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2014届高中数学步步高大一轮复习讲义第八章8.6


数学

北(理)

§8.6 空间向量及其运算
第八章 立体几何

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

1.空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有
大小 和 方向 的量叫作空间向量.
1.空间向量是由平面向量 拓展而来的,因此空间 向量的概念和性质与平 面向量的概念和性质相 同或相似,故在学习空 间向量时,如果注意与 平面向量的相关内容相 类比进行学习,将达到 事半功倍的效果. 比如:

(2)相等向量:方向 相同 且模 相等 的向量. (3)共线向量:表示空间向量的有 向线段所在的直线互相平行或重
合 的向量.

(4)共面向量: 平行于同一个平面 的向量.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2.共线向量、共面向量定理和空间向量 基本定理 (1)共线向量定理 a 是一个非零向量,若存 在一个实数 λ,使得
b=λa

难点正本 疑点清源

(1) 定义式: a· b=|a||b|· cos 〈a,b〉或 a· b cos〈a,b〉=|a||b|,用于求 两个向量的数量积或夹角; (2)非零向量 a, b, a⊥b?a· b =0, 用于证明两个向量的垂 直关系; (3)|a|2 = a· a,用于求距离 等等.

,则向量 b 与非

零向量 a 共线. 推论 如图所示,点 P 在 l 上的充要 → → 条件是:OP=OA+ta ①
基础知识 题型分类

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基础知识·自主学习
要点梳理
其中 a 叫直线 l 的方向向量,t∈R,在 l → → → → OA + tAB 上取AB=a,则①可化为OP= → → → 或OP=(1-t)OA+tOB. (2)平面向量定理的向量表达式: a= λ1e1 +λ2e2,其中 x,y∈R,e1,e2 为不共线 → → → 向量,推论的表达式为MP=xMA+yMB → → → 或对空间任意一点 O, 有OP=OM+xMA → → → → → +yMB或OP=xOM+yOA+zOB, 其中 x +y+z=1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

难点正本 疑点清源

2.用空间向量解决几何问 题的一般步骤: (1) 适 当 的 选 取 基 底 {a,b,c}; (2)用 a,b,c 表示相 关向量; (3) 通过运算完成证明 或计算问题.

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

(3)空间向量基本定理 如果向量 e1,e2,e3 是空间三个不共 面的向量,a 是空间任一向量,那么 存在唯一一组实数 λ1,λ2,λ3,使得 a = λ1e1+λ2e2+λ3e3 . 空间中不共面的三个向量 e1,e2,e3 叫作这个空间的一个基底.

2.用空间向量解决几何问 题的一般步骤: (1)适当的选取基底{a, b,c}; (2)用 a,b,c 表示相 关向量; (3) 通过运算完成证明 或计算问题.

基础知识

题型分类

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基础知识·自主学习
要点梳理
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量 a,b,在空间任取 → → 一点 O, 作OA=a, OB=b, 则∠AOB
难点正本 疑点清源

2.用空间向量解决几何问 题的一般步骤: (1)适当的选取基底{a, b,c}; (2)用 a,b,c 表示相 关向量; (3) 通过运算完成证明 或计算问题.

〈a,b〉 叫作向量 a 与 b 的夹角,记作 ,
其范围是 0≤〈a,b〉≤π,若〈a,b〉 π = ,则称 a 与 b 互相垂直 ,记作 a⊥b. 2
基础知识 题型分类 思想方法

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基础知识·自主学习
要点梳理
②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a,b,则
难点正本 疑点清源

2.用空间向量解决几何问 题的一般步骤: (1)适当的选取基底{a, b,c}; (2)用 a,b,c 表示相 关向量; (3) 通过运算完成证明 或计算问题.

|a||b|cos〈a,b〉 叫作向量 a, b 的数量积,
b=|a||b|cos〈a,b〉 b ,即 a· 记作 a· .

(2)空间向量数量积的运算律

b) ; ①结合律:(λa)· b= λ(a·
②交换律:a· b=

b· a ;
.
思想方法 练出高分

b+a· c ③分配律:a· (b+c)= a·
基础知识 题型分类

基础知识·自主学习
要点梳理
4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a· b=
2.用空间向量解决几何问 题的一般步骤: (1)适当的选取基底{a, b,c}; (2)用 a,b,c 表示相 关向量; (3) 通过运算完成证明 或计算问题.

难点正本 疑点清源

a1b1+a2b2+a3b3

.

(2)共线与垂直的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a∥b? a=λb ? a1=λb1 ,a2=λb2 , a3=λb3 (λ∈R) ,a⊥b?a· b= 0? a1b1+a2b2+a3b3=0 (a,b 均为非 零向量).
基础知识 题型分类 思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
(3)模、夹角和距离公式 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
2 2 则|a|= a· a= a2 1+a2+a3, a· b cos〈a,b〉= = |a||b|

难点正本 疑点清源

2.用空间向量解决几何问 题的一般步骤: (1)适当的选取基底{a, b,c}; (2)用 a,b,c 表示相 关向量;

a1b1+a2b2+a3b3 2 2 2 2 2 a2 + a + a · b + b + b 1 2 3 1 2 3
设 A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2), → 则 dAB=|AB|=

.

(3) 通过运算完成证明 或计算问题.

?a2-a1?2+?b2-b1?2+?c2-c1?2
基础知识 题型分类

.
思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4
5

答案
-13

解析

②③④
?1 2 2? ? 1 2 2? ? ,- , ?或?- , ,- ? 3 3? ? 3 3 3? ?3

A B

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

空间向量的线性运算
在如图
思维启迪 解析 探究提高

所示的三棱锥 O—ABC 中, M,N 分别是 OA,BC 的中点,G 是△ABC →, →, → 的重心, 用基向量OA OB OC → ,OG →. 表示MG

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

空间向量的线性运算
在如图
思维启迪 解析 探究提高

所示的三棱锥 O—ABC 中, M,N 分别是 OA,BC 的中点,G 是△ABC →, →, → 的重心, 用基向量OA OB OC → ,OG →. 表示MG

利用空间向量的加减法和数乘 运算表示即可.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

空间向量的线性运算
在如图

所示的三棱锥 O—ABC 中, M,N 分别是 OA,BC 的中点,G 是△ABC →, →, → 的重心, 用基向量OA OB OC → ,OG →. 表示MG

→ → → 解 MG=MA+AG 1→ 2→ = OA+ AN 2 3

思维启迪

解析

探究提高

1→ 2 → → =2OA+3(ON-OA) 1→ 2 1 → → →] =2OA +3[2(OB+OC)-OA 1→ 1→ 1→ =-6OA +3OB+3OC. → → → 1→ 1→ OG=OM+MG=2OA-6OA+ 1→ 1→ 3OB+3OC

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

空间向量的线性运算
在如图
思维启迪 解析 探究提高

所示的三棱锥 O—ABC 中, M,N 分别是 OA,BC 的中点,G 是△ABC →, →, → 的重心, 用基向量OA OB OC → ,OG →. 表示MG

1→ 1→ 1→ = OA+ OB+ OC. 3 3 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

空间向量的线性运算
在如图
思维启迪 解析 探究提高

所示的三棱锥 O—ABC 中, M,N 分别是 OA,BC 的中点,G 是△ABC →, →, → 的重心, 用基向量OA OB OC → ,OG →. 表示MG

用已知向量来表示未知向量, 一 定要结合图形, 以图形为指导是 解题的关键. 要正确理解向量加 法、减法与数乘运算的几何意 义.首尾相接的若干向量之和, 等于由起始向量的始点指向末 尾向量的终点的向量, 我们可把 这个法则称为向量加法的多边 形法则. 在立体几何中要灵活应 用三角形法则, 向量加法的平行 四边形法则在空间仍然成立.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
变式训练 1 如图所示,

ABCD-A1B1C1D1 中, ABCD 是 平行四边 → 形.若 AE

→ =EA → +AF →. 解 如图,连接 AF,则EF
由已知 ABCD 是平行四边形, → =AB → +AD → =b+c, 故AC
→ → → A 1D=A1A+AD=-a+c. → → 由已知,A 1F=2FD, → =AD → +DF → ∴AF

1→ = EC , 2 1 1 → → → 1→ → → → = AD - FD = AD - A D = c - ( c - a ) = (a+2c), A1F=2FD,若AB=b, 3 1 3 3 1→ 1 → → → AD=c,AA1=a,试用 又EA=-3AC=-3(b+c), 1 → → → → a,b,c 表示EF. ∴EF=EA+AF=-3(b+c)
1 1 +3(a+2c)=3(a-b+c).
基础知识 题型分类 思想方法

动画展示
练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 共线定理、共面定理的应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知 E、F、 G、H 分别是空间 四边形 ABCD 的 边 AB、BC、CD、DA 的中点, (1)求证:E、F、G、H 四点共面; (2)求证:BD∥平面 EFGH; (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求 → 证:对空间任一点 O,有OM= 1 → → → → (OA+OB+OC+OD). 4

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 共线定理、共面定理的应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知 E、F、 G、H 分别是空间 四边形 ABCD 的 边 AB、BC、CD、DA 的中点, (1)求证:E、F、G、H 四点共面; (2)求证:BD∥平面 EFGH; (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求 → 证:对空间任一点 O,有OM= 1 → → → → (OA+OB+OC+OD). 4

→ → 对于 (1) 只要证出向量 BD 与 EH → 共线即可;对于 (2)只要证出EG → +EH → 即可;对于(3),易知 =EF 四边形 EFGH 为平行四边形, 则点 M 为线段 EG 与 FH 的中 → → 点, 于是向量OM可由向量OG和 → → → OE表示, 再将OG与OE分别用向 → → → → 量OC,OD和向量OA,OB表示.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 共线定理、共面定理的应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知 E、F、 G、H 分别是空间 四边形 ABCD 的

1 → → → 边 AB、BC、CD、DA 的中点, =EB+2(BC+BD) → → → → → (1)求证:E、F、G、H 四点共面; =EB +BF+EH=EF+EH, 由共面向量定理的推论知: (2)求证:BD∥平面 EFGH; (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求 E、F、G、H 四点共面. → → → → (2) 因为 EH =AH-AE 证:对空间任一点 O,有OM= 1 → 1→ 1 → → 1 → → → → =2AD-2AB=2(AD-AB)= (OA+OB+OC+OD). 4 1→ 2BD,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

证明 (1)连接 BG, → =EB → +BG → 则EG

题型分类·深度剖析
题型二 共线定理、共面定理的应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知 E、F、 G、H 分别是空间 四边形 ABCD 的 边 AB、BC、CD、DA 的中点, (1)求证:E、F、G、H 四点共面; (2)求证:BD∥平面 EFGH; (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求 → 证:对空间任一点 O,有OM= 1 → → → → (OA+OB+OC+OD). 4

所 以 EH∥BD. 又 EH 平 面 EFGH,BD 平面 EFGH,

所以 BD∥平面 EFGH. (3)找一点 O,并连接 OM,OA, OB,OC,OD,OE,OG. → 1→ 由(2)知EH=2BD, → =1BD →, 同理FG 2 → =FG → ,即 EH 綊 FG, 所以EH
所以四边形 EFGH 是平行四边形.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 共线定理、共面定理的应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知 E、F、 G、H 分别是空间 四边形 ABCD 的

所以 EG,FH 交于一点 M 且被

M 平分. → 1 → → 边 AB、BC、CD、DA 的中点, 故OM=2(OE+OG)= (1)求证:E、F、G、H 四点共面; 1 → 1 → OE+ OG 2 2 (2)求证:BD∥平面 EFGH; 1?1 → → ? 1?1 → → ? (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求 = ? ?OA+OB??+ ? ?OC+OD?? 2?2 ? 2?2 ? → 证:对空间任一点 O,有OM= 1 → → → → = (OA+OB+OC+OD). 1 → → → → 4 (OA+OB+OC+OD). 4

动画展示

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 共线定理、共面定理的应用
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知 E、F、 G、H 分别是空间 四边形 ABCD 的 边 AB、BC、CD、DA 的中点, (2)求证:BD∥平面 EFGH; (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求 → 证:对空间任一点 O,有OM= 1 → → → → (OA+OB+OC+OD). 4

在求一个向量由其他向量来表示 的时候,通常是利用向量的三角 形法则、平行四边形法则和共线 分解,向已知向量靠近,进行求 解.若要证明两直线平行,只需 判定两直线所在的向量满足线性 a = λb 关 系 , 即 可 判定 两 直线 平行.
思想方法 练出高分

(1)求证:E、F、G、H 四点共面; 向量的特点,把要求的向量逐步

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
变式训练 2 如图在三

棱 柱 ABC—A1B1C1

→ → → 证明 设BA=a,BB1=c,BC=b, → =BA → +AA → =BA → +BB → =a+c, 则BA
1 1 1

中, D 为 BC 边上的中 → → → → 1 → 1 AD=AB+BD=AB+ BC=-a+ b, 点,试证:A1B∥平面 → → → → 2 → → 2 AC1D.
1 1

AC1=AC+CC1=BC-BA+BB1=b-a+c, → → → BA =AC -2AD,

∵A1B 平面 AC1D,因此 A1B∥平面 AC1D.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 空间向量数量积的应用
思维启迪 解析

【例 3】已知空间三点 A(0,2,3),

探究提高

B(-2,1,6),C(1,-1,5). → , AC → 为边的平行四 (1) 求以 AB 边形的面积; →, (2)若|a|= 3,且 a 分别与AB → 垂直,求向量 a 的坐标. AC

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 空间向量数量积的应用
思维启迪 解析

【例 3】已知空间三点 A(0,2,3),

探究提高

B(-2,1,6),C(1,-1,5). → , AC → 为边的平行四 (1) 求以 AB 边形的面积; →, (2)若|a|= 3,且 a 分别与AB → 垂直,求向量 a 的坐标. AC

利用两个向量的数量积可以求向量 的模和两个向量的夹角.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 空间向量数量积的应用
思维启迪 解析

【例 3】已知空间三点 A(0,2,3),

探究提高

B(-2,1,6),C(1,-1,5). → , AC → 为边的平行四 (1) 求以 AB

解 (1)由题意可得: → → AB=(-2, -1,3), AC=(1, -3,2), → → AB · AC → ,AC → 〉= 边形的面积; ∴cos〈AB → → → | AB ||AC| -2+3+6 7 1 (2)若|a|= 3,且 a 分别与AB, = =14=2. → 垂直,求向量 a 的坐标. 14× 14 AC 3 → → ∴sin〈AB,AC〉= 2 , → → ∴以AB,AC为边的平行四边形的 1→ → →, 面积为 S=2×2|AB|· |AC|· sin〈AB 3 → AC〉=14× 2 =7 3.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 空间向量数量积的应用
思维启迪 解析

【例 3】已知空间三点 A(0,2,3),

探究提高

B(-2,1,6),C(1,-1,5). → , AC → 为边的平行四 (1) 求以 AB 边形的面积; →, (2)若|a|= 3,且 a 分别与AB → 垂直,求向量 a 的坐标. AC

(2)设 a=(x,y,z), ?x2+y2+z2=3 ? 由题意得?-2x-y+3z=0 , ?x-3y+2z=0 ? ?x=1 ?x=-1 ? ? 解得?y=1 或?y=-1 , ?z=1 ?z=-1 ? ?
∴向量 a 的坐标为(1,1,1)或(-1, -1,-1).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 空间向量数量积的应用
思维启迪 解析

【例 3】已知空间三点 A(0,2,3),

探究提高

B(-2,1,6),C(1,-1,5). → , AC → 为边的平行四 (1) 求以 AB 边形的面积;

(1)当题目条件有垂直关系时, 常转 化为数量积为零进行应用; (2)当异面直线所成的角为α时, 常

→, (2)若|a|= 3,且 a 分别与AB 利用它们所在的向量转化为向量的 → 垂直,求向量 a 的坐标. AC 夹角θ来进行计算;
(3)通过数量积可以求向量的模.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 如图所示,平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1,且两两夹角 为 60° . (1)求 AC1 的长;(2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值.
→ =a,AD → =b,AA → =c, 解 (1)记AB 1 则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60° , 1 ∴a· b=b· c=c· a=2. → |2=(a+b+c)2 |AC
1

=a2+b2+c2+2(a· b+b· c+c· a)
?1 1 1? =1+1+1+2×?2+2+2?=6, ? ?

→ |= 6,即 AC 的长为 6. ∴|AC 1 1
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 如图所示,平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1,且两两夹角 为 60° . (1)求 AC1 的长;(2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值.

→ =b+c-a,AC → =a+b, (2)BD 1 → → ∴|BD |= 2,|AC|= 3,
1

→ → BD1· AC=(b+c-a)· (a+b)

=b2-a2+a· c+b· c=1. → → BD AC 6 1· → → ∴cos〈BD1,AC〉= =6. → → |BD1||AC| 6 ∴AC 与 BD1 夹角的余弦值为 . 6
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 12.空间向量运算错误
典例: (12 分 ) 如图所示,在各个面都是平行四边形的四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,P 是 CA1 的中点,M 是 CD1 的中点,N → 是 C1D1 的中点, 点 Q 在 CA1 上, 且 CQ∶QA1=4∶1, 设AB= → → a,AD=b,AA1=c,用基底{a,b,c}表示以下向量: → ;(2)AM → ;(3)AN → ;(4)AQ →. (1)AP

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 12.空间向量运算错误
典例: (12 分 ) 如图所示,在各个面都是平行四边形的四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,P 是 CA1 的中点,M 是 CD1 的中点,N → 是 C1D1 的中点, 点 Q 在 CA1 上, 且 CQ∶QA1=4∶1, 设AB= → → a,AD=b,AA1=c,用基底{a,b,c}表示以下向量: → ;(2)AM → ;(3)AN → ;(4)AQ →. (1)AP

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

解本题易出错的地方就是对空间向量加减法的运算,特别是减法运算理解 → 误认为是AC → -AA → ;另一个错误是向量的数乘表示不准,如 不清,如把CA
1 1

→ =4CA → ,误认为CQ → =3CA →. 把CQ 1 5 4 1

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 12.空间向量运算错误
典例: (12 分 ) 如图所示,在各个面都是平行四边形的四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,P 是 CA1 的中点,M 是 CD1 的中点,N → 是 C1D1 的中点, 点 Q 在 CA1 上, 且 CQ∶QA1=4∶1, 设AB= → → a,AD=b,AA1=c,用基底{a,b,c}表示以下向量: → ;(2)AM → ;(3)AN → ;(4)AQ →. (1)AP

易 错 分 析
解 如图连接 AC,AD1.

解 析

温 馨 提 醒

→ =1(AC → +AA → )=1(AB → +AD → +AA → )=1(a+b+c). (1)AP 1 1 2 2 2 1 → → 1 → → → → (2)AM= (AC+AD1)= (AB+2AD+AA1) 2 2 1 =2(a+2b+c). → 1 → → (3)AN=2(AC1+AD1)
基础知识 题型分类 思想方法

3分

6分

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 12.空间向量运算错误
典例: (12 分 ) 如图所示,在各个面都是平行四边形的四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,P 是 CA1 的中点,M 是 CD1 的中点,N → 是 C1D1 的中点, 点 Q 在 CA1 上, 且 CQ∶QA1=4∶1, 设AB= → → a,AD=b,AA1=c,用基底{a,b,c}表示以下向量: → ;(2)AM → ;(3)AN → ;(4)AQ →. (1)AP

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

1 → → → )+(AD → +AA → )]=1(AB → +2AD → +2AA → )=1(a+2b+2c) = [(AB +AD+AA 1 1 1 2 2 2 1 =2a+b+c.
→ =AC → +CQ → =AC → +4(AA → -AC → )=1AC → +4AA → =1AB → +1AD → +4AA → (4)AQ 1 1 5 5 5 5 5 5 1

9分

1 1 4 =5a+5b+5c.

12分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 12.空间向量运算错误
典例: (12 分 ) 如图所示,在各个面都是平行四边形的四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,P 是 CA1 的中点,M 是 CD1 的中点,N → 是 C1D1 的中点, 点 Q 在 CA1 上, 且 CQ∶QA1=4∶1, 设AB= → → a,AD=b,AA1=c,用基底{a,b,c}表示以下向量: → ;(2)AM → ;(3)AN → ;(4)AQ →. (1)AP

易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

(1)空间向量的加减法运算和数乘是表示向量的基础; (2)空间任一向量 用一组基底表示是唯一的;(3)空间向量共线和两直线平行是不同的.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用 的基础.

方 法 与 技 巧

2. 利用共线向量定理、 共面向量定理可以证明一些平行、 共面问题;利用数量积运算可以解决一些距离、夹角 问题.
3.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角度转 化为向量表示,用已知向量表示未知向量,然后通过 向量的运算或证明去解决问题.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合

失 误 与 防 范

律,即 a· b=b· a,a· (b+c)=a· b+a· c 成立,(a· b)· c =a· (b· c)不一定成立.

2.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般 用向量共线定理; 求两点间距离或某一线段的长度, 一般用向量的模来解决;解决垂直问题一般可转化 为向量的数量积为零;求异面直线所成的角,一般 可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围 不同,最后应进行转化.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5

7 9 6 8 → → → 1.已知 O,A,B,C 为空间四个点,又OA,OB,OC为空间的

一个基底,则 A.O,A,B,C 四点不共线 B.O,A,B,C 四点共面,但不共线 C.O,A,B,C 四点中任意三点不共线 D.O,A,B,C 四点不共面

(

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5

7 9 6 8 → → → 1.已知 O,A,B,C 为空间四个点,又OA,OB,OC为空间的

一个基底,则 A.O,A,B,C 四点不共线 B.O,A,B,C 四点共面,但不共线 C.O,A,B,C 四点中任意三点不共线 D.O,A,B,C 四点不共面

( D )

解 析
→ ,OB → ,OC → 为空间的一个基底,所以OA → ,OB → ,OC → 不共面, OA → → → 但 A,B,C 三种情况都有可能使OA,OB,OC共面.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.已知 a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若 a∥b,则 λ 与 μ 的值可 以是 1 A.2, 2 1 1 B.- , 3 2 C.-3,2 ( D.2,2 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.已知 a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若 a∥b,则 λ 与 μ 的值可 以是 1 A.2, 2 1 1 B.- , 3 2 C.-3,2 ( A ) D.2,2

解 析
?λ+1 2 ? = , 6 2λ ? 由题意知: ? ?2μ-1=0, λ=2, λ=-3, ? ? ? ? 解得? 或? 1 1 μ = μ = . ? ? 2 2 ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.如图所示,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB 3 → → =2,E 为 PB 的中点,cos〈DP,AE〉= ,若以 3 DA,DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间 直角坐标系,则点 E 的坐标为 ? ? 1? 3? A.(1,1,1) B.?1,1,2? C.?1,1,2? ? ? ? ? ( )

D.(1,1,2)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.如图所示,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB 3 → → =2,E 为 PB 的中点,cos〈DP,AE〉= ,若以 3 DA,DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间 直角坐标系,则点 E 的坐标为 ? ? 1? 3? A.(1,1,1) B.?1,1,2? C.?1,1,2? ? ? ? ? ( A ) D.(1,1,2)

解 析

设 PD=a,则 A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),

? ? a? a? → → E?1,1,2?,∴DP=(0,0,a),AE=?-1,1,2?, ? ? ? ?
2 3 a → → ∵cos〈DP,AE〉= 3 ,∴ 2 =a ∴E 的坐标为(1,1,1).

a2 3 2+ 4 ·3 ,∴a=2.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4. 如图所示, 已知 PA⊥平面 ABC, ∠ABC=120° , PA=AB=BC=6,则 PC 等于 A.6 2 B. 6 C.12 ( D.144 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4. 如图所示, 已知 PA⊥平面 ABC, ∠ABC=120° , PA=AB=BC=6,则 PC 等于 A.6 2 B. 6 C.12 ( C ) D.144

解 析
→ =PA → +AB → +BC →, 因为PC

→ 2=PA → 2+AB → 2+BC → 2+2AB →· → 所以PC BC =36+36+36+2×36cos 60° =144. → |=12. 所以|PC

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ → → 5.如图,在四面体 O—ABC 中,OA=a,OB=b,OC= → c , D 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点,则 OE = ______________(用 a,b,c 表示).

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

→ → → 5.如图,在四面体 O—ABC 中,OA=a,OB=b,OC= → c , D 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点,则 OE = 1 1 1 2a+4b+4c ______________( 用 a,b,c 表示).

解 析
1→ 1→ 1→ 1→ 1→ → OE= OA+ OD= OA+ OB+ OC 2 2 2 4 4
1 1 1 = a+ b+ c. 2 4 4

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.若向量 a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 8 ,则 λ=____________. 9

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.若向量 a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为
2 - 2 或 8 55 ,则 λ=____________. 9

解 析
2-λ+4 8 a· b 由已知得 = = , 9 |a||b| 5+λ2· 9
2 ∴8 5+λ2=3(6-λ),解得 λ=-2 或 λ=55.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9)、B(10,-1,6)、C(x,4,3)为 顶点的△ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形,则实数 x 的 值为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9)、B(10,-1,6)、C(x,4,3)为 顶点的△ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形,则实数 x 的

2 值为________ .
解 析
→· → =0,|AB → |=|AC → |,可解得 x=2. 由题意知AB AC

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)如图,已知 M、N 分别为四面体 ABCD 的 面 BCD 与面 ACD 的重心,且 G 为 AM 上一点,且 GM∶GA=1∶3.求证:B、G、N 三点共线.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)如图,已知 M、N 分别为四面体 ABCD 的 面 BCD 与面 ACD 的重心,且 G 为 AM 上一点,且 GM∶GA=1∶3.求证:B、G、N 三点共线.
→ → → 证明 设AB=a,AC=b,AD=c, → =BA → +AG → =BA → +3AM → 则BG 4 1 3 1 1 =-a+4(a+b+c)=-4a+4b+4c, 1 → → → → → → BN=BA+AN=BA+3(AC+AD) 1 1 4→ =-a+3b+3c=3BG. → → ∴BN∥BG,即 B、G、N 三点共线.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知空间中三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a → ,b=AC →. =AB (1)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值; (2)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求实数 k 的值.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知空间中三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a → ,b=AC →. =AB (1)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值; (2)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求实数 k 的值.

解 析



(1)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2),

∴a· b=(1,1,0)· (-1,0,2)=-1,
又|a|= 12+12+02= 2, |b|= ?-1?2+02+22= 5, a· b -1 10 ∴cos〈a,b〉= = =- , |a||b| 10 10
10 即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为- 10 .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知空间中三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a → ,b=AC →. =AB (1)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值; (2)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求实数 k 的值.

解 析

(2)方法一

∵ka+b=(k-1,k,2).

ka-2b=(k+2,k,-4),且 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,
∴(k-1,k,2)· (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,
5 ∴k=2 或 k=-2,∴当 ka+b 与 ka-2b 互相垂直时,实数 k 的 5 值为 2 或-2. 方法二 由(2)知|a|= 2,|b|= 5,a· b=-1,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知空间中三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a → ,b=AC →. =AB (1)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值; (2)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求实数 k 的值.

解 析
∴(ka+b)· (ka-2b)=k2a2-ka· b-2b2=2k2+k-10=0,得 k= 5 2 或 k=- . 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.有下列命题: ①若 p=xa+yb,则 p 与 a,b 共面; ②若 p 与 a,b 共面,则 p=xa+yb; → =xMA → +yMB → ,则 P,M,A、B 共面; ③若MP → =xMA → +yMB →. ④若 P,M,A,B 共面,则MP 其中真命题的个数是 A.1 B. 2 C.3 ( ) D.4

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.有下列命题: ①若 p=xa+yb,则 p 与 a,b 共面; ②若 p 与 a,b 共面,则 p=xa+yb; → =xMA → +yMB → ,则 P,M,A、B 共面; ③若MP → =xMA → +yMB →. ④若 P,M,A,B 共面,则MP 其中真命题的个数是 A.1 B. 2 C.3 ( B ) D.4

解 析
其中①③为真命题.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

→= 2.正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且AM 1 → → |为 MC1,N 为 B1B 的中点,则|MN ( ) 2 21 6 15 15 A. a B. a C. a D. a 6 6 6 3

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

→ 2.正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且AM= 1 → → MC1,N 为 B1B 的中点,则|MN|为 ( ) 2 21 6 15 15 A. a B. a C. a D. a 6 6 6 3

以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz, ? a? 则 A(a,0,0),C1(0,a,a),N?a,a,2?. ? ? 设 M(x,y,z). 1 → → ∵点 M 在 AC1 上且AM=2MC1, 1 ∴(x-a,y,z)=2(-x,a-y,a-z) ?2a a a? 2 a a ∴x= a,y= ,z= .∴M? 3 ,3,3?, 3 3 3 ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

→ 2.正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且AM= 1 → → MC1,N 为 B1B 的中点,则|MN|为 ( A ) 2 21 6 15 15 A. a B. a C. a D. a 6 6 6 3

解 析
→ |= ∴|MN
? 2 ?2 ? a?2 ?a a?2 ?a- a? +?a- ? +? - ? = 3 ? ? 3? ?2 3? ?

21 a. 6

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3. 如图所示,已知空间四边形 OABC , OB = OC ,且 π → → ∠AOB=∠AOC= ,则 cos〈OA,BC〉的值为( ) 3 1 3 2 A.0 B. C. D. 2 2 2

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3. 如图所示,已知空间四边形 OABC , OB = OC ,且 π → → ∠AOB=∠AOC= ,则 cos〈OA,BC〉的值为( A ) 3 1 3 2 A.0 B. C. D. 2 2 2
→ → → 设OA=a,OB=b,OC=c, π 由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉=3,且|b|=|c|,

解 析

→· → =a· OA BC (c-b)=a· c-a· b

1 1 =2|a||c|-2|a||b|=0, → → ∴cos〈OA,BC〉=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知 a+3b 与 7a-5b 垂直,且 a-4b 与 7a-2b 垂直,则 〈a,b〉=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知 a+3b 与 7a-5b 垂直,且 a-4b 与 7a-2b 垂直,则

60° 〈a,b〉=________. 解 析
由条件知(a+3b)· (7a-5b)

=7|a|2+16a· b-15|b|2=0, 及(a-4b)· (7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a· b=0. 1 2 2 两式相减,得 46a· b=23|b| ,∴a· b=2|b| . 代入上面两个式子中的任意一个,即可得到|a|=|b|. 1 2 |b| a· b 2 1 ∴cos〈a,b〉= = = . |a||b| |b|2 2

∵〈a,b〉∈[0° ,180° ] ,∴〈a,b〉=60° .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5. 如图所示,已知二面角α—l—β的平面角为θ ? ? π?? ?θ∈?0, ?? ,AB⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β 2 ?? ? ? 内,BC在l上,CD在平面α内,若AB=BC=CD =1,则AD的长为__________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5. 如图所示,已知二面角α—l—β的平面角为θ ? ? π?? ?θ∈?0, ?? ,AB⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β 2 ?? ? ? 内,BC在l上,CD在平面α内,若AB=BC=CD
3-2cos θ . =1,则AD的长为__________

解 析

→ =AB → +BC → +CD →, AD

→ 2=AB → 2+ BC → 2+CD → 2+2AB →· → +2 AB →· → +2 BC →· → 所以 AD CD BC CD =1+1+1+2cos(π-θ)=3-2cos θ. → |= 3-2cos θ, 所以|AD
即AD的长为 3-2cos θ.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为 ________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为

3 5 5 ________ .

解 析
b-a=(1+t,2t-1,0), ∴|b-a|= ?1+t? +?2t-1? =
2 2

? 1?2 9 5?t-5? +5, ? ?

1 3 5 ∴当t= 时,|b-a|取得最小值 . 5 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7.(13分)如图,在直三棱柱ABC—A′B′C′ 中,AC=BC=AA′,∠ACB=90° ,D、E分别为 AB、BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13分)如图,在直三棱柱ABC—A′B′C′ 中,AC=BC=AA′,∠ACB=90° ,D、E分别为 AB、BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.

解 析

(1)证明

→ =a,CB → =b,CC → 设CA ′=c,

根据题意,|a|=|b|=|c|,且a· b=b· c=c· a=0, 1 1 1 → —→ ∴CE=b+2c,A′D=-c+2b-2a. 1 2 1 2 → —→ ∴CE· A′D=-2c +2b =0. → —→ ∴CE⊥A′D,即CE⊥A′D.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13分)如图,在直三棱柱ABC—A′B′C′ 中,AC=BC=AA′,∠ACB=90° ,D、E分别为 AB、BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
5 → → → ∵ AC ′ =- a + c ,| AC ′ | = 2| a | , | CE | = |a|. 解 析 2 ? 1 ? 1 2 1 2 → → ?b+ c?= c = |a| , AC′· CE=(-a+c)· 2 ? 2 2 ? 1 2 |a| 2 10 → → ∴cos〈AC′,CE〉= = 10 . 5 2· |a|2 2 10 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为 . 10 (2)解
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


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