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福建福州八中2009年元月高三调研考试数学理科试卷


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福建福州八中 2009 年元月高三调研考试数学理科试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分。考试时间 120 分钟。第Ⅰ 卷(选择题 共 50 分) 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合 A = {( x, y ) | x + y = 0, x, y ∈ R}, B = {( x, y ) | x ? y = 0, x, y ∈ R} ,则集合 A I B 元素个数是 A.0 的

B.1

C.2

D.3

uuu r uuur uuur 2.已知向量 OA 和向量 OC 对应的复数分别为 3 + 4i 和 2 ? i ,则向量 AC 对应的复数为
A. 5 + 3i B. 1 + 5i C. ?1 ? 5i D. ?5 ? 3i 3.函数 f ( x ) = sin x ? cos x ( x ∈ R ) 的最小正周期是 A.

π
2

B. π

C. 2π

D. 3π

4.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,那么这个椭圆的离心率为 A.

5 4

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

5.如图 1 所示的算法流程图中,第 3 个输出的数是 A.1 C.2

3 2 5 D. 2
B.

6.如果一个几何体的三视图如图 2 所示(单位长度:cm),则此几何 体的表面积是 A. (80 + 16 2)cm 2 B. 96cm 2 C. (96 + 16 2)cm 2

D. 112cm 2

7.函数 f ( x ) = ln x ? 1 的图像大致是

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8.某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成,现从中选出 2 人担任正.副班长,其中至少有 1 名女生 当选的概率是 A.

2 7

B.

3 7

C.

4 7

D.

5 7

9.若函数 f ( x ) = x 3 ? 3 x + a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 A. ( ?2, 2 ) B. [ ?2, 2] C. ( ?∞, ?1) D. (1, +∞ )

10.如图 3 所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai (i = 1, 2, 3, 4), 此四边形内任一 点 P 到第 i 条边的距离记为 hi (i = 1, 2,3, 4) ,若
4 a1 a2 a3 a4 2S = = = = k , 则∑ (ihi ) = .类比以 1 2 3 4 k i =1

上性质,体积为 V 三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si (i = 1, 2, 3, 4) , 此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 H i (i = 1, 2,3, 4) ,

a2 a1 h1 h4 h2 h3 a3 a4



S1 S 2 S3 S 4 = = = = K , 则∑ (iH i ) = 1 2 3 4 i =1 4V K
B.

4

A.

3V K

C.

2V K

D.

V K

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.命题“若 m > 0, 则方程x 2 + x ? m = 0有实数根 ”的逆命题是 12.已知数列 an = ?

?n ? 1, n为奇数 则 a1 + a100 = ? n, n为偶数
r

, a1 + a2 + a3 + a4 + L + a99 + a100 =

r r 13.已知 a ⊥ b , a = 2, b = 3, 且 3a + 2b 与 λa ? b 垂直,则实数 λ 的值为

r

r r

r

r



? x? y+2≥0 ? 14.不等式组 ? x + y + 2 ≥ 0 所确定的平面区域记为 D ,若圆 O : x 2 + y 2 = r 2 上的所有点都在区 ?2 x ? y ? 2 ≤ 0 ?

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域 D 内上,则圆 O 的面积的最大值是 15.设奇函数 f ( x)在[?1,1] 上是单调函数,且 f ( ?1) = ?1, 若函数 f ( x ) ≤ t 2 ? 2at + 1 对所有的

x ∈ [?1,1] 都成立,当 a ∈ [?1,1] 时,则 t 的取值范围是

三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程.) 16.(本小题满分 12 分) 已知 a.b.c 分别是△ABC 中角 A.B.C 的对边,且 a 2 + c 2 ? b 2 = ac . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 c = 3a ,求 tan A 的值.

17.(本小题满分 14 分) 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,E 为 AB 的 中点. (Ⅰ)求证: AC ⊥ 平面BDD1 (Ⅱ)求异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值; (Ⅲ)求点 B 到平面 A1 EC 的距离.

18.(本小题满分 14 分) 某造船公司年造船量是 20 艘,已知造船 x 艘的产值函数为 R( x) = 3700 x + 45x2 ? 10 x3 (单位: 万元),成本函数为 C ( x) = 460 x + 5000 (单位:万元),又在经济学中,函数 f ( x ) 的边际函数

Mf ( x ) 定义为 Mf ( x) = f ( x + 1) ? f ( x) 。
(Ⅰ)求利润函数 P ( x ) 及边际利润函数 MP ( x ) ;(提示:利润=产值成本) (Ⅱ)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (Ⅲ)求边际利润函数 MP ( x ) 单调递减时 x 的取值范围,并说明单调递减在本题中的实际意义是

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什么?

19.(本小题满分 12 分) 中央电视台《同一首歌》大型演唱会曾在我市湄洲岛举行,之前甲.乙两人参加大会青年志愿者 的选拔.已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题,乙能答对其中的 8 题。规定每次考试 都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才能入选. (Ⅰ)求甲答对试题数 ξ 的概率分布(列表)及数学期望; (Ⅱ)求甲.乙两人至少有一人入选的概率.

20. (本小题满分 14 分)
2 2 如图所示,已知曲线 C1 : y = x 与曲线C2 : y = ? x + 2ax ( a > 1) 交于点 O.A,直线

x = t (0 < t ≤ 1) 与曲线 C1 . 2 分别交于 C
点 D.B,连结 OD,DA,AB. 求证:曲边四边形 ABOD(阴影部分)的 面积 S = f (t ) 的函数表达式为

1 f (t ) = t 3 ? at 2 + a 2t (0 < t ≤ 1) 6
(2)求函数 S = f (t ) 在区间 ( 0,1] 上的最 大值.

21.(本小题满分 14 分) 已知曲线 C :y = e x(其中 e 为自然对数的底数) 在点 P (1, e ) 处的切线与 x 轴交于点 Q1 , 过点 Q1

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作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 P ,曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴交于点 Q2 ,过点 Q2 作 x 轴的垂线 1 1 交曲线 C 于点 P2 ,……,依次下去得到一系列点 P . P2 .……. Pn ,设点 Pn 的坐标为 ( xn , yn ) 1 ( n ∈ N* ). (Ⅰ)分别求 xn 与 yn 的表达式;

(Ⅱ)设 O 为坐标原点,求

∑ OP
i =1 i

n

2

参考答案 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 A 7 B 8 D 9 A 10 B B C C B C 二.填空题(本大题共 5 小题,满分 20 分)

若方程x 2 + x ? m = 0有实数根 则 m >0 ; 100.5000;
三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 16.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:由余弦定理,得 cos B =

3 4π ; ; t ≥ 2或t ≤ ?2或t = 0 2 5

a 2 + c2 ? b2 1 = 2 2ac

(2 分) ∵ 0 < B < π ,∴ B =

π .(4 分) 3

(Ⅱ)解法一:将 c = 3a 代入 a 2 + c 2 ? b 2 = ac ,得 b = 由余弦定理,得 cos A =

7a .

……6 分

b2 + c2 ? a2 5 7 . = 2bc 14

……8 分

∵ 0 < A < π ,∴ sin A = 1 ? cos 2 A =

21 .(10 分) 14 7a .
∵B =

∴ tan A =

sin A 3 .(12 分) = cos A 5

解法二:将 c = 3a 代入 a 2 + c 2 ? b 2 = ac ,得 b = 由正弦定理,得 sin B =

……6 分

7 sin A .(8 分)

π
3

,∴ sin A =

21 .(10 分) 14

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又b =

7 a > a ,则 B > A ,∴ cos A = 1 ? sin 2 A =

5 7 sin A 3 。 ∴ tan A = .(12 分) = 14 cos A 5
……6 分

解法三:∵ c = 3a , ∵B =

由正弦定理,得 sin C = 3sin A .

π
3

,∴ C = π ? ( A + B ) =

2π ? A. 3

∴ sin ?

? 2π ? ? A ? = 3sin A .……8 分 ? 3 ?
……10 分

∴ sin

2π 2π 3 1 cos A ? cos sin A = 3sin A .∴ cos A + sin A = 3sin A 3 3 2 2 sin A 3 . = cos A 5
……12 分

∴ tan A =

17.(本小题满分 14 分) 解法一:(1)连接 BD,由已知有 D1 D ⊥ 平面ABCD 又 由 ABCD 是 正 方 形 , 得 : AC ⊥ BD ……2 分 得 AC ⊥ D1 D ………1 分 ∵ D1 D 与 BD 相 交 , ∴

AC ⊥ 平面BDD1 ……3 分
(2)延长 DC 至 G,使 CG=EB,,连结 BG.D1G ,Q CG//EB ,∴四边形 EBGC 是平行四边 形. ∴BG∥EC.∴ ∠D1 BG 就是异面直线 BD1 与 CE 所成角…………………………5 分 在 ?D1 BG 中, D1 B = 2 3

BG = 5,D1G = 2 2 + 3 2 = 13 …………………6 分

D1 B 2 + BG 2 ? D1G 2 12 + 5 ? 13 15 ∴ cos ∠D1 BG = = = 2 D1 B ? BG 15 2× 2 3 × 5
异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值是 (3)∵ ?A1 AE ? ?CBE 离d =

15 ……………………………8 分 15 5
又∵ A1C = 2 3 ∴ 点 E 到 A1C 的距

∴ A1 E = CE =

5 ? 3 = 2 ,有: S A1EC =

1 A1C ? d = 6 2

S A1EB =

1 EB ? A1 A = 1 ,…………11 分 2
, 设点 B 到平面 A1 EC 的距离为 h ,

又由 V B ? A1EC = VC ? A1EB



1 1 6 S A1EC ? h = S A1EB ? CB , 有 6 ? h = 2 , h = , 所以点 B 到平面 A1 EC 的距离为 3 3 3

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6 …14 分 3
解法二:(1)见解法一…………………………3 分 (2)以 D 为原点,DA.DC. DD1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则有 B(2,2,0). D1(0, 0,2).E(2,1,0).C(0,2,0). A1 (2,0,2)∴ BD1 = (-2,-2,2), CE = (2, -1,0)………5 分

cos < BD1 , CE >=
……8 分

BD1 ? CE BD1 ? CE

=

?2 2 3× 5

=?

15 ……7 分 15

即……余弦值是

15 15

(3)设平面 A1 EC 的法向量为 n = ( x, y, z ) , 分

有: A1 E ? n = 0 , CE ? n = 0 ,…………8

由: A1 E = (0,1,-2), CE = (2,-1,0)…………………………9 分 可得: ?

? y ? 2z = 0 ,令 y = 2 ,得 n = (1,2,1) ?2 x ? y = 0

…………………………11 分

由 EB = (0,1,0)

有:点 B 到平面 A1 EC 的距离为 h =

EB ? n n

=

2 6

=

6 ………………14 分 3

18.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) P( x) = R( x) ? C ( x) = ?10 x3 + 45 x 2 + 3240 x ? 5000 , ( x ∈ N * , 且1 ≤ x ≤ 20) ; 2 分

MP(x) = P(x + 1) ? P(x) = ?30x 2 + 60x + 3275 , ( x ∈ N* , 且1 ≤ x ≤ 19) .…………… 4 分
(Ⅱ) P′( x) = ?30x 2 + 90x + 3240 = ?30( x ? 12)( x + 9).
' ' ∴当 0< x< 12 时P ( x) > 0,当x> 12时P ( x) < 0 .

∴ x = 12 ,P( x)有最大值.
……………………8 分 ……………………11 分

即年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大. (Ⅲ)Q MP( x) = ?30x 2 + 60x + 3275= ? 30( ? 1)2 + 3305, x

所以,当 x ≥ 1 时, MP ( x ) 单调递减, x 的取值范围为 [1,19] ,且 x ∈ N ? . …………12 分

MP ( x ) 是减函数的实际意义:随着产量的增加,每艘船的利润在减少.14 分

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19.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)依题意,甲答对试题数 ξ 的可能取值为 0.1.2.3,则
3 3 C1 ? C 2 3 C 2 ? C1 1 C6 1 C4 1 = ,P(ξ = 1) = 6 3 4 = ,P(ξ = 2) = 6 3 4 = ,P(ξ = 3) = 3 = 3 C10 30 C10 10 C10 2 C10 6

P(ξ = 0) =
(4 分)

其分布列如下: 甲答对试题数 ξ 的数学期望: Eξ= 0 ×

ξ P

0

1

2

3

1 3 1 1 9 + 1 × + 2 × + 3 × = .…………6 分 30 10 2 6 5

1 30

3 10

1 2

1 6

(Ⅱ)设甲.乙两人考试合格的事件分别为 A.B,则 P(A)=
2 1 3 C 6 C 4 + C 6 60 + 20 2 C 2 C 1 + C 3 56 + 56 14 = = , P(B)= 8 2 3 8 = = .………9 分 3 120 15 C10 C10 120 3

因为事件 A.B 相互独立, ∴甲.乙两人考试均不合格的概率为 P A ? B = P A ? P B = ?1 ? ∴甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为 P = 1 ? P A ? B = 1 ? 答:甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为

(

) () ()
(
44 . 45

? ?

2 ?? 14 ? 1 , ??1 ? ? = 3 ?? 15 ? 45 1 44 = . 45 45

)

…………………12 分

另解:甲.乙两人至少有一个考试合格的概率为(三种情况两两互斥.A.B 相互独立)

2 1 1 14 2 14 44 × + × + × = . 3 15 3 15 3 15 45 44 答:甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为 . 45
20.(本小题满分 14 分) 解:(1)由 ?

P = P A ? B + P A ? B + P( A ? B ) =

(

) (

)

y = x2 得点O(0, 0), A(a, a 2 ) 2 ? y = ? x + 2ax ?

又由已知得 B (t , ?t 2 + 2at ), D (t , t 2 )

2

分 故S =

1 1 1 + 2ax)dx ? ? t ? t 2 + (?t 2 + 2at ? t 2 ) ? (a ? t ) = t 3 ? at 2 + a 2t 0 2 2 6 1 ∴ S = f (t ) = t 3 ? at 2 + a 2t (0 < t ≤ 1) 6分 6

∫ (? x

t

2

1 1 (2) f ′(t ) = t 2 ? 2at + a 2 令f ′(t ) = 0,即 t 2 ? 2at + a 2 = 0 2 2 解得 : t = (2 ? 2)a或t = (2 + 2)a(由t ≤ 1, 舍去)
若 (2 ? 2) a ≥ 1即a ≥

8分

2+ 2 时,Q 0 < t ≤ 1,∴ f ′(t ) ≥ 0 2

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∴ f (t )在区间(0,1]上单调递增,S的最大值是f (1) = a 2 ? a +

1 6

10 分

若(2 ? 2) a ≤ 1即a ≤

2+ 2 时, 2

Q 0<t ≤ 1,

∴当0 < t < (2 ? 2) a时, f ′(t ) > 0 ∴ f (t )在区间(0,(2- 2 ) a ]上单调递增
当 (2 ? 2) a < t ≤ 1时, f ′(t ) < 0 ∴ f (t )在区间[(2- 2 ) a,1]上单调递减

∴ f (t )的最大值是f [(2 ? 2) a ] =

2 ( 2 ? 1) a 3 3

13 分

综上所述 [ f (t ) ]max

? 1 2+ 2 2 ? a ? a + ,a ≥ ? 6 2 =? ? 2 ( 2 ? 1)a 3 ,1 < a < 2 + 2 ?3 2 ?

14 分

21.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) y ′ = e x , ∵ ∴曲线 C :y = e x 在点 P (1, e ) 处的切线方程为 y ? e = e ( x ? 1) , y = ex . 即 此切线与 x 轴的交点 Q1 的坐标为 ( 0, 0 ) ,∴点 P 的坐标为 ( 0,1) . 1 ……2 分
xn

∵点 Pn ( xn , yn ) n ∈ N* ) ∴曲线 C :y = e x 在点 Pn 处的切线方程为 y ? e ( , 分 令 y = 0 ,得点 Qn +1 的横坐标为 xn +1 = xn ? 1 . ∴数列 { xn } 是以 0 为首项, 1 为公差的等差数列。 ? 分 (Ⅱ)∵ OP i
2

= e xn ( x ? xn ) …4

1? n y ∴ xn = 1 ? n , n = e . n ∈ N* ) ……7 (

= xi 2 + yi 2 = ( i ? 1) + e
2
2 2 2

2(1?i )

,(8 分)
2



∑ OP
i =1 i

n

2

= OP + OP2 + OP3 + L + OPn 1

= ( 02 + e0 ) + (12 + e?2 ) + ( 22 + e?4 ) + L + ?( n ? 1) + e2(1?n) ? ? ?
2 2 = ?12 + +22 + L + ( n ? 1) ? + ?1 + e?2 + e?4 + L + e2(1?n ) ? ? ? ? ?

……10 分 ……12 分

2n n ( n ? 1)( 2n ? 1) 1 ? e?2 n = n ( n ? 1)( 2n ? 1) + e ? 1 .……14 分 = + 6 e 2 n ? 2 ( e 2 ? 1) 6 1 ? e ?2

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