 6 22 女同学 8 12 20 总计 24 18 42 (Ⅰ)据此判断是否有 95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关? (Ⅱ)在统计结果中,如果不考虑性别因素,按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取 7 名同学进行座谈.已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”. ①求在甲被抽中的条件下,乙丙也都被抽中的概率; ②设乙、丙两人中被抽中的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X) . 下面临界值表供参考: P(K ≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式:K =
2 2



考点: 独立性检验的应用. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)由表中数据得 K 的观测值,与临界值比较,即可得出结论; (Ⅱ) ①方法一: 令事件 B 为“甲被抽到”; 事件 A 为“乙丙被抽到”, 则P (B|A) = ;
2

方法二:令事件 C 为“在甲被抽到的条件下,乙丙也被抽到”,则 P(C)=



②由题知 X 的可能值为 0,1,2,求出相应的概率,可得 X 的分布列及数学期望 E(X) . 解答: 解: (Ⅰ)由表中数据得 K 的观测值 k= = ≈4.582>3.841.…2 分
2

所以,据此统计有 95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关.…4 分 (Ⅱ)①由题可知在“排球小组”的 18 位同学中,要选取 3 位同学. 方法一:令事件 B 为“甲被抽到”;事件 A 为“乙丙被抽到”,则 P(A∩B)= ,P(A)= .

所以 P(B|A)=

=

=

=

.… 7 分

方法二:令事件 C 为“在甲被抽到的条件下,乙丙也被抽到”, 则 P(C)= = = .

②由题知 X 的可能值为 0,1,2.

依题意 P(X=0)= 从而 X 的分布列为 X012 P …10 分 于是 E(X)=0×

=

;P(X=1)=

=

;P(X=2)=

=



+1×

+2×

=

= .…12 分.

点评: 考查分类变量的独立性检验,条件概率,随机变量的分布列、数学期望等,中等题. 18. (13 分) (2015?南京模拟)如图,将长为 4,宽为 1 的长方形折叠成长方体 ABCD﹣ A1B1C1D1 的四个侧面,记底面上一边 AB=t(0<t<2) ,连接 A1B,A1C,A1D1 (1)当长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积最大时,求二面角 B﹣A1C﹣D 的值; (2)线段 A1C 上是否存在一点 P,使得 A1C⊥平面 BPD,若有,求出 P 点的位置,没有请 说明理

由. 考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)首先根据最大值确定正方体, 进一步根据法向量, 及向量的数量积求出二面角. (2)与(1)一样建立空间直角坐标系,利用向量的数量积,向量共享的充要条件,进一步 利用线面垂直的性质,求出分点坐标,进一步求出点 P 的位置. 解答: 解:将长为 4,宽为 1 的长方形折叠成长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的四个侧面,记底 面上一边 AB=t(0<t<2) , 则求得:AD=2﹣t 2 则:V=t(2﹣t)=﹣(t﹣1) +1 当 t=1 时,Vmax=1 即:长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积最大时,长方体恰好是正方体. 所以:建立空间直角坐标系 A﹣xyz.正方体的棱长为 1. 由于 AB1⊥A1B,BC⊥AB1 所以:AB1⊥平面 BA1C 所以: 所以: 同理:利用线面垂直得到 可以看做是平面 BA1C 的法向量.

所以:

进一步求得:

= ,

所以根据图形知:二面角 B﹣A1C﹣D 的值为



(2)建立空间直角坐标系 A﹣xyz,则:C(t,2﹣t,0) ,A1(0,0,1) ,B(t,0,0) , D(0,2﹣t,0) 所以: , (λ>0)

假设在线段 A1C 上存在一点 P,使得 A1C⊥平面 BPD,则设 根据分点坐标公式:P( 求得: 由于 所以:﹣t +λ(2﹣t) ﹣1=0① 同理利用: 解得:﹣t +(2﹣t) =0② 所以: 解得: 所以点 P 在 (负值舍去) 的位置.
2 2 2 2



点评: 本题考查的知识要点:空间直角坐标系,法向量,向量的数量积,分点坐标公式, 向量的共线问题,属于中等题型.

19. (13 分) (2015?南昌一模)已知圆 E:x +(y﹣ ) = 经过椭圆 C:

2

2

+

=1(a>b

>0)的左右焦点 F1,F2,且与椭圆 C 在第一象限的交点为 A,且 F1,E,A 三点共线,直 线 l 交椭圆 C 于 M,N 两点,且 =λ (λ≠0)

(1)求椭圆 C 的方程; (2)当三角形 AMN 的面积取得最大值时,求直线 l 的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意把焦点坐标代入圆的方程求出 c,再由条件得 F1A 为圆 E 的直径求出 2 2 2 |AF1|=3,根据勾股定理求出|AF2|,根据椭圆的定义和 a =b +c 依次求出 a 和 b 的值,代入 椭圆方程即可; (2)由(1)求出 A 的坐标,根据向量共线的条件求出直线 OA 的斜率,设直线 l 的方程和 M、N 的坐标,联立直线和椭圆方程消去 y,利用韦达定理和弦长公式求出|MN|,由点到直 线的距离公式求出点 A 到直线 l 的距离,代入三角形的面积公式求出△ AMN 的面积 S 的表 达式,化简后利用基本不等式求出面积的最大值以及对应的 m,代入直线 l 的方程即可. 解答: 解: (1)如图圆 E 经过椭圆 C 的左右焦点 F1,F2, ∴c +(0﹣ ) = ,解得 c=
2 2

,…(2 分)

∵F1,E,A 三点共线,∴F1A 为圆 E 的直径,则|AF1|=3, ∴AF2⊥F1F2,∴ = ﹣ =9﹣8=1,

∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4,∴a=2 2 2 2 由 a =b +c 得,b= ,…(4 分) ∴椭圆 C 的方程是 ;…(5 分) ,1) , ,…(6 分)

(2)由(1)得点 A 的坐标( ∵

(λ≠0) ,∴直线 l 的斜率为 kOA=

则设直线 l 的方程为 y=

x+m,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,



得,



∴x1+x2= ,x1x2=m ﹣2, 2 2 且△ =2m ﹣4m +8>0,解得﹣2<m<2,…(8 分) ∴|MN|= = |x2﹣x1|= = ,

2

∵点 A 到直线 l 的距离 d=

=



∴△AMN 的面积 S=

=

=
2 2



=

,…(10 分) .…(12 分)

当且仅当 4﹣m =m ,即 m=

,直线 l 的方程为

点评: 本题考查椭圆的标准方程,韦达定理和弦长公式,向量共线条件,以及直线、圆与 椭圆的位置关系等,考查的知识多,综合性强,考查化简计算能力,属于中档题. 20. (14 分) (2015?茂名一模)设函数 f(x)=ln|x|﹣x +ax. (Ⅰ)求函数 f(x)的导函数 f′(x) ; (Ⅱ)若 x1、x2 为函数 f(x)的两个极值点,且 ,试求函数 f(x)的单调递
2

增区间; (Ⅲ)设函数 f(x)在点 C(x0,f(x0) ) (x0 为非零常数)处的切线为 l,若函数 f(x)图 象上的点都不在直线 l 的上方,试探求 x0 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)确定函数的定义域,分类讨论,将函数化简,再求导函数即可;

(Ⅱ)根据 x1、x2 为函数 f(x)的两个极值点,利用韦达定理,可求 a 的值,即得到函数 解析式,求导函数,利用 f'(x)≥0,可得函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅲ)确定切线 l 的方程,再构造新函数 g(x) ,求导数,确定函数的单调性与极值,从而 2 函数 f(x)=ln|x|﹣x +ax 的图象恒在直线 l 的下方或直线 l 上,等价于 g(x)≤0 对 x≠0 恒成 立,即只需 g(x0)≤0 和 ,由此可得 x0 的取值

范围. 2 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)=ln|x|﹣x +ax 的定义域为{x|x∈R,x≠0}. 当 x>0 时,f(x)=lnx﹣x +ax,∴ 当 x<0 时,f(x)=ln(﹣x)﹣x +ax,∴ 综上可得 .…(4 分)
2 2



…(1 分) ; …(3 分)

(Ⅱ)∵
2

=

,x1、x2 为函数 f(x)的两个极值点, ,

∴x1、x2 为方程﹣2x +ax+1=0 的两根,所以 又∵ ,∴a=﹣1.…(5 分)

此时,



由 f'(x)≥0 得 当 x>0 时,

, ,此时 ;

当 x<0 时, (2x﹣1) (x+1)≥0,∴x≤﹣1 或 x≥ ,此时 x≤﹣1. ∴当 f'(x)≥0 时,x≤﹣1 或 当 f'(x)≤0 时,同理解得 .…(7 分) .…(8 分) .…

综上可知 a=﹣1 满足题意,且函数 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1]和 (9 分) (Ⅲ)∵ ∴切线 l 的方程为 即 (x0 为常数) .…(10 分) ,又 , ,

令 = , =

, (11 分) 当 x0>0 时,x、g'(x) 、g(x)的关系如下表: x g'(x) + 0 ﹣ + 0 ﹣ g(x) ↗ 极大值 ↘ ↗ 极大值 ↘ 当 x0<0 时,x、g'(x) 、g(x)的关系如下表: x (﹣∞,x0) x0 (x0,0) g'(x) + 0 ﹣ + 0 ﹣ g(x) ↗ 极大值 ↘ ↗ 极大值 ↘ 2 函数 f(x)=ln|x|﹣x +ax 的图象恒在直线 l 的下方或直线 l 上, 等价于 g(x)≤0 对 x≠0 恒成立. ∴只需 g(x0)≤0 和 同时成立.…(12 分) (0,x0) x0 (x0,+∞)

∵g(x0)=0,∴只需



下面研究函数







∴m(x)在(0,+∞)上单调递增, 注意到 m(1)=0,∴当且仅当 0<x≤1 时,m(x)≤0.…(13 分) ∴当且仅当 时, ,



解得





∴x0 的取值范围是

.…(14 分)

点评: 本题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数 形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想. 四、 【选修 4-2:矩阵与变换】 21.已知 a,b∈R,若矩阵 A= (Ⅰ)求矩阵 A; (Ⅱ)求矩阵 A 的逆矩阵. 考点: 变换、矩阵的相等. 专题: 选作题;矩阵和变换. 分析: (Ⅰ)根据变换的性质列出一组方程式求解出 a,b; (Ⅱ)求出|A|,即可求矩阵 A 的逆矩阵 解答: 解: (Ⅰ)设直线 2x﹣y﹣3=0 上任意一点 P(x,y)在变换 TA 的作用下变成点 P' (x',y') , 由题意知 2x'﹣y'﹣3=0,由 = , 所对应的变换 TA 把直线 l:2x﹣y=3 变换为它自身.

得 x'=﹣x+ay,y'=bx+3y, 代入直线 2x'﹣y'﹣3=0 得 2(﹣x+ay)﹣(bx+3y)﹣3=0, 即(﹣b﹣2)x+(2a﹣3)y﹣3=0, 由点 P(x,y)的任意性可得﹣b﹣2=2,2a﹣3=﹣1, 解得 a=1,b=﹣4. (2)A= ,|A|=﹣3+4=1,

∴A =

﹣1



点评: 此题主要考查矩阵变换的问题,其中涉及到矩阵的乘法,矩阵 A 的逆矩阵,比较基 础. 五、 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 22.选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方 程为 a,曲线 C2 的参数方程为 (φ 为参数,0≤φ≤π) ,

(Ⅰ)求 C1 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 C1 与 C2 有两个不同公共点时,求实数 a 的取值范围. 考点: 圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)展开两角和的正弦公式,然后代入 x=ρcosθ,y=ρsinθ 即可化为直角坐标方程; (Ⅱ)化 C2 的参数方程为直角坐标方程,然后利用数形结合求解实数 a 的取值范围.

解答: 解: (Ⅰ)曲线 C1 的极坐标方程为 即 ρcosθ+ρsinθ=a, ∴曲线 C1 的直角坐标方程为 x+y﹣a=0. 2 2 (Ⅱ)曲线的直角坐标方程为(x+1) +(y+1) =1(﹣1≤y≤0) ,为半圆弧, 如图所示,曲线 C1 为一组平行于直线 x+y=0 的直线, 当直线 C1 与 C2 相切时,由 =1,得 ,



舍去 ,则 , 当直线 C1 过点 A(0,﹣1) 、B(﹣1,0)两点时,a=﹣1, ∴由图可知,当﹣1 个公共点. 时,曲线 C1 与曲线 C2 有两

点评: 本题考查了极坐标与直角坐标的互化,考查了化参数方程为普通方程,考查了数形 结合的解题思想方法,是中档题. 六、 【选修 4-5:不等式选讲】 23. (2015 春?福州校级月考)已知函数 f(x)=log2(|x﹣1|+|x﹣5|﹣a) . (Ⅰ)当 a=5 时,求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)当函数 f(x)的定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)问题转化为不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣5>0 成立,通过讨论 x 的范围,求出不等 式的解集,从而求出函数的定义域; (Ⅱ)问题转化为 a<(|x﹣1|+|x﹣5|)min 即可,通过绝对值的几何意义求出(|x﹣1|+|x﹣ 5|)的最小值即可. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=5 时,要使函数 f(x)有意义, 有不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣5>0 成立,﹣①, 当 x≤1 时,不等式①等价于﹣2x+1>0,即 x< ,∴x< ; 当 1<x≤5 时,不等式①等价于﹣1>0,即 x∈?,∴x∈?; 当 x>5 时,不等式①等价于 2x﹣11>0,即 x> 综上函数 f(x)的定义域为(﹣∞, )∪( ,∴x> ;

,+∞) .

(Ⅱ)∵函数 f(x)的定义域为 R,∴不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣a>0 恒成立, ∴只要 a<(|x﹣1|+|x﹣5|)min 即可,

又∵|x﹣1|+|x﹣5|≥4(x=1 或 x=5 时取等号) , 即 a<(|x﹣1|+|x﹣5|)min=4,∴a<4. ∴a 的取值范围是(﹣∞,4) . 点评: 本题考查绝对值不等式解法、最值求解等基础知识,考查推理论证能力及运算求解 能力.


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