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2015-2016学年高中数学必修4分层演练:1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(含答案)


1.3 1.3.3

三角函数的图象和性质 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象

情景:下表是某地 1951—1981 年月平均气温(华氏): 月份 平均气温 月份 平均气温 1 21.4 7 73.0 2 26.0 8 71.9 3 36.0 9 64.7 4 48.8 10 53.5 5 59.1 11 39.8 6 68.6 12 27.7

思考:(1)以月份为 x 轴,以平均气温为 y 轴,描出散点. (2)用正弦曲线去拟合这些数据. (3)这个函数的周期是多少? (4)估计这个正弦曲线的振幅 A(精确到度). (5)下面四个函数模型中,________最合适这些数据.
?πx? y ? A. =cos? a ? 6 ?

B. D.

?πx? y-46 ? =cos? a ? 6 ?

C.

?π? y-46 =cos? ? -a ?6x?

?π? y-46 =sin? ? a ?6x?

基 础 巩 固 1.若将某正弦函数的图象向右平移 π 个单位长度以后,所得到 2

? π? 的图象的函数式是 y=sin?x+ ?, 则原来的函数表达式为________. 4? ?

? 3 ? 答案:y=sin?x+ π? 4 ? ?

? π? 1 1 2.函数 y= sin?2x- ?的图象可以看做是把函数 y= sin 2x 3? 2 ? 2

的图象_________________________________________________.

答案:向右平移

π 个单位长度 6

? π? 3.要得到 y=sin x 的图象,只需将 y=cos?x- ?的图象 3? ?

______________________________________________________ __________________.

答案:向右平移

π 个单位长度 6

?x π? x 4 .要得到 y = cos ? - ? 的图象,只需将 y = cos 的图象 2 ?2 4 ?

__________________________________________________________ ______________.

答案:向右平移

π 个单位长度 2

? ? π ? π? 5.函数 y=sin?2x- ?在区间?- ,π?的简图是( 3? ? ? 2 ?

)

答案:A

? π? 6. 设函数 f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,|φ|< ?图象的两条相邻 2? ?

对称轴间的距离为

π π ,将 f(x)图象向左平移 个单位后,得到的图 2 6

象关于坐标原点对称,则φ的值为________.

答案:

π 6

7.将函数 y=cos x 的图象向右平移

π 个单位,再将所得图象上 4

1 所有点的横坐标变为原来的两倍,纵坐标变为原来的 倍,所得图象 4 的函数解析式为___________________________________________.

?x π? 1 答案:y= cos? - ? 4 ?2 4 ?

? π? 8.函数 y=2sin?2x+ ?图象的一条对称轴方程为( 3? ?

)

A.x=- C.x= π 2

π 6

5 B.x=- π 12 π D.x= 6

答案:B

9.函数 f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于 y 轴对称,则最小正 角θ为________.

答案:

π 10

?1 π? 10.函数 y=2sin? x- ?的振幅、周期和初相分别是( 4? ?2

)

A.2,

1 π ,- 4π 4 π 4

B.2,

1 π , 4π 4

C.2,4π,-

π D.±2,4π,- 4

答案:C

11.若函数 f(x)=sin(πx+α)的最小正周期是 T,且当 x=2 时有最大值,则 T=________,α=________.

答案:2

π 2

能 力 升 级 12.将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动 π 个单位 10

长度, 再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变), 所得图 象的函数解析式是( A.y=sin ?2x-
? ?

) π? ? 10? B.y=sin ?2x-
? ?

π? ? 5?

?1 π? C.y=sin ? x- ? 10? ?2

?1 π? D.y=sin ? x- ? 20? ?2

解析:将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动

π 个单 10

? π? 位长度,所得函数图象的解析式为 y=sin?x- ?,再把所得各点的 10? ?

横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变), 所得图象的函数解析式是 y=
?1 π? sin? x- ?. 10? ?2

答案:C

13.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)?ω>0,-
?

?

π π? <φ< ?的部分图象 2 2?

如图所示,则函数的解析式为 f(x)=________.

3 5π ? π? 解析:由图象可知: T= -?- ?, 4 12 ? 3 ? 解得 T=π,
?5π ? ?ω=2,又≧函数图象过点? ,2?, ? 12 ?

?2sin?2×
?

?

? 5π +φ?=2, 12 ?

?

5π π +φ=2kπ+ ,k∈Z, 6 2
? π? π π π <φ< ,?φ=- ,故 f(x)=2sin?2x- ?. 3? 2 2 3 ? ? ?

≧-

答案:2sin?2x-

π? ? 3?

14.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如下 图所示,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)=________.

解析:由图得 A=2,T=8=



π ,?ω= . ω 4

?π ? 由 2sin? ×2+φ?=2,得φ=0, ?4 ?

π ?f(x)=2sin x, 4 ?f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11) π 2π 3π 11π =2sin +2sin +2sin +…+2sin 4 4 4 4 =2+2 2. 答案:2+2 2

? π π? 15.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间?- , ?上的最 4? ? 3

小值是-2,则ω的最小值等于________.

? π π? 解析:函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间?- , ?上的最小 4? ? 3

值是-2,则ωx 的取值范围是?-
?

?

ωπ ωπ?
3 , 4 ?

?,

?-

ωπ
3

≤-

π ωπ 3π 或 ≥ , 2 4 2

3 ?ω的最小值等于 . 2 答案: 3 2

? π? 16.直线 y=a 与曲线 y=2sin?2x+ ?在 x∈(0,2π)内有四个 3? ?

不同的交点,则实数 a 的取值范围是________.

? π? 解析:作函数 y=2sin?2x+ ?在 x∈(0,2π)内的简图.观察图 3? ?

象即可得答案. 答案:(-2, 3)∪( 3,2)

17.先将函数 y=sin 2x 的图象向右平移

π 个单位,再作所得图 3

象关于 y 轴的对称图形,所得图形的函数解析式为 ________.

解析:向右平移

? π? π 得 y=sin 2?x- ?,关于 y 轴对称只要将关 3? 3 ?

系式中的“x”换成“-x”即可, ?y=sin?2?-x-
? ? ? ? ? π?? 2π? ??=sin?-2x- ?. 3 ?? 3 ? ?

? 2 ? 答案:y=sin?-2x- π? 3 ? ?

18.若函数 f(x)具有性质:①f(x)为偶函数,②对任意 x∈R,
?π ? ?π ? 都有 f? -x?=f? +x?,则函数 f(x)的解析式是________(只需写 ?4 ? ?4 ?

出满足条件的一个解析式即可).

?π ? ?π ? π 解析:由 f? -x?=f? +x?知 y=f(x)关于 x= 对称, 4 ?4 ? ?4 ?

又≧f(x)为偶函数, ?可写成 y=cos 4x 或 y=cos 4x+b,本题属于开放性问题. 答案:y=cos 4x(答案不唯一)

19.关于函数 f(x)=2sin?3x-
?

?

3π? ?,以下说法:①其最小正周 4 ?

?π ? 2π π 期为 ;②图象关于点? ,0?对称;③直线 x=- 是其图象的一 3 4 ?4 ?

条对称轴. 其中正确的序号是________.

解析:≧T= =



ω



2π 3π .?①正确.由 3x- =kπ,k∈Z 得 x 3 4
?π ? π ,?? ,0?是 f(x)的图象的对 4 ?4 ?

kπ π
3 + 4

,k∈Z,当 k=0 时,x=

称中心,故②正确.由 3x-

3π π kπ 5π =kπ+ ,k∈Z 得 x= + ,k 4 2 3 12

∈Z,当 k=-2 时,x=- 答案:①②③

π ,故③正确. 4

? ?π π? π? 20.已知函数 f(x)=1+2sin?2x- ?,x∈? , ?. 3? 2? ? ?4

(1)求 f(x)的最大值和最小值;
?π π? (2)若不等式 f(x)-m<2 在 x∈? , ?上恒成立, 求实数 m 的取 2? ?4

值范围.

解析:(1)≧ ?

π π ≤x≤ , 4 2

π π 2π ≤2x- ≤ , 6 3 3 π π 5π = ,即 x= 时,f(x)max=3, 3 2 12

故当 2x- 当 2x-

π π π = ,即 x= 时,f(x)min=2. 3 6 4

?π π? (2)由题设条件可知 f(x)<m+2 对 x∈? , ?恒成立,又当 x∈ 2? ?4 ?π π? ? , ?时,f(x)max=3.所以 m+2>3,即 m>1,故 2? ?4

m 的取值范围是(1,

+≦).

21.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一个周期 的图象如图所示.

(1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)与 f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 求 g(x)的解 析式; (3)求函数 g(x)的单调区间.

解析:(1)由图知:A=2,T=7-(-1)=8, 故ω= 2π

T



π . 4

π π ≧图象过(-1,0),?- +φ=0.?φ= . 4 4
?π π? ?所求的函数解析式为 f(x)=2sin? x+ ?. 4? ?4

(2)≧g(x)与 f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 设 g(x)的图象上任一点坐标(x,y), 则(x,y)关于 x=2 的对称点为(4-x,y),这个点在 f(x)上,
?π π? ?f(4-x)=2sin? ?(4-x)?+ ? 4? ?4 ?5π π ? ?π π? - x?=2sin? x- ?. =2sin? 4 ? 4? ? 4 ?4

(3)当 2kπ-

π π π π ≤ x- ≤2kπ+ (k∈Z)即 8k-1≤x≤8k+ 2 4 4 2

π π π 3π 3(k∈Z)时, 函数 g(x)单调递增; 当 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ 2 4 4 2 (k∈Z)即 8k+3≤x≤8k+7(k∈Z)时,函数 g(x)单调递减. ?g(x)的单调增区间为[8k-1,8k+3](k∈Z), 单调减区间为[8k +3,8k+7](k∈Z).

22.设函数 f(x)的图象与直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成图形的
? π? 面积称为函数 f(x)在[a, b]上的面积, 已知函数 y=sin nx 在?0, ? ?

n?

2 上的面积为 (n∈N*),

n

(1)求 y=sin 3x 在?0,
?

?

2π? ?上的面积; 3 ?

?π 4π? ?上的面积. (2)求 y=sin(3x-π)+1 在? , 3 ? ?3

? π? 2 解析:(1)令 n=3,则 y=sin 3x 在?0, ?上的面积为 . 3? 3 ? ? π? ?π 2π? ?上的面积相等, 又≧y=sin 3x 在?0, ?和? , 3? ?3 3 ? ?

?y=sin 3x 在?0,
?

?

2π? 2 4 ?上的面积为 2× = . 3 ? 3 3

(2)由 y=sin(3x-π)+1,设 3φ=3x-π, ?y=sin 3φ+1.
?π 4π? ?,?3φ∈[0,3π].?φ∈[0,π]. 又≧x∈? , 3 ? ?3

由(1)y=sin 3φ在?0,
?

?

π? 2 ?上的面积为 ,y=sin 3φ+1 在[0, 3? 3

2 2 2 π]上的面积为 S1+S2+S3-S4=2× - +S3= +S3(S3 为 y=1 与图 3 3 3 象围成的大矩形的面积),
?4π π? - ?=π. ?S3=1×? 3? ? 3 ?π 4π? 2 ?上的面积为π+ . ?y=sin(3x-π)+1 在? , 3 ? 3 ?3



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