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2012届高考数学一轮复习课后强化作业8.5双曲线(文理合用 人教A版)


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2012 届高考数学一轮复习课后强化作业 8.5 双曲线
一、选择题 1.(2010?全国Ⅰ文)已知 F1、F2 为双曲线 C?x -y =1 的左、右焦点,点 P 在 C 上, ∠F1PF2=60°,则|PF1|?|PF2|=( A.2 C.6 [答案] B [解析] 在△F1PF2 中,由余弦定理 |PF1| +|PF2| -|F1F2| cos60°= 2|PF1|?|PF2|
2 2 2 2 2 2 2

) B.4 D.8

= =

(|PF1|-|PF2|) -|F1F2| +2|PF1|?|PF2| 2|PF1|?|PF2| 4a -4c -2b +1= +1, 2|PF1||PF2| |PF1|?|PF2|
2 2 2

∵b=1,∴|PF1|?|PF2|=4. 2.(文)(2010?北京西城区抽检)已知双曲线中心在原点,一个焦点为 F1(- 5,0), 点 P 位于该双曲线上,线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是( A.x - =1 4 C. - =1 2 3 [答案] A [解析] 设双曲线方程为 2- 2=1, 由条件知,a +b =5(1) 5 16 又 P( 5,4)在双曲线上,∴ 2- 2 =1(2)
2 2 2

)

y

2

B. -y =1 4 D. - =1 3 2

x

2 2

x2 y2

x2 y2

x2 y2 a b

a

b

由(1)(2)解得 a =1,b =4, ∴双曲线方程为 x - =1. 4
2

2

2

y2

x2 y2 (理)(2010?天津理)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它 a b
的一个焦点在抛物线 y =24x 的准线上.则双曲线的方程为( A. - =1 36 108
2

)

x

2

y

2

B. - =1 9 27

x

2

y

2

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C. - =1 108 36

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D. - =1 27 9

x2

y2

x2

y2

[答案] B [解析] 由题易知 = 3① 且双曲线焦点为(6,0)、(-6,0), 则有 a +b =36② 由①②知:a=3,b=3 3, ∴双曲线方程为 - =1,故选 B. 9 27 3.(2010?新课标全国理)已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直 线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为( A. - =1 3 6 C. - =1 6 3 [答案] B [解析] 设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由题意知 c=3,a +b =9,设 A(x1, )
2 2

b a

x2

y2

x2 y2 x2 y2

B. - =1 4 5 D. - =1 5 4

x2 y2 x2 y2

x2 y2 a b

2

2

x y ? ? a - b =1 y ),B(x ,y )则有:? x y ?a -b =1 ?
1 2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2

2 1 2

,两式作差得:

y1-y2 b2(x1+x2) 4b2 = = ,又 AB 的斜 x1-x2 a2(y1+y2) 5a2

-15-0 x 2 2 2 2 2 2 率是 =1,所以 4b =5a 代入 a +b =9 得 a =4,b =5,所以双曲线标准方程是 - -12-3 4

2

y2
5

=1,故选 B. 4.(文)如图在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,当动点 M 在底面 ABCD 内运动时,总有:D1A=

D1M,则动点 M 在面 ABCD 内的轨迹是( )上的一段弧.(

)

A.圆 C.双曲线 [答案] A

B.椭圆 D.抛物线

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[解析] 因为满足条件的动点在底面 ABCD 内运动时,动点的轨迹是以 D1D 为轴线,以

D1A 为母线的圆锥,与平面 ABCD 的交线即圆的一部分.故选 A.
(理)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两焦点为 F1、F2,点 Q 为双曲线左支上除顶点外的 任一点,过 F1 作∠F1QF2 的平分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹是( A.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 [答案] D [解析] 延长 F1P 交 QF2 于 R,则|QF1|=|QR|. ∵|QF2|-|QF1|=2a,∴|QF2|-|QR|=2a=|RF2|, 1 又|OP|= |RF2|,∴|OP|=a. 2 5.若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是 ( ) A.?- C.?-
2 2

x2 y2 a b

)

B.双曲线的一部分 D.圆的一部分

? ? ? ?

15 15? , ? 3 3 ? 15 ? ,0? 3 ?

B.?0, D.?-

? ? ? ?

15? ? 3 ? 15 ? ,-1? 3 ?

[答案] D [解析] 直线与双曲线右支相切时,k=- 15 ,直线 y=kx+2 过定点(0,2),当 k=- 3

1 时,直线与双曲线渐近线平行,顺时针旋转直线 y=-x+2 时,直线与双曲线右支有两个 交点, ∴- 15 <k<-1. 3

6. (文)已知 F1、 F2 是双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两个焦点, 以线段 F1F2 为边作正△MF1F2, 若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为( A.4+2 3 C. 3+1 2 B. 3-1 D. 3+1 )

x2 y2 a b

[答案] D [解析] 设线段 MF1 的中点为 P,由已知△F1PF2 为有一锐角为 60°的直角三角形, ∴|PF1|、|PF2|的长度分别为 c 和 3c. 由双曲线的定义知:( 3-1)c=2a,

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∴e= = 3+1. 3-1 2

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(理)(2010?浙江金华十校模考)设 F1、F2 是双曲线 -y =1 的两个焦点,点 P 在双曲 4 → → → → 线上,且PF1?PF2=0,则|PF1|?|PF2|的值为( A.2 C.4 [答案] A [解析] 由双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a=4, ∵a =4,b =1,∴c =5, → → ∵PF1?PF2=0, ∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| =4c =20, (|PF1| +|PF2| )-(|PF1|-|PF2|) → → ∴|PF1|?|PF2|= 2 = 20-16 =2,故选 A. 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

2

)

B.2 2 D.8

7. (文)已知椭圆 2+ 2=1 和双曲线 2- 2=1 有公共的焦点, 那么双曲线的渐近线 3m 5n 2m 3n 方程为( ) 15 y 2 3 y 4 B.y=± D.y=± 15 x 2 3 x 4

x2

y2

x2

y2

A.x=± C.x=±

[答案] D [解析] 由题意 c =3m -5n =2m +3n , ∴m =8n , ∴双曲线渐近线的斜率 k=± 3 x. 4 3|n| 3 =± . 4 2|m|
2 2 2 2 2 2 2

方程为 y=±

(理)(2010?广东四校)设 F1,F2 为曲线 C1: + =1 的焦点,P 是曲线 C2: -y =1 6 2 3 与 C1 的一个交点,则△PF1F2 的面积为( A. 1 4 ) B.1 D.2 2

x 2 y2

x2

2

C. 2
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[答案] C

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[解析]

x y ? ? 6 + 2 =1 ∵P 是曲线 C 与 C 的交点, ∴联立方程组? x ? ? 3 -y =1
1 2 2 2

2

2

解之得, |y|=

2 , 2

1 1 2 ∴S△PF1F2= ?|F1F2|?|y|= ?4? = 2.故选 C. 2 2 2 8.(文)(2010?山东烟台)设 F1,F2 分别是双曲线 x - =1 的左、右焦点,若点 P 在双 9 → → → → 曲线上,且PF1?PF2=0,则|PF1+PF2|=( A. 10 C. 5 [答案] B [解析] ∵F1、F2 为双曲线的左右焦点,∴F1(- 10,0),F2( 10,0),由向量加法的 → → → 平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知,|PF1+PF2|=|2PO|=2 10,故选 B. (理)(2010?福建理)若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y =1(a>0)的中心和左焦 → → 点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则OP?FP的取值范围为( A.[3-2 3,+∞) 7 C.[- ,+∞) 4 [答案] B [解析] a +1=2 =4,∴a =3,∴双曲线方程为 -y =1. 3 → → 设 P 点坐标为(x,y),则OP=(x,y),FP=(x+2,y),
2 2 2 2

y2

)

B.2 10 D.2 5

x2 a

2

)

B.[3+2 3,+∞) 7 D.[ ,+∞) 4

x2

2

x → → 2 2 2 ∵y = -1,∴OP?FP=x +2x+y 3 x 4 2 2 =x +2x+ -1= x +2x-1 3 3
4 3 2 7 = (x+ ) - . 3 4 4 又∵x≥ 3(右支上任意一点) → → ∴OP?FP≥3+2 3.故选 B. 9.(文)(2010?合肥市)中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线 C 的两条渐近线与圆(x -2) +y =1 都相切,则双曲线 C 的离心率是(
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2 2 2

2

)

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A. 2 3 或2 3 6 2

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B.2 或 3 2 3 6 或 3 2

C. 3或

D.

[答案] A [解析] 焦点在 x 轴上时,由条件知 = 在 y 轴上时, = 3,此时 e=2. (理)(2010?福建宁德一中)已知抛物线 x =2py(p>0)的焦点 F 恰好是双曲线 2- 2=1 的一个焦点,且两条曲线交点的连线过点 F,则该双曲线的离心率为( A. 2 C.1+ 2 [答案] C [解析] 由题意知 =c,根据圆锥曲线图象的对称性,两条曲线交点的连线垂直于 y 2 2b
2 2

b a

1 3

,∴

c2-a2 1 c 2 3 = ,∴e= = ,同理,焦点 2 a 3 a 3

b a

y2 x2 a b

)

B.1± 2 D.无法确定

p

轴,对双曲线来说,这两个交点连线的长度是 2b 2 是 2p,∵p=2c, =4c,∴b =2ac,
2

a

,对抛物线来说,这两个交点连线的长度

a

∴c -a =2ac,∴e -2e-1=0,解得 e=1± 2, ∵e>1,∴e=1+ 2.

2

2

2

? ? ? ? 10.(2010?辽宁锦州)△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B?- ,0?,C? ,0?(其中 ? 2 ? ?2 ?
m m m>0,且 m 为常数),且满足条件 sinC-sinB= sinA,则动点 A 的轨迹方程为(
A. 16y
2

1 2

)

16x - 2 =1 m 3m
2 2

2

2

B.

- =1 16 16 3 16x
2 2

x2

y2

16y m C. 2 - 2 =1(x> ) m 3m 4 [答案] C

16x

16y D. 2 - 2 =1 m 3m

1 m [解析] 依据正弦定理得:|AB|-|AC|= |BC|= <|BC| 2 2

m m 3m 2 2 2 ∴点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的双曲线的右支,且 a= ,c= ,∴b =c -a = 4 2 16

2

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2 2

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16x 16y m ∴双曲线方程为 2 - 2 =1(x> ) m 3m 4 二、填空题 11.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线为 mx-y=0,若 m 为集合 {1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值,则使得双曲线的离心率大于 3 的概率是________. [答案] 7 9
2 2 2 2

[解析] 由题意知双曲线方程可设为 m x -y =1,从而 e= m +1>3? m>2 2,故所求 7 7 概率是 ,故填 . 9 9 12.设双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 平行双曲线的一条渐近线的 9 16 直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为________. [答案] 32 15

x2

y2

4 [解析] 如图,双曲线的渐近线方程为 y=± x,F(5,0), 3

4 ∴直线 BF:y= (x-5), 3

? ? 9 -16=1 解? 4 ? ?y=3(x-5)

x2

y2

32 得 y=- , 15

1 32 32 又|AF|=5-3=2,∴S△AFB= ?2? = . 2 15 15 13.(2010?北京东城区)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1,F2,P 为双曲 线上一点,且|PF1|=3|PF2|,则该双曲线离心率的取值范围是________. [答案] 1<e≤2 [解析] 由题意?
?|PF1|-|PF2|=2a ? ? ?|PF1|=3|PF2|

x2 y2 a b



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?|PF1|=3a ? ∴? ?|PF2|=a ?



∵|PF1|≥|AF1|,∴3a≥a+c, ∴e= ≤2,∴1<e≤2.

c a

x2 y2 14.(文)已知 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)右支上的一点,F1(-c,0),F2(c,0)分别 a b
是其左、右焦点,则△PF1F2 的内切圆圆心的横坐标为________. [答案] a [解析] 令内切圆与 F1F2 的切点为 G,与 PF1 的切点为 H,与 PF2 的切点为 K,则(|PH| +|HF1|)-(|PK|+|KF2|)=|F1G|-|GF2|=2a, 又|F1G|+|GF2|=2c,则|F1G|=a+c,∴切点为右顶点,易知圆心的横坐标为 a. (理)(2010?天津文, 13)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程是 y= 3

x2 y2 a b

x,它的一个焦点与抛物线 y2=16x 的焦点相同,则双曲线的方程为________.
[答案]

x2
4



y2
12

=1
2

[解析] 由抛物线 y =16x 的焦点坐标为(4,0),得 c=4. 又∵双曲线的渐近线方程为 y=± 3x 得 = 3? b= 3a, 又∵c =a +b ,解得 a=2,

b a

2

2

2

b=2 3.
三、解答题 15.(文)设双曲线 2- =1 的焦点分别为 F1、F2,离心率为 2. a 3 (1)求此双曲线的渐近线 l1、l2 的方程; (2)设 A、B 分别为 l1、l2 上的动点,且 2|AB|=5|F1F2|,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程, 并说明是什么曲线.

y2 x2

a2+3 x2 2 2 [解析] (1)∵ =2,∴a =1,∴双曲线方程为 y - =1,∴渐近线方程为: 3 | a| 3 y-x=0 和 3y+x=0.
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(2)∵|F1F2|=4,2|AB|=5|F1F2|,∴|AB|=10,设 A 在 l1 上,B 在 l2 上,则设 A( 3y1,

y1),B(- 3y2,y2),
∴ 3(y1+y2) +(y1-y2) =10 ①, 设 AB 中点(x,y),则 x= ∴y1-y2= 2x 3 3y1- 3y2 y1+y2 ,y= , 2 2
2 2

,y1+y2=2y,
2 2

4 2 x 3y 2 代入①得 12y + x =100,即 + =1. 3 75 25 即所求轨迹为焦点在 x 轴上,中心在原点的椭圆. (理)已知双曲线的中心在原点,离心率为 2,一个焦点 F(-2,0) (1)求双曲线方程; → → (2)设 Q 是双曲线上一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M,若|MQ|=2|QF|,求 直线 l 的方程. [解析] (1)由题意可设所求的双曲线方程为

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2
则有 e= =2,c=2,∴a=1,则 b= 3 ∴所求的双曲线方程为 x - =1. 3 (2)∵直线 l 与 y 轴相交于 M 且过焦点 F(-2,0) ∴l 的斜率 k 一定存在,设为 k,则 l:y=k(x+2) 令 x=0 得 M(0,2k) → → ∵|MQ|=2|QF|且 M、Q、F 共线于 l → → → → ∴MQ=2QF或MQ=-2QF 4 2 → → 当MQ=2QF时,xQ=- ,yQ= k 3 3
2

c a

y2

? 4 2 ? ∴Q?- , k?, ? 3 3 ?
∵Q 在双曲线 x - =1 上, 3 16 4k 21 ∴ - =1,∴k=± , 9 27 2 → → 当MQ=-2QF时,
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2 2

y2

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4k 3 16- =1,∴k=± 5 3 2 则所求的直线 l 的方程为:
2

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同理求得 Q(-4,-2k)代入双曲线方程得,

y=±

21 3 5 (x+2)或 y=± (x+2). 2 2

16.(2010?湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3, 0). (1)求双曲线 C 的方程; → → (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且OA?OB>2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围.

x2 y2 [解析] (1)设双曲线 2- 2=1, a b
由已知得 a= 3,c=2,再由 a +b =2 得,b =1, 故双曲线 C 的方程为 -y =1. 3 (2)将 y=kx+ 2代入 -y =1 中得, 3 (1-3k )x -6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得
2 2 2 2 2 2

x2

2

x2

2

?1-3k ≠0 ? ?Δ =(6 2k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)>0
1 2 2 ∴k ≠ 且 k <1① 3 设 A(xA,yA),B(xB,yB), 6 2k -9 则 xA+xB= 2,xAxB= 2 1-3k 1-3k → → 由OA?OB>2 得,xAxB+yAyB>2,

2



xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+ 2)(kxB+ 2)
=(k +1)xAxB+ 2k(xA+xB)+2 -9 6 2k 3k +7 2 =(k +1)? 2k? 2+ 2+2= 2 1-3k 1-3k 3k -1 3k +7 -3k +9 于是 2 >2,即 2 >0, 3k -1 3k -1
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2 2 2 2

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1 2 解此不等式得 <k <3② 3

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1 2 3 3 由①②得 <k <1,∴ <k<1 或-1<k<- . 3 3 3 故 k 的取值范围为?-1,-

? ?

3? ? 3 ? ?∪? ,1?. 3? ?3 ?

17.(文)(2010?江苏苏州)已知二次曲线 Ck 的方程: + =1. 9-k 4-k (1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件; (2)若双曲线 Ck 与直线 y=x+1 有公共点且实轴最长,求双曲线方程; (3)m、n 为正整数,且 m<n,是否存在两条曲线 Cm、Cn,其交点 P 与点 F1(- 5,0),

x2

y2

F2( 5,0)满足PF1?PF2=0?若存在,求 m、n 的值;若不存在,说明理由.
?9-k>0 ? [解析] (1)当且仅当? ? ?4-k>0





,即 k<4 时,方程表示椭圆.

当且仅当(9-k)(4-k)<0,即 4<k<9 时,方程表示双曲线.

y=x+1 ? ? 2 (2)解法一:由? x y2 + =1 ? ?9-k 4-k
2

化简得,

(13-2k)x +2(9-k)x+(9-k)(k-3)=0 ∵Δ ≥0,∴k≥6 或 k≤4(舍) ∵双曲线实轴最长,∴k 取最小值 6 时,9-k 最大即双曲线实轴最长, 此时双曲线方程为 - =1. 3 2 解法二:若 Ck 表示双曲线,则 k∈(4,9),不妨设双曲线方程为 2- =1, a 5-a2

x2 y2

x2

y2

y=x+1 ? ? 2 联立?x y2 2- 2=1 ? ?a 5-a
2 2 2 2

消去 y 得,

(5-2a )x -2a x-6a +a =0 ∵Ck 与直线 y=x+1 有公共点, ∴Δ =4a -4(5-2a )(a -6a )≥0, 即 a -8a +15≥0,∴a ≤3 或 a ≥5(舍), ∴实轴最长的双曲线方程为 - =1. 3 2
4 2 2 2 4 2 4 2

4

x2 y2

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x2 y2

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2

解法三:双曲线 + =1 中 c =(9-k)+(k-4)=5,∴c= 5,∴F1(- 5,0), 9-k 4-k 不妨先求得 F1(- 5,0)关于直线 y=x+1 的对称点 F(-1,1- 5), 设直线与双曲线左支交点为 M,则 2a=|MF2|-|MF1|=|MF2|-|MF|≤|FF2| = (-1- 5) +(1- 5) =2 3 ∴a≤ 3,∴实轴最长的双曲线方程为 - =1. 3 2 (3)由(1)知 C1、C2、C3 是椭圆,C5、C6、C7、C8 是双曲线,结合图象的几何性质,任意两 椭圆之间无公共点,任意两双曲线之间也无公共点 设|PF1|=d1,|PF2|=d2,m∈{1,2,3},n∈{5,6,7,8} → → 则根据椭圆、双曲线定义及PF1?PF2=0(即 PF1⊥PF2),应有
2 2

x2 y2

?d +d =2 9-m ?|d -d |=2 9-n ?d +d =20
1 2 1 2 2 1 2 2

,所以 m+n=8.

所以这样的 Cm、Cn 存在,且?

?m=1 ? ?n=7 ?

或?

?m=2 ? ?n=6 ?

或?

?m=3 ? ?n=5 ?

.

x2 y2 (理)(2010?全国Ⅱ文)已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)相交于 a b B、D 两点,且 BD 的中点为 M(1,3).
(1)求 C 的离心率; (2)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|DF|?|BF|=17,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. [解析] (1)由题意知,l 的方程为:y=x+2, 代入 C 的方程并化简得, (b -a )x -4a x-4a -a b =0 设 B(x1,y1),D(x2,y2), 则 x1+x2= 4a 4a +a b ① 2 2,x1?x2=- b -a b2-a2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

由 M(1,3)为 BD 的中点知 即 b =3a ② 故 c= a +b =2a,
2 2 2 2

x1+x2
2

1 4a =1,故 ? 2 2=1 2 b -a

2

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∴C 的离心率 e= =2.

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c a

(2)由②知,C 的方程为 3x -y =3a ,

2

2

2

A(a,0),F(2a,0),x1+x2=2,x1?x2=-
故不妨设 x1≤-a,x2≥a,

4+3a <0, 2

2

|BF|= (x1-2a) +y1= (x1-2a) +3x1-3a =a-2x1, |FD|= (x2-2a) +y2= (x2-2a) +3x2-3a =2x2-a, |BF|?|FD|=(a-2x1)(2x2-a) =-4x1x2+2a(x1+x2)-a =5a +4a+8. 又|BF|?|FD|=17,故 5a +4a+8=17, 9 解得 a=1,或 a=- . 5 故|BD|= 2|x1-x2|= 2 (x1+x2) -4x1?x2=6 连结 MA,则由 A(1,0),M(1,3)知|MA|=3, 从而 MA=MB=MD,∠DAB=90°, 因此以 M 为圆心,MA 为半径的圆过 A、B、D 三点,且在点 A 处与 x 轴相切, 所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

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