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2011届高三复习导数及其应用


高三数学一轮复习测试题 (导数及其应用)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的。) 1 3 1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s= t3- t2+2t,那么速度为零 3 2 的时刻是 ( ) A.0 秒 B.1 秒末 C.2 秒末 D

.1 秒末和 2 秒末 [答案] D [解析] s′=t2-3t+2=0, 令 s′=0,得 t=1 或 2,故选 D. 2.(文)已知二次函数 f(x)的图象如图所示,则其导函数 f ′(x)的图象大致形状是( )

[答案] B [解析] 因为二次函数在(-∞,0)上递增,在(0,+∞)递减,所以其导函数在(-∞,0) 大于 0,在(0,+∞)小于 0,故选 B. (理)下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确 的序号 ..... 是 ( )

A.①② C.①③

B.③④ D.②④

-1-

[答案] B [解析] 因为三次函数的导函数为二次函数,其图象为抛物线,观察四图,由导函数与原 函数的关系可知,当导函数大于 0 时,其函数为增函数,当导函数小于 0 时,其函数为减函 数,由此规律可判定③④不正确. 3.已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它们 的倾斜角互补,则 a 的值为 ( ) 27 A. B.-2 8 27 C .2 D.- 8 [答案] A [分析] 由三次函数图象可知,切线的斜率一定存在,故只需处理好“导数值”与“斜 率”间的关系即可. [解析] 设切点坐标为(t,t3-at+a). 切线的斜率为 k=y′|x=t=3t2-a① 所以切线方程为 y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t)② 3 将点(1,0)代入②式得-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t),解之得:t=0 或 t= . 2 3 27 27 分别将 t=0 和 t= 代入①式,得 k=-a 和 k= -a,由它们互为相反数得,a= . 2 4 8 3 2 4.(文)若关于 x 的不等式 x -3x -9x+2≥m 对任意 x∈[-2,2]恒成立,则 m 的取值范围 是 ( ) A.(-∞,7] B.(-∞,-20] C.(-∞,0] D.[-12,7] [答案] B [解析] 令 f(x)=x3-3x2-9x+2,则 f′(x)=3x2-6x-9, 令 f′(x)=0 得 x=-1 或 x=3(舍去). ∵f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20. ∴f(x)的最小值为 f(2)=-20, 故 m≤-20,综上可知应选 B. (理)已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=3x-x3 的极大值点坐标为(b,c),则 ad 等于 ( ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 [答案] A [解析] ∵a,b,c,d 成等比数列,∴ad=bc, 又(b,c)为函数 y=3x-x3 的极大值点, ∴c=3b-b3,且 0=3-3b2, ? ? ?b=1 ?b=-1 ∴? 或? ,∴ad=2. ? ? ?c=2 ?c=-2 5.对于在 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有 ( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) [答案] C [解析] ∵(x-1)f′(x)≥0, ?x≥1 ?x≤1 ? ? ∴? ,或? , ?f′(x)≥0 ?f′(x)≤0 ? ? ①若函数 y=f(x)在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,则 f(0)>f(1),f(2)>f(1), ∴f(0)+f(2)>2f(1). ②若函数 y=f(x)为常数函数,则 f(0)+f(2)=2f(1).故选 C. 1+cosx π ? 6. 设曲线 y= 在点? ) ?2,1?处的切线与直线 x-ay+1=0 平行,则实数 a 等于( sinx
-2-

A.-1 C.-2 [答案] A

1 B. 2 D.2

-sin2x-(1+cosx)cosx [解析] ∵y′= sin2x -1-cosx = sin2x π? 1 ∴f′? ?2?=-1,由条件知a=-1, ∴a=-1,故选 A. 7.(文)(08· 广东)设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值点,则 ( ) A.a<-1 B.a>-1 1 1 C.a≥- D.a<- e c [答案] A x ?e +a=0 ? [解析] y′=ex+a,由条件知,? 有解, ?x>0 ? ∴a=-ex<-1. (理)由曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最 小值为 ( )

1 A. 4 1 C. 2 [答案] A y=x ? ? 2 [解析] 由?y=t ? ?x>0
1 2 2 2 2

1 B. 3 2 D. 3

得,x=t,故 S=?t (t2-x2)dx+

?0

(x -t )dx=(t x- x )|0+( x -t x)|t ? 3 3 ?t 4 1 = t3-t2+ , 3 3

1

3 t

1

3

2

1

1 令 S′=4t2-2t=0,∵0<t<1,∴t= , 2 1 1 易知当 t= 时,Smin= . 2 4 8.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=± 1 处的切线斜 率均为-1,给出以下结论:①f(x)的解析式为 f(x)=x3-4x,x∈[-2,2];②f(x)的极值点有且仅 有一个;③f(x)的最大值与最小值之和等于 0. 其中正确的结论有 ( ) A.0 个 B.1 个 C .2 个 D.3 个 [答案] C [解析] ∵f(0)=0. ∴c=0.∵f ′(x)=3x2+2ax+b,

-3-

? ? ?f ′(1)=-1 ?3+2a+b=-1 ∴? ,即? , ?f ′(-1)=-1 ?3-2a+b=-1 ? ? ∴a=0,b=-4,∴f(x)=x3-4x,∴f ′(x)=3x2-4. 2 令 f ′(x)=0 得 x=± 3∈[-2,2]. 3 ∴极值点有两个.∵f(x)为奇函数, ∴f(x)max+f(x)min=0.∴①③正确,故选 C. k k 9.若函数 h(x)=2x- + 在(1,+∞)上是增函数,则实数 k 的取值范围是 ( ) x 3 A.[-2,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,-2] D.(-∞,2] [答案] A 2 k 2x +k [解析] 由条件 h′(x)=2+ 2= 2 ≥0 在(1,+∞)上恒成立,即 k≥-2x2 在(1,+∞) x x 上恒成立,所以 k∈[-2,+∞). 10.(08· 辽宁)设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取 π 值范围为[0, ],则点 P 横坐标的取值范围为 ( ) 4 1 A.[-1,- ] B.[-1,0] 2 1 C.[0,1] D.[ ,1] 2 [答案] A π [解析] y′=2x+2,∵切线倾斜角 θ∈[0, ], 4 ∴切线的斜率 k 满足 0≤k≤1,即 0≤2x+2≤1, 1 ∴-1≤x≤- . 2 11.函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足 f(x)>0,xf′(x)+f(x)<0,则对任意 正数 a,b,若 a>b,则必有 ( ) A.af(b)<bf(a) B.bf(a)<af(b) C.af(a)<f(b) D.bf(b)<f(a) [答案] B xf′(x)-f(x) f(x) [解析] 构造函数 y= (x>0),求导得 y′= ,由条件知 f′(x)<0,∴y′<0, x x2 f(x) ∴函数 y= 在(0,+∞)上单调递减, x f(a) f(b) 又 a>b>0,∴ < ,即 bf(a)<af(b). a b 12. 设 f(x)是一个三次函数, f′(x)为其导函数, 如图所示的是 y=x· f′(x)的图象的一部分, 则 f(x)的极大值与极小值分别是 ( )

A.f(1)与 f(-1) B.f(-1)与 f(1) C.f(-2)与 f(2) D.f(2)与 f(-2) [答案] C [解析] 由图象知 f′(2)=f′(-2)=0. ∵x>2 时,y=x· f′(x)>0,∴f′(x)>0, ∴y=f(x)在(2,+∞)上单调递增; 同理 f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,
-4-

∴y=f(x)的极大值为 f(-2),极小值为 f(2),故选 C. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.(文)已知函数 y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值,其图象在 x=1 处的切线 平行于直线 6x+2y+5=0,则 f(x)极大值与极小值之差为________. [答案] 4 [解析] ∵y′=3x2+6ax+3b, 2 ? ? ?3×2 +6a×2+3b=0 ?a=-1 ? ∴? ? , 2 ?3×1 +6a×1+3b=-3 ?b=0 ? ? ∴y′=3x2-6x,令 3x2-6x=0,则 x=0 或 x=2, ∴f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4. (理)定积分?3-2 16+6x-x2dx=________. 25π [答案] 4

?

[解析] 设 y= 16+6x-x2,即(x-3)2+y2=25(y≥0). ∵?3-2 16+6x-x2dx 表示以(3,0)为圆心,5 为半径的圆的面积的四分之一.

?

25π ∴?3-2 16+6x-x2dx= . 4 ? 3 14 .( 文 )函数 f(x) =x +3ax2 + 3[(a+ 2)x +1] 有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是 ________. [答案] a>2 或 a<-1 [解析] f ′(x)=3x2+6ax+3(a+2),令 3x2+6ax+3(a+2)=0,即 x2+2ax+a+2=0.因 为函数 f(x)有极大值和极小值,所以方程 x2+2ax+a+2=0 有两个不相等的实根,即 Δ=4a2 -4a-8>0,解得 a>2 或 a<-1. (理)函数 y=?x (sint+costsint)dt 的最大值是______.

?0

[答案] 2 [解析] y=?x (sint+costsint)dt ?
0

1 =?x (sint+ sin2t)dt 2 ? 1 =(-cost- cos2t)|x 0 4 1 5 =-cosx- cos2x+ 4 4 1 5 =-cosx- (2cos2x-1)+ 4 4 1 2 3 =- cos x-cosx+ 2 2 1 2 =- (cosx+1) +2≤2. 2 当 cosx=-1 时取等号. 1 15.已知函数 y=- x3+bx2-(2b+3)x+2-b 在 R 上不是单调减函数,则 b 的取值范围 3 是________. [答案] b<-1 或 b>3 [解析] y′=-x2+2bx-(2b+3),要使原函数在 R 上单调递减,应有 y′≤0 恒成立, ∴Δ=4b2-4(2b+3)=4(b2-2b-3)≤0,∴-1≤b≤3,故使该函数在 R 上不是单调减函 数的 b 的取值范围是 b<-1 或 b>3.
0

-5-

16.(文)对正整数 n,设曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an,则数 ? an ? 列?n+1?的前 n 项和是________. ? ? + [答案] 2n 1-2 - [解析] ∵y=xn(1-x),∴y′=(xn)′(1-x)+(1-x)′· xn=n· xn 1(1-x)-xn. - - f ′(2)=-n· 2n 1-2n=(-n-2)· 2n 1 . 在点 x=2 处点的纵坐标为 y=-2n. - ∴切线方程为 y+2n=(-n-2)· 2n 1(x-2). 令 x=0 得,y=(n+1)· 2n, n ∴an=(n+1)· 2, ? an ? 2(2n-1) n+1 ∴数列?n+1?的前 n 项和为 =2 -2. 2-1 ? ? (理)设函数 f(x)=cos( 3x+φ)(0<φ<π).若 f(x)+f ′(x)是奇函数,则 φ=________. π [答案] 6 [解析] f ′(x)=- 3sin( 3x+φ), f(x)+f ′(x)=cos( 3x+φ)- 3sin( 3x+φ) 5π? =2sin? ? 3x+φ+ 6 ?. 若 f(x)+f ′(x)为奇函数,则 f(0)+f ′(0)=0, 5π? 5π 即 0=2sin? ?φ+ 6 ?,∴φ+ 6 =kπ(k∈Z). π 又∵φ∈(0,π),∴φ= . 6 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x)=ax3+bx2 的图象经过点 M(1,4),曲线在点 M 处 的切线恰好与直线 x+9y=0 垂直, (1)求实数 a、b 的值; (2)若函数 f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求 m 的取值范围. [解析] (1)∵f(x)=ax3+bx2 的图象经过点 M(1,4), ∴a+b=4.① f′(x)=3ax2+2bx,则 f′(1)=3a+2b, 1 由条件 f′(1)· (- )=-1,即 3a+2b=9,② 9 由①②式解得 a=1,b=3. (2)f(x)=x3+3x2,f′(x)=3x2+6x, 令 f′(x)=3x2+6x≥0 得 x≥0 或 x≤-2, ∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-2]和[0,+∞)由条件知 m≥0 或 m+1≤-2, ∴m≥0 或 m≤-3. (理)已知函数 f(x)=x3+ax,g(x)=2x2+b,它们的图象在 x=1 处有相同的切线. (1)求函数 f(x)和 g(x)的解析式; 1 (2)如果 F(x)=f(x)-mg(x)在区间[ ,3]上是单调增函数,求实数 m 的取值范围. 2 [解析] (1)f′(x)=3x2+a,g′(x)=4x, ?f(1)=g(1) ?1+a=2+b ?a=1, ? ? ? 由条件知? ,∴? ,∴? ? ? ? ?f′(1)=g′(1) ?3+a=4 ?b=0, 3 2 ∴f(x)=x +x,g(x)=2x . (2)F(x)=f(x)-mg(x)=x3+x-2mx2, ∴F′(x)=3x2-4mx+1, 1 若 F(x)在区间[ ,3]上为增函数,则需 F′(x)≥0, 2

-6-

即 3x2-4mx+1≥0,∴m≤

3x2+1 . 4x

3x2+1 1 1 3 3 令 h(x)= ,x∈[ ,3],则 h(x)在区间[ ,3]上的最小值是 h( )= , 4x 2 2 3 2 3 因此,实数 m 的取值范围是 m≤ . 2 18. (本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x)=2x3+ax2+bx+3 在 x=-1 和 x=2 处取得极值. (1)求 f(x)的表达式和极值. (2)若 f(x)在区间[m,m+4]上是单调函数,试求 m 的取值范围. [解析] (1)依题意知:f′(x)=6x2+2ax+b=0 的两根为-1 和 2, a - =-1+2 ? 3 ?a=-3, ∴ ∴? a ?b=-12. ? =-1×2, 6

? ? ?

∴f(x)=2x3-3x2-12x+3. ∴f′(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2). 令 f′(x)>0 得,x<-1 或 x>2;令 f′(x)<0 得,-1<x<2. ∴f(x)极大=f(-1)=10.f(x)极小=f(2)=-17. (2)由(1)知,f(x)在(-∞,-1]和[2,+∞)上单调递增,在[-1,2]上单调递减. ? ?m≥-1, ∴m+4≤-1 或? 或 m≥2.∴m≤-5 或 m≥2, ?m+4≤2, ? 即 m 的取值范围是(-∞,-5]∪[2,+∞). 37 1 1, ? , (理)(2010· 广东中山)已知函数 f(x)=ax3+ (sinθ)x2-2x+c 的图象过点? 6 ? 且在(-2,1) ? 2 内单调递减,在[1,+∞)上单调递增. (1)求 f(x)的解析式; 45 (2)若对于任意 x1,x2∈[m,m+3](m≥0),不等式|f(x1)-f(x2)|≤ 恒成立,试问这样的 m 2 是否存在?若存在,求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由. [解析] (1)∵f′(x)=3ax2+xsinθ-2, ? ? ?f′(1)=0 ?3a+sinθ-2=0 由条件可知? ,∴? , ?f′(-2)≤0 ?12a-2sinθ-2≤0 ? ? 1 ∴sinθ≥1,∴sinθ=1,∴a= , 3 1 3 1 2 ∴f(x)= x + x -2x+c, 3 2 37 22 又由 f(1)= 得 c= , 6 3 1 3 1 2 22 ∴f(x)= x + x -2x+ . 3 2 3 2 (2)f′(x)=x +x-2=(x+2)(x-1), 易知 f(x)在(-∞, -2)及(1, +∞)上均为增函数, 在(- 2,1)上为减函数, ①当 m>1 时,f(x)在[m,m+3]上单调递增, ∴f(x)max=f(m+3),f(x)min=f(m). 1 1 1 1 15 45 由 f(m+3)-f(m)= (m+3)3+ (m+3)2-2(m+3)- m3- m2+2m=3m2+12m+ ≤ 3 2 3 2 2 2 得,-5≤m≤1,这与条件矛盾. ②当 0≤m≤1 时,f(x)在[m,1]上递减,在[1,m+3]上递增,∴f(x)min=f(1),f(x)max 为 f(m) 与 f(m+3)中较大者, 15 9 ∵f(m+3)-f(m)=3m2+12m+ =3(m+2)2- >0,(0≤m≤1), 2 2
-7-

45 ∴f(x)max=f(m+3),∴|f(x2)-f(x1)|≤f(m+3)-f(1)≤f(4)-f(1)= 恒成立, 2 故当 0≤m≤1 时,原不等式恒成立, 综上,存在 m∈[0,1]符合题意. 19. (本小题满分 12 分)(文)设函数 f(x)=x2-2tx+4t3+t2-3t+3, 其中 x∈R, t∈R, 将 f(x) 的最小值记为 g(t). (1)求 g(t)的表达式; (2)讨论 g(t)在区间[-1,1]内的单调性; (3)若当 t∈[-1,1]时,|g(t)|≤k 恒成立,其中 k 为正数,求 k 的取值范围. [解析] (1)f(x)=(x-t)2+4t3-3t+3,当 x=t 时,f(x)取到其最小值 g(t),即 g(t)=4t3-3t +3. (2)∵g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1), 列表如下: 1 1 1 1 1 1 t (-1,- ) - (- , ) ( ,1) 2 2 2 2 2 2 0 0 g′(t) + - + 极大值 极小值 g(t) 1 1 g(- ) g( ) 2 2 1 1 1 1? ? ? ? ? 由此可见,g(t)在区间? ?-1,-2?和?2,1?上单调递增,在区间?-2,2?上单调递减. 1 1 - ?=4,g(-1)=g? ?=2 (3)∵g(1)=g? ? 2? ?2? ∴g(t)max=4,g(t)min=2, 又∵|g(t)|≤k 恒成立,∴-k≤g(t)≤k 恒成立, ? ?k≥4 ∴? ,∴k≥4. ?-k≤2 ? (理)将一张 2×6 米的矩形钢板按图示划线,要求①至⑦全为矩形,且左右对称、上下对 称,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接成一个以⑦为底,⑤⑥为盖的水箱.设水箱的高为 x 米,容积为 y 立方米.

(1)写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)x 取何值时,水箱容积最大? 6-2x [解析] (1)依题意,水箱底的宽为(2-2x)米,长为 =(3-x)米, 2 则水箱的容积 y=(2-2x)(3-x)· x(0<x<1), 3 2 (2)y=(2-2x)(3-x)· x=2x -8x +6x(0<x<1), ∴y′=6x2-16x+6. 4- 7 令 y′=6x2-16x+6=0 得 x= , 3 4- 7 当 0<x< 时 y′>0,函数单调递增; 3 4- 7 当 <x<1 时 y′<0,函数单调递减; 3 4- 7 ∴当 x= 时,函数 y=(2-2x)(3-x)· x(0<x<1)取最大值. 3

-8-

4- 7 ∴当 x= 时,水箱的容积最大. 3 20. (本小题满分 12 分)(文)(09· 湖南)某地建一座桥, 两端的桥墩已建好, 这两墩相距 m 米, 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元;距 离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+ x)x 万元. 假设桥墩等距离分布, 所有桥墩都 视为点,且不考虑其它因素.记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? [解析] (1)设需新建 n 个桥墩,则(n+1)x=m, m 即 n= -1, x 所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x m ? m =256? ? x -1?+ x (2+ x)x 256m = +m x+2m-256. x 256m 1 1 (2)由(1)知,f′(x)=- 2 + mx- x 2 2 m 3 = 2(x -512). 2x 2 3 令 f′(x)=0 得,x =512,所以 x=64. 2 当 0<x<64 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数, 当 64<x<640 时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数. m 640 所以 f(x)在 x=64 处取得最小值,此时 n= -1= -1=9, x 64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. 17 f(x) (理)已知 f(x)是一次函数,且?1f(x)dx=5,?1xf(x)dx= .求?2 dx 的值. 6 ? ? ? x
0 0 1

[解析] ∵f(x)是一次函数, ∴可设 f(x)=ax+b(a≠0). ∵?1f(x)dx=?1(ax+b)dx

?0

?0

1 2 1 1 ax +bx??0 = ? = 2 ? ?? 2a+b. 1 ∴ a+b=5① 2 又∵?1xf(x)dx=?1x(ax+b)dx

?0

?0

1 3 1 2??1 = ? ?3ax +2bx ??0 1 1 = a+ b. 3 2 1 1 17 ∴ a+ b= ② 3 2 6 解①②得 a=4,b=3, ∴f(x)=4x+3. 4x+3 3 f(x) 4+ ?dx ∴?2 dx=?2 dx=?2? x? ? x x ? ? ? =(4x+3lnx)|2 1=4+3ln2. 21.(本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在点 x0 处取得极大值 5,其导函 数 y=f ′(x)的图象经过点(1,0),(2,0).如右图所示.
-91 1 1

(1)求 x0 的值; (2)求 a,b,c 的值. [解析] (1)结合图象可得: x (-∞,1) >0 f ′(x) f(x)

1 0 极大值

(1,2) <0

2 0 极小值

(2,+∞) >0

得到 f(x)在 x=1 处取得极大值,所以 x0=1. (2)解法 1:f ′(x)=3ax2+2bx+c, 由 f ′(1)=0,f ′(2)=0,f(1)=5 得, 3a+2b+c=0 ? ? ?12a+4b+c=0 ? ?a+b+c=5 ,解得 a=2,b=-9,c=12.

解法 2:设 f ′(x)=m(x-1)(x-2)=mx2-3mx+2m, 又 f ′(x)=3ax2+2bx+c, m 3 所以 a= ,b=- m,c=2m, 3 2 m 3 3 2 f(x)= x - mx +2mx. 3 2 m 3 ∵f(1)=5,∴ - m+2m=5,∴m=6, 3 2 ∴a=2,b=-9,c=12. [点评] 本题要求学生善于随机应变,根据实际情况,读图象,列表格,翻译不等式,定 极大值,很好的考查了学生思维的灵活性,将传统二次函数问题结合导数方式出现,很好的 兼顾了基础与能力的要求、新旧内容的衔接,源于教材又不拘泥于教材,是一道训练读图识 图能力,运用“数形结合”思想解决问题的好题. (理)“我们称使 f(x)=0 的 x 为函数 y=f(x)的零点. 若函数 y=f(x)在区间[a, b]上是连续的、 单调的函数,且满足 f(a)· f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上有唯一的零点”.对于函数 f(x) =-x3+x2+x+m. (1)当 m=0 时,讨论函数 f(x)在定义域内的单调性并求出极值; (2)若函数 f(x)有三个零点,求实数 m 的取值范围. [解析] (1)当 m=0 时,f(x)=-x3+x2+x. 1 ∴f′(x)=-3x2+2x+1=-3(x+ )(x-1). 3 列表 1 1 1 x 1 (-∞,- ) - (- ,1) (1,+∞) 3 3 3 0 0 f′(x) - + - 极小值 极大值 f(x) 1 f(1) f(- ) 3 1? 1 由表可知:函数 f(x)=-x3+x2+x 在区间[- ,1]上单调递增,在? ?-∞,-3?和(1,+∞) 3 上单调递减. 1 5 f(x)的极小值为 f(- )=- ,极大值为 f(1)=1. 3 27 1? ? 1 ? (2)f′(x)=-3x2+2x+1,由(1)知 f(x)在? ?-∞,-3?和(1,+∞)上单调递减,在?-3,1? 上单调递增. 故欲使 f(x)有三个零点,须

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1 5 ? ?f(-3)=m-27<0 5 ? ,∴-1<m< . 27 ? ?f(1)=m+1>0 此时,f(-1)=(m+1)>0,f(2)=m-2<0. 在(-∞,-1)上,f(x)≥f(-1)>0 在(2,+∞)上,f(x)≤f(2)<0. 1 1 又 f(-1)· f(- )<0,f(- )· f(1)<0, 3 3 f(1)f(2)<0, 1 1 -1,- ?,?- ,1?,[1,2]上各有惟一零点. 由题设知 f(x)在? 3 ? ? ? 3 ? 5 综上可知-1<m< . 27 22. (本小题满分 14 分)(文)设函数 f(x)=-x3+3x+2 分别在 x1、 x2 处取得极小值、 极大值, →→ xOy 平面上点 A、B 的坐标分别为(x1,f(x1))、(x2,f(x2)).该平面上动点 P 满足PA· PB=4,点 Q 是点 P 关于直线 y=2(x-4)的对称点.求: (1)A、B 的坐标; (2)动点 Q 的轨迹方程. [分析] 首先求 f ′(x),令 f ′(x)=0,求出 x1、x2 的值,得到 A、B 两点的坐标.利用向 量的数量积可求得动点 P 的轨迹方程. 根据 P、 Q 对称性求出 P、 Q 两点坐标的关系, 利用“坐 标代入法”求得动点 Q 的轨迹方程. [解析] (1)令 f ′(x)=-3x2+3=0,解得 x=1 或 x=-1. 当 x<-1 时,f ′(x)<0;当-1<x<1 时,f ′(x)>0, 当 x>1 时,f ′(x)<0. ∴函数在 x=-1 处取得极小值,在 x=1 取得极大值, 故 x1=-1,x2=1,f(-1)=0,f(1)=4, 所以,点 A、B 的坐标为 A(-1,0),B(1,4). (2)设 P(m,n),Q(x,y). →→ PA· PB=(-1-m,-n)· (1-m,4-n)=m2-1+n2-4n=4, y-n 1 1 kPQ=- ,所以 =- , 2 2 x-m 又 PQ 的中点在直线 y=2(x-4)上, y+n ?x+m ? 所以 =2 2 ? 2 -4?, 消去 m,n 得(x-8)2+(y+2)2=9. (理)已知函数 f(x)在 R 上有定义,对任意实数 a>0 和任意实数 x,都有 f(ax)=af(x). (1)证明 f(0)=0; ? x≥0 ?kx (2)证明 f(x)=? ,其中 k 和 h 均为常数; ?hx x<0 ? 1 (3)当(2)中的 k>0 时,设 g(x)= +f(x) (x>0),讨论 g(x)在(0,+∞)内的单调性并求极 f(x) 值. [分析] 通过适当赋值或变形,求函数值及函数解析式,再利用导数求单调区间或极值. [解析] (1)对于任意 a>0,x∈R 均有 f(ax)=af(x)① 在①中取 a=2,x=0,即得 f(0)=2f(0) ∴f(0)=0② (2)当 x>0 时,由①得 f(x)=f(x· 1)=xf(1) 取 k=f(1),则有 f(x)=kx③ 当 x<0 时,由①得:f(x)=f((-x)(-1))=(-x)f(-1)
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取 h=-f(-1),则有:f(x)=hx④ ? x≥0 ?kx 综合②③④得:f(x)=? . ?hx x<0 ? 1 (3)解法 1:由(2)中③知,当 x>0 时,g(x)= +kx kx k2x2-1 1 从而 g′(x)=- 2+k= ,(x>0) kx kx2 又因为 k>0,由此可得: 1 ?0,1? x k ? k? 0 g ′(x) - g(x)

?1,+∞? ?k ?


极小值 2 1? 1 ?1 ? ∴g(x)在区间? ?0,k?内单调递减,在区间?k,+∞?内单调递增,在 x=k处取得极小值 2. 1 解法 2:由(2)中的③知,当 x>0 时,g(x)= +kx kx 设 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2, 1 ? ?1 ? 则 g(x2)-g(x1)=? ?kx2+kx2?-?kx1+kx1? (x2-x1) 2 = (k x1x2-1), kx1x2 1 ∵k>0,∴当 0<x1<x2< 时,g(x2)<g(x1), k 1 当 0< <x1<x2 时,g(x2)>g(x1), k 1? 1 ?1 ? ∴g(x)在区间? ?0,k?内单调递减,在区间?k,+∞?内单调递增,在 x=k处取得极小值 2.

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