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江西省于都县第三中学2015-2016学年高二数学下学期第二次月考(期中)试题 理


2015-2016 学年于都县第三中学高二下学期第二次月考数学理试题
一、选择题 1. ( x ? 2 y )8 的展开式中 x 6 y 2 项的系数是( A. 56 B. ?56 C. 28 ) D. ?28

2.已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是 0.8,则该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 ( )A.0.85 B.0.81

9 2 C.0.8 D.0.75

3 某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外活动分别成立绘画,象棋和篮球兴趣小组,现有甲,乙,丙、 丁四名同学报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同的报名方法有 A 12 种 B 24 种 C 36 种 D 72 种 4 在二项式 ( x -

1 n ) 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大,则展开式中含 x 2 项的系数是( x

).A.-

56 B.-35 C.35 D.56 5. 有 10 件不同的电子产品,其中有 2 件产品运行不稳定.技术人员对它 们 进行一一测试, 直到 2 件不稳定的产品全部找出后测试结束,则恰好 3 次 就结束测试的方法种数是( ) A. 48 B. 32 C. 24 D. 16 6.已知随机变量 X 的取值为 0,1,2,若 P ( X ? 0) ? A.

2 5

B.

4 5

C.

2 3

1 , EX ? 1 ,则 DX ? ( 5 4 D. 3



7. 用红、黄、蓝 三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色,若每种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂 颜色不能相同,则不同的涂色方案的种数是( )[来源:Z-XK]

A
9

12
2

B 24
9

C

30

D 36

8.若 ( x ? 2 ? m) ? a 0 ? a1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) ? ... ? a9 ( x ? 1) , 且[来源:Z.XK] (a 0 ? a 2 ? ... ? a8 ) ? (a1 ? a3 ? ... ? a9 ) ? 3 则实数 m 的值为( )
2 2 9

A. 1 或-3

B. -1 或 3

C. 1

D. -3

9. 形如 34021 这样的数称为“波浪数” ,即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大, 现从由 0, 1, 2, 3, 4, 5 组成的数字不重复的五位数中任取一个, 则该数是 “波浪数” 的概率为 ( ) (B) (C) (D) (A)

10. 八人分乘 三辆小车,每辆小车至少载 1 人最多载 4 人,不同坐法共有( ) A. 770 种 B. 1260 种 C. 4620 种 D. 2940 种 11.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 2 1 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止 3 3 时已打局数 ? 的期望 E ?? ? 为( )
1

241 266 274 670 B. C. D. 81 81 81 243 12. 定义:分子为 1 且分母为正整数的分数称为单位分数.我们可以把 1 分拆为若干个不同的单位分数之
A.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ? ? ,1 ? ? ? ? ,1 ? ? ? ? ? 2 3 6 2 4 6 12 2 5 6 12 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 依此类推可得: 1 ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 6 12 m n 30 42 56 72 90 110 132 156 x? y?2 其中 m ? n , m, n ? N * .设 1 ? x ? m,1 ? y ? n ,则 的最小值为( ) x ?1 34 23 5 8 A. B. C. D. [来源:Z-XK] 2 2 7 3
和.如: 1 ? 二、填空题:本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分. 请将答案填写在答题卷中的横线上. 13. (1 ? x) ? (1 ? x) ??? (1 ? x) 展开式中, x 3 项的系数为
4 5 9


2

14. 某校在模块考试中约有 1000 人参加考试, 其数学考试成绩 ? ~ N (90, a ) , (a ? 0, 试卷满分 150 分) , 统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分这间的人数约为总人数的 分的学生人数约为 。 正方形(如 且标号为 种.

3 , 则此次数学考试成绩不低于 110 5

15.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1,2,?,9 的 9 个小 下图) ,使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同, “1、5、9”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有 16. 有下列数组排成一排:( ),( , ),( , , ),( , , , ),( , , , , ),??
1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3

4 3 2 1 5 4 3 2 1 如果把上述数 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 组 中 的 括 号 都 去 掉 会 形 成 一 个 数 列 : , , , , , , , , , , , , , , ,?? 有 同 学 观 察 得 到 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5

63 ? 64 ? 2016 ,据此,该数列中的第 2012 项是 2



三、解答题:本大题 6 个小题,共 75 分,各题解答必须答在答题卡上,必须写出必要的文字说明、演算 步骤或推理过程. 17.已知 ( x ?

2 n ) 的展开式中,只有第六项的二项式 系数最大. x2

(Ⅰ)求该展开式中所有有理项的项数; (Ⅱ)求该展开式中系数最大的项.

18.已知一个袋内有 4 只不同的红球,6 只不同的白球. (1)从中任取 4 只球,红球的只数不比白球少的取法有多少种? (2) 若取一只红球记 2 分,取一只红球记 2 分,取一只白球记 1 分,从中任取 5 只球,使总分不小于 7 分的取 法有多少种? (3)在(2)条件下,当总分为 8 时,将抽出的球排成一排,仅有两个红球相邻的排法种数是多少? N M 19.(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形, D A E B

ADNM 是矩形,
C
2

平面 ADNM ⊥平面 ABCD , ?DAB ? 60? , AD ? 2 , AM ? 1 , E 是 AB 的中点. (1)求证: AN //平面 MEC ; (2)在线段 AM 上是否存在点 P ,使二面角

? P ? EC ? D 的大小为 ?若存在,求出 6 AP 的长 h ;若不存在,请说明理由.

20.“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器,某企业现有 100 万元资金可用于投资,如果投资“传 3 统型”经济项目,一年后可能获利 20%,可能损失10%,也可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分别为 , 5 1 1 , ;如果投资“低碳型”经济项目,一年后可能获利 30%,也可能损失 20%,这两种情况发生的概率分别 5 5 为 a 和 b(其中 a+b=1). (1)如果把 100 万元投资“传统型”经济项目,用 ξ 表示投资收益(投资收益=回收资金-投资资金),求 ξ 的概率分布及均值(数学期望)E(ξ ); (2)如果把 100 万元投资“低碳型”经济项目, 预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投 资收益均值,求 a 的取值范围.

21 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而因轮空,以后每一局的获胜者与 轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空,比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停 止,设在每局中参赛者胜负的概率均为 , 且各局胜负相互独立,求: (1)打满 3 局比赛还未停止的概率; (2)比赛停止时已打局数 ? 的分布列与期望 E ?? ? .

1 2

22 已知椭圆 C1 , 中:

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)抛物线 C2 y 2 ? 2 px ,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表 a2 b2

x
y

0
2

4 4

2
3

1 2

y
C B

(1)求 C1 , C2 的标准方程; (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆

O D A

x
3

C1 上,且对角线 AC、BD 过原点 O,若 k AC ? k BD ? ?
(i) 求 OA ? OB 的最值. 座 位 号

2p , a2

(ii) 求四边形 ABCD 的面积; 2015-2016 学年于都县第三中学高二下学期第二次月考数学(理) 答题卡 一、选择题(5×12=60 分) 题号 答案[来源:Z-xk.Com] 二、填空题(5×4=20 分) 13. 15. 三、解答题(共 75 分) 17. (10 分) 14. 16. [来源:Z.XK] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

18. (12 分)

19.(12 分) M

N

D A E B

C

4

20.(12 分)

[来源:Z-xk.Com]

21(12 分)

[来源:Z-xk.Com]

[来源:Z-XK]

5

22.(12 分)

y
C B O D A

x

6

[来源:Z-XK]

2015-2016 学年于都县第三中学高二下学期第二次月考数学(理) 一、选择题(5×12=60 分) 题 1 2 3 4 号 答 A B C A 案 二、填空题(5×4=20 分) 13. 209 14.
?25 2

5 B

6 A

7 C

8 A

9 C

10 C

11 B

12 C

200
?25 2

15.

108

[来源:Z-xk.Com]16

5 63

7 17(1)6; (2) T8 ? C10 27 x

? 15360 x



试题分析: (1)先由只有第六项的二项式系数最大求出 n ? 10 ,再利用通项进行求解; (2)设第 Tr ?1 项的 系数最大,利用 ?
r r r ?1 r ?1 ? ?C10 2 ? C10 2 进行求解. r r r ?1 r ?1 ? C 2 ? C 2 10 ? 10

试题解析: (Ⅰ)由题意可知:
r ? Tr ?1 ? C10 x 10 ? r 2

n ? 1 ? 6 ,? n ? 10 . 2
10 ?5 r 2

r 2 r x ? 2 r ? C10 2r x

, (0 ? r ? 10, 且r ? N )

要求该展开式中的有理项,只需令

10 ? 5r ?Z , 2

? r ? 0,2,4,6,8,10 ,所有有理项的项数为 6 项.
(Ⅱ)设第 Tr ?1 项的系数最大,

7

1 ?2 ? ? r 11 ? r ? ? ?C 2 ? C 2 则? ,即 ? , r r r ?1 r ?1 1 2 ? C 2 ? C 2 ? 10 ? 10 ? ? ?10 ? r r ? 1
r 10 r r ?1 10 r ?1

解得:

19 22 ,? r ? N ,得 r ? 7 . ?r? 3 3
7 10 7 ?25 2

? 展开式中的系数最大的项 为 T8 ? C 2 x
18(1)115;(2)186;(3)4320.,

? 15360 x

?25 2



19.解(1)连接 BN ,设 CM 与 BN 交于 F , 连接 EF .由已知, MN / / AD / / BC , MN ? AD ? BC , 故四边形 BCNM 是平行四边形,F 是 BN 的中点. 又因为 E 是 AB 的中点, 所以 AN // EF .???3 分 M 因为 EF ? 平面 MEC , AN ? 平面 MEC , 所以 AN // 平面 MEC .?????4 分 (2)假设在线段 AM 上存在点 P ,[来源:Z.XK] 使二面角 P ? EC ? D 的大小为

N F

?

6

.

P A Q H

D B

C

法一: 延长 DA 、 CE 交于点 Q ,过 A 做

E

? .?????7 分 6 在?QAE 中, AE ? 1 , AQ ? 2 ,?QAE ? 120? ,则EQ ? 12 ? 22 ? 2 ? 1? 2 cos120? ? 7
由题意 ?PHA ? 所以 AH ?

所以 MA ⊥ EQ , EQ ? 平面 PAH 所以 EQ ? PH , ?PHA 为二面角 P ? EC ? D 的平面角.

AH ? EQ 于 H ,连接 PH . 因为 ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥平面 ABCD , 所以 MA ⊥平面 ABCD ,又 EQ ? 平面 ABCD ,

AE ?AQ sin120? 3 .?????10 分 ? EQ 7

3 3 1 7 ? ? ? ?1. 6 7 3 7 7 ? 所以在线段 AM 上存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为 , 6 7 此时 AP 的长为 .??????12 分 7
又在 Rt ?PAH 中, ?PHA ? ,所以 AP ? AH ?tan 30? ? 法二: 由于四边形 ABCD 是菱形, E 是 AB 的中点, ?DAB ? 60? , 所以 ?ABC 为等边三角形,可得 DE ? AB . 又 ADNM 是矩形, 平面 ADNM ⊥平面 ABCD , 所以 DN ⊥平面 ABCD . 如图建立空间直角坐标系 D ? xyz .???5 分 则 D (0, 0, 0) , E ( 3, 0, 0) , z N M F P D E x B C y
8

?

A

C (0, 2, 0)



P( 3, ?1, h) . ??? ? CE ? ( 3, ?2.0)


??? ? EP ? (0, ?1, h) .

??7 分 设平面 PEC 的法向量为 n1 ? ( x, y , z ) . 则

??? ? ? CE ? ? n1 ? 0, ,所 ? ? ??? ? ? EP ? n1 ? 0.



? 3 x ? 2 y ? 0, ? ? ? ?? y ? hz ? 0.
令 y? 所

3h .


n1 ? (2h, 3h, 3)
.??????9 分 又 平 面 ADE 的 法 向 量

n2 ? (0,0,1) , ?
?????10 分 所 以

cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 3 ? n1 ? n2 2

. ?????? 11 分 即

3 7h ? 3
2

?

3 2

,解得 h ?

? 7 ? 1 .所以在线段 AM 上存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为 ,此时 AP 的长为 6 7

7 .??????12 分. 7
20 解 (1)依题意知 ξ 的可能取值为 20,0,-10,ξ 的分布列为 - 10 η 20 3 5 0 1 5 1 5

P

E(ξ )=20× +0× +(-10)× =10.

3 5

1 5

1 5

9

22、解析: (1) y 2 ? 4 x,

x2 y 2 ? ? 1?? 3分 8 4

(2)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 联立 ?

? y ? kx ? m 2 2 2 ,得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 2 2 ?x ? 2 y ? 8
----------①

2 ?? (4km) ? 4(1 ? 2k 2 )(2m 2 ? 8) ? 8 ?8k 2 ? m 2 ? 4 ? ? 0

? 4km ? ? x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 ? 2 8 ? x1 x2 ? 2m ? 2 1 ? 2k ?

? kOA ? kOB ? ?

b2 1 ?? 2 a 2

?

y1 y2 1 ?? x1 x2 2

1 1 2m 2 ? 8 m2 ? 4 ? y1 y2 ? ? x1 x2 ? ? ? ? ? ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

y1 y 2 ? (kx1 ? m)(kx 2 ? m) ? k 2 x1 x 2 ? km( x1 ? x 2 ) ? m 2
2m 2 ? 8 ? 4km m 2 ? 8k 2 2 =k ? km ?m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2

??

m 2 ? 4 m 2 ? 8k 2 ? ? ?(m 2 ? 4) ? m 2 ? 8k 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
?

? 4k 2 ? 2 ? m 2 ?? 9分

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y 2

2m 2 ? 8 m 2 ? 4 m 2 ? 4 4k 2 ? 2 ? 4 4 ? ? ? ? 2? 2 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2

??? ? ??? ? ??2 ? 2 ? 4 ? OA ? OB ? 2
当 k=0(此时 m 2 ? 2 满足①式),即直线 AB 平行于 x 轴时, OA ? OB 的最小值为-2.
10

又直线 AB 的斜率不存在时 OA ? OB ? 2 ,所以 OA ? OB 的最大值为 2. ?????????????11 分 (ii)设原点到直线 AB 的距离为 d,则

??? ? ??? ?

S ?AOB ?

1 1 |m| | AB | ?d ? 1 ? k 2 ? | x2 ? x1 | ? 2 2 1? k 2
2

|m| | m | ? ? 4km ? 2m 2 ? 8 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? 4 ? ? 2 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? | m | 64k 2 16(m 2 ? 4) ? ? 2 4k 2 ? m 2 ? 4 ? 2 2 2 m2 m2

? S四边形ABCD ? 4 S ?AOB ? 8 2 .???????????12 分

11


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