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吉林省吉林市第一中学2015-2016学年高一数学11月月考试题(奥班)


吉林一中 15 级高一上学期月考(11 月份) 数学(奥班)试卷
一.选择题(本大题共 12 小题,共 12×5=60 分,在给出的四个选项中,只有一项是符合要 求的.) 1.集合 A 可以表示为 { x ,

y , 1 } ,也可以表示为 {0, x , x ? y} ,则 y ? x 的值为( x



>A. -1 B.0 C.1 D. -1 或 1 2.已知向量 m=(λ +1,1),n=(λ +2,2),若(m+n)⊥(m-n),则 λ =( ) A.-4 B.-3 C.-2 ) D.-1

lnx 3.函数 y= 的图像大致是(

x

? 1 x ?( ) , ( x ? 4) 3 4.已知函数 f(x)= ? 2 ,则 f (2 ? log2 ) 的值为( ) ? ? f ( x ? 1), ( x ? 4) 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 6 24 12 7 ? 5.设 a ? (cos2? , sin ? ), b ? (1,0) ,已知 a ? b ? ,且 ? ? ( , ? ) ,则 tan ? ? ( 25 2 3 9 3 3 A. ? B. ? C. D. ? 4 16 4 4
6.下列函数既是奇函数,又在区间 [ ?1,1] 上单调递减的是( A. f ( x) ? sin x C. f ( x ) ? ln )



B. f ( x) ? ? x ? 1 D. f ( x ) ?

2? x 2? x

7. 将函数 y ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 的图象向左平移 的图 象,则 y ? g ( x) 的图象关于( A.原点对称 称 8.在 ?ABC 中, cos A.正三角形
2

? 个单位后, 得到函数 y ? g ( x) 4

1 x (a ? a ? x ) 2

) C.点 ( ?

B. y 轴对称

?
8

, 0 ) 对称

D.直线 x ?

?
8



B a?c ? , (a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边) ,则 ?ABC 为( 2 2c
B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形



1

9.已知函数 A. ?1

f ( x) ? ln( 1 ? 9 x 2 ? 3x) ? 1 ,则 f (lg 3) ? f (lg 1 ) =(
3
B. 0 C. 1 D. 2

)

10.如图是函数 f ( x ) ? A cos( ?x ? ? ) ? 1( A ? 0, ? ? ( A.1 ) B. 2

2 3

?
2

) 的图象的一部分,则 f (2015 )=

3 C. 2
? ?

y

D. ? 3
1
O

??? ? ??? ? ??? ? 11.函数 y ? tan( x ? ) 的部分图象如图所示,则 (OA ? OB) ? AB =( ) 4 2
A. ?6 B.6 C. ?4 D. 4

B A
x

第 11 题图 12.若非零不共线向量 a , b 满足 | a ? b |?| b | ,则下列结论正确的个数是( )

①向量 a , b 的夹角恒为锐角; ② 2 | b | 2 ? a ? b ; ③ | 2b |?| a ? 2b | ;④ | 2a |?| 2a ? b | A.1 B.2 C.3 D.4

二. 填空题(本大题共 4 小题,共 4×5=20 分,请把正确答案填写在横线上) 13. 27 3 ? 2
2 log 2 3

1 ? log 2 ? 2lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) ? ______. 8
y A B

14. 设函数 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 的图象为曲线 C , 动点 A( x, y ) 在曲线 C 上, 过 A 且平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B( A、B 可以重合) , 设线段 AB 的长为 f ( x ) ,则函数 f ( x ) 单调递增区间

O


? 2

?

x

15.在△ABC 中,角 A=60°,M 是 AB 的中点,若 AB=2,BC=2 3, → →

D 在线段 AC 上运动,则DB·DM的最小值为________.

16.已知函数 f (x) ? ?

? ex , x≥0 ,则关于 x 的方程 f 给出下列四个命题: ? ? f?? x ? k ? 0 ? 2 x , x ? 0 ?

①存在实数 k ,使得方程恰有 1 个实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不相等的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 3 个不相等的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不相等的实根. 其中正确命题的序号是 (把所有满足要求的命题序号都填上)
2

三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

)的图象的

相邻两条对称轴的距离是

? ? ,当 x ? 时取得最大值 2. 6 2
6 ?? ? 的零点为 x 0 ,求 cos ? ? 2 x0 ? . 3 5 ? ?
题 满 分 12 分 ) 已 知 集 合

(1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2) 若函数 g ( x) ? f ( x) ? 18 . ( 本 小

? ? x ? 2a A ? {x x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0}, B ? ? x ? 0 ?, 2 ? x ? (a ? 1) ?
(1) 当 a ? 2 时,求 A ? B ; (2) 求使 B ? A 的实数 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin 2x ? 2 3sin 2 x ?1 ? 3 . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间;

?? ? ? (2)当 x ? ? , ? 时,若 f ( x) ? log2 t 恒成立,求 t 的取值范围. ?6 2?

20 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ,

tan C ? sin A ? sin B . cos A ? cos B
(1) 求角 C 的大小; (2) 若 ?ABC 的外接圆直径为 1,求△ABC 面积 S 的取值范围。

21. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, A , B , C 为三个内角 a , b , c 为相应的三条边, 若

?
3

?C?

?
2

,且

b sin 2C ? . a ? b sin A ? sin 2C

(1) 求证: A ? C ; (2) 若 | BA ? BC |? 2 ,试将

??? ? ??? ?

2 BA ? BC

表示成 C 的函数 f ?C ? ,并求 f ?C ? 值域.

3

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log9 (9x ? 1) ? kx(k ? R) 是偶函数 (1)求 k 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? (3)设 h( x ) ? log 9 ( a ? 3 ?
x

1 x ? b 没有交点,求 b 的取值范围; 2

4 a) ,若函数 f ( x) 与 h( x) 的图象有且只有一个公共点, 3

求 a 的取值范围.

4

吉林一中 15 级高一上学期月考(11 月份) 数学(奥班)答题卡 一、选择题: (共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 B 6 C 7 A 8 B 9 D 10 D 11 B 12 C

二、填空题: (共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)

13.

19 .

14.

[ ,? ] 2

?



15.

23 16



16.

①② .

三、解答题: (共 6 题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本题满分 10 分) 解:(1)由题意知,振幅 A=2,周期 T=
2?

?

? 2?

?
2

,∴ ? ? 2 ,∴ f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? ? .

? ? ?? ? ?? ? ?? ? 将点 ? , 2 ? 代入得: 2sin ? ? ? ? ? 2 ? sin ? ? ? ? ? 1 ,又 | ? |? ,故 ? ? . 2 6 6 3 3 ? ? ? ? ? ? ?? ? ∴ f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? . 6? ?
(2)由函数 g ( x) ? f ( x) ? 的零点为 x0 知:x0 是方程 f ( x) ? 得 sin(2x0+ ∴ cos ?
? ? 3 ? ? )= ,又(2x0+ )+( -2x0)= , 2 6 6 3 5
6 5 6 6 的根,故 f ( x0 ) ? , 5 5

?? ? ? ?? ?? 3 ?? ? ? ? 2 x0 ? ? cos ? ? ? 2 x0 ? ? ? ? sin ? 2 x0 ? ? ? . 3 2 6 6? 5 ? ? ? ?? ? ?

18. (本小题满分12分) 解: (Ⅰ)当 a ? 2时, A ? (2,7), B ? (4,5) ? A ? B ? (4,5)
2 (Ⅱ)? a ? 1 时, B ? (2a, a ? 1)

; a ? 1 时, B ? ?

①当 a ? ②当 a ? ③a ?

?2a ? 3a ? 1 1 时, A ? (3a ? 1,2) ,要使 B ? A 必须 ? 2 此时a ? ?1, 3 ?a ? 1 ? 2
1 时 A ? ? , B ? ? ,所以使 B ? A 的 a 不存在, 3

?2a ? 2 1 , A ? (2,3a ? 1) 要使 B ? A ,必须 ? 2 此时1 ? a ? 3. 3 a ? 1 ? 3 a ? 1 ?

综上可知,使 B ? A 的实数 a 的范围为 [1,3] ? {?1}. 19. (本小题满分12分)
5

解:(1) f ( x) = 2sin(2 x - ? ) + 1 ∴函数 f ( x ) 最小正周期是 T = ? . 3 p p 当 2kp - ? 2 x ? 2kp p ,即 k? ? ? ? x ? k? ? 5? , k ? Z , 2 3 2 12 12 ? 5 ? 函数 f ( x ) 单调递增区间为 [k? ? , k? ? ](k ? Z ) …………………………6 分 12 12 ? , ? ? ,? 2 x ? ? ? ? 0, 2? ? ,? f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) ? 1 的最小值为 1, (2)? x ? ? ? 3 ? ?6 2? ? ? 3 ? ? 3 由 f ( x) ? log2 t 恒成立,得 log 2 t ? 1 恒成立. 所以 t 的取值范围为(0,2] …………………………………12 分 20. (本小题满分12分) 解:(1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). 即 2C ? A ? B , 得 C ? ? 3 (2) S ? ? 0,

? 3 ? 3? ? 16 ?

21. (本小题满分12分) 解:(Ⅰ)由

b sin 2C ? ,及正弦定理有 sin B ? sin 2C , a ? b sin A ? sin 2C ∴ B ? 2C 或 B ? 2C ? ? . ……………………2 分
若 B ? 2C ,且

?
3

?C ?

?
2

, ……………………4 分 ……………………5 分

2 3 ∴ B ? 2C ? ? , 所以 A ? C , (Ⅱ)∵ B ? 2C ? ? ,∴ cos B ? ? cos 2C 。 ??? ? ??? ? 2 2 ∵ | BA ? BC |? 2 , ∴ a ? c ? 2ac ? cos B ? 4 ,
∴ ? ? B ? ? , B ? C ? ? (舍) ; ∴ a ?
2

…………………7 分

2 2 ? 1 ? cos B 1 ? cos 2C

?? a ? c ?,
…………………8 分

从而 f ?C ? =

2 BA ? BC
,∴



2 1 ? 1? cos 2C a cos B
2



?
3

?C ?

?
2

2? 1 ? 2C ? ? ,∴ ? 1 ? cos 2C ? ? , 3 2
……………………1

∴ 2 ? f ?C ? ? 3 ,所以 f ?C ? 值域是 ?2 , 3? 22. (本小题满分12分) 解: (1)因为 y ? f ( x) 为偶函数,所以 f (? x) ? f ( x) ,

6

即 log9 (9? x ? 1) ? kx ? log9 (9x ? 1) ? kx 对于任意 x 恒成立. 于是 2kx ? log9 (9
?x

? 1) ? log9 (9 x ? 1) ? log 9
1 . 2
x

9x ? 1 ? log 9 (9 x ? 1) ? ? x 恒成立, x 9
………………4 分

而 x 不恒为零,所以 k ? ?

(2)由题意知方程 log 9 (9 ? 1) ?

1 1 x ? x ? b 即方程 log9 (9x ?1) ? x ? b 无解. 2 2

令 g ( x) ? log9 (9x ? 1) ? x ,则函数 y ? g ( x) 的图象与直线 y ? b 无交点. 因为 g ( x) ? log 9

1 1 9x ? 1 1 ? log9 (1 ? x ) ,由 1 ? x ? 1 ,则 g ( x) ? log 9 (1 ? x ) ? 0 , x 9 9 9 9
………………8 分

所以 b 的取值范围是 ( ??, 0] . (3)由题意知方程 3 ?
x

1 4 ? a ? 3x ? a 有且只有一个实数根. x 3 3 4 2 x 令 3 ? t ? 0 ,则关于 t 的方程 ( a ? 1)t ? at ? 1 ? 0 (记为(*))有且只有一个正根. 3 3 若 a ? 1 ,则 t ? ? ,不合题意, 舍去; 4
若 a ? 1 ,则方程(*)的两根异号或有两相等正根. 由? ? 0? a ?

3 3 1 1 或 ?3 ;但 a ? ? t ? ? ,不合题意,舍去;而 a ? ?3 ? t ? ; 4 4 2 2

若方程(*)的两根异号 ? (a ? 1) ? (?1) ? 0 ? a ? 1 综上所述,实数 a 的取值范围是 {?3} ? (1, ??) . ………………12 分

7


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