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B10江苏省扬州市2016届高三上学期期末考试数学试题


扬州市 2015—2016 学年度第一学期期末检测试题


? ?







2016.1

第一部分
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡相应位置) 1.已知集合 A ? x |

x 2 ? 2 x< 1 , 2?,则 A ? B ? 0 , B ? ?0, 2.若复数 z ? i(3 ? 2i ) ( i 是虚数单位),则 z 的虚部为 3.如图,若输入的 x 值为 . . .

? ,则相应输出的值为 3

4.某学校从高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高. 据测量被测学生身高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组 ?155 , 160?、第二组 ?160 , 165?、??、第 八组 ?190 , 195? . 按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示,估计这所学校高三年级 全体男生身高 180cm 以上(含 180cm)的人数为 5.双曲线 . . . . . .

x2 y2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为 9 16

6.从 1, 2, 3, 4, 5 这 5 个数中, 随机抽取 2 个不同的数, 则这 2 个数的和为偶数的概率是 7.已知等比数列 ?an ? 满足 a2 ? 2a1 ? 4 , a3 ? a5 ,则该数列的前 5 项的和为
2

8.已知正四棱锥底面边长为 4 2 ,体积为 32,则此四棱锥的侧棱长为 9.已知函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?

1 )( 0 ? x<? ) , 且 f (? ) ? f ( ? ) ? ( ? ? ? ) , 则? ? ? ? 3 2 3? ? ? ?? , ? ,若 m ? n ? 1 ,则 sin( 2? ? ) ? 2 ? 2 2?
1

10.已知 m ? (cos?, sin ? ) , n ? (2, 1) , ? ? ? ?

.

1 且 2 loga b ? 3 logb a ? 7 ,则 a ? 11.已知 a>b>

1 的最小值为 b ?1
2

.

12.已知圆 O:x 2 ? y 2 ? 4 , 若不过原点 O 的直线 l 与圆 O 交于 P 、Q 两点, 且满足直线 OP 、PQ 、

OQ 的斜率依次成等比数列,则直线 l 的斜率为
<a ? 2 ) , a n ?1 ? ? 13. 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? a ( 0

.

(a n>2) ?a n ? 2 * ( n? N ),记 ?? a n ? 3 (a n ? 2)
.

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,若 S n ? 2015,则 n ?

14.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? (x ? a ? x ? 2a ? 3 a) . 若集合

1 2

?x | f ( x ?1) ? f ( x) ? 0,x ? R? ? ? ,则实数 a 的取值范围为

.

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 14 分)

D、 E 分别为 BC 、 如图, 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB ? AC , CC1 中 点, BC1 ? B1 D .
(1)求证: DE // 平面 ABC 1; (2)求证:平面 AB1 D ? 平面 ABC 1.

16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 3 cos2 ?x ? sin ?x cos?x ( ?>0 )的周期为 ? . (1)当 x ? ?0, ? 时,求函数 f ( x) 的值域;

? ?? ? 2?

C 对应的边分别为 a ,b ,c , (2) 已知 ?ABC 的内角 A ,B , 若 f( )?
求 ?ABC 的面积.

A 2

b ? c ? 5, 3, 且a ? 4,

2

17. (本小题满分 15 分)如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1( a>b>0 )的左、右焦点为 F1 、 F2 , P 是 a2 b2

椭圆上一点, M 在 PF1 上,且满足 F1M ? ? MP ( ? ? R ), PO ? F2 M , O 为坐标原点.

x2 y2 ? ? 1 ,且 P( (1)若椭圆方程为 ,求点 M 的横坐标; 2,2 ) 8 4
(2)若 ? ? 2 ,求椭圆离心率 e 的取值范围.

18. (本小题满分 15 分) 某隧道设计为双向四车道,车道总宽 20 米,要求通行车辆限高 4.5 米,隧道口截面的拱线近似 地看成抛物线形状的一部分,如图 所示建立平面直角坐标系 xoy . (1 )若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱宽 l 是多少? (2)为了使施工的土方工程量最小,需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高 h 不小于 6 米, 则应如何设计 拱高 h 和拱宽 l ,使得隧道口截面面积最小?(隧道口截面面积公式为 S ?

2 lh ) 3

3

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? (ax2 ? x ? 2)e x ( a ? 0 ),其中 e 是自然对数的底数. (1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的极值; (2)若 f ( x) 在 ?? 2, 2?上是单调增函数,求 a 的取值范围; (3)当 a ? 1 时,求整数 t 的所有值,使方程 f ( x) ? x ? 4 在 ?t,t ? 1? 上有解.

[来源:学科网]

20. (本小题满分 16 分) 若数列 ?an ? 中不超过 f ( m) 的项数恰为 bm( m ? N ) , 则称数列 ?bm ? 是数列 ?an ? 的生成数列,
*

称相应的函数 f ( m) 是数列 ?an ? 生成 ?bm ? 的控制函数. (1)已知 an ? n 2 ,且 f (m) ? m ,写出 b1 、 b2 、 b3 ;
2

(2)已知 an ? 2n ,且 f (m) ? m ,求 ?bm ? 的前 m 项和 S m ;
* 3 (3) 已知 an ? 2 n , 且 f (m) ? Am ( A ? N ) , 若数列 ?bm ? 中,b1 ,b2 ,b3 是公差为 d ( d ? 0 )

的等差数列,且 b3 ? 10 ,求 d 的值及 A 的值.

4

第二部分(加试部分)
21.(本小题满分 10 分) 已知直线 l:x ? y ? 1 在矩阵 A ? ?

?m n ? 求矩阵 A . ? 对应的变换作用下变为直线 l ?:x ? y ? 1, ?0 1?

[来源:Zxxk.Com]

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

22. (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,求圆 ? ? 8 sin ? 上的点到直线 ? ?

?
3

( ? ? R )距离的最大值.

[来源:Z*xx*k.Com]

5

23. (本小题满分 10 分) 某商场举办“迎新年摸球”活动,主办方准备了甲、乙两个箱子,其中甲箱中有四个球,乙箱 中有三个球(每个球的大小、形状完全相同),每一个箱子中只有一个红球,其余都是黑球 . 若摸 中甲箱中的红球,则可获奖金 m 元,若摸中乙箱中的红球,则可获奖金 n 元. 活动规定:①参与者 每个箱子只能摸一次,一次摸一个球;②可选择先摸甲箱,也可先摸乙箱;③如果在第一个箱子中 摸到红球,则可继续在第二个箱子中摸球,否则活动终止. (1)如果参与者先在乙箱中摸球,求其恰好获得奖金 n 元的概率; (2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大,请你帮他设计摸箱子的顺序,并说明理由.

24. (本小题满分 10 分)
2 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ,设数列 ?an ? 满足: a1 ?

1 , an?1 ? f (an ) . 4

< a n< ; (1)求证: ?n ? N ,都有 0
*

1 3

(2)求证:

3 3 3 ? ??? ? 4 n ?1 ? 4 . 1 ? 3a1 1 ? 3a 2 1 ? 3a n

6

扬州市 2015-2016 学年度第一学期高三期末调研测试

数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案
2016.1 一、填空题 1. ?1? 9. 2.3 10. ? 3.

1 2

4.144 11. 3

5.4 12. ?1

6.

2 5

7.31

8.5

7? 6

7 25

13.1343

1 14. (??, ] 6

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.证明:(1)? D 、 E 分别为 BC 、 CC1 中点,? DE / / BC1 ,
? DE ? 平面 ABC1 , BC1 ? 平面 ABC1 ? DE / / 平面 ABC1

????2 分 ????6 分 ?8 分

(2)直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC

? AD ? 平面 ABC ?CC1 ? AD

? AB ? AC , D 为 BC 中点 ? AD ? BC ,又? CC1 ? BC ? C , CC1 , BC ? 平面 BCC1 B1 ,

? AD ? 面BCC1 B1

? BC1 ? 平面 BCC1 B1 ? AD ? BC1

????11 分
? BC1 ? 平面 AB1 D

又? BC1 ? B1 D , B1 D ? AD ? D , B1 D , AD ? 平面 AB1 D
? BC1 ? 平面 ABC1

? 平面 AB1 D ? 平面 ABC1
3 1 ? 3 (1 ? cos 2? x) ? sin 2? x ? sin(2? x ? ) ? 2 2 3 2

????14 分 ????2 分

16.解:(1) f ( x) ?

? 3 2? ????4 分 ? ? ,解得 ? ? 1 ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 3 2 2? 3 ? ? ? ? 4 ? sin(2 x ? ) ? 1 , 又 0 ? x ? , 得 ? 2x ? ? ? , ? 2 3 2 3 3 3 ? 3 3 3 ? ? 1] .???7 分 0 ? sin(2 x ? ) ? ? ? 1 即函数 y ? f ( x) 在 x ? [0, ] 上的值域为 [0, 2 3 2 2 2
? f ( x) 的周期为 ? ,且 ? ? 0 ,?

? 3 A (2)? f ( ) ? 3 ? sin( A ? ) ? 3 2 2 ? 2 ? 解得: A ? ? ? ,所以 A ? 3 3 3

由 A ? (0, ? ) ,知

?
3

? A?

?

4 ? ?, 3 3
????9 分

由余弦定理知: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,即 16 ? b 2 ? c 2 ? bc ?16 ? (b ? c)2 ? 3bc ,因为 b ? c ? 5 ,所以 bc ? 3 1 3 ∴ S?ABC ? bc sin A ? 3. 2 4

????12 分 ????14 分

17.(1)?

x2 y 2 ? ?1 8 4

? F1 (?2,0), F2 (2,0)

? kOP ?

2 2 , k F2 M ? ? 2, k F1M ? 2 4

7

? 直线 F2 M 的方程为: y ? ? 2( x ? 2) ,直线 F1M 的方程为: y ?

2 ( x ? 2) ????4 分 4

? y ? ? 2( x ? 2) 6 6 ? 由? 解得: x ? ????6 分 ? 点 M 的横坐标为 2 5 5 ( x ? 2) ?y? ? 4 (2)设 P( x0 , y0 ), M ( xM , yM ) ????? ???? ????? 2 ????? ? 2 2 1 2 4 2 ? F1M ? 2MP ? F1M ? ( x0 ? c, y0 ) ? ( xM ? c, yM ) ? M ( x0 ? c, y0 ), F2 M ? ( x0 ? c, y0 ) 3 3 3 3 3 3 3 ??? ? 2 4 2 2 ? PO ? F2 M , OP ? ( x0 , y0 ) ?( x0 ? c) x y ?0 0 ? 0 3 3 3 即 x02 ? y02 ? 2cx0 ????9 分
? x0 2 ? y0 2 ? 2cx0 ? 联立方程得: ? x 2 y 2 ,消去 y0 得: c2 x02 ? 2a2cx0 ? a2 (a2 ? c2 ) ? 0 0 0 ? 2 ? 2 ?1 b ? a a ( a ? c) a ( a ? c) 解得: x0 ? 或 x0 ? ????12 分 c c a(a ? c) 1 ? ?a ? x0 ? a ? x0 ? ? (0, a) ? 0 ?a 2 ?a c ? a c 解得: e ? 2 c 1 综上,椭圆离心率 e 的取值范围为 ( ,1) . ????15 分 2 3 18.解:(1)设抛物线的方程为: y ? ?ax2 (a ? 0) ,则抛物线过点 (10, ? ) , 2 3 代入抛物线方程解得: a ? , ????3 分 200 令 y ? ?6 ,解得: x ? ?20 ,则隧道设计的拱宽 l 是 40 米; ????5 分
9 h? 9 2 (2)抛物线最大拱高为 h 米, h ? 6 ,抛物线过点 (10, ?(h ? )) ,代入抛物线方程得: a ? 100 2 9 9 2 h? l 100 h l 100 h 2 x 2 ? ? h ,解得: x 2 ? 令 y ? ?h ,则 ? ,则 ( )2 ? ,h ? 2 2 ???9 分 9 9 100 l ? 400 2 h? h? 2 2 9 2 9 2 l l 2 2 3l 3 ?h ? 6 ? 2 2 ? 6 即 20 ? l ? 40 ? S ? lh ? l ? 2 2 ? 2 (20 ? l ? 40) l ? 400 3 3 l ? 400 l ? 400 ???12 分 2 2 3 2 2 2 9l (l ? 400) ? 3l ? 2l 3l (l ? 1200) 3l (l ? 20 3)(l ? 20 3) ?S ' ? ? ? (l 2 ? 400)2 (l 2 ? 400)2 (l 2 ? 400)2

当 20 ? l ? 20 3 时,S ' ? 0 ; 当 20 3 ? l ? 40 时,S ' ? 0 , 即 S 在 (20,20 3) 上单调减, 在 (20 3,40] 27 上单调增,? S 在 l ? 20 3 时取得最小值,此时 l ? 20 3 , h ? 4 27 答:当拱高为 米,拱宽为 20 3 米时,使得隧道口截面面积最小. ???15 分 4 19.解:(1) f ( x) ? (2 x2 ? x ? 2)e x ,则 f ' ( x) ? (2x2 ? 5x ? 3)e x ? ( x ? 1)(2x ? 3)e x 令 f ' ( x) ? 0 , x ? ?1, ? ???2 分

3 2

8

x
f ' ( x)
f ( x)

3 (??, ? ) 2

?

3 2
0

3 (? , ?1) 2
?

?1
0 极小值

( ?1, ?? )

?

3 ? 2

?


极大值



3 ? f ( x)极大值 =f (? ) ? 5e 2

, f ( x)极小值 =f (?1) ? 3e?1

???4 分

2 x (2)问题转化为 f ' ( x) ? ? ?ax ? (2a ? 1) x ? 3? ? e ? 0 在 x ? [?2, 2] 上恒成立;

又 ex ? 0

即 ax2 ? (2a ? 1) x ? 3 ? 0 在 x ? [?2, 2] 上恒成立;
? a ? 0 ,对称轴 x ? ?1 ?

???6 分

令g ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? 3

1 ?0 2a

①当 ?1 ?

1 1 ? ?2 ,即 0 ? a ? 时, g ( x) 在 [ ?2, 2] 上单调增, 2a 2 ?0 ? a ? 1 2
???8 分

? g ( x)min ? g (?2) ? 1 ? 0

②当 ?2 ? ?1 ?

1 1 1 1 ? 0 ,即 a ? 时, g ( x) 在 [?2, ?1 ? ] 上单调减,在 [?1 ? , 2] 上单调增, 2 2a 2a 2a
3 3 ? a ?1? 2 2 1 3 ? ? a ?1? 2 2

?? ? (2a ? 1)2 ? 12a ? 0 解得: 1 ?

综上, a 的取值范围是 (0,1 ?

3 ]. 2

???10 分

(3)? a ? 1, 设 h( x) ? ( x2 ? x ? 2)e x ? x ? 4 , h' ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3)e x ? 1 令 ? ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3)e x ? 1 , ? ' ( x) ? ( x2 ? 5x ? 6)e x 令 ? ' ( x) ? ( x2 ? 5x ? 6)e x ? 0, 得x ? ?2, ?3

x

(??, ?3)

?3
0 极大值

(?3, ?2)
?

?2
0 极小值

(?2, ??)

? ' ( x)
? ( x)
?? ( x)极大值 =? (?3) ?

?


?




3 1 ? 1 ? 0 , ? ( x)极小值 =? (?2) ? 2 ? 1 ? 0 3 e e

???13 分

1 +?)时? ( x) ? 0 ?? (?1) ? ? 1 ? 0,? (0) ? 2 ? 0 ? 存在x0 ? (?1,0), x ? (-?,x0 )时? ( x) ? 0,x ? ( x0 , e
? h ( x ) 在 (??, x0 ) 上单调减,在 ( x0 , ??) 上单调增

又? h(?4) ?

14 8 ? 0, h(?3) ? 3 ? 1 ? 0, h(0) ? ?2 ? 0, h(1) ? 4e ? 5 ? 0 4 e e
???16 分
? b2 ? 2

由零点的存在性定理可知: h( x) ? 0的根x1 ? (?4, ?3), x2 ? (0,1) 即 t ? ?4, 0 . 20.解:(1) m ? 1 ,则 a1 ? 1 ? 1
? b1 ? 1 ; m ? 2 ,则 a1 ? 1 ? 4 , a2 ? 4 ? 4
9

m ? 3 ,则 a1 ? 1 ? 9 , a2 ? 4 ? 9

a3 ? 9 ? 9

? b3 ? 3

????3 分

(2) m 为偶数时,则 2n ? m ,则 bm ?
?m ?1 (m为奇数) ? ? 2 ? bm ? ? ?m (m为偶数) ? ? 2

m m ?1 ; m 为奇数时,则 2 n ? m ? 1 ,则 bm ? ; 2 2
????5 分

1 1 m m2 ; m 为偶数时,则 Sm ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? (1 ? 2 ? ? ? m) ? ? ? 2 2 2 4

m 为奇数时,则 Sm ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? Sm?1 ? bm?1 ?
? m2 ? 1 (m为奇数) ? ? 4 ? Sm ? ? 2 ?m (m为偶数) ? ? 4

(m ? 1)2 m ? 1 m2 ? 1 ; ? ? 4 2 4
????8 分

(3)依题意: an ? 2n , f (1) ? A , f (2) ? 8 A , f (5) ? 125 A , 设 b1 ? t ,即数列 {an } 中,不超过 A 的项恰有 t 项,所以 2t ? A ? 2t ?1 , 同理: 2t +d ? 8 A ? 2t ? d ?1 , 2t + 2d ? 125 A ? 2t ? 2d ?1 ,
t t ?1 ? 2 ? A?2 , 2t +2d 2t ?2d ?1 ? t +d ? 3 ? A ? 2t ? d ? 2 , 故 max{2t ,2t +d ?3 , 即? 2 } ? A ? min{2t ?1 ,2t ?d ?2 , } 125 125 ? 2t + 2 d t ? 2 d ?1 2 ? ? A? , 125 125

2t +d ?3 ? 2t ?1 , ? 由 ? 2t + 2 d 得 d ? 4 ,? d 为正整数 ? 2t ? d ? 2 , ? 125
当 d ? 1 时, max{2t ,2t +d ?3 ,

? d ? 1 , 2 ,, 3

????10 分

2t +2d 2t 4 ? 2t }= max{2t , , } ? 2t , 125 4 125 2t ? 2d ?1 2t 8 ? 2t 8 ? 2t }= min{2t ?1 , , }? ? 2t 不合题意,舍去; 125 2 125 125 2t ? 2d 16 ? 2t }= max{2t ,2t ?1 , } ? 2t , 125 125 2t ?2d ?1 32 ? 2t 32 ? 2t }= min{2t ?1 ,2t , }? ? 2t 不合题意,舍去; 125 125 125 2t +2d 64 ? 2t }= max{2t ,2t , } ? 2t , 125 125 2t ? 2d ?1 128 ? 2t 128 ? 2t }= min{2t ?1 ,2t +1 , }? ? 2t 适合题意,???12 分 125 125 125

min{2t ?1 ,2t ?d ?2 ,
当 d ? 2 时, max{2t ,2t +d ?3 ,

min{2t ?1 ,2t ?d ?2 ,
当 d ? 3 时, max{2t ,2t +d ?3 ,

min{2t ?1 ,2t ? d ?2 ,

10

此时 2t ? A ?
? b3 ? 10

128 t ? 2 , b1 ? t , b2 ? t ? 3, b5 ? t ? 6 ,? t ? 3 ? b3 ? t ? 6 125

?4 ? t ? 7

?t 为整数

? t ?4 , t ? 5 ,t ? 或 6 t?7

? f (3) ? 27 A , b3 ? 10

1 1 ? 21 0 ? 2 7 A ? 2 ?

210 211 ? A? 27 27

???14 分

当 t ? 4 时, 24 ? A ? 当 t ? 5 时, 25 ? A ? 当 t ? 6 时, 26 ? A ? 当 t ? 7 时, 27 ? A ?

211 125
212 125

? 无解 ? 无解

213 125 214 125

?64 ? A ?
? 无解

213 125

? 26 ? A ?

213 125

? A? N *

? A ? 64 或 A ? 65

综上: d ? 3 , A ? 64 或 65 .

???16 分

2015-2016 学年度第一学期高三期末调研测试

数 学 试 题 Ⅱ 参 考 答 案
21.解:(1)设直线 l : x ? y ? 1 上任意一点 M ( x, y) 在矩阵 A 的变换作用下,变换为点 M ?( x?, y?) .

由? ? ? ?

? x '? ? y '?

? x? ? mx ? ny ? m n ? ? x ? ? mx ? ny ? , 得 ? ? ?? ? ? ? ? y? ? y ? 0 1? ? y ? ? y ?

????5 分

又点 M ?( x?, y?) 在 l ? 上,所以 x? ? y? ? 1 ,即 (mx ? ny) ? y ? 1 依题意 ?

? m ?1 ?m ? 1 ?1 2 ? ,解得 ? ,? A ? ? ? ?0 1 ? ?n ? 2 ?n ? 1 ? 1

????10 分

22.解:圆的直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 4)2 ? 16 , 直线的直角坐标方程为 y ? 3x ,
) 直线的距离为 d? 圆 心 ( 0 , 4到
D ?d ?r ? 2?4?6 .

????3 分 ???? 6 分

0?4 (? 3)2 ? 12

?2 , 则 圆 上 点 到 直 线 距 离 最 大 值 为
????10 分

11

23.解:(1)设参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金 n 元为事件 M .

则 P(M ) ?

1 3 1 ? ? 3 4 4

即参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金 n 元的概率为
????4 分

1 . 4

(2)参与者摸球的顺序有两种,分别讨论如下: ①先在甲箱中摸球,参与者获奖金 x 可取 0, m, m + n 则 P(x = 0) =

3 1 2 , P(x = m) = ? 4 4 3

1 1 1 1 , P(x = m + n) = ? 6 4 3 12

Ex = 0?

3 1 1 m? ( m + n) ? 4 6 12

m n + 4 12

????6 分

②先在乙箱中摸球,参与者获奖金 h 可取 0, n, m + n
2 1 3 1 1 1 1 则 P(? ? 0) ? , P(? ? n) ? ? ? , P(? ? m ? n) ? ? ? 3 3 4 4 3 4 12

Eh = 0?

2 1 1 n? ( m + n) ? 3 4 12
2m - 3n 12

m n + 12 3

????8 分

Ex - Eh =
当 当 当

m 3 ? 时,先在甲箱中摸球,再在乙箱中摸球,参与者获奖金期望值较大; n 2

m 3 = 时,两种顺序参与者获奖金期望值相等; n 2 m 3 < 时,先在乙箱中摸球,再在甲箱中摸球,参与者获奖金期望值较大. n 2 m 3 m 3 ? 时,先在甲箱中摸球,再在乙箱中摸球,参与者获奖金期望值较大;当 = 时, n 2 n 2 m 3 < 时,先在乙箱中摸球,再在甲箱中摸球,参与者 n 2
????10 分

答:当

两种顺序参与者获奖金期望值相等;当 获奖金期望值较大.
24.(1)解:①当 n ? 1 时, a1 ?
? n ? 1 时,不等式成立

1 1 , 有 0 ? a1 ? 4 3
????1 分

②假设当 n ? k (k ? N * ) 时,不等式成立,即 0 ? ak ? 则当 n ? k ? 1 时,

1 3

2 1 1 2 2 ak ?1 ? f (ak ) ? 2ak ? 3ak ? ?3(ak ? ak ) ? ?3(ak ? )2 ? 3 3 3
1 1 于是 ? ak ?1 ? 3( ? ak )2 3 3
12

1 1 1 1 1 1 ? 0 ? ak ? ,? 0 ? 3( ? ak )2 ? ,即 0 ? ? ak ?1 ? ,可得 0 ? ak ?1 ? 3 3 3 3 3 3
所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立 由①②,可知,对任意的正整数 n ,都有 0 ? an ?

1 3

????4 分

1 1 (2)由(1)可得 ? an?1 ? 3( ? an )2 3 3 1 1 两边同时取 3 为底的对数,可得 log3 ( ? an?1 ) ? 1 ? 2log3 ( ? an ) 3 3 1 1 化简为 1 ? log3 ( ? an?1 ) ? 2[1 ? log3 ( ? an )] 3 3 1 1 所以数列 {1 ? log3 ( ? an )} 是以 log3 为首项, 2 为公比的等比数列 4 3
????7 分

n ?1 1 1 1 1 2n?1 1 1 ? 3?42 ( ) ,? ?1 ? log3 ( ? an ) ? 2n?1 log3 ,化简求得: ? an ? ? 1 3 3 4 3 4 ? an 3

0 1 2 n ?1 ? n ? 2 时, 2n?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? ? ? Cn ?1 ? 1 ? n ? 1 ? n ,

n ? 1 时, 2n ?1 ? 1

? n ? N * 时, 2n ?1 ? n ,?

1 1 ? an 3

? 3 ? 42

n ?1

? 3 ? 4n

1 1 ? a1 3
?

?

1 1 ? a2 3

???

1 1 ? an 3

? 3[42 ? 42 ? ? ? 42 ] ? 3[41 ? 42 ? ? ? 4n ] ? 4n ?1 ? 4

0

1

n ?1

3 3 3 ? ??? ? 4n ?1 ? 4 . 1 ? 3a1 1 ? 3a2 1 ? 3an

????10 分

13


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