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山西省忻州市第一中学2015届高三上学期第一次四校联考文科数学试卷(解析版)


山西省忻州市第一中学 2015 届高三上学期第一次四校联考 文科数学试卷(解析版)
一、选择题
x 1.已知集合 M ? x 2 ? 1 , N ? x x ? 2 ,则 M ? N ? (

?

?

?

?

) D.(0,2)

A

.[1,2] 【答案】B 【解析】

B.[0,2]

C.[-1,1]

试题分析:由已知,得 M ? x x ? 0

?

? , N ? ?x ?2 ? x ? 2? ,所以 M ? N ?

[0,2],

选 C. 考点:1、指数不等式解法;2、绝对值不等式解法;3、集合的运算. 2.若 i 为虚数单位 ,则 ? i ? A. ? 2i 【答案】A 【解析】 试题分析:由已知得, ?i ? 考点:复数的运算. B. 0

1? i ? ( 1? i

) C. i

1 2

D. 2i

1? i (1 ? i)2 ? ?i ? ? ?i ? ?i ? ?2i . 1? i (1 ? i)(1 ? i)

1,2,3? ,从集合 A, B 中各任意取一个数,则这两个数的和等于 4 的概 3.集合 A ? ?2,3?, B ? ?
率是( A. ) B.

2 3

1 2

C.

1 3

D.

1 6

【答案】C 【解析】 试题分析: 从集合 A, B 中各任意取一个数有 6 种不同情况, 分别为 (2,1) , (2, 2) , (2,3) , (3,1) ,

(3, 2) ,(3,3) ,其中两个数的和等于 4 的情况有 (2,2) ,(3,1) 两种情况,故两个数的和等于 4
的概率是

2 1 ? . 6 3

考点:古典概型. 4 .已知双曲线 ( ) B. y ? ? 2x C.

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则此双曲线的渐近线方程为 2 2 a b

A. y ? ?2 x

y??

2 x 2

D. y ? ?

1 x 2

【答案】C 【解析】 试题分析:由已知得, e ?
2

c 2 a 2 ? b2 3 b 2 ? ? ,故 ? ,所以双曲线的渐近线方程为 2 2 a a 2 a 2

y??

2 x. 2

考点:双曲线的标准方程和简单几何性质. 5.已知等差数列 ?an ? 的前 13 项之和为 39 ,则 a6 ? a7 ? a8 ? ( A.6 【答案】B 【解析】 B.9 C.12 ) D.18

试 题 分 析 : 由 已 知 得 S13 ?

13(a1 ? a13 ) ? 13a7 ? 39 , 所 以 a7 ? 3 , 所 以 2

a6 ? a 7? a ? 9. 8 3a ? 7
考点:等差数列通项公式和前 n 项和. 6.下列说法正确的是( ) 2 2 A.命题“ ? x0∈R,x0 +x0+1<0”的否定是:“ ? x∈R,x +x+1>0”; 2 B.“x=-1”是“x -5x-6=0”的必要不充分条件; 2 2 C.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题是:若 x =1,则 x≠1; D.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题. 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 : 特 称 命 题 “ ?x0 ? M , p( x0 ) ” 的 否 定 是 “ ?x ? M, ?p( x) ” ,故 A 错;

x 2-5x-6 ? 0,则 x ? 6 或 x ? ?1 ,则“x=-1”是“x2-5x-6=0”充分不必要条件,故 B
2 错;命题“若 x =1,则 x=1”的否命题是:若 x ? 1 ,则 x≠1,故 C 错,选 D.
2

考点:含有一个量词的否定和四种命题. 7.执行如图所示的程序框图,当输出值为 4 时,输入 x 的值为(



开始 输入 x 否
x≥1?



y=1?x

y=x2

输出 y 结束

A.2 【答案】D 【解析】

B. ? 2

C.-2 或-3

D.2 或-3

? x2 , x ? 1 试题分析:该程序框图表示分段函数 f(x) ? ? ,当 y ? 4 时, x ? 2 或 ?3 . ?1 ? x, x ? 1
考点:程序框图. 8.函数 f ( x) ? 2 x ?1 ? log 2 x 的零点所在的一个区间是( A.( ) C.(

1 1 , ) 8 4

B.(

1 1 , ) 4 2

1 ,1) 2

D.(1,2)

【答案】C 【解析】 试题分析:因为 f ( ) ? ?

3 1 1 1 1 1 1 ? log 2 ? 0 , f ( ) ? ? ? log 2 ? 0 , f ( ) ? log 2 ? 0 , 4 8 4 2 4 2 2 1 . f (1) ? 1 ? 0 ,由零点存在定理得,零点所在的区间为( ,1) 2

1 8

考点:零点存在定理. 9.在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , M 为抛物线 C 上一 点,若△ OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且外接圆的面积为 9? ,则 p ? ( A.2 B.4 C.6 D.8 )

【答案】B 【解析】 试题分析:设 ?OFM 的外接圆圆心为 P ,且半径为 3,由已知得点 P 到抛物线准线的距离 等于 PF ,故点 P 在抛物线上,且点 P 的横坐标为 以 p?4 考点:抛物线的标准方程和定义. 10.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面 的面积为( )

p p p ,由抛物线定义得, ? ? 3 ,所 4 2 4

2

2

2

1

1

1

1

正视图
1 2

侧视图

1

俯视图

A.

9 2

B.3

C.4

D.

3 10 2

【答案】A 【解析】 试题分析:如图所示,正方体被面 ABCD 所截,截面 ABCD 是上底为 2 ,下底为 2 2 ,两 腰长为 5 的等腰梯形,其面积为 S ?

1 3 2 9 ( 2 ? 2 2) ? ? . 2 2 2

C

B D
1 2

A

1

考点:三视图. 11.已知函数 f ( x) ? ?

?? x 2 ? x, x ? 1 ? log0.5 x, x ? 1

, 若对于任意 x ? R ,不等式 f ( x) ?

t2 ? t ? 1 恒成 4

立,则实数 t 的取值范围是 A. ?? ?,1? ? ?2,??? B. ?? ?,1? ? ?3,??? D. ?? ?,2? ? ?3,???

1,3? C. ?
【答案】B 【解析】

试 题 分 析 : 由 已 知 得 , 只 需

f ( x)max

t2 ? ? t ?1 , 当 x ? 1 时 , 4

1 1 1 1 f ( x) ? ? x 2 ? x ? ?(x ? ) 2 ? ? ,当 x ? 1 时, f ( x) ? log0.5 x ? 0 ,故 f ( x) max ? , 2 4 4 4



t2 1 ? t ? 1 ? ,则实数 t 的取值范围是 ?? ?,1? ? ?3,??? . 4 4

考点:1、分段函数;2、函数的最值;3、二次不等式解法. 12.在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 BC 边上的高为 则

3 a, 6

c b ? 的最大值是 b c
B. 6 C. 3 2 D.4

A.8 【答案】D 【解析】

试题分析:由已知得,在△ ABC 中, a ?

1 2

3 1 a ? bc sin A ,即 a2 ? 2 3bc sin A ,又由 6 2

2 ?A 2 ? b, c 以 余 弦 定 理 得 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A , 即 a 2 ? 2 b c o s 所

c b b2 ? c 2 2 3bc sin A ? 2bc cos A ? ? ? b c bc bc
= 2 3 sin A ? 2cos A = 4 sin(A ?

?
6

) ? 4.

考点:1、三角形面积公式;2、余弦定理.

二、填空题
?x ? y ?1 ? 0 13.若实数 x, y 满足 ? ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值是 ? x?0 ? y?2 ?

【答案】3. 【解析】 试题分析:画出可行域,如图所示,将目标函数变形为 y ? ? x ? z ,当 z 取到最大值时,纵 截距最大,故当直线 y ? ? x ? z 过点 B(1, 2) 时,z 取到最大值为 3.

y C D O
考点:线性规划. 14 . 已 知 m, n 是 夹 角 为 120 的 单 位 向 量 , 向 量 a ? tm ? (1 ? t )n , 若 n ? a , 则 实 数

B

x-y+1=0

x

t?
【答案】 【解析】



2 3 1 , 因 为 n ? a , 所 以 n ? a =0 , 2

0 试 题 分 析 : 由 已 知 得 n ? m ? 1? 1? cos120 ? ?

a ? n ? tm ? n ? (1? t )n 2
=?

1 2 t ? 1 ? t ? 0 ,所以 t ? . 2 3

考点:向量的数量积运算. 15 . 三 棱 锥 P ? A B C的 四 个 顶 点 均 在 同 一 球 面 上 , 其 中 △ ABC 为 等 边 三 角 形 ,

PA ? 平面ABC , PA ? 2 AB ? 2a ,则该球的体积是
【答案】 【解析】



32 3 3 a 27

试题分析:如图所示,设 O1 , O 分别是△ ABC 的外心和球心,连接 AO1 ,并延长交圆 O1 于 点F, 连接 PF, 则 PF 是球的直径, 故 OO1 在 ?O OA ?a, R? ( 1 中,

3a 2 2 3 ) ? a2 ? a, 3 3

故该球的体积为 V ?

4? 3 32 3 3 R ? a . 3 27

P O A C F B
考点:与球有关的问题. 16.已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3sin 2 x ? 3 ,将 y ? f ( x) 的图像向左平移

O1

? 个单 6

位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,若函数 y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有

1012 个零点,则 b ? a 的最小值为 1516? 【答案】 3
【解析】 试 题 分 析 : 由











f(

?

x) x? 2

2

? x

2

s n

ix

? n

c? x

o

?
3

s ? ,x

2 则 2

? 3 x s i

s

g(x ? )

?

? s ? i? 6 3

?

1012 x [ ? ,若函数 2 ( y ? g ( x) 在 ) [a, b] 上至少含有 ] 1

个零点,则 b ? a 的最小值为 506? ? 考点:三角函数的图象与性质. 三、解答题

7? ? 1516? ? ? . 12 12 3

17.在公差不为零的等差数列{ an }中, a2 ? 3 , a1 , a3 , a7 成等比数列. (1)求数列{ an }的通项公式; (2)设数列{ an }的前 n 项和为 S n ,记 bn ?

1 .求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . S 3n

【答案】 (1) an ? n ? 1 ; (2) 【解析】

2n 9(n ? 1)

试题分析: (1)确定等差数列需要两个独立条件,由 a1 , a3 , a7 成等比数列,得 a32 ? a1 ? a7 , 其次 a2 ? 3 ,利用等差数列通项公式展开,得关于 a1 , d 的方程组,解方程组即可; (2)求

数列前 n 项和,首先考虑其通项公式,根据通项公式的不同特点,选择相应的求和方法,本 题 bn ?

1 2 ,利用错位相减法可求和. ? S3n 9n(n ? 1)

?a1 ? d ? 3 ? 试题解析:①设{ an }的公差为 d ,依题意得 ?(a1 ? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? 6d ) , ?d ? 0 ?
解得 a1 ? 2 , d ? 1 ∴ an ? 2 ? (n ? 1) ?1 ② S 3n ? 即 an ? n ? 1 . 5分 6分

3分

3n(a1 ? a3n ) 3n(2 ? 3n ? 1) 9n(n ? 1) ? ? . 2 2 2
9分

bn ?

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ) S 3n 9n(n ? 1) 9 n n ? 1

2 1 1 1 1 1 2n Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 9 2 2 3 n n ?1 9(n ? 1)
故 Tn=

2n . 9(n ? 1)

12 分

考点:1、等差数列的通项公式和前 n 项和;2、错位相减法. 18.如图五面体中,四边形 CBB1C1 为矩形,B1C1 ? 平面ABB1 N ,四边形 ABB 1 N 为梯形, 且 AB ? BB1 , BC ? AB ? AN ?

1 BB1 ? 4 . 2

(1)求证: BN ? 平面C1 B1 N ; (2)求此五面体的体积. 【答案】 (1)详见解析 ; (2)

160 3

【解析】 试题分析: (1)要证明直线和平面垂直,只需证明直线和平面内的两条相交直线垂直,本题 因为 B1C1 ? 面

ABB1N ,则 B1C1 ? BN ,故只需证明 BN ? B1 N ,在 ?BNB1 中,易求个边长度,故利用
勾股定理证明 ?BNB1 是直角,进而证明 BN ? 平面C1 B1 N ; (2)求几何体体积,若是规则 几何体,直接利用体积公式计算,若是不规则几何体,可采取割补的方法.本题中五面体的 体积可分割为 VC ? ABN , VN ? B1C1CB 两部分体积来求. 试题解析: (1)证明:连 BN ,过 N 作 NM ? BB1 ,垂足为 M , ∵ B1C1 ? 平面ABB1 N , BN ? 平面ABB1 N , ∴ B1C1 ? BN , 2分

又,BC=4,AB=4,BM=AN=4, BA ? AN , ∴ BN ?
2
2 2 2 2 4 2 ? 4 2 ? 4 2 , B1 N ? NM ? B1M ? 4 ? 4 = 4 2 ,

∵ BB1 ? 8 ? 64, B1 N ? BN ? 32 ? 32 ? 64 ,? BN ? B1 N ,
2 2

4分

∵ B1C1 ? 平面B1C1 N , B1 N ? 平面B1C1 N , B1 N ? B1C1 ? B1

? BN ? 平面C1 B1 N
(2)连接 CN, VC ? ABN ?

6分

1 1 1 32 , ? BC ? S ?ABN ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ? 3 3 2 3

8分

B 又 B1C1 ? 平面ABB1 N , 所 以 平 面 C B1C 1 ? 平 面 ABB 1N , 且 平 面 CBB1C1 ? ABB1 N ? BB1 , NM ? BB1 , NM ? 平面B1C1CB ,
∴ NM ? 平面B1C1CB , 9分 11 分 12 分

1 1 128 ? NM ? S 矩形B1C1CB ? ? 4 ? 4 ? 8 ? 3 3 3 32 128 160 此几何体的体积 V ? VC ? ABN ? V N ? B1C1CB ? ? ? 3 3 3 V N ? B1C1CB ?

考点:1、直线与平面垂直;2、几何体体积. 19.近几年出现各种食品问题,食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病.为 了解三高疾病是否与性别有关,医院随机对入院的 60 人进行了问卷调查,得到了如下的列联 表: (1)请将如图的列联表补充完整;若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽 9 人,其 中女性抽多少人? (2)为了研究三高疾病是否与性别有关, 请计算出统计量 K ,并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关? 下面的临界值表供参考:
2

P( K ? k )

2

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

(参考公式 K ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
不患三高疾病 6 合计 30

患三高疾病 男 女 合计 36

【答案】 (1) 【解析】

2 ; (2)分布列见解析,期望为 1.2 7 1 ,从而可确定从女性中抽 4

试题分析: (1)分层抽样是按比例抽样,故首先确定抽样比为 取的人数分别为; 12 ?

1 2 ? 3 人; (2)根据表中数据,带入统计量 K 计算公式中,然后与 4

临界值表中数据比较即可. 试题解析: (1) 患三高疾病 男 女 合计 24 12 36 不患三高疾病 6 18 24 合计 30 30 60

在患三高疾病人群中抽 9 人,则抽取比例为 ∴女性应该抽取 12 ? (2)∵ K ?
2

9 1 ? 36 4
6分

1 ? 3 人. 4

60(24 ? 18 ? 6 ? 12) 2 30 ? 30 ? 36 ? 24
10 分 12 分

8分

? 10 ? 7.879 , 那么,我们有 99.5% 的把握认为是否患三高疾病与性别有关系.
考点:独立性检验和分层抽样. 20.已知函数 f ( x) ? ln x ?

x?a ,其中 a 为常数,且 a ? 0 . x

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1)? 处的切线与直线 y ? x ? 1 垂直,求函数 f ( x) 的单调递 减区间;

1,3? 上的最小值为 (2)若函数 f ( x) 在区间 ?
【答案】 (1) ?0,2? ; (2) a ? e 3 .
1

1 ,求 a 的值. 3

【解析】 试题分析: (1)先求 f ?( x) ?

1 x ? ( x ? a) x ? a ? ? 2 ,由导数的几何意义知曲线 y ? f ( x) x x2 x

在点 ?1, f (1)? 处的切线斜率为 f ?(1) ? ?1 ,带入导函数中求得 a ? 2 ,令 f ' ( x) ? 0 ,解不等 式并和定义域求交集,得函数单调递减区间; (2)令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? a ,讨论 a 与定义 域? 1,3? 的位置关系,当 a 在定义域外或区间端点时,函数在给定的定义域内单调,利用单调 性求最小值;当 a 是定义域的内点时,将定义域分段,并分别判断单调性,判断函数大致图 象,从而确定函数最小值,列方程求 a . 试题解析: f ?( x) ?

1 x ? ( x ? a) x ? a ? ? 2 (x ?0) x x2 x

2分

(1)因为曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与直线 y ? x ? 1 垂直, , 所以 f ?(1) ? ?1 ,即 1 ? a ? ?1 解得 a ? 2 当 a ? 2 时, f ( x) ? ln x ? 令 f ?( x ) ? 4分

x?2 x?2 , f ?( x) ? 。 x x2
6分

x?2 ? 0 ,解得 0 ? x ? 2 所以函数的递减区间为: ?0,2? x2

(2)当 0 ? a ? 1 时, f '( x) ? 0 在(1,3)上恒成立,这时 f ( x) 在[1,3]上为增函数

? f ( x) min ? f (1) ? a ? 1

令 a ?1 ?

1 4 ,得 a ? ? 1 (舍去) 3 3

7分

当 1 ? a ? 3 时,由 f '( x) ? 0 得, x ? a ? (1,3) 对于 x ? (1, a ) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在 ?1, a? 上为减函数, 对于 x ? (a,3) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在 ? a,3? 上为增函数,

1 ? f ( x) min ? f (a ) ? ln a ,令 ln a ? ,得 a ? e 3 3

1

9分

当 a ? 3 时, f '( x) ? 0 在(1,3)上恒成立,这时 f ( x) 在 ?1,3? 上为减函数, ∴ f ?( x) min ? f (3) ? ln 3 ?
1

a a 1 ? 1 .令 ln 3 ? ? 1 ? 得 a ? 4 ? 3 ln 3 ? 2 (舍去) 3 3 3
12 分

综上, a ? e 3 考点:1、导数在单调性上的应用;2、利用导数求函数的最值. 21.已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,离心率为 ,两焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F1 的 2 a b 2

直线交椭圆 C 于 M , N 两点,且△ F2 MN 的周长为 8 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 P ?m,0 ? 作圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,求弦长 AB 的最大值.

【答案】 (1) 【解析】

x2 ? y 2 ? 1; (2)2. 4

试题分析: (1)确定椭圆标准方程需要两个独立条件,由离心率为

3 得 a , c 的关系,由椭 2

圆定义得△ F2 MN 的周长为 4 a ,从而可求得 a , c ,进而可确定椭圆方程; (2)解析几何中 的最值问题,通常是选定变量,将目标函数用一个变量表示,进而转化为求函数的最值问 题.本题中当斜率不存在时,则切线为 x ? ?1 ,此时直接计算弦长 AB ;当切线斜率存在 时,可设直线方程 y ? k ( x ? m), 利用直线和圆相切的条件,得变量 k , m 的关系,利用斜长 公式结合韦达定理,将 AB 用变量 m 表示,进而求函数 AB ? f (m) 的最大值即可.

试题解析: (1)由题得:

c 3 , 4a ? 8 ,所以 a ? 2 , c ? 3 。 ? a 2

3分

2 2 2 又 b ? a ? c ,所以 b ? 1 即椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

4分

(2)由题意知, | m |? 1 . 当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1 ,点 A、B 的坐标分别为 (1, 此时 | AB |?

3 3 ), (1,? ), 2 2
5分

3 ; 当 m=-1 时,同理可得 | AB |? 3

当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m), (k ? 0)

? y ? k ( x ? m), ? 由 ? x2 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 m x ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ? 1. ?4
设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) , 则 ? ? 64k m ? 16(1 ? 4k )(4k m ? 4) ? 48k ? 0
4 2 2 2 2 2

x1 ? x2 ?

8k 2 m 1 ? 4k
2

, x1 x2 ? 2
2

4k 2 m 2 ? 4 1 ? 4k 2
| km | k 2 ?1
2

又由 l 与圆 x ? y ? 1相切, 得

? 1, 即m 2 k 2 ? k 2 ? 1. 得 k 2 ?

1 m ?1
2

64 k 4 m ? 4( 4 k 2 m 2 ? 4) ? ] 所以 | AB |? ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) ? (1 ? k )[ (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2
2
2

?

4 3|m| m2 ? 3

9分

因为 | m |? 1

所以 | AB |?

4 3|m| ? m2 ? 3

4 3 3 |m|? |m|

? 2,

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2, 由于当 m ? ?1 时, | AB |? 3, 所以|AB|的最大值为 2. 12 分

考点:1、椭圆的标准方程和简单几何性质;2、函数的最值. 22.如图,?ABC 内接于直径为 BC 的圆 O ,过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 P , ?BAC 的平分线分别交 BC 和圆 O 于点 D、E ,若 PA ? 2 PB ? 10 .

(1)求证: AC ? 2 AB ; (2)求 AD ? DE 的值. 【答案】 (1)答案详见解析; (2)50. 【解析】 试题分析: ( 1 )将线段 AC , AB 置于 ?ABP 和 ?CAP 中,利用已知条件可证明 ?ABP ∽

AC AP ? ? 2 ,从而得证; (2)由圆的相交 AB PB 弦定理得 AD ? DE ? CD? DB ,故只需计算 CD ? DB 即可,由三角形内角平分线定理 AC CD ? ? 2 ,结合切割线定理可分别计算 CD, DB ,从而得解. AB DB 试题解析: (1)∵PA 是圆 O 的切线 ∴ ?PAB ? ?ACB 又 ? P 是公共角 ∴ ?ABP ∽ ?CAP 2分

?CAP ,故根据相似三角形对应边成比例得



AC AP ? ?2 AB PB

∴ AC ? 2 AB ∴ PC ? 20

4分

(2)由切割线定理得: PA2 ? PB ? PC 又 PB=5 ∴ BC ? 15

6分

又∵AD 是 ?BAC 的平分线 ∴ ∴ CD ? 2 DB

AC CD ? ?2 AB DB
DB ? 5
8分

∴ CD ? 10,

又由相交弦定理得: AD ? DE ? CD ? DB ? 50 10 分 考点:1、三角形相似;2、圆的相交弦定理和切割线定理;3、圆的切割线定理. 23.已知直线 l : ?

? x ? ?1 ? t cos ? ( t 为参数,?为 l 的倾斜角) ,以坐标原点为极点, x 轴 ? y ? t sin ?

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 为: ? 2 ? 6? cos? ? 5 ? 0 . (1)若直线 l 与曲线 C 相切,求 ? 的值; (2)设曲线 C 上任意一点的直角坐标为 ( x, y ) ,求 x ? y 的取值范围. 【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1) 将直线 l 的参数方程化为普通方程为 x sin ? ? y cos ? ? sin ? ? 0 , 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 ,利用直线和圆相切的条件,列方程
2 2

?
6



5? ; (2) ?3 ? 2 2,3 ? 2 2 ? ? ? 6

求 ? 的值; (2)利用圆的参数设 x ? 3 ? 2cos ? , y ? 2sin ? ,从而将 x ? y 用角 ? 表示,转 化为三角函数的取值范围问题. 试题解析: (1)曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0
2 2

即 ( x ? 3) ? y ? 4
2 2

曲线 C 为圆心为(3,0) ,半径为 2 的圆. 3分

直线 l 的方程为: x sin ? ? y cos ? ? sin ? ? 0 ∵直线 l 与曲线 C 相切 ∴

| 3sin ? ? sin ? | sin 2 ? ? cos 2 ?

?2
5分

即 sin ? ?

1 2
∴?=

∵ ??[0,π )

?
6



5? 6

6分

(2)设 x ? 3 ? 2cos ? , y ? 2sin ?

则 x ? y = 3 ? 2 cos ? ? 2sin ? ? 3 ? 2 2 sin(? ? ∴ x ? y 的取值范围是 ?3 ? 2 2,3 ? 2 2 ? .

?
4

)

9分 10 分

?

?

考点:1、直线的参数方程;2、圆的极坐标方程和参数方程. 24.已知正实数 a、 b 满足: a ? b ? 2 ab .
2 2

(1)求

1 1 ? 的最小值 m ; a b 1 | (t ? 0) ,对于(1)中求得的 m ,是否存在实数 x ,使 t

(2)设函数 f ( x) ?| x ? t | ? | x ? 得 f ( x) ?

m 成立,说明理由. 2

【答案】 (1)2; (2)不存在 【解析】
2 2 试题分析: (1) 本题体现了基本不等式和与积转化的作用, 先由 a ? b ? 2ab , 得 ab ? 1 ,



1 1 2 1 1 ? ? ,从而建立起已知和结论之间的联系,进而求得 ? 的最小值; (2)由 a b a b ab
m 成立. 2

绝对值三角不等式求得函数 f ( x ) 的最小值为 2,故不存在实数 x ,使得 f ( x ) ? 试题解析: (1)∵ 2 ab ? a ? b ? 2ab
2 2

即 ab ? ab

∴ ab ? 1

2分



1 1 2 ? ? ? 2 当且仅当 a ? b 时取等号 a b ab
5分

∴ m =2 (2) f ( x) ?| x ? t | ? | x ?

1 1 |?| t ? |? 2 t t

9分 10 分

∴满足条件的实数 x 不存在. 考点:1、基本不等式;2、绝对值三角不等式.


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