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圆锥曲线高考选择题


xxx 学校 2014-2015 学年度 12 月同步练习
第 I 卷(选择题) 请点击修改第 I 卷的文字说明
评卷人 得分

一、选择题(本题共 122 道小题,每小题 0 分,共 0 分)

x2 y 2 1.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个交点为 F ,若椭圆上存在一个点 P ,满足以椭圆短

轴 a b
为直径的圆与线段 PF1 相切于该线段的中点,则土元的离心率为( A. )

2 2

B.

2 3

C.

5 9

D.

5 3

答案及解析:
1.D

2.在直角坐标系中,F1,F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)左右焦点,B、C 分别为椭圆的 a2 b2
7 ,则直线 CD 的斜率为 25

上下顶点,直线 BF2 与椭圆的另一个交点为 D,若 cos∠F1BF2= ( A.
3 5

) B.
4 5

C.

9 25

D.

12 25

答案及解析:
2.D

3.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (0<b<2)与 y 轴交于 A、B 两点,点 F 为该椭圆的一个焦点,则△ABF 4 b2
) B.2 C.4 D. 8

面积的最大值为( A.1

答案及解析:
3.B

4.已知椭圆的方程为 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 ,则此椭圆的离心率为( A.

) D.

1 3

B.

3 3

C.

2 2

1 2

答案及解析:
4.B

5.已知圆 O : x ? y ? 16, A (?2, 0) ,B (2, 0) 为两个定点,点 P 是椭圆 C:
2 2

x2 y 2 ? ? 1 上一 16 12

动点,以点 P 为焦点,过点 A 和 B 的抛物线的准线为 l ,则直线 l 与圆 O( ) A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定

答案及解析:
5.A

6.椭圆 x +my =1 的焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值为( A.

2

2

)

1 4

B.

1 2

C.2

D.4

答案及解析:
6.D

7.已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1 ,点 M1 , M 2 , ?, M5 为其长轴 AB 的 6 等分点,分别过这五点 2

作斜率为 k ( k ? 0) 的一组平行线,交椭圆 C 于 P1 , P2 , ?, P10 ,则直线 AP1 , AP2 , ?, AP10 这 10 条直线的斜率乘积为( A. ? )

1 16

B. ?

1 32

C.

1 64

D. ?

1 1024

答案及解析:
7.B

8.某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视图如图所示,正视图为正方 形,其中俯视图中椭圆的离心率为 ( )

正视图

侧视图

直观图

俯视图

A. 2

B.

1 2

C.

2 4

D.

2 2

答案及解析:

8.D

9..已知点 F1、F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交 a 2 b2

于 A、B 两点,若△ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率 e 是 A.

1 2

B.

1 3 2 C. D. 3 3 2

答案及解析:
9.D 略 10.已知 F1 (?c,0), F2 (c,0) 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, P 为椭圆上的一点,且 a2 b2

PF1 ? PF2 ? c 2 ,则此椭圆离心率的取值范围是
( A. [ )

3 ,1) 3

B. [ , ]

1 1 3 2

C. [

3 2 , ] 3 2

D. (0,

2 ] 2

答案及解析:
10.C

11.椭圆 ax2 ? by2 ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于 A, B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜 率为

3 a , 的值为 2 b 3 2
B.





A.

2 3 3

C.

9 3 2

D.

2 3 27

答案及解析:
11.C 略 12.椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 P, F1 , F2 是一个直角三 4
) C.

角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( A. 对

3 1 或 3 2

B.

3 3

1 2

D.以上均不

答案及解析:
12.A

13.已知 P 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上第一象限内的点, A(2,0), B(0,1), O 为原点,则四边形 4


OAPB 面积的最大值为(
A. 2 B.

2?2

C.

2

D. 1

答案及解析:
13.C

14.已知过椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点 F1 , F2 的两条互相垂直的直线的交点在椭圆 a 2 b2
) C. (

内部,则此椭圆的离心率的取值范围是( A. (0,1) B. (0,

2 ) 2

2 , 1) 2

D. ( ,

1 2

2 ) 2

答案及解析:
14.B

15.直线 y ? kx ? 2 与椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 80 相交于不同的两点 P 、 Q ,若 PQ 的中 点横坐标为 2,则直线的斜率等于( A. ) D. 4

1 4

B.

1 2

C. 2

答案及解析:
15.B

16.若点 P 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上, F1 、 F2 分别是椭圆的两焦点,且 ?F1 PF2 ? 90? , 2
) C.

则 ?F1 PF2 的面积是( A. 2 B. 1

3 2

D.

1 2

答案及解析:
16.B

17.若椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? n ? 0) 和双曲线 ? ? 1(a ? b ? 0) 有相同的焦点 F1 、 m n a b

F2 ,P 是两曲线的一个公共点,则 | PF1 | ? | PF2 | 的值是( )

A. m ? a

B.

1 (m ? a) 2

C. m 2 ? a 2

D. m ? a

答案及解析:
17.A

18.若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为( ) A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)

答案及解析:
18.D

19.若一个椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

答案及解析:
19.B

20.已知椭圆 C:

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 y ? ? x 与椭圆有四个交 2 2 a b x2 y2 x2 y2 ? ? 1 C. ? ?1 B. 12 6 16 4 x2 y2 ? ?1 D. 20 5

点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为( )

x2 y2 ? ?1 A. 8 2

答案及解析:
20.D 略 21. 设 F 1 、 F2 是椭圆 E :

3 x2 y2 ? 2 ? 1 (a>b>0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? ? a 上一 2 2 a b 3 4 4 5

点,△ F1PF2 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( ) A

1 2

B

2 3

C

D

答案及解析:
21.C 略 22. 已知 F1 , F2 是椭圆 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A , B 两点.在

△ AF1B 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度为 ( )

A.6 D.3

B.5

C.4

答案及解析:
22.A 略 23.与椭圆 A.

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 P(2,1) 的双曲线方程是 ( ) 4
B.

x2 ? y2 ? 1 4

x2 ? y2 ? 1 2

C.

x2 y 2 ? ?1 3 3

D. x 2 ?

y2 ?1 2

答案及解析:
23.B 略 24.方程 mx -my =n 中,若 mn<0,则方程的曲线是( ) A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线
2 2

答案及解析:
24.D 略 25.△ABC 的两个顶点为 A(-4,0),B(4,0),△ABC 周长为 18,则 C 点轨迹为( y2 x2 x2 y2 A. B. ? ? 1 (y≠0) ? ? 1 (y≠0) 25 9 25 9 y2 x2 x2 y2 C. D. ? ? 1 (y≠0) ? ? 1 (y≠0) 16 9 16 9

)

答案及解析:
25.A 略 26.椭圆

x2 2 +y =1 与直线 y=k(x+ 2 )交于 A、B 两点,点 M 的坐标为( 2 ,0),则 3
) B. 2 3 D.6 C.12

△ABM 的周长为( A. 4 3

答案及解析:
26.A

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 b 27.过椭圆 a 的两个焦点作垂直 x 轴的直线与椭圆有四个交点,这四个交 点恰好为正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为( )
5 ?1 A. 2 5 ?1 B. 2

3 ?1 C. 2

3 ?1 D. 2

答案及解析:
27.B

略 2 2 2 2 28.已知双曲线 mx ﹣ny =1(m>0,n>0)的离心率为 2,则椭圆 mx +ny =1 的离心率为 ( ) A. B. C. D.

答案及解析:
28.

考点:椭圆的简单性质;双曲线的简单性质. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:双曲线、椭圆方程分别化为标准方程,利用双曲线 mx ﹣ny =1(m>0,n>0)的离 心率为 2,可得 m=3n,从而可求椭圆 mx +ny =1 的离心率. 解答: 解:双曲线 mx ﹣ny =1 化为标准方程为:
2 2 2 2 2 2

∵双曲线 mx ﹣ny =1(m>0,n>0)的离心率为 2,

2

2



∴m=3n

椭圆 mx +ny =1 化为标准方程为:

2

2

∴椭圆 mx +ny =1 的离心率的平方为

2

2

=

∴椭圆 mx +ny =1 的离心率为 故选 C. 点评:本题考查椭圆、双曲线的离心率,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 29.设 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,若椭圆 上存在点 P ,使 ?F1 PF2 ? 120 ,则椭圆离心率 e 的 取值范围是 ( A. ? 0, ) B. ? 0,
?

2

2

? ? ?

3? ? 2 ? ?

? ? ?

3? ? 2 ?

C. ?

? 3 ? ? ? 2 ,1? ? ?

D. ?

? 3 ? ,1? ? ? 2 ?

答案及解析:
29.D

30.B

答案及解析:
30.C

31.若点 P 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上, F1 、 F2 分别是椭圆的两焦点,且 ?F1 PF2 ? 90? ,则 2
) B. 1 C.

?F1 PF2 的面积是(
A. 2

3 2

D.

1 2

答案及解析:
31.B

32.过椭圆 4 x 2 ? 2 y 2 ? 1的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A 、 B 两点,则 A 、 B 与椭圆 的另一焦点 F2 构成 ?ABF2 ,那么 ?ABF2 的周长是( A. 2 2 B. 2 C. ) D. 1

2

答案及解析:
32.A

x2 y2 ? ? 1 上的一点 A 关于原点的对称点为 B , F2 为它的右焦点,若 33.椭圆: 25 9

AF2 ? BF2 ,则三角形△ AF2 B 的面积是(



A.

15 2

B.10

C.6

D.9

答案及解析:
33. D 解:∵A F2 ⊥B F2 ∴OA=OB=O F2 =O F1 ( F1 为它的左焦点)

∴四边形 A F2 B F1 为矩形 ∴B F2 =A F1 ∵ A F2 +A F1 =10 ∴ AF 1 ? AF2 ? 18 ∴
2 2 2 2 AF1 ? 2 AF1 ? AF2 ? AF2 ? 100 又∵ AF1 ? AF2 ? 64

∴ S ?AFB ?

1 1 AF2 ? BF2 ? AF1 ? AF2 ? 9 2 2

34.已知焦点在 x 轴上的椭圆离心率 e ? 径,则椭圆的标准方程是( A. )

1 ,它的半长轴长等于圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 的半 2

x2 y2 ? ?1 4 3

B.

x2 y2 ? ?1 3 4

C.

x2 y2 ? ?1 16 4

D.

x2 y2 ? ?1 4 16

答案及解析:
34. A 解:圆: ( x ? 1) ? y ? 4
2 2

a=2 c=1 b= 3

y2 y2 x2 x2 2 2 2 2 35.已知椭圆 2a + 2b =1(a>b>0)与双曲线 a - b =1 有相同的焦点,则椭圆的 离心率为

2 2 A.

1 B. 2

6 3 C.

6 6 D.

答案及解析:
35.C 略 36. 设 F1 , F2 是椭圆 E :

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左,右焦点, P 为直线 x ? a 上一 2 a b 2


点, ?F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为( A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5

答案及解析:
36.C 略 37. 能够把椭圆 C

x2 y2 ? ? 1 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数 f ( x) 称为椭圆 4 8

C 的“亲和函数”,下列函数是椭圆 C 的“亲和函数”的是(
A. f ( x ) ? x ? x
3 2



B. f ( x) ? 1n
x

5? x 5? x
?x

C. f ( x) ? sin x ? cos x

D. f ( x) ? e ? e

答案及解析:
37.B 略

38.已知焦点在 y 轴上的椭圆 A. 4 B. 6

+ =1 的长轴长为 8,则 m 等于( C. 16 D. 18



答案及解析:
38.C 略 39. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , C 与过原点的直线相较于 A, B 两 a 2 b2
4 ,则 C 的离心率为( 5


点,连接 AF , BF ,若 AB ? 10, AF ? 6, cos ?ABF ? A.

3 5

B.

5 7

C.

4 5

D.

6 7

答案及解析:
39.B

40. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左顶点为 A1 ,右焦点为 F2 ,点 P 为椭圆上一动点,则当 4 3 ???? ? ???? ???? ? ???? ) PF2 ? PA1 取最小值时, PF2 ? PA1 的值为(
A. 2 2 B. 2 3 C.3 D. 13

答案及解析:
40.C

41.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于

1 ,则 C 的方程是( 2



x2 y 2 ? ?1 A. 3 4

x2 y 2 B. ? ?1 4 3

x2 y 2 ? ?1 C. 4 2

x2 y 2 ? ?1 D. 4 3

答案及解析:
41.D

42.椭圆 A.

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则实数 a 的值是( 6 a a 4
B.1 或 ?2 C.1 或



1 2

1 2

D.1

答案及解析:
42.

【知识点】椭圆与双曲线的性质.

H5

H6

【答案解析】D 解析:由已知得: ?

?a ? 0
2 ?6 ? a ? a ? 4

? a ? 1 ,故选 D.

【思路点拨】根据椭圆和双曲线的性质,得关于 a 的方程与不等式构成的混合组,解得 a 值.

x2 y 2 43.已知. F1 、 F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右焦点, A 是椭圆上一动点,圆 C 与 F1 A 4 3
的延长线、 F1 F2 的延长线以及线段 AF2 相切,若 M (t , 0) 为其中一个切点,则 (▲) A. t ? 2 C. t ? 2 B. t ? 2 D. t 与 2 的大小关系不确定

答案及解析:
43.

【知识点】圆与圆锥曲线的综合.H9 【答案解析】A 解析:由题意知,圆 C 是△AF1F2 的旁切圆, 点 M 是圆 C 与 x 轴的切点,设圆 C 与直线 F1A 的延长线、AF2 分别相切于点 P,Q, 则由切线的性质可知:AP=AQ,F2Q=F2M,F1P=F1M, ∴MF2=QF2=(AF1+AF2)﹣(AF1+AQ)=2a﹣AF1﹣AP=2a﹣F1P=2a﹣F1M ∴MF1+MF2=2a,∴t=a=2.故选 A. 【思路点拨】由题意知,圆 C 是△AF1F2 的旁切圆,点 M 是圆 C 与 x 轴的切点,设圆 C 与 直线 F1A 的延长线、AF2 分别相切于点 P,Q,则由切线的性质可知:AP=AQ, F2Q=F2M,F1P=F1M,由此能求出 t 的值. 44.已知点 P 是椭圆

x2 y2 ? =1 (x≠0,y≠0)上的动点,F1、F2 分别为椭圆的左、右焦 16 8

点,O 是坐标原点,若 M 是∠F1PF2 的平分线上一点,且 F1 M ? MP ? 0 ,则 | OM | 的取值 范围是( A.[0,3) ) B.(0,2 2 ) C.[2 2 ,3) D.(0,4]

答案及解析:
44.B

45.已知 m 是两个正数 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ?
2

y2 ? 1 的离心率是 m
D.

A.

3 5 或 2 2

B.

3 2

C. 5

3 或 5 2

答案及解析:
45.D

46.已知 a ? b ,椭圆 C 1 的方程为

x2 y2 x2 y2 C ,双曲线 的方程为 ? ? 1 ? ? 1,C 1 与C 2 a2 b2 a2 b2
) C. x? 2 y? 0 D. 2 x?y? 0

2

的离心率之积为 A.

3 2

,则 C 2 的渐近线方程为 ( B. x ? 2 y ? 0

2 x?y?0

答案及解析:
46.

【知识点】椭圆、双曲线的几何性质. 【答案解析】B解析 :解:由已知椭圆、双曲线的几何性质得,

骣 b 琪 1- 琪 a 桫

2

骣 b 琪 ? 1 琪 a 桫

2

=

3 b 1 ,所以, = ,双曲线的渐近线方程为 x ? 2 a 2

2 y 0 选B.

【思路点拨】由已知椭圆、双曲线的几何性质可得双曲线的渐近线方程.

47.已知椭圆

M,N 是坐标平面内的两点,且 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C

的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|= A.4 47. B.8 C.12 D.16

答案及解析:

【知识点】椭圆的定义 ; 椭圆的基本性质的应用 .H5 【答案解析】B 解析:如图:

MN 的中点为 Q ,易得 |QF 2 | =

1 1 |NB| , |QF 1 | = |AN| , 2 2

∵ Q 在椭圆 C 上,∴ |QF 1 |+|QF 2 |=2a=4 ,∴ |AN|+|BN|=8 .故选 B . 【思路点拨】画出图形,利用中点坐标以及椭圆的定义,即可求出 |AN|+|BN| 的值.

x2 y 2 ? ?1 2 y ? 2 px 6 2 48.若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合,则 p 的值为(
A. ?4 48.B 略 49.椭圆 B. 4 C. ? 2 D. 2



答案及解析:

x2 y2 ? ? 1(0 ? b ? 2 3 ) 与渐近线为 x ? 2 y ? 0 的双曲线有相同的焦点 12 b 2


F1 , F2 , P 为它们的一个公共点,且 ?F1 PF2 ? 90 ? ,则椭圆的离心率为(
( A) 6 6 ( A) 21 6 (C ) 30 6 ( D) 15 6

答案及解析:
49.

【答案解析】C

解析:设双曲线方程为:

x2 y 2 ? ? 1? k ? 0 ? ,记 PF1 ? m, PF2 ? n 4k 2 k 2

?m ? n ? 4 3 ? ?k 2 ? 2 ? m ? n ? 4k ? ,解得 ? 2 , ? m ? n? ,根据题意得: ? 2 2 2 ? ?b ? 2 ?m ? n ? 4 ?12 ? b ? ? 2 2 2 ?m ? n ? 20k

a 2 ? b2 12 ? 2 5 30 ?e ? ? ? ,? e ? ,所以选 C. 2 a 12 6 6
2

x2 y 2 【思路点拨】设出双曲线方程 2 ? 2 ? 1? k ? 0 ? ,记 PF 1 ? m, PF2 ? n ,根据椭圆、双 4k k
曲线的定义及勾股定理得方程组,求得 ?

?k 2 ? 2 a 2 ? b2 12 ? 2 5 30 ? 2 , . ? e ? ? ? ,? e ? 2 2 a 12 6 6 b ? 2 ? ?

50.已知中心在原点的椭圆 C 的一个焦点为 F (0,1) ,离心率为

1 ,则 C 的方程是 2
D.

A.

x2 y2 ? ?1 4 3

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 4 2

x2 y2 ? ?1 3 4

答案及解析:
50.D

51.若直线 ? 2a ? b ? x ? y ? 1 ? 0 ? a ? 0,b ? 0? 经过椭圆 小值是( A、 ) B4 C、 3 ? 2 2 D、6

x2 y2 1 1 ? ? 1 的右焦点,则 ? 的最 4 3 a b

1 4

答案及解析:
51.C

52.已知三个数 2,m,8 构成一个等比数列,则圆锥曲线 A. B. C. 或

的离心率为( D. 或



答案及解析:
52.C

53.已知三个数 2,m,8 构成一个等比数列,则圆锥曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 m 2

A.

2 2

B.

3

C.

2 或 2

3

D.

2 6 或 2 2

答案及解析:
53.C

54.已知焦点在 y 轴上的椭圆 A. 4 B. 8

x2 y 2 ? ? 1 的长轴长为 8,则 m 等于 ( 10 m
C. 16 D. 18

)

答案及解析:
54.C

55.设椭圆的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 M,若 ?F1F2 M 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 ( A、 )

2 2

B、

2 ?1 2

C、 2 ? 2

D、 2 ? 1

答案及解析:
55.D

56.已知椭圆 A、4 D、8

x2 y2 ? ? 1 的长轴在 y 轴上,且焦距为 4,则 m 等于( 10 ? m m ? 2
B、5 C、7



答案及解析:
56.D

x2 y 2 ? ?1 F F FA 3 57.已知 1 、 2 分别是椭圆 4 的左、右焦点, A 是椭圆上一动点,圆 C 与 1 的 AF2 相切,若 M (t , 0) 为其中一个切点,则 ( FF 延长线、 1 2 的延长线以及线段 )
A. t ? 2 C. t ? 2 B. t ? 2 D. t 与 2 的大小关系不确定

答案及解析:
57.A 略 58.若椭圆 ( ) A. B. C. D. + =1(a>b>0)的离心率 e= ,则双曲线 ﹣ =1 的离心率为

答案及解析:
58.B

59. 在区间 ?? 1,5? 上随机取一个实数 m ,则方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆的 m 4?m

概率为( A.

) B.

1 3

1 2

C.

2 5

D.

3 5

答案及解析:
59.A

60.椭圆

x2 y2 b ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? ( ? c) 2 ( c 为椭圆半焦距)有四个不同交 2 2 a b
) C.

点,则椭圆离心率 e 的取值范围是( A.

5 3 ?e? 5 5

B.

3 ? e ?1 5

5 ? e ?1 5

D. 0 ? e ?

3 5

答案及解析:
60.A

61.若椭圆 为( A. y ? ?

x2 y2 x2 y2 3 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? ? 1 的渐近线方程 的离心率为 ,则双曲线 a 2 b2 a 2 b2 2
)

1 x 2

B. y ? ?2 x

C. y ? ? 4 x

D. y ? ?

1 x 4

答案及解析:
61.A

62.椭圆 A.5

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 2,则 m 的值等于( m 4
B.5 或 8

) C.5 或 3 D.20

答案及解析:
62.C

63.已知椭圆 C :

x2 y2 3 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的离心率为 , 过右焦点 F 且斜率为 k 的直线 2 2 a b

与椭圆 C 交于 A, B 两点,若 AF ? 3FB ,则 k ? ( )

A .1

B. 2

C. 3

D.2

答案及解析:
63.B

略 64.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18 ,一个焦点的坐标是(0,3), 则椭圆的标准方程为( A. )

x2 y2 ? ?1 16 25

B.

x2 y2 ? ?1 25 16

C.

x2 y2 ? ?1 9 16

D.

x2 y2 ? ?1 16 9

答案及解析:
64.A

65.在同一坐标系中,方程 a2 x2 ? b2 y 2 ? 1 与 ax ? by 2 ? 0(a ? b ? 0) 的曲线大致是 ( )

答案及解析:
65.C

66.双曲线与椭圆 为( )

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点,它的一条渐近线为 y ? ? x ,则双曲线的方程 16 64
B. x2 ? y 2 ? 80 C. y 2 ? x2 ? 24 D. y 2 ? x2 ? 160

A. x2 ? y 2 ? 96

答案及解析:
66.C

67.椭圆 x ? 4 y ? 1 的离心率为(
2 2

) C.

A.

2 2

B.

3 4

3 2

D.

2 3

答案及解析:
67.C

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 P ( 2 , 1 ) 的双曲线方程是:() 68.与椭圆 4 x2 ? y2 ? 1 A. 4 x2 ? y2 ? 1 B. 2
x2 y2 ? ?1 C. 3 3

y2 ?1 D. x ? 2
2

答案及解析:
68.B

69.点 P ( x, y ) 在椭圆 A. 3 ? 5 C.5

( x ? 2) 2 ? (y? 1) 2 ? 1 上,则 x ? y 的最大值为( 4
B. 5 ? 5 D.6



答案及解析:
69.A

70.已知 m 是两个正数 2,8 的等比中项,则圆锥曲线 x +

2

y2 =1 的离心率为 m
D.

A.

3 5 或 2 2

B.

3 2

C. 5

3 或 5 2

答案及解析:
70.D

x2 y 2 3 71.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1,F2,离心率为 ,过 F2 的直线 l a b 3
交 C 与 A、B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为( A. ) D.

x2 y 2 ? ?1 3 2

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 12 8

x2 y 2 ? ?1 12 4

答案及解析:
71.A

72.已知椭圆 ( ) A 2

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 25 16
B 3 C 5 D 7

答案及解析:
72.D 略 73.点 P ( x, y ) 是椭圆 2 x ? 3 y ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为(
2 2

).

A. 2 2

B. 2 3

C. 11

D. 22

答案及解析:
73.D

74.

x2 y 2 ? ? 1 有公共的焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线的标准方程为 双曲线与椭圆 16 64 y 2 x2 x2 y 2 y 2 x2 x2 y 2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 A. 36 12 36 12 12 36 12 36

答案及解析:
74.A 略 75. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于

1 ,则椭圆的方程是 2

x2 y2 ? ?1 A. 3 4

x2 y2 B. ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 C. 4 2

x2 y2 ? ?1 D. 4 3

答案及解析:
75.D 略 76. 椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左右焦点为 F1 、 F2 ,一直线过 F1 交椭圆于 A 、 B 两点,则 ?ABF2 的周 16 7

长为 A.32 76.B 略 77.已知椭圆 B.16 C.8 D.4

答案及解析:

x2 y2 ? ? 1 ,则以点 M(?1,1) 为中点的弦所在直线方程为( 4 3

).

A. 3x ? 4y ? 7 ? 0 答案及解析:
77.A 略 78. 已知椭圆 (▲)

B. 3x ? 4y ? 1 ? 0

C. 4 x ? 3y ? 7 ? 0 D. 4 x ? 3y ? 1 ? 0

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离是 1 ,则点 P 到左焦点的距离是 8 4

A. 2 2

B. 4 2

C. 2 2 ? 1

D. 4 2 ? 1

答案及解析:
78.D 略

x2 ? y 2 ? 1 的左 焦点, 直线 y ? x ? 1 与 椭圆交 于 A, B 两点, 那么 79. 已 知 F1 为椭 圆 2

| F1 A | ? | F1 B | =
答案及解析: 8 2 79. 3
略 80.已知对 k ? R ,直线 y ? kx ? 1 ? 0 与椭圆 围是( ) A.(0, 1) B.(0,5) C.[1,5) D.[1,5)∪(5,+∞)

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则实数 m 的取值范 5 m

答案及解析:
80.D 略

81.已知(4,2)是直线 l 被椭圆

所截得的线段的中点,则 l 的方程是(

)

A.x-2y=0

B.x+2y-4=0

C.2x+3y+4=0

D.x+2y-8=0

答案及解析:
81.D

82.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? 3x ,则以它的顶点为焦 a 2 b2

点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于( ) A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.1

答案及解析:
82.A

83.从椭圆短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为 120 ( )

?

,那么此椭圆的离心率为

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

6 3

答案及解析:
83.D

84.已知

F1 , F2 为椭圆的两个焦点, | F1F2 |? 6 ,如图 ?AF1B 的顶点 A、B 在椭圆上, F2 在

边 AB 上,其周长为 20,则椭圆的离心率为( )

4 3 3 5 A. 5 B. 5 C. 10 D. 3

答案及解析:
84.B 略 85.若点 F1 , F2 为椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的焦点,P 为椭圆上一点,当△F1PF2 的面积为 4
) B. C.1 D.

时,

PF1 ? PF2 的值为(
A.0

答案及解析:
85.B

86.已知点 A 、 B 、 C 为椭圆

? x2 3? ?ABC 的内切圆圆 1, ? y 2 ? 1上三点,其中 A ? ? ? ? ,且 4 ? 2 ?
) C、 ? 2

心在直线 x ? 1 上,则 ?ABC 三边斜率和为( A、 ?

3 6
D、 2

B、

3 6

答案及解析:
86.B

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 87.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 6 2
2



A.-2

B.2

C.-4

D.4

答案及解析:
87.D 选 D 椭圆的右焦点为 F(2,0)?

p ? 2, 即p ? 4 2

88.设点 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,I 为 a 2 b2
( )

?PF1F2 的内心,若 S?IPF1 ? S?IPF2 ? 2S?IF1F2 ,则该椭圆的离心率是
A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

1 4

答案及解析:
88.A

89.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点为 F1 ,若椭圆上存在一个点 P ,满足以椭圆短 a 2 b2
)

轴为直径的圆与线段 PF1 相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为( A.

5 3

B.

2 3

C.

5 9

D.

2 2

答案及解析:
89.A 略 90.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,P 为椭圆 C 上一点,若 ?F1F2 P a 2 b2

为等腰直角三角形,则椭圆 C 的离心率为

2 (B) 2 ? 1 (C) 2 答案及解析:
(A) 90.C 略 91.已知椭圆 C:

2 ?1或

2 2

(D)

2 4

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,椭圆 C 与过原点的直线相交于 A、B a 2 b2
1 ,则椭圆 C 的离心率是 2

两点,连接 AF、BF,若 AB ? 8, BF ? 4 ,且 cos ?ABF ?

A.

1 2

B.

3 2

C.

3 3

D.

3 ?1

答案及解析:
91.D

92.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A.-4 92.B B.4 C.-2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2
D.2

答案及解析:

93. 若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18 ,焦距为 6 ,则椭圆的方程为 ( )

x2 y2 ? ?1 A. 9 16

x2 y2 ? ?1 B. 25 16
D.以上都不对

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ?1 C. 或 25 16 16 25

答案及解析:
93.C 略 94.已知椭圆 ( 94.D 略 95.已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 25 16
C. 5 D. 7

)A. 2 B. 3

答案及解析:

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ? l ,线段 AF 交 C 于点 B , 2 ??? ? ??? ? ???? ? 若 FA ? 3FB ,则 | AF | = ( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3

答案及解析:
95.A 略 96.已知P、Q是椭圆3x 2 ? 5 y 2 ? 1上满足?POQ ? 900的两个动点,则 1 2 ? 1 2 等于( ) OP OQ

( A)34

( B)8

(C )

8 15

( D)

34 225

答案及解析:
96.B

97.椭圆的两个焦点为 F1,F2,短轴的一个端点为 P,若△PF1F2 为等腰直角三角形,则该椭 圆的离心率为 A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D. 2

答案及解析:
97.B

98.图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为 e1、e2、e3、e4 ,其大小关系 为

A. e1 ? e2 ? e3 ? e4 C. e1 ? e2 ? e4 ? e3

B. e2 ? e1 ? e3 ? e4 D. e2 ? e1 ? e4 ? e3

答案及解析:
98.C

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点重合,则 a 的值为( 99.若抛物线 y ? ax 的焦点与椭圆 6 2
2



A.-8

B.-16

C. ?4

D. 4

答案及解析:
99.A

100.已知椭圆 △ABF 面积的最大值为( A.8 B.4

(0<b<2)与 y 轴交于 A,B 两点,点 F 为该椭圆的一个焦点,则 ). C.2 D.1

答案及解析:

100.C

y2 101.已知椭圆 ? x 2 ? 1 与抛物线 x 2 ? ay 有相同的焦点 F , O 为原点,点 P 是抛物线 5
准线上一动点,点 A 在抛物线上,且 AF ? 4 ,则 PA ? PO 的最小值为( )

A. 2 13

B. 4 2

C. 3 13

D. 4 6

答案及解析:
101.A

102.已知椭圆与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 4 12
) C.

10 ,那么椭圆的离心率等于(
A.

3 5

B.

4 5

5 4

D.

3 4

答案及解析:
102.B

103.已知 P(x,y)为椭圆 C :

???? x2 y2 ? ? 1 上一点,F 为椭圆 C 的右焦点,若点 M 满足 | MF |? 1 25 16
) C.

且 MP ? MF ? 0 ,则 | PM | 的最小值为( A. 3 B.3

???? ????

???? ?

12 5

D.1

答案及解析:
103.A

104.如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当 FB ? AB 时,其离心率为 类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于 ( A.

??? ?

??? ?

5 ?1 ,此 2
)

5 ?1 2

B.

5 ?1 2

C.

5 ?1

D.

5 ?1

y
B F
O

Ax

答案及解析:
104.A 略

x2 y 2 A 是椭 105. 从椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F 1, a b
圆与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB / / OP ( O 是坐标原 点),则该椭圆的离心率是( )

A.

2 4

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

答案及解析:
105.C 略 106.已知动点 P ( x, y ) 在椭圆 则 | PM | 的最小值是( A. 2

???? ? ???? ? ???? ? x2 y 2 ? ? 1 上,若 A 点坐标为 (3,0) , | AM |? 1 ,且 PM ? AM ? 0 25 16


???? ?

B. 3

C. 2

D. 3

答案及解析:
106.B 略 107.过椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右焦点 F 斜率为 1 的直线交椭圆于 A,B 两点,向量 a2 b2 ??? ? ??? ? ? ? ) OA ? OB与向量? ? (? 31 , ) 共线,则该椭圆的离心率为 (

A.

3 3

B.

6 3

C.

3 4

D.

2 3

答案及解析:
107.B

108. 设椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1 1(m>0 , n>0) 的一个焦点与抛物线 x2=4y 的焦点相同,离心率 2 m n

为:

1 则此椭圆的方程为( 3

)

A.

x2 y2 ? ?1 9 8 x2 y2 ? ?1 36 32

B.

x2 y2 ? ?1 8 9
D.

C.

x2 y2 ? ?1 32 36

答案及解析:
108.B 略 109.设 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点, F1 , F2 是椭圆的两个焦点, 25 5 ???? ???? ? PF1 ? PF2 ? 0, 则?F1PF2面积是 ( ) A. 5 B. 10 C. 8 D. 9

答案及解析:
109.A

110.设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点,线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( )

2

2

答案及解析:
110.D 略 111. 已知动点 P ( x, y ) 在椭圆 则 | PM | 的最小值是( A. 2 111.B B. 3

???? ? ???? ? ???? ? x2 y 2 ? ? 1 上 , 若 A 点坐标为 (3, 0) , | AM |? 1 , 且 PM ? AM ? 0 25 16

???? ?

) C. 2 D. 3

答案及解析:

试题分析:由 | AM |? 1 可知点 M 的轨迹为以点 A 为圆心,1 为半径的圆,

???? ?

过 点 P 作 该 圆 的 切 线 PM , 则 | PA | 2 =| PM | 2 +| AM | 2 , 得 | PM | 2 =| PA | 2 -1 , ∴ 要 使 得 | PM | 的 值 最 小 , 则 要 PA 的 值 最 小 , 而 PA 的 最 小 值 为 a-c=2 , 此时 | PM | =

???? ?

????

????

???? ?

3 ,故选 B.

考点:椭圆的定义.

x2 y2 ? 1 上一点,该双曲线的一条渐近线方程是 3x ? 4 y ? 0 , 112. 设 P 是双曲线 2 ? 9 a
) F1 , F2 分别是双曲线的左、右焦点,若 PF 1 ? 10 ,则 PF2 等于( A.2 112. B.18 C.2 或 18 D.16

答案及解析:

113.已知 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,过 F1 垂直与 x 轴的直 a2 b2

线交椭圆于 A, B 两点,若 ?ABF2 是锐角三角形,则椭圆离心率的范围是( A. (0, 2 ? 1) B. (1, 2 ? 1) C. ( 2 ? 1,1) D. (0,

)

2 ) 2

答案及解析:
113.

即可,而 tan ?AF2 F1 ?

c c AF1 b2 ? ? 1 ,即 b2 ? 2ac ,整理得 ( ) 2 ? 2 ? 1 ? 0 ,解得 a a F1F2 2ac

e ? 2 ? 1 ,又因为
x2 ? y 2 ? 1的公 共焦点, A 、 B 114.如图, F1 、 F2 是椭圆 C1 与双曲线 C2 : 2
分别是 C1 与 C2 在第二、四象限的公共点. 若四边形 AF 1BF 2 为矩形 ,则 C1 的离心率是 A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

1 3

第 8 题图

答案及解析:
114.C

115.如图, F1 、 F2 是椭圆 C1 与双曲线 C2 :

x2 ? y 2 ? 1的公 共焦点, A 、 B 2

分别是 C1 与 C2 在第二、四象限的公共点. 若四边形 AF 1BF 2 为矩形 ,则 C1 的离心率是 A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

1 3

第 8 题图

答案及解析:
115.C

116.已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 径,则椭圆的标准方程是( )

1 ,它的长轴长等于圆 x2 ? y 2 ? 2x ?15 ? 0 的半 2

x y ? ?1 16 12 答案及解析:
A. 116.D 117.已知椭圆

2

2

B.

x ? y2 ? 1 4

2

C.

x2 y 2 ? ?1 16 4

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3

x2 y2 ? ? 1(m>n>0) 的左顶点为 A ,右焦点为 F ,点 B 在椭圆上. BC ⊥ m2 n

x 轴,点 C 在 x 轴正半轴上.如果△ ABC 的角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,其它的面积

S 满足 5S ? b 2 ? (a 2 ? c 2 ) ,则椭圆的离心率为
A.

1 4

B.

1 5

C.

2 2

D.

2 4

答案及解析:
117.B

118.已知两点 F1 (?1,0) 、 F (1,0) ,且 F1 F2 是 PF 1 与 PF2 的等差中项,则动点 P 的轨迹 方程是

( A.

) D.

x2 y2 ? ?1 16 9

B.

x2 y2 ? ?1 16 12

C.

x2 y2 ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 3 4

答案及解析:
118.C

119.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
C. ?4 D. 4



A. ?2

B. 2

答案及解析:
119.D

120.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为 是( A. ) B.

1 ,则椭圆的方程 3

x2 y2 + =1 144 128

x2 y2 + =1 36 20

C.

x2 y2 + =1 32 36

D.

x2 y2 + =1 36 32

答案及解析:
120.A

121.椭圆 x ? 4 y ? 1的离心率为 (
2 2

)

A.

1 2

B.

3 2

C. ±

1 2

D.±

3 2

答案及解析:
121.C

122.如果椭圆 为( A. 10 122.D )

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离为 6,则点 P 到另一个焦点 F2 的距离 100 36
B. 6 C. 12 D. 14

答案及解析:

第 II 卷(非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明
评卷人 得分

二、填空题(本题共 58 道小题,每小题 0 分,共 0 分)

123.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点是 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A, B ,当 ?FAB 的周长 4 3
.

最大时, ?FAB 的面积是

答案及解析:
123.3

124.已知 O 为原点,椭圆 点.则 OM = .

x2 y 2 M 是 PF1 的中 ? ? 1 上一点 P 到左焦点 F 1 的距离为 4, 25 9

答案及解析:
124.3

125.设椭圆 ▲ .

(a>b>0)恒过定点 A(1,2),则椭圆的中心到准线距离的最小值是

答案及解析:
125. 略 126.已知椭圆中心在原点,一个焦点为( 3 ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的 标准方程是 ▲ .

答案及解析: x2 ? y2 ? 1 126. 4
略 127.设 F1、F2 为曲线 的焦点,P 是曲线 C 2 :

x2 ? y 2 ? 1 与 C1 的一个交 3

点,则△PF1F2 的面积为_______________________.

答案及解析:
127.

2 , 此题考察的是椭圆、双曲线的基本概念.

128.过点 (2, ?3) 和( 2, 2 3 )的椭圆的标准方程为_________.

答案及解析: x2 y2 ? ?1 128. 10 15
x2 y2 ? ? 1 内有一点 P (1,?1) ,F 为椭圆的右焦点,在椭圆上有一动点 M,则 4 3

129.椭圆

|MP|+|MF|的取值范围为________

答案及解析:
129. 略 130.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则离心率 e=________。

答案及解析:
130. 略 131.设 F1,F2 是椭圆 C:
1 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 交于 a 2 b2


A,B 两点.若 AB⊥AF2,|AB|:|AF2|=3:4,则椭圆的离心率为

答案及解析: 5 131. 3


1 x2 y 2 ? ? 1(m ? 4) 的离心率为 ,则 m = ▲ . 2 m 4 答案及解析: 16 132. 3
132.椭圆

x2 y2 133.过椭圆: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一点 B, a b
F 是椭圆的右焦点, BF ? x 轴于 F 点,当
是 133. .

1 1 ? k ? 时,椭圆的离心率 e 的取值范围 3 2

答案及解析:

x2 y 2 ? ?1 3 134.已知椭圆 C: 4 ,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分别 为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |? __________.

答案及解析:
134.8 略 135.设 A、B 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右顶点,点 P 在 C 上且异于 A、B 两 a 2 b2
1 ,则 C 的离心率为__________. 3

点,若直线 AP 与 BP 的斜率之积为﹣

答案及解析:
135. 略 136.过点 M(1 ,1) 作斜率为 ?
2 2 x y 1 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a? b? 0 )相交于 A , B ,若 a b 2

6 3

M
136.

是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为

.

答案及解析:

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题.

ì ? 2 ? 【答案解析】 解析 :解:设 A( x1, y1) , B ( x2 , y2 ) ,则 í 2 ? ? ?

x12 y12 + =1 a 2 b2 , x2 2 y2 2 + =1 a 2 b2

2 2 x y 1 1 ( a? b? 0 )相交于 A , B 两 ∵过点 M(1 ,1) 作斜率为 ? 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? a b 2

点, M 是线段 AB 的中点,∴两式相减可得

2 1 2 + (- ) ? 2 2 a 2 b

0,

∴ a = 2b, ∴ c = a2 - b2 = b ,∴ e =

c 2 = . a 2
1 ,即可求出椭圆 C 2

【思路点拨】利用点差法,结合 M 是线段 AB 的中点,斜率为 ? 的离心率.

137.
2 y2 已知椭圆 C: x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为椭圆 C 上的任意一点, a b

若以 F1 , F2 , P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆 C 的离心率的取 值范围是 。

答案及解析:
[ 2 ? 1, 2 ] 2 137.

知识点:椭圆的定义与离心率. 解析 :解:因为点 P 的横坐标 x0 满足 ?c ? x0 ? c ,且当点 P 在短轴顶点时, ?F 1PF 2一

? b2 ? ? 2c 定是锐角或直角,所以 ? a ,所以椭圆 C 的离心率的取值范围是 [ 2 ? 1, 2 ] ,故答 2 ? a ? 2c ?
案为 [ 2 ? 1, 2 ] . 2 思路点拨:先确定出点 P的横坐标 x0 的范围,在根据 ?F1PF2 是锐角或直角解不等式组即 可. 138.已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分 25 16
.

别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |?

答案及解析:
138.20 略 139.设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 )的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同,离心 m2 n2


率为

1 ,则此椭圆的短轴长为 2

答案及解析: 139. 4 3


x2 y 2 ? ? 1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2 , N 是 MF1 的中点,则 ON 等于 140. 椭圆 25 9
▲ .

答案及解析:

140.4 略 141..我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,己知

F1 , F2
? 是一对相关曲线的焦点,P 是它们在第一象限的交点,当 ?F 1PF 2 ? 60 ,则这 一

对相 关曲线中椭圆的离心率是________。

答案及解析: 3 141. 3

142.已知圆 G:x +y ﹣2

2

2

x﹣2y=0 经过椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点及上顶点.过

椭圆外一点 M(m,0)(m>a),倾斜角为 π 的直线 l 交椭圆于 C,D 两点,若点 N(3, 0)在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,则 m 的取值范围是 _________ .

答案及解析:
142.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 143.已知椭圆 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为_________________. E:
答案及解析:
143. 略 144.如下图,已知 F2 是椭圆 C :
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线 a 2 b2

段 PF2 与圆 x ? y ? b 相切于点 Q ,且点 Q 为线段 PF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为 __ ;

答案及解析:
144.

5 3

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 的焦点相同,则椭圆的离心率 e ? ____ 145.若椭圆 4 a2 a 2

答案及解析: 3 145. 2

146.过椭圆

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦 a 2 b2
60? ,则椭圆的离心率为
.

点,若 ? F1 PF2

答案及解析:
146.

147.过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 F1 作垂直于 x 轴的直线 AB,交椭圆于 A,B 两点, F2 为 25 16
.

椭圆的右焦点,则△ AF2 B 的周长为

答案及解析:
147.20

2 y2 148.已知椭圆 C: x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为椭圆 C 上的任意一 a b

点,若以 F1 , F2 , P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆 C 的离心 率的取值范围是 。

答案及解析:
148. [ 2 ? 1, 2 ] 2

149.设 A, B 分别为椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点, F 为右焦点, l 为 ? 在点 a 2 b2

B 处的切线 , P 为 ? 上异于 A, B 的一点 , 直线 AP 交 l 于 D , M 为 BD 中点 , 有如下结论 : ① FM 平分 ?PFB ;② PM 与椭圆 ? 相切;③ PM 平分 ? FPD ; ④使得 PM ? BM 的点 P 不
存在.其中正确结论的序号是_____________.

答案及解析:
149.①② 略 150. 如图所示,已知 A, B 分别是椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的右顶点和上顶点, a 2 b2

OA ? 2 ,点 M 为线段 AB 中点,直线 OM 交椭圆于 C , D 两点(其中 O 为坐标原
点), ? ABC 与 ? ABD 的面积分别记为 S1 , S 2 .

?1? 当椭圆 E 的离心率 e ? 1 时,求椭圆 E 的方程;
2

?2? 当椭圆 E 的离心率变变化时, S 1
由. y B O D M A A C

S2

是否为定值?若是求出该定值,若不是说明理

x

答案及解析:
150.解:(1)由已知 a ? 2 ,且 e ?

1 ∴ c ? 1∴ b ? 3 2

∴椭圆方程为 y B O D

x2 y2 ? ? 1 ????????????????????3 分 4 3

C M A A x

( 2 ) 由 已 知 A?2,0? , 设 B?0, b ? , 则

? b? M ? 1, ? ? 2?
直线 OM : y ?

b x ??????4 分 2

直线 AB : bx ? 2 y ? 2b ?????5 分

? x2 y2 ? ?1 ? ? 4 b2 ? b 2 x 2 ? b 2 x 2 ? 4b 2 ? x 2 ? 2 ? ?y ? b x ? 2 ?
∴ C? 2,

? ? ?

? ? 2 ? ? ? 2 ,? 2 b ? b? , D ? 2 ? 2 ? ? ? ?

C 到直线 AB 的距离为 d 1 ?

2b ? 2 2b b2 ? 4 2 2b ? 2b b2 ? 4
??????????????9 分

C 到直线 AB 的距离为 d 2 ?

1 AB ? 2b ? 2 2b 2?2 2 S1 2 ? ? ? 3 ? 2 2 (定值) S2 1 2 2 ? 2 AB ? 2 2b ? 2b 2

S1 是定值,定值为 3 ? 2 2 ???????????????????10 分 S2

略 151.已知椭圆的焦点是双曲线的顶点,双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点,若两曲线的离心 率分别为

e1 , e2 , 则 e1 ? e2 ? ______.

答案及解析:
151.1 略 152. 设 F1 、 F2 是椭圆 cos∠F1PF2=________ 的两个焦点, P 是椭圆上一点,且 |PF1| - |PF2| = 1 ,则

答案及解析:
152. 略

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 有以下 4 个命题,其中正确命题的序号 153.对于椭圆 16 9 7 9
是 . ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同.

答案及解析:
153.①② 略 154..椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直,则△ PF1 F2 49 24

的面积为______________.

答案及解析:
154.24 略 155.设 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点, P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标 25 16


为 (6,4) ,则 PM ? PF 1 的最大值为

答案及解析:
155.15

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点,直线 y ? x ? 1 与椭圆交于 A, B 两点,那么 156. 已知 F1 为椭圆 2

| F1 A | ? | F1 B | =
答案及解析: 8 2 156. 3






157.已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 离为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

1 ,右焦点到右顶点的距 2

( Ⅱ ) 是 否 存 在 与 椭 圆 C 交 于 A, B 两 点 的 直 线 l : y ? kx ? m(k ? R) , 使 得

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立?若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,请说明理
由.

答案及解析:
157.

x2 y 2 c 1 Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? ,半焦距为 c . 依题意 e ? ? , a 2 a b
由右焦点到右顶点的距离为 1 , 得 a ?c ?1 . 解 得 c ?1 , a ? 2 . 所 以

b2 ? a 2 ? c 2 ?3 .

x2 y 2 ? ? 1 .???4 分 所以椭圆 C 的标准方程是 4 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)解:存在直线 l ,使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立.理由如下:

? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 . ? 1, ? ? 3 ?4

? ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 ,化简得 3 ? 4k 2 ? m2 .
4m 2 ? 12 8km x x ? , . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 若 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成 立 , 即 OA ? 2OB ? OA ? 2OB , 等 价 于
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

??? ? ??? ? OA ? OB ? 0 .所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,

4m2 ? 12 8km ? km ? ? m2 ? 0 , (1 ? k ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? 0 , (1 ? k ) ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
2 2
2
2 化 简 得 , 7m2 ? 12 ? 12k 2 . 将 k ?

7 2 m ? 1 代 入 3 ? 4k 2 ? m 2 中 , 12

3 7 12 3 ? 4( m 2 ? 1) ? m 2 ,解得, m 2 ? .又由 7m2 ? 12 ? 12k 2 ? 12 , m 2 ? , 4 7 12
2 从而 m ?

12 2 2 21 或 m ? ? 21 . ,m ? 7 7 7

所以实数 m 的取值范围是 (??, ? 略 158.

2 2 21] ? [ 21, ??) . 7 7

?????12 分

设椭圆的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若 ?F1 F2 P 为 等腰直角三角形,则椭圆的离心率为_________.

答案及解析:
158. 略 159.下列命题正确的有___________.

①已知 A,B 是椭圆
3 kAP ? kBP ? ? . 4

x2 y2 ? ? 1 的左右两个顶点, P 是该椭圆上异于 A,B 的任一点,则 3 4

②已知双曲线 x 2 ?
??? ? ??? ?

y2 ? 1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点, 3

则 PA1 ? PF2 的最小值为-2.
) 抛物线内一点 ③ 若 抛 物 线 C : x 2 ? 4y 的 焦 点 为 F , 抛 物 线 上 一 点 Q( 2 , 1 和
R( 2 m , ) (m ? 1 ),过点 Q 作抛物线的切线 l1 ,直线 l2 过点 Q 且与 l1 垂直,则 l2 平分

?RQF ;

④已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数 , f (1) ? 0, xf ?(x) ? f (x) ? 0(x ? 0) , 则不等式
f (x) ? 0 的解集是 (?1,0) ? (1, ??) .

答案及解析: 159.②③④

略 160.椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 左右焦 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰有 4 个不同的点 P,使 a2 b2

得 ?PF 1 F2 为等腰三角形,则 C 的离心率的取值范围是 _______

答案及解析:

160. 略 161.若椭圆

x2 y 2 1 ? ? 1 的离心率是 ,则 m 的值为 2 4 m

.

答案及解析: 16 161.3 或 3
x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 9 5

162.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 ___________.

答案及解析:
162. x=-2

?

x2 y2 + = 1 ∴右焦点为(2,0) ? y 2 = 2 px焦点为(2,0) ∴其准线方程为 x = -2 9 5 所以,是x = -2

163.已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分 9 4
.

别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |?

答案及解析:
163.

164.设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点为 F1, F2 ,作 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 a 2 b2

A,B 两点, F1 B 与 y 轴交于点 D ,若 AD ? F1 B ,则椭圆 C 的离心率等于________.

答案及解析:
3 164. 3
因为 AB 为椭圆的通径,所以 AB ?

2b 2 b2 ,则由椭圆的定义可知: AF1 ? 2a ? , a a

c 2b 2 b2 b2 2 ? 2a ? ,得 2 ? ,又离心率 e ? ,结 又因为 AD ? F1B ,则 AF 1 ? AB ,即 a a a a 3
合a ?b ?c
2 2 2

得到: e ?

3 3

x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点为 ?1,1? ,则 165.已知椭圆 6 4
直线 l 的方程为_________ .

答案及解析: 165. 2 x ? 3 y ? 5 ? 0

166.写出以下五个命题中所有正确命题的编号

①点 A(1,2)关于直线 y ? x ? 1 的对称点 B 的坐标为(3,0); ②椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点坐标为 ? ?5,0? ; 16 9

③已知正方体的棱长等于 2, 那么正方体外接球的半径是 2 3 ; ④下图所示的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,异面直线 A1C1 与 B1C 成 60? 的角;
A1 D1 C1 B1

A D C

B

⑤下图所示的正方形 O ?A?B ?C ? 是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形是矩形.
C/

B/

O/

A/

答案及解析:
166.①④

167.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 , (a ? b ? 0) , A 为左顶点, B 为短轴端点, F 为右焦点,且 a2 b2


AB ? BF ,则这个椭圆的离心率等于

答案及解析: 5 ?1 167. 2
略 168.已知

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,M,N 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上任意一点,且直 a 2 b2

线 PM、PN 的斜率分别为 k1 , k 2 ( k1k 2 ≠0),若 k1 ? k2 的最小值为 1,则椭圆的离 心率为 .

答案及解析:
168. 略

3 2

1 x2 y 2 2 2 169.若椭圆 2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,过点 (1, ) 作圆 x ? y ? 1的切线,切点分 2 a b

别为 A、B,直线 AB 恰好过椭圆的右焦点和上顶点,则该椭网的方程是( ) A.

x2 y 2 ? ?1 5 4 x2 y 2 ? ? 1. 5 3

B.

x2 y 2 ? ? 1, 4 3 x2 y 2 ? ? 1, 4 5

C.

D.

答案及解析:
169.A 略 170.椭圆 x 2 + my 2 =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为 .

答案及解析:
170.

1 4

171.已知直线过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 F1 ,且与椭圆交于 A, B 两点,过点 A, B 分别作 4 3

椭圆的两条切线,则其交点的轨迹方程

答案及解析:
171. 15.x ? ?4

172.已知 F1、F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 25 7

F2 A ? F2 B ? 13 ,则 AB = _____________
答案及解析:
172.7

x2 y2 173.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 , (a ? b ? 0) , A 为左顶点, B 为短轴端点, F 为右焦点, a b
且 AB ? BF , 则这个椭圆的离心率等于

答案及解析: 5 ?1 173. 2
略 174.已知点 A 是椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 上一点, F 为椭圆的一个焦点, a2 b2

且 AF ? x 轴, AF ? 焦距,则椭圆的离心率是

答案及解析:
174. 略 175.已知椭圆 C : x ? 2 y ? 4 ,过点 P (1,1) 的直线与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,若点 P 恰 为线段 AB 的中点,则直线 AB 的方程为
2 2

答案及解析: 175. x ? 2 y ? 3 ? 0

x2 ? y 2 ? 1 ,则它的离心率是__________. 176.已知椭圆方程为 4

答案及解析: 3 176. 2


x2 y 2 ? ? 1 的长轴的端点、焦点,则双曲 177.已知双曲线 C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆 25 16
线 C 的方程是____________.

答案及解析: x2 y2 ? ?1 177. 9 16

178.已知点 A 是椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 上一点, F 为椭圆的一个焦点,且 AF ? x a2 b2

轴, AF ? 焦距,则椭圆的离心率是

答案及解析:
178.

179.已知双曲线 C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆 线 C 的方程是____________.

x2 y 2 ? ? 1 的长轴的端点、焦点,则双曲 25 16

答案及解析: x2 y2 ? ?1 179. 9 16

180.P 是椭圆上一定点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,若∠PF1 F2=60°,∠PF2F1=30°,则椭 圆的离心率为 .

答案及解析: 180. 3 ? 1
三、解答题(本题共 259 道小题,第 1 题 0 分,第 2 题 0 分,第 3 题 0 分,第 4 题 0 分,第 5 题 0 分,第 6 题 0 分,第 7 题 0 分,第 8 题 0 分,第 9 题 0 分,第 10 题 0 分,第 11 题 0 分,第 12 题 0 分,第 13 题 0 分,第 14 题 0 分,第 15 题 0 分,第 16 题 0 分,第 17 题 0 分,第 18 题 0 分,第 19 题 0 分,第 20 题 0 分,第 21 题 0 分,第 22 题 0 分, 第 23 题 0 分,第 24 题 0 分,第 25 题 0 分,第 26 题 0 分,第 27 题 0 分,第 28 题 0 分,第 29 题 0 分,第 30 题 0 分,第 31 题 0 分,第 32 题 0 分,第 33 题 0 分,第 34 题 0 分,第 35 题 0 分,第 36 题 0 分,第 37 题 0 分,第 38 题 0 分,第 39 题 0 分,第 40 题 0 分,第 41 题 0 分, 第 42 题 0 分,第 43 题 0 分,第 44 题 0 分,第 45 题 0 分,第 46 题 0

评卷人

得分

分,第 47 题 0 分,第 48 题 0 分,第 49 题 0 分,第 50 题 0 分,第 51 题 0 分,第 52 题 0 分,第 53 题 0 分,第 54 题 0 分,第 55 题 0 分,第 56 题 0 分,第 57 题 0 分,第 58 题 0 分,第 59 题 0 分,第 60 题 0 分, 第 61 题 0 分,第 62 题 0 分,第 63 题 0 分,第 64 题 0 分,第 65 题 0 分,第 66 题 0 分,第 67 题 0 分,第 68 题 0 分,第 69 题 0 分,第 70 题 0 分,第 71 题 0 分,第 72 题 0 分,第 73 题 0 分,第 74 题 0 分,第 75 题 0 分,第 76 题 0 分,第 77 题 0 分,第 78 题 0 分,第 79 题 0 分, 第 80 题 0 分,第 81 题 0 分,第 82 题 0 分,第 83 题 0 分,第 84 题 0 分,第 85 题 0 分,第 86 题 0 分,第 87 题 0 分,第 88 题 0 分,第 89 题 0 分,第 90 题 0 分,第 91 题 0 分,第 92 题 0 分,第 93 题 0 分,第 94 题 0 分,第 95 题 0 分,第 96 题 0 分,第 97 题 0 分,第 98 题 0 分, 第 99 题 0 分,第 100 题 0 分,第 101 题 0 分,第 102 题 0 分,第 103 题 0 分,第 104 题 0 分,第 105 题 0 分,第 106 题 0 分,第 107 题 0 分,第 108 题 0 分,第 109 题 0 分,第 110 题 0 分,第 111 题 0 分,第 112 题 0 分,第 113 题 0 分,第 114 题 0 分,第 115 题 0 分,第 116 题 0 分,第 117 题 0 分,第 118 题 0 分,第 119 题 0 分,第 120 题 0 分,第 121 题 0 分,第 122 题 0 分,第 123 题 0 分,第 124 题 0 分,第 125 题 0 分,第 126 题 0 分,第 127 题 0 分,第 128 题 0 分,第 129 题 0 分,第 130 题 0 分,第 131 题 0 分,第 132 题 0 分,第 133 题 0 分,第 134 题 0 分,第 135 题 0 分,第 136 题 0 分,第 137 题 0 分,第 138 题 0 分,第 139 题 0 分,第 140 题 0 分,第 141 题 0 分,第 142 题 0 分,第 143 题 0 分,第 144 题 0 分,第 145 题 0 分,第 146 题 0 分,第 147 题 0 分,第 148 题 0 分,第 149 题 0 分,第 150 题 0 分,第 151 题 0 分,第 152 题 0 分,第 153 题 0 分,第 154 题 0 分,第 155 题 0 分,第 156 题 0 分,第 157 题 0 分,第 158 题 0 分,第 159 题 0 分,第 160 题 0 分,第 161 题 0 分,第 162 题 0 分,第 163 题 0 分,第 164 题 0 分,第 165 题 0 分,第 166 题 0 分,第 167 题 0 分,第 168 题 0 分,第 169 题 0 分,第 170 题 0 分,第 171 题 0 分,第 172 题 0 分,第 173 题 0 分,第 174 题 0 分,第 175 题 0 分,第 176 题 0 分,第 177 题 0 分,第 178 题 0 分,第 179 题 0 分,第 180 题 0 分,第 181 题 0 分,第 182 题 0 分,第 183 题 0 分,第 184 题 0 分,第 185 题 0 分,第 186 题 0 分,第 187 题 0 分,第 188 题 0 分,第 189 题 0 分,第 190 题 0 分,第 191 题 0 分,第 192 题 0 分,第 193 题 0 分,第 194 题 0 分,第 195 题 0 分,第 196 题 0 分,第 197 题 0 分,第 198 题 0 分,第 199 题 0 分,第 200 题 0 分,第 201 题 0 分,第 202 题 0 分,第 203 题 0 分,第 204 题 0 分,第 205 题 0 分,第 206 题 0 分,第 207 题 0 分,第 208 题 0 分,第 209 题 0 分,第 210 题 0 分,第 211 题 0 分,第 212 题 0 分,第 213 题 0 分,第 214 题 0 分,第 215 题 0 分,第 216 题 0 分,第 217 题 0 分,第 218 题 0 分,第 219 题 0 分,第 220 题 0 分,第 221 题 0 分,第 222 题 0 分,第 223 题 0 分,第 224 题 0 分,第 225 题 0 分,第 226 题 0 分,第 227 题 0 分,第 228 题 0 分,第 229 题 0 分,第 230 题 0 分,第 231 题 0 分,第 232 题 0 分,第 233 题 0 分,第 234 题 0 分,第 235 题 0 分,第 236 题 0 分,第 237 题 0 分,第 238 题 0 分,第 239 题 0 分,第 240 题 0 分,第 241 题 0 分,第 242 题 0 分,第 243 题 0 分,第 244 题 0 分,第 245 题 0 分,第 246 题 0 分,第 247 题 0 分,第 248 题 0 分,第 249 题 0 分,第 250 题 0 分,第 251 题 0 分,第 252 题 0 分,第 253 题 0 分,第 254 题 0 分,第 255 题 0 分,第 256 题 0 分,第 257 题 0 分,第 258 题 0 分,第 259

题 0 分,共 0 分)
181.已知椭圆 C

2 1 x2 y2 上点到两焦点的距离和为 ,短轴长为 ,直线 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 3 2 a2 b2

l 与椭圆 C 交于 M、 N 两点.

(Ⅰ)求椭圆 C 方程;
2 2 (Ⅱ)若直线 MN 与圆 O x ? y ?

1 相切,证明: ?MON 为定值; 25

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求 OM ON 的取值范围.

答案及解析:
x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上点到两焦点的距离和为 , 2 3 a b 1 1 1 2 1 得 2a= ,即 ;由短轴长为 ,得 2b= ,即 b ? 2 2 4 3 3 所以椭圆 C 方程: 9 x 2 ? 16 y 2 ? 1

181.解:(Ⅰ)由椭圆 C

1 1 相切,所以直线 MN 方程:x= 25 5 ???? ? ???? 1 1 1 1 1 1 或 x=- ,当直线方程为 x= ,得两点分别为( , )和( ,- ),故 OM ?ON =0, 5 5 5 5 5 5 ? ? 1 可证 ?MON = ;同理可证当 x=- , ?MON = ; 2 2 5
(Ⅱ)当直线 MN ? x 轴时,因为直线 MN 与圆 O x 2 ? y 2 ?
2 2 当直线 MN 与 x 轴不垂直时,设直线 MN:y=kx+b,直线 MN 与圆 O x ? y ?

1 的交点 25

(x1 , y1 ) ,N (x2 , y 2 ) M
由直线 MN 与圆 O 相切得:d=
2 2

b
2

k ?1 联立 y=kx+b, 9 x ? 16 y ? 1 ,得 (9 ? 16k 2 ) x2 ? 32kbx ? 16b2 ? 1 ? 0 ,

?

1 ,即 25 b 2 ? k 2 ? 1 ①; 5

因此 ? ? 0 , x1 ? x2 =由 OM
???? ?

2 32kb , x1 x2 = 16b ?1 ; 2 9 ? 16k 9 ? 16k 2 ???? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ?ON = x1 x2 + y1 y 2 = x1 x2 +

25b 2 ?k 2 ? 1 9 ? 16k 2 ???? ??? ? ? 由①②得 OM ?ON =0,即 ?MON = ; 2

=(1+k 2 ) x1 x2 +kb( x1 ? x2 )+b 2 =

②;

综上 ?MON =

? (定值). 2

(Ⅲ)不妨设 ?XOM ? ? ,则 ?XON ? ? ?

?
2



由三角函数定义可知 M( OM cos ? , OM sin ? ),N( ? ON sin ? , ? ON cos ? ) 因为点 M、N 都在 9 x 2 ? 16 y 2 ? 1 上, y
N

OO
M

x

所以
(

1 OM
2

= 9 cos 2 ? ? 16sin 2 ? ,
1
2

1 ON
2

= 9sin 2 ? ? 16 cos 2 ?

1 1 1 2 ) = OM ON OM

ON

2

=( 9 cos 2 ? ? 16sin 2 ? )( 9sin 2 ? ? 16 cos 2 ? ) 2 =9 ? 16+(9-16) sin 2 ? cos 2 ? 1 =9 ? 16+(9-16) 2 sin 2 2? , 4 又 sin 2 2? ? [0,1],故( 因此 OM ON ? [ 略 182.已知椭圆 E:
1 OM

1 ON

) 2 ? [9 ? 16,(

9 ? 16 2 ) ] 2

2 1 , ]. 25 12

x2 y2 1 ? ? 1 (a> 3 )的离心率 e= . 2 a 3 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)斜率 k=1 的直线交椭圆于 A、B,交 y 轴于 T(0,t), 当弦|AB|=
y B T x

24 ,求 t 的值。 7

O A

答案及解析:
182. (1)由 e=

x2 y2 a2 ? 3 1 ? ? 1; = 得:a=2 则椭圆方程为 4 3 a 2
x 2 ( x ? t )2 ? ?1 4 3
? 8t 4t 2 ? 12 , x1 ? x2 ? 7 7

(2)设直线为 y=x+t,代入椭圆方程得:

化简得: 7 x 2 ? 8tx ? 4t 2 ? 12 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ?

∴|AB|= 1 ? k 2 | x1 ? x2 |?

2 ?

4 21 ? 3t 2 24 ? ,解得 t 2 ? 1 ,则 t=±1 7 7
2 2

183.(本小题满分 12 分)已知圆 C:(x+ 3 ) +y =16,点 A( 3 ,0),Q 是圆上一动 点,AQ 的垂直平分线交 CQ 于点 M,设点 M 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程; (2)过点 P(1,0)的直线 l 交轨迹 E 于两个不同的点 A,B,△AOB(O 是坐标原点)的面积 S=

4 ,求直线 AB 的方程. 5

答案及解析:
183. (1)由题意|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4>2 3 ,???3 分 所以轨迹 E 是以 A,C 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,即轨迹 E 的方程为 . ???5 分 (2)记 A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意,直线 AB 的斜率不可能为 0, 而直线 x=1 也不满足条件, 故可设 AB 的方程为 x=my+1.



1 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2
由 S=

.???10 分

4 2 ,解得 m =1,即 m=±1. ???11 分 5

故直线 AB 的方程为 x=±y+1, 即 x+y-1=0 或 x-y-1=0 为所求.???12 分 184.(本题满分 12 分)

1 x y x2 y2 设椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,右焦点到直线 ? ? 1 的距离 2 a b a b

d?

21 ,O 为坐标原点.(1)求椭圆 C 的方程; 7

(2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,证明:点 O 到直线 AB 的距离为定值,并求弦 AB 长度的最小值。

答案及解析:
184. (1)

x2 y2 ? ?1 4 3
2 2

(2)设 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,当直线 AB 的斜率不存在时, x2 ? ? x1 , y1 ? y2 ,? y1 ? y2 , 又

x12 y12 12 2 21 2 21 ,即 O 到直线 AB 的距离 d ? ,当直线的 ? ? ? 1 ,解得 x1 ? 4 3 7 7 7
x2 y2 ? ? 1 联立消去 y 得 4 3

斜率存在时,直线 AB 的方程为 y=kx+m,与椭圆

3x 2 ? 4(k 2 x 2 ? 2km ? m 2 ) ? 12 ? 0 ,
8km 4m 2 ? 12 ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , ? x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 即
(k 2 ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 ? (k 2 ? 1)
7m 2 ? 12(k 2 ? 1) ? O 到直线 AB 的距离
d? m 1? k 2 ? 12 2 21 ? OA ? OB ? OA2 ? OB 2 ? AB2 ? 2OA ? OB 当且仅当 ? 7 7
4m 2 ? 12 8k 2 m 2 ? ? m 2 ? 0 ,整理得 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

OA=OB 时取“=”有 d ? AB ? OA ? OB 得

d ? AB ? OA ? OB ?

AB 2 4 21 4 21 ,? AB ? 2d ? 即弦 AB 的长度的最小值是 2 7 7

185.(本题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x 2 y2 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左焦点 F ( ?1,0) ,离心率为 。 2 a b 2
5 4

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 P(1,0) , Q ( , 0) ,过 P 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,求 QA ? QB 的值。

答案及解析:
185.

?1 2 x2 ? ? ? y2 ? 1 (Ⅰ) c ? 1 ,由 ? a 得 a ? 2 , b ? 1 ,椭圆方程为 2 2 ?a 2 ? b 2 ? 1 ?
(Ⅱ)(理科若直线 l 斜率不存在,则 QA ? QB = (

1 3 2 ? t) ? 2 2t 4

设直线 l : y ? k ( x ? t ) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), Q( x0 ,0)

QA ? ( x1 ? x0 , y1 ), QB ? ( x2 ? x0 , y2 )
QA ? QB ? ( x1 ? x0 )( x 2 ? x0 ) ? y1 y2 ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? k 2 ( x1 ? t )( x2 ? t )
2 ? ( k 2 ? 1) x1 x2 ? ( k 2 t ? x0 )( x1 ? x2 ) ? x0 ? k 2t 2

由? 2

?x ? ? y2 ? 1
2

? ? y ? k( x ? t )

得 ( 2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 tx ? 2k 2 t 2 ? 2 ? 0

? 4k 2 t x ? x2 ? ? ? 1 1 ? 2k 2 所以 ? 2 2 ? x x ? 2k t ? 2 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

??? ? ??? ? 1 3 1 3 2 1 2 故QA ? QB ? x0 ? 2? ( ? t )2 ? 2 ? ?2 ? (2 ? t) ? ? 2t 4 2t 4 2
故 QA ? QB 的最小值为 ?

1 6 ,此时 t ? ? . 2 3

??? ? ??? ? 7 QA ? QB =16

(文科将理科解答中的 t 变为 1 即可)

186.(本小题满分 16 分)如图,F 是椭圆 的两个顶点,椭圆的离心率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点,A,B 是椭圆 a 2 b2

1 。已知点 C 在 x 轴上,且 BC ? BF , B, C , F 三点确定的圆 2

M 恰好与直线 l1 : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切。 (1) 求椭圆的方程; (2) 若过点 A 的直线 l2 与圆 M 交于 P,Q 两点, 且 MP ? MQ ? ?2 ,求直线 l2 的方程。

???? ???? ?

答案及解析:
186.(1)椭圆方程

x2 y 2 2 ? ? 1 ;(2) y ? ? ( x ? 2) 4 3 4

187.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点到焦点的距离为 2,离心率 a 2 b2



3 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点,过点 P 作斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两 点. 若 PA ? PB 的值与点 P 的位置无关,求 k 的值.
2 2

答案及解析:
187. (1)由题设可知 a ? 2 , e ? 故所求椭圆方程为

c 3 ? , c ? 3, 所以 b ? 1 , a 2

x2 ? y 2 ? 1. 4

???????????5 分

(2)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? m) . A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,联立直线 l 与椭圆 C 的方 程,

? y ? k ( x ? m) ? 2 2 2 2 2 即 ? x2 得 (4k ? 1) x ? 8mk x ? 4(k m ?1) ? 0 , 2 ? y ?1 ? ? 4

? 8mk 2 x ? x ? ? ? 1 2 1 ? 4k 2 则? 2 2 ? x ? x ? 4(k m ? 1) 1 2 ? 1 ? 4k 2 , ?

?2mk ? y1 ? y2 ? ? ? 1 ? 4k 2 ? 2 2 2 ? y ? y ? k m ? 4k ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
所以

??7 分

PA ? PB ? ( x1 ? m) 2 ? y12 ? ( x2 ? m) 2 ? y2 2 ?

2

2

3 2 ( x1 ? x2 2 ) ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2m 2 ? 2 4

?


m2 (?8k 4 ? 6k 2 ? 2) ? (1 ? 4k 2 )(8k 2 ? 8) (1 ? 4k 2 )2
???10 分

2 2 因为 PA ? PB 的值与点的 P 位置无关,即 ①式取值与 m 无关,所以有

?8k 4 ? 6k 2 ? 2 ? 0,
解得 k ? ?

1 ,所以 k 的值是 2
???12 分

?

1 . 2
188.已知椭圆 E:

1 x2 y 2 + 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,右焦点为 F,且椭圆 E 上的点 2 2 a b

到点 F 距离的最小值为 2. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设椭圆 E 的左、右顶点分别为 A、B,过点 A 的直线 l 与椭圆 E 及直线 x ? 8 分别 相交于点 M、N. ① 当过 A、F、N 三点的圆半径最小时,求这个圆的方程; ② 若 cos ?AMB ? ?

65 ,求 △ ABM 的面积. 65

答案及解析:
188.解:⑴由已知,

c 1 ? ,且 a ? c ? 2 ,所以 a ? 4 , c ? 2 ,所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 12 , a 2
x2 y2 + ? 1 .?????????4分 16 12

所以椭圆 E 的方程为

⑵(ⅰ)由⑴, A(?4,0) , F (2,0) ,设 N (8, t ) . 设圆的方程为 x2 + y 2 + dx + ey + f ? 0 ,将点 A, F , N 的坐标代入,得

? d ? 2, ?16 ? 4d + f ? 0, ? 72 ? ? 解得 ?e ? ?t ? , ??????????6分 ?4 + 2d + f ? 0, t ? ? 2 ?64 + t + 8d + et + f ? 0, ? ? f ? ?8,

所以圆的方程为 x2 + y 2 + 2 x ? (t + 即 ( x + 1)2 + [ y ? (t + 因为 (t +

72 )y ?8 ? 0, t

1 2

72 2 1 72 )] ? 9 + (t + )2 , t 4 t

72 2 72 ) ≥ (2 72)2 ,当且仅当 t + ? ?12 2 时,圆的半径最小, t t

故所求圆的方程为 x2 + y 2 + 2x ? 12 2 y ? 8 ? 0 .???????????8分 (ⅱ)由对称性不妨设直线 l 的方程为 y ? k ( x + 4)(k ? 0) .

? y ? k ( x + 4), 12 ? 16k 2 24k ? , ) ,???????????9 分 由 ? x2 y2 得M( 3 + 4k 2 3 + 4k 2 ? 1, ? + ? 16 12
???? 32k 2 ?24k ?24 ?24k MB ? ( , ), , , ) 2 2 2 3 + 4k 3 + 4k 2 3 + 4k 3 + 4k ???? ???? MA?MB ?8 ? 24k 65 ?? 所以 cos ?AMB ? ???? ???? ? , 2 2 2 65 MA MB 24 1 + k ? (32k ) + 24
所以 MA ? ( 化简,得 16k 4 ? 40k 2 ? 9 ? 0 ,??????????????10分 解得 k 2 ?

????

1 9 1 3 ,或 k 2 ? ,即 k ? ,或 k ? , 4 4 2 2
1 2

此时总有 yM ? 3 ,所以 △ ABM 的面积为 ? 8 ? 3 ? 12 .??????????12 分 略 189.椭圆 C :
3 x2 y 2 ,长轴端点与短轴端点间的距离为 5 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 D (0, 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于 E , F 两点, O 为坐标原点,若 ?OEF 为直角 三角形,求直线 l 的斜率.

答案及解析:
189.(Ⅰ)由已知
c 3 ? , a 2 ? b 2 ? 5 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 4, b2 ? 1, a 2

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ;??????4 分 4

(Ⅱ) 根据题意,过点 D(0, 4) 满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? kx ? 4 ,
? x2 2 ? ? y ?1 联立 ? 4 ,消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 32kx ? 60 ? 0 , ? y ? kx ? 4 ?

? ? (32k )2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240 ,

令 ? ? 0 ,解得 k 2 ?

15 . 4

??????7 分

设 E 、 F 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,
32k 60 , , x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ??? ? ???? 因 为 ?E O F 为 直 角 , 所 以 OE ? OF ? 0 , 即

ⅰ)当 ?EOF 为直角时,则 x1 ? x2 ? ?

x1 x ? 2

y? 1 0y2 , 所 以

( ? 1k 2
所以

1

x) 2 x ?

4k 1 ? (x

2

? x, ) ? 1 6

0

15 ? (1 ? k 2 ) 32k 2 ? ? 4 ? 0 ,解得 k ? ? 19 .??????9 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
y1 y1 ? 4 ? ? ?1 ,即 x12 ? 4 y1 ? y12 ??① x1 x1

ⅱ)当 ?OEF 或 ?OFE 为直角时,不妨设 ?OEF 为直角, 此时, kOE ? k ? 1 ,所以 又

x12 2 ? y12 ? 1 ????②将①代入②,消去 x1 得 3 y12 ? 4 y1 ? 4 ? 0 ,解得 y1 ? 或 y1 ? ?2 4 3

(舍去), 将 y1 ?
y ?4 2 2 ?? 5, 代入①,得 x1 ? ? 5, 所以 k ? 1 x1 3 3

经检验,所求 k 值均符合题意。 综上,k 的值为 ? 19 和 ? 5 .

??????11 分 ??????12 分

略 190.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率是 ,

且点 P(1,

)在椭圆上.

(1)求椭圆的方程; (2)若过点 D(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 E,F,试求△OEF 面积的取值范 围(O 为坐标原点).

答案及解析:
190. ⑴由 e ?

x2 y2 2 b2 2 ) 在椭 ? 1 ? 2 得 a ? 2b, c ? b ,椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,又点 P (1, 2b b 2 2 a
x2 1 1 2 ? ? 1 b ? 1 ? y 2 ? 1;.4 分 解得 因此椭圆方程为 2b 2 2b 2 2

圆上,所以

(2) 由题意知直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入

x2 ? y 2 ? 1 得: 2

(2k 2 ? 1) x2 ? 8kx ? 6 ? 0 ,由 ? ? 0 ,解得 k 2 ?
设 E ? x1 , y1 ? , F ? x2 , y2 ? ,则

3 2 ???.6 分

S ?OEF ? S ?OED ? S ?OFD
2 令k ?

3 16(k 2 ? ) 2 ,?.8 分 ?| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (2k 2 ? 1) 2

3 3 ? t (t ? 0) ,则 k 2 ? t ? (t ? 0) , 2 2

S ?OEF ?| x1 ? x2 |?

16t 1 1 2 ?2 ?2 ? ,所以 2 4 (2t ? 4) 4 ? 4 2 t? ?4 t

S?OEF ? (0,

2 ] ?.12 分 2

y F E D o x

191.已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,其左右焦点分别为 F 1、 2 a b 2

F2 , F1F2 ? 2 3 ,设点 M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) 是椭圆上不同两点,且这两点与坐标原点
的连线的斜率之积 ? 值.

1 2 2 .(1)求椭圆 C 的方程;(2)求证: x1 为定值,并求该定 ? x2 4

答案及解析:
191. (1)依题意, c ? 3 ,而 e ?

3 2 2 2 ,∴ a ? 2 , b ? a ? c ? 1 , 2

则椭圆 C 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1 ;(6 分 ) 4

(2)由于

y1 y2 1 ? ? ? ,则 x1 x2 ? ?4 y1 y2 , x12 x22 ? 16 y12 y22 (8 分 ) x1 x2 4



x12 x2 x2 x2 ? y12 ? 1 , 2 ? y2 2 ? 1 ,则 1 ? 1 ? y12 , 1 ? 2 ? y2 2 , 4 4 4 4 x12 x2 )(1 ? 2 ) ? y12 y2 2 ,则 (4 ? x12 )(4 ? x22 ) ? 16 y12 y22 ,(11 分 ) 4 4

∴ (1 ?

2 (4 ? x12 )(4 ? x22 ) ? x12 x22 ,展开得 x12 ? x2 ? 4 为一定值(14 分 )

192.(12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且短轴长为 2 3 , 2 a b 2

F1 , F2 是椭圆的左右两个焦点,若直线 l 过 F2 ,倾斜角为 45? ,交椭圆于 A, B 两点.
(1)求椭圆 C 的标准方程. (2)求 ?ABF 1 的周长与面积.

答案及解析:
192.

【知识点】椭圆及其几何性质 H5

x2 y 2 12 2 ? ? 1 (2)8; 【答案解析】(1) 4 3 7

?c 1 1 3 ? ? 2 2 2 (1)∵离心率为 ,且短轴长为 2 3 ,∴ ? a 2 解得:c = , a =6 , b =3 , 2 2 ?b ? 3 ?
∴椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? =1 ; 4 3

(2)设△ABF1 的周长为 l, 则 l=|AB|+||BF1|+|AF1|=|AF2|+|BF2|+|BF1|+|AF1|=4a=8,F2(1,0), 又∵倾斜角为 45°,∴l 的方程为:x-y-1=0,

?x ? y ?1 ? 0 6 9 ? 2 ∴ ? x2 y 2 ,消 x 得 7y +6y-9=0,∴y 1 +y 2 =- , y 1 ?y 2 =- , 7 7 ?1 ? ? ? 4 3
∴|y 1 -y 2 |= ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 =
2

12 2 , 7

∴设△ABF1 的面积为 S,∴S=

1 12 2 ?2c?|y 1 -y 2 |= . 2 7

∴△ABF1 的周长与面积分别为 8;

12 2 7
2 2 2

【思路点拨】(1)设出椭圆 C 的标准方程,由短轴长与离心率,结合 a =b +c ,求出 b、 a,即得标准方程; (2)求出直线 AB 的方程,与椭圆的方程组成方程组,利用韦达定理得 y 1 +y 2 =-

6 , 7

y 1 ?y 2 =-

9 ,计算出|y1-y2|,求出面积. 7

193.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左右焦点分别 为 F1 和 F2 ,且| F1 F2 |=2, 点(1,

3 )在该椭圆上. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? A F2 B 的面积为 圆心且与直线 l 相切圆的方程.

12 2 ,求以 F2 为 7

答案及解析:
193. 【知识点】椭圆的概念;直线与椭圆 H5,H8 (1)

x2 y2 ? ? 1 (2) ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 解析:(1)椭圆 C 的方程为 4 3
?????..(4 分)

x2 y2 ? ?1 4 3

(2)①当直线 l ⊥x 轴时,可得 A(-1,合题意.

3 3 ),B(-1, ), ? A F2 B 的面积为 3,不符 2 2
????(6 分)

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1).代入椭圆方程得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,显然 ? >0 成立,设 A ( x1 , y 1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,则
8k 2 8k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) , x1 ? x 2 ? ,可得|AB|= ?????..(9 分) x1 ? x 2 ? ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
又圆 F2 的半径 r=

2|k | 1? k 2

,∴ ? A F2 B 的面积=

1 12 | k | k 2 ? 1 = 12 2 ,化简 |AB| r= 2 7 3 ? 4k 2

得:17 k 4 + k 2 -18=0,得 k=±1,∴r = 2 ,圆的方程为

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ?????..(13 分)

【思路点拨】由题中所给的条件可直接列出椭圆方程,再由直线与椭圆的位置关系可求出 k 与 r 的值,最后列出所求圆的方程即可. 194.(本小题满分 12 分)已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 相交于 A 、 a2 b2

B 两点.
(1)若椭圆的离心率为

3 ,焦距为 2 ,求线段 AB 的长; 3

(2)若向量 OA 与向量 OB 互相垂直(其中 O 为坐标原点),当椭圆的离心率

??? ?

??? ?

1 2 e ?[ , ] 时,求椭圆长轴长的最大值. 2 2

答案及解析:
194. (1)? e ?

c 3 3 ,2c=2,即 ? ∴ a ? 3 则 b ? a2 ? c2 ? 2 a 3 3

∴椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1, 3 2

2分 3分

将 y ? ? x ? 1 代入消去 y 得: 5 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ∴ 1 ? (?1)
2

6 12 8 3 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2 ( ) 2 ? ? 5 5 5

5分

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )

? OA ? OB ? OA ? OB ? 0 ,即 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0
2 2 ? ? x ? y ?1 由 ? a 2 b2 ,消去 y 得: (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ? y ? ?x ?1 ?

6分

由 ? ? (?2a 2 ) 2 ? 4a 2 (a 2 ? b 2 )(1 ? b 2 ) ? 0 ,整理得: a 2 ? b 2 ? 1 又 x1 ? x 2 ?

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) , x x ? 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2
8分

? y1 y2 ? (? x1 ? 1)(? x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
由 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ,得: 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0

?

2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? ? 1 ? 0 ,整理得: a 2 ? b 2 ? 2a 2 b 2 ? 0 a2 ? b2 a2 ? b2
1 1 1 ,? a 2 ? (1 ? ) 2 2 1 ? e2 1? e

9分

?b2 ? a2 ? c2 ? a2 ? a2e2 代入上式得: 2a 2 ? 1 ?

10 分

?

1 2 1 1 1 3 ?e? ,? ? e 2 ? ,? ? 1 ? e 2 ? 2 2 4 2 2 4

?

4 1 7 1 7 3 ? ? 2,? ? 1 ? ? 3,? ? a 2 ? ,条件适合 a 2 ? b 2 ? 1 , 2 2 3 1? e 3 6 2 1? e
42 6 42 ?a? ,? ? 2a ? 6 ,故长轴长的最大值为 6 . 6 2 3
12 分

由此得:

x2 y 2 195.(本题满分 12 分)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)与x轴, y 轴的正半轴分别交于 A,B 两 a b
点, 原点 O 到直线 AB 的距离为 (1)求椭圆的方程; (2)是否存在过点 P (0, ) 的直线 l 与椭圆交于 M,N 两个不同点,且对 l 外任意一点 Q, 有 QM ? 4QN ? 3QP 成立?若存在,求出 l 的方程;若不存在, 说明理由。

2 5 3 . ,该椭圆的离心率为 5 2

5 3

???? ?

????

??? ?

答案及解析:
195. 196.( 10 分)求满足下列条件的曲线的标准方程: (1)椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为

2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 2

A , B 两点,且 ?ABF2 的周长为 16;
(2)焦点在 x 轴上,焦距为 10 且点 ?2,1? 在其渐近线上的双曲线方程.

答案及解析:
196. (1)

x2 y2 ? ? 1 ………………5 分 16 8

(2)

x2 y2 ? ? 1 ………………5 分 20 5

197.如图,从椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦 a2 b 2

点 F1,且它的长轴端点 A 与短轴端点 B 的连线 AB∥OM. (1)求椭圆的离心率 e;www.ks5u.com (2)设 Q 是椭圆上任一点,当 QF2⊥AB 时,延长 QF2 与 椭圆交于另一点 P,若△ F1PQ 的面积为 20 3,求此时椭圆的方程.

答案及解析:
2 x2 y2 197.(1) 2 (2) 50+25=1

198.已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= 点,若 OP⊥OQ,求椭圆方程。(O 为原点)。

3 ,它与直线 x+y+1=0 交于 P、Q 两 2

答案及解析:
3 x2 y2 得 a=2b ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,由 e ? 2 2 a b 2 2 2 即椭圆方程为 x +4y =4b 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则由 OP⊥OQ 得 x1x2+y1y2=0 ?y ? ?x ?1 2 2 由? 2 得 5x +8x-4b =0 2 2 x ? 4 y ? 4 b ? 2 2 2 1 由 8 -4?5(4-4b )>0 得 b > ????????① 5

198.设椭圆方程为

x1x2=

4 ? 4b 2 5

y1y2=(-x1-1)(-x2-1)=x1x2+x1+x2+1=
5 4 ? 4b 2 1 ? 4b 2 b2 ? ? ?0 8 5 5 x2 y2 ∴椭圆方程为 ? ?1 5 5 2 8

4 ? 4b 2 8 1 ? 4b 2 ? ?1 ? 5 5 5



略 199.已知椭圆的两焦点是 F1(0,-1),F2(0,1),离心率 e= (1)求椭圆方程; (2)若 P 在椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求 cos∠F1PF2。
1 2

答案及解析:
199.(1)
y2 x2 ? ?1 4 3
5 2 3 2

? | PF1 |? ? ?| PF1 | ? | PF 2 |? 1 ? ?? (2) ? ?| PF1 | ? | PF 2 |? 4 ?| PF |? 2 ? ? 9 3 cos ?F1 PF 2 ? ? 15 5


2 的椭圆的两焦点为 F1、F2,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两 3 点,则△ABF2 周长为_____________。

200.短轴长为 2 5 ,离心率 e=

答案及解析:
200.12 略 201.已知椭圆 C:

x2 y 2 1 + 2 =1(a>b>0)的离心率 e= ,且长轴长等于 4. 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,⊙O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l:y=kx+m 与⊙O 相 切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,若 OA ? OB = ?

??? ? ??? ?

3 ,求 k 的值. 2

答案及解析:
201. (I)有题义长轴长为 4,即 2a=4,解得:a=2, ∵椭圆 C 的离心率 e=

1 x2 y 2 2 ,∴c=1, 解得:b =3,椭圆的方程为: + =1 ; 2 3 4

(II)由直线 l 与圆 O 相切,得:

m 1? k
2

=1 ,即: m =1+k

2

2

设 A(x1,y1)B(x2,y2)

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 4 3 ? y ? kx ? m ?
2

消去 y ,

8km 4m2 ? 12 整理得:(3+4k )x +8kmx+4m -12=0,∴x 1 +x 2 = ,x 1 x 2 = , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2 2

∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k x1x2+km(x1+x2)+m =k
2 2

2

2 2 8km 4m2 ? 12 2 3m ? 12k +km()+m = 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =

4m2 ? 12 3m2 ? 12k 2 7 m 2 ? 12k 2 ? 12 + = 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
3 1 ?5 ? 5 k 2 2 2 = - ,解得:k = ,∴k 的值为:± . 2 2 2 3 ? 4k 2

∵m =1+k ∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =

2

2

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 202.如图所示,F1、F2 分别为椭圆 C: a b 的左、右两个焦点,A、B 为两个
3 (1, ) 顶点,已知椭圆 C 上的点 2 到 F1、F2 两点的距离之和为 4.

(1)求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P、Q 两点,求△F1PQ 的面积.

答案及解析:
202.(1)由题设知:2a = 4,即 a = 2 ,
2 1 (3 3 2) ? ?1 (1, ) 2 b2 将点 2 代入椭圆方程得 2 ,

x2 y2 ? ?1 3 解得 b2 = 3∴c2 = a2-b2 = 4-3 = 1 ,故椭圆方程为 4 , 焦点 F1、F2 的坐标分别为(-1,0)和(1,0)

由(Ⅰ)知 A(?2,0), B (0, 3 ) ,
y?

? k PQ ? k AB ?

3 2 ,

∴PQ 所在直线方程为 ? 3 y? ( x ? 1) ? ? 2 ? 2 2 ?x ? y ?1 2 ? 3 由? 4 得 8y ? 4 3y ? 9 ? 0

3 ( x ? 1) 2 ,

设 P (x1,y1),Q (x2,y2),则
? y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ?

y1 ? y 2 ? ?

3 9 , y1 ? y 2 ? ? 2 8,

3 9 21 ? 4? ? 4 8 2

? S ?F1PQ ?


1 1 21 21 F1 F2 ? y1 ? y 2 ? ? 2 ? ? . 2 2 2 2
的离心率为 ,短轴一个端点到右

203.(12 分)已知椭圆 C: 焦点的距离为 .

(1)求椭圆 C 的方程. (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 △AOB 的面积为 ,求:实数 k 的值. ,且

答案及解析:
203.

考点:椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 专题:综合题. 分析: (1)因为椭圆离心率为 e= =
2 2 2

,又因为短轴一个端点到右焦点的距离为 a=



故 c=

,从而 b =a ﹣c =1,椭圆 C 的方程为 ,得等式

. ,再将直线 l 与椭圆联

(2)先由原点 O 到直线 l 的距离为

立,利用韦达定理和△AOB 的面积为 最后将两等式联立解方程即可得 k 值

,得等式

?

= ,

解答: 解:(1)设椭圆的半焦距为 c,依题意



∴b=1,∴所求椭圆方程为

. ,得 .

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).由已知

又由

,消去 y 得:

(3k +1)x +6kmx+3m ﹣3=0,∴

2

2

2





∴|AB| =(1+k )(x2﹣x1) =

2

2

2

=

=

又 化简得:9k ﹣6k +1=0 解得:
4 2



点评:本题考察了椭圆的标准方程,直线与椭圆相交的性质,解题时要特别注意韦达定理 在解题中的重要应用,巧妙地运用设而不求的解题思想提高解题效率. 204. 椭圆 C: 2 ? 的直线

x2 a

1 y2 ? 3? ? 1 过点 A?1, ? ,离心率为 ,左右焦点分别为 F1、F2 .过点 F1 2 2 b ? 2?

l 交椭圆于 A、B 两点。
(1)求椭圆 C 的方程. (2)当 ?F2 AB 的面积为

12 2 时,求 l 的方程. 7

答案及解析: x2 y 2 ?1? ? ? 1; ? 2 ? x ? y ? 1 ? 0 x ? y ? 1 ? 0 4 3 204. 或 .
? 3? x2 y2 A?1, ? C: 2 ? 2 ? 1 b 解:(1)? 椭圆 a 过点 ? 2 ?
? 1 9 ? 2 ?1 2 a 4b
(1 分)

1 ? 离心率为 2

c 1 ? ? a 2
又? a ? b ? c
2 2 2

(1 分) (1 分)
2

解①②③得 a ? 4, b ? 3
2

(1 分)

x2 y 2 C的方程为: ? ?1 4 3 ? 椭圆
(2)由得(1) F1 ?? 1,0 ?

(1 分)

3? ? 3? ? A? ? 1, ?, B? ? 1,? ? 2? ? 2? ①当 l 的倾斜角是 2 时, l 的方程为 x ? ?1 ,焦点 ?

?

此时

s?ABF2 ?

1 1 12 2 AB ? F1 F2 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 2 7 ,不合题意. (1 分)

②当 l 的倾斜角不是 2 时,设 l 的斜率为 k ,则其直线方程为 y ? k ? x ? 1?

?



? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?4 ? y ? k ? x ? 1? ?

消去 y 得: 4k ? 3 x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0
2 2 2 2

?

?

设 A? x1 , y1 ?, B? x2 , y2 ? , 则 分)

x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ( 2

? S ?F2 AB ? S ?F1F2 B ? S ?F1F2 A ?

1 F1 F2 ? y1 ? y2 ? 2

1 ? ? 2 y1 ? y2 ? k ? x1 ? 1? ? k ? x2 ? 1? 2

? k

x1 ? x 2

2

? k
2

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

2 ? 8k 2 ? 4k 2 ? 12 12 k k ? 1 ? ? ? k ?? 2 ? ? 4 ? 4k 2 ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4k ? 3 ?

(3 分)

又已知

S ?F2 AB ?

12 2 7
12 2 ? 17 k 4 ? k 2 ? 18 ? 0 7

?

12 k k 2 ? 1 4k ? 3
2

?

? k 2 ? 1 17 k 2 ? 18 ? 0 ? k 2 ? 1 ? 0 解得 k ? ?1

?

??

?

故直线 l 的方程为 y ? ?1? x ? 1? 即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0

(3 分)



x2 y 2 2 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) A(1, ) a b 2 ,其焦距为 2 . 205.已知椭圆 过点
(1)求椭圆

C1 的方程;

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b (2)已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为 a ,则椭圆在其上一

x0 x y 0 y ? 2 ?1 2 A ( x , y ) 0 0 处的切线方程为 a b 点 ,试运用该性质解决以下问题:
(i)如图(1),点 B 为

C1 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C1 的切线 l , l 分别与 x 轴

和 y 轴的正半轴交于 C , D 两点,求 ?OCD 面积的最小值;

(ii)如图(2),过椭圆

C2 :

x2 y 2 ? ?1 C 8 2 上任意一点 P 作 1 的两条切线 PM 和 PN ,切

点分别为 M , N .当点 P 在椭圆

C2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 MN 相切?若存在,

求出圆的方程;若不存在,请说明理由.
y
D B

y P M N
O

O

C

x

x

图(1)

图(2)

答案及解析: 1 x2 ? y 2 ? 1(2) 2 ,直线 MN 始终与圆 x 2 ? y 2 ? 相切. 205.(1) 2 2
解析:(1)解:依题意得:椭圆的焦点为

F1 (?1, 0), F2 (1, 0) , 由 椭 圆 定 义 知 :

2a ?| AF1 | ? | AF2 |
? a ? 2, c ? 1? b ? 1 ,

x2 ? y2 ? 1 C 所以椭圆 1 的方程为 2 .

????? 4 分

x2 x ? y2 y ? 1 B ( x , y ) C 2 2 ,则椭圆 1 在点 B 处的切线方程为 2 (2)(ⅰ)设
令x ?0,

yD ?

1 1 2 y ? 0, xC ? S ?OCD ? y2 ,令 x2 ,所以 x2 y2
2

x 2 x2 ? 0, y2 ? 0, 2 ? y2 ? 1 2 又点 B 在椭圆的第一象限上,所以

?1 ?
2

x2 x 2 2 ? y 2 ? 2 2 y 2 ? 2 x2 y 2 2 2

2

2

? S ?OCD ?

1 ? 2 x2 y2 ,当且仅当

x2 2 ? y 2 ? x2 ? 2 y 2 ? 1 2

B(1,
所以当

2 ) 2 时,三角形 OCD 的面积的最小值为 2

????? 8 分

x3 x ? y3 y ? 1 C M ( x , y ) P ( m , n ) 3 3 处的切线为: 2 (ii)设 ,则椭圆 1 在点 x4 x3 m ? y3 n ? 1 m ? y4 n ? 1 N ( x , y ) P ( m , n ) 4 4 也满足 2 又 PM 过点 ,所以 2 ,同理点 ,
x m ? yn ? 1 所以 M , N 都在直线 2 上,

m x ? ny ? 1 即:直线 MN 的方程为 2

d?
所以原点 O 到直线 MN 的距离 相切.????? 12 分

1 m2 ? n2 4

?

2 1 x2 ? y 2 ? 2 ,所以直线 MN 始终与圆 2



x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 206.(本小题满分 12 分)设椭圆 a b 的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点
为 A,上顶点为 B.已知|AB|= (1)求椭圆的离心率;

3 |F1F2|. 2

(2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过原点 O 的直线 l 与该圆相切,求直线 l 的斜率.

答案及解析:
206. (1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0).

所以直线 l 的斜率为 4+ 15 或 4- 15 .??????12 分 207.(本小题满分 14 分)

6 ) 2 ,点 F (? 2,0) 是椭圆的左焦点,点 P 、 Q 是椭圆 C 上的两个 已知椭圆 C 过点 PF MF QF M (1,
动点,且 、 、 成等差数列. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A .

答案及解析:
207.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题.H8

x2 y 2 ? ?1 2 【答案解析】(1) 4 ; (2)见解析 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 解析:(1)设椭圆 C 的方程为 a , 6 ? ? 1 ? ? 4 ?1 ? a 2 b2 ? 2 2 ? ?a ? b ? 2
由已知,得
2

…………1 分

…………2 分

?a ? 4 ? 2 b ?2 解得 ?

…………3 分
2 2

x y ? ?1 2 ∴椭圆的标准方程为 4 .

……………4 分

x2 y 2 ? ?1 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,由椭圆的标准方程为 4 2 (2)证明:设 ,

x12 2 PF ? ( x1 ? 2) ? y ? ( x1 ? 2) ? 2 ? ? 2? x1 2 2 , …………5 分 可知 2 QF ? 2 ? x2 2 同理 , …………6 分
2 2 1 2

6 2 2 ) ? 2? 2 2 , …………7 分 2 2 ? 2(2 ? ) ? 4 ? ( x1 ? x2 ) ?2 MF ? PF ? QF 2 2 , , ? x1 ? x2 ? 2 . …………8 分 MF ? (1 ? 2)2 ? (

? x12 ? 2 y12 ? 4 ? 2 2 x ? x x ? 2 y2 ? 4 得 x12 ? x22 ? 2( y12 ? y22 ) ? 0 , 1 2 (ⅰ)当 时,由 ? 2 y ?y 1 x ?x ? 1 2 ?? 1 2 x1 ? x2 2 y1 ? y2 .
kPQ ?

y1 ? y2 1 ?? x1 ? x2 2n , 设线段 PQ 的中点为 N (1, n) ,由 得线段 PQ 的中垂线方程为 y ? n ? 2n( x ? 1) , …………11 分
1 A( , 0) 2 .
…………12 分

?(2 x ? 1)n ? y ? 0 ,该直线恒过一定点

6 6 6 6 ) Q (1, ) Q (1, ? ) ) P (1, x ? x2 时, 2 , 2 , 2 , 2 或 (ⅱ)当 1 1 A( , 0) PQ 线段 的中垂线是 x 轴,也过点 2 . 1 A( , 0) 综上,线段 PQ 的中垂线过定点 2 . …………14 分 P(1, ?
(2)问【解法二】 (ⅰ)若 PQ 斜率存在时: 设 PQ 直线为 y ? kx ? b

? y ? kx ? b ? 2 ?x y2 ?1 2 2 2 ? ? y 2 联立 ? 4 ,消 得: (1 ? 2k ) x ? 4kbx ? 2b ? 4 ? 0 ……………5 分
?4kb ? x ? x ? ???? (3) 1 2 ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x ? x ? 2b ? 4 ???? (4) P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则: ? ? 1 2 1 ? 2k 2 设点 ……………6 分
由于 | PF | ? | QF |? 2 | MF | 且

x1 ?[?2, 2], x2 ?[?2, 2]

2 2 x1 | QF |? 2 ? x2 2 , 2 所以 2 2 e? , a ? 2, xM ? 1 | MF |? 2 ? | MF | ? e ? x ? a M 2 2 又因为 ,其中 ,故 x ? x2 ? 2 ,从而 y1 ? y2 ? 2k ? 2b 可得 1 ………………8 分 | PF |? 2 ?
由(3)式及

x1 ? x2 ? 2 得

b?

1 ? 2k 2 ?2k

所以直线 PQ 的中垂线为

y?

y1 ? y2 1 ? (x ? x ) ? ? ? ?x ? 1 2 ? 2 k? 2 ? ……………10 分
……………11 分 ……………12 分

1 1 y ? ? (x ? ) k 2 化简得

1 A( , 0) 故:直线 PQ 的中垂线过定点 2 (ⅱ)若 PQ 斜率不存在时:同解法一。
程; (2)先设 断即可。

……………14 分 【思路点拨】(1) 设出椭圆方程,再由已知列出关于 a,b 的方程组,解之即得椭圆的标准方

P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 2 MF ? PF ? QF ,得出 x1 ? x2 ? 2 ,然后做出判
x2 y 2 5 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,若左焦点为 F(-1,0) 2 a b 5

208.设椭圆 C:

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)若过点 F 且倾斜角为

? 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,求弦长|AB|. 4

答案及解析:
208. (1)∵左焦点为 F(-1,0) 又∵ e ? ∴c ? 1

c 5 ? , a 5

∴ a ? 5, b 2 ? 4

∴椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 5 4

(2)直线 l 的方程为 y ? x ? 1 由?

?y ? x ?1 ?4 x ? 5 y ? 20
2 2

消去 y ,得 9 x ? 10x ? 15 ? 0
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? ∴ AB ?

10 5 , x1 x 2 ? ? 9 3

2 x1 ? x2 ? 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 ? (?
2 2 2

10 2 5 16 5 ) ? 4 ? (? ) ? 9 3 9

209.(13 分)已知椭圆

=1(a>b>c>0,a =b +c )的左、右焦点分别为 F1,F2,若

以 F2 为圆心,b﹣c 为半径作圆 F2,过椭圆上一点 P 作此圆的切线,切点为 T,且|PT|的最 小值不小于 (a﹣c).

(1)证明:椭圆上的点到点 F2 的最短距离为 a﹣c; (2)求椭圆的离心率 e 的取值范围; (3)设椭圆的短半轴长为 1,圆 F2 与 x 轴的右交点为 Q,过点 Q 作斜率为 k(k>0)的直 线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,若 OA⊥OB,求直线 l 被圆 F2 截得的弦长 s 的最大值.

答案及解析:
209.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质;椭圆的应用.

专题:计算题;证明题;压轴题. 分析: (1)设椭圆上任一点 Q 的坐标为(x0,y0),根据 Q 点到右准线的距离和椭圆的第 二定义,求得 x0 的范围,进而求得椭圆上的点到点 F2 的最短距离 (2)可先表示出|PT|,进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值,根据 ≥ (a﹣c)求得 e 的范围.

(3)设直线的方程为 y=k(x﹣1),与抛物线方程联立方程组消去 y 得,根据韦达定理可 求得 x1+x2 和 x1x2,代入直线方程求得 y1y2,根据 OA⊥OB,可知 =0,∴k=a,直线的

方程为 ax﹣y﹣a=0 根据圆心 F2(c,0)到直线 l 的距离,进而求得答案. 解答: 解:(1)设椭圆上任一点 Q 的坐标为(x0,y0), Q 点到右准线的距离为 d= ﹣x0,

则由椭圆的第二定义知: ∴|QF2|=a﹣ ∴当 x0=a 时, ∴|QF2|min=a﹣c. (2)依题意设切线长|PT|=

= ,

,又﹣a≤x0≤a,

∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值, ∴ ∴0< ≥ ≤ ,从而解得 ≤e< (a﹣c), , ,

故离心率 e 的取值范围是解得 ≤e< (3)依题意 Q 点的坐标为(1,0), 则直线的方程为 y=k(x﹣1),

与抛物线方程联立方程组消去 y 得(a k +1) ﹣2a k x+a k ﹣a =0 得, 设 A(x1,y1)(x2,y2),则有 x1+x2= ,x1x2= ,

2 2

x2

2 2

2 2

2

代入直线方程得 y1y2=



x1x2=+y1y2=

,又 OA⊥OB,

∴ ∴k=a,

=0,

直线的方程为 ax﹣y﹣a=0, 圆心 F2(c,0)到直线 l 的距离 d= ,

∴ ≤e< ∴s∈(0,

?,∴ ≤c<1, ≤2c+1<3, ),所以弦长 s 的最大值为 .

点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生综合分析问题和解决问题 的能力. 210.(10 分)如图,椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1(0 ? m ? 1) 的左顶点为 A , M 是椭圆 C 上异于点 m

A 的任意一点,点 P 与点 A 关于点 M 对称.
(Ⅰ)若点 P 的坐标为 ( ,

9 4 3 ) ,求椭圆方程; 5 5

(Ⅱ)若椭圆 C 上存在点 M ,使得 OP ? OM ,求 m 的取值范围.

答案及解析:
210. (Ⅰ)解:依题意, M 是线段 AP 的中点, 因为 A(?1, 0) , P( ,

9 4 3 ), 5 5

所以 点 M 的坐标为 ( ,

2 2 3 ) 5 5

由点 M 在椭圆 C 上, 所以

4 12 ? ?1, 25 25m

解得 m ?

4 7
2 0

2 y0 ? 1 ,且 ?1 ? x0 ? 1. (Ⅱ)解:设 M ( x0 , y0 ) ,则 x ? m



因为 M 是线段 AP 的中点, 所以 P(2 x0 ? 1, 2 y0 ) 因为 OP ? OM , 所以 x0 (2 x0 ? 1) ? 2 y02 ? 0 . ②

2 2 x0 ? x0 由 ①,② 消去 y0 ,整理得 m ? 2 2 x0 ? 2

所以 m ? 1 ?

1 2( x0 ? 2) ? 6 ?8 x0 ? 2

?

1 3 , ? 2 4

当且仅当 x0 ? ?2 ? 3 时,上式等号成立. 所以

m 的取值范围是 (0, ?

1 2

3 ] 4

3 211. 已知椭圆的中心为原点,焦点在 x 轴上,离心率为 2 ,且经过点 M (4,1) ,直线 l : y ? x ? m交椭圆于异于 M 的不同两点 A, B .直线 MA、MB与x 轴 分别交于点 E、 F .
(1)求椭圆标准方程; (2)求 m 的取值范围; (3)证明 ?MEF 是等腰三角形.

答案及解析:
3 x2 y 2 e? ? 2 ? 1, 2 2 ,所以 a 2 ? 4b2 , b 211.解:(1)设椭圆的方程为 a 因为 16 1 ? 2 ?1 2 2 2 M (4,1) b 又因为椭圆过点 ,所以 a ,解得 b ? 5, a ? 20 , x2 y 2 ? ?1 20 5 故椭圆标准方程为

x2 y 2 ? ?1 2 2 y ? x?m (2)将 代入 20 5 并整理得 5x ? 8mx ? 4m ? 20 ? 0, 2 2 令 ? ? (8m) ?20(4m ? 20) ? 0 ,解得 ?5 ? m ? 5 .
又由题设知直线不过 M(4,1),所以

4 ? m ? 1, m ? ?3 ,

所以 m 的取值范围是 (?5,?3) ? (?3,5) .

? ( y1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 4) ? ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 4) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 4) = 2 x1 x2 ? (m ? 5)( x1 ? x2 ) ? 8(m ? 1)
2(4m 2 ? 20) 8m( m ? 5) ? ? 8(m ? 1) 5 5 =0, ? k1 ? k2 ? 0 , ?
所以 ?MEF 是等腰三角形. 略 212.(12 分)已知椭圆的一个顶点为 A(0, ?1) ,焦点在 x 轴上,若右焦点 F 到直线

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3;
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 y ? kx ? 1 与椭圆相交于不同的两点 M 、 N ,且 | MN |? 2 ,求直线斜率 k 的值.

答案及解析:
212. (1)设所求的椭圆方程为:

x2 ? y 2 ? 1 右焦点 F(C,0) 2 a

∵右焦点 F 到直线 x-y+ 2 2 =0的距离为 3, ∴

|c?2 2| 2
2

? 3 即 C= 2
2

x2 ? y2 ? 1 ∴所求的椭圆方程为: 3
2

??(6 分)

(2)由 ?

? y ? kx ? 1 ?x ? 3 y ? 3
2

得 (3k ? 1) x ? 6kx ? 0

设 M( x1 , y1 )、N( x2 , y 2 )则 x1 + x2 =- ∵|MN|=2 ∴ 1 ? k 2 | x1 ? x2 | =2

6k 3k 2 ? 1

x1 x2 =0

∴ 1? k

2

6|k | ?2 3k 2 ? 1
+

解得:k= ?

3 3

???? (12 分)

213.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率是

,且点 P(1,

)在椭圆上.

(1)求椭圆的方程; (2)若过点 D(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 E,F,试求△ OEF 面积的取值 范围(O 为坐标原点).

答案及解析:
213.解:⑴,∵ e ?

2 b2 ? 1? 2 2 a

∴ a ? 2b, c ? b ∴

x2 y2 ? ?1 2b 2 b 2 x2 ? y 2 ? 1????5 分 ∴ 2

1 1 2 ∵点 P (1, ) 在椭圆上,∴ 2 ? 2 ? 1 2b 2b 2

∴b ?1
2

x2 ? y2 ? 1 (2) 由题意知直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 y ? kx ? 2 , 代入 2
得:

y D o x

(2k 2 ? 1) x2 ? 8kx ? 6 ? 0 由 ? ? 0 ,解得 k 2 ?


3 2
, 则

F E

E ? x1, y1 ?



F ? x2 , y2 ?

? ?8k 2 x ? x ? , ? ? 1 2 2k 2 ? 1 ? ?x x ? 6 ? 1 2 2k 2 ? 1 ?

???????7 分

1 1 1 1 S?OEF ? S?OED ? S?OFD ? OD ? x1 ? OD ? x2 ? OD ? x1 ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 9 2 2 2 2


?8k 2 6 16k 2 ? 24 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? ( 2 ) 2 ? 4 ? 2 ? ? 2k ? 1 2k ? 1 (2k 2 ? 1) 2
2

3 16(k 2 ? ) 2 (2k 2 ? 1) 2

2 令k ?

3 3 ? t (t ? 0) ,所以 k 2 ? t ? (t ? 0) 2 2

S?OEF ? x1 ? x2 ?

16t 4t t 1 1 2 ? ?2 2 ?2 ?2 ? 2 2 4 (2t ? 4) (t ? 2) t ? 4t ? 4 4?4 2 t? ?4 t
2 ] 2

所以 S?OEF ? (0, 略

????????????????????13 分

214.(本小题满分 12 分) 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F (? 3,0) ,右顶 点为 D(2, 0) ,设点 A ?1, ? 。 (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; (Ⅲ)过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值

? 1? ? 2?

答案及解析:
214.

【知识点】椭圆及其几何性质 H5 【答案解析】(Ⅰ)

x2 1 1 ? y 2 ? 1 (Ⅱ) ( x ? ) 2 ? 4( y ? ) 2 ? 1 (Ⅲ) 2 2 4 4

(Ⅰ)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1. 又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 4

x0 ? 1 ? ?x? 2 (Ⅱ)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0),由 ? 得 x0=2x-1, ? 1 y0 ? ? 2 ?y ? ? 2

y0=2y-

(2 x ? 1) 2 1 1 ? (2 y ? ) 2 ? 1 , 由,点 P 在椭圆上,得 2 4 2
1 2 1 4

2 2 ∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4( y ? ) ? 1 .

(Ⅲ)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1.

x2 ? y2 ? 1, 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入 4
解得 B(

2 4k 2 ? 1

,

2k 4k 2 ? 1

),C(-

2 4k 2 ? 1

,-

2k 4k 2 ? 1

),

则 BC ? 4

1? k

2

k?
,又点 A 到直线 BC 的距离 d=

1 2

1 ? 4k 2

1? k 2

,

2k ? 1 4k 2 ? 4k ? 1 4k 1 ∴△ABC 的面积 S△ABC= AB ? d ? 于是 S△ABC= ? 1? 2 2 2 2 4k ? 1 4k ? 1 1 ? 4k


4k 1 ≥-1,得 S△ABC≤ 2 ,其中,当 k=- 时,等号成立.∴S△ABC 的最大值是 2 . 2 2 4k ? 1

【思路点拨】根据椭圆中的 a,b,c,关系求出方程,利用直线和椭圆的关系求出最值。 215. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 ?1, ? ,且长轴长等于 4. 2 a b ? 2?

(1)求椭圆 C 的方程; (2) F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,圆 O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 l : y ? kx ? m 与圆 O 相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,若 OA? OB ? ?
? ?

3 ,求 k 的值. 2

答案及解析:

215.(1)

x2 y2 2 ? ? 1 ;(2) ? . 2 4 3

试题分析:(1)由题意长轴长为 4 求得 a 的值,在由椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 a 2 b2

? 3? ?1, ? 建立方程求解即可求出其标准方程;(2)由于圆 O 是以 F1,F2 为直径的圆,直线 ? 2?
l : y ? kx ? m 与圆 O 相切,利用直线与圆相切的充要条件得到一个等式,把直线方程与椭
圆方程联立利用整体代换的思想,根据 OA? OB ? ?
? ?

3 建立 k 的方程求 k 即可. 2

试题解析:(1)由题意,椭圆的长轴长 2a ? 4 ,得 a ? 2 , 因为点 ?1,

1 9 ? 3? 2 ? 在椭圆上,所以 ? 2 ? 1得 b ? 3 , 4 4 b 2 ? ?

x2 y2 ? ?1. 所以椭圆的方程为 4 3
(2)由直线 l 与圆 O 相切,得

m 1? k
2

? 1 ,即 m 2 ? 1 ? k 2 ,

? x2 y2 ? 1, ? ? 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,由 ? 4 消去 y,整理得 3 ? y ? kx ? m, ?

?3 ? 4k ?x
2

2

? 8kmx? 4m2 ?12 ? 0,

由题意可知圆 O 在椭圆内,所以直线必与椭圆相交,所以

x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

y1 ? y2 ? ?kx1 ? m??kx2 ? m? ? k 2 x1 ? x2 ? km?x1 ? x2 ? ? m2 ? k2 ? 4m2 ? 12 3m2 ? 12k 2 ? 8km ? 2 ? km ? ? m ? . ? ? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4k ?
4m 2 ? 12 3m 2 ? 12k 2 7m 2 ? 12k 2 ? 12 ? ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
? 5 ? 5k 2 . 3 ? 4k 2

所以 x1 ? x2 ? y1 y2 ?

2 2 因为 m ? 1 ? k ,所以 x1 ? x2 ? y1 y2 ?

又因为 OA ? OB ? ?

??? ? ??? ?

? 5 ? 5k 2 3 3 2 1 ? ? , k 2 ? ,得 k 的值为 ? ,所以 . 2 2 3 ? 4k 2 2 2

考点:椭圆的标准方程.

x2 y 2 216.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,过焦点垂直于长轴的弦长为 1,且焦点与短轴两 a b
端点构成等边三角形. (1)求椭圆的方程; (2)过点 Q ? ?1,0? 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,交直线 x ? ?4 于点 E,

uuu r uu u r uu u r uuu r AQ ? ?QB, AE ? ? EB. 判断 ? ? ? 是否为定值,若是,计算出该定值;不是,说明理由.
答案及解析: x2 ? y 2 ? 1 ;(2) ? ? u 是定值 0. 216.(1) 4
2 2

试题分析:(1)设椭圆的方程,用待定系数法求出 a , b 的值;(2)解决直线和椭圆的 综合问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有 的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方 程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式 ? :计 算一元二次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.

? 2b2 x2 ? 1 ?a ? 2 ? ? y2 ? 1 试题解析:(1)由条件得 ? a ,所以方程 ?? 4 b ? 1 ? ?2b ? a ?
(2)易知直线 l 斜率存在,令 l : y ? k ( x ? 1), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), E(?4, y0 )

4分

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
8k 2 4k 2 ? 4 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
由 AQ ? ? QB ? (?1 ? x1 , ? y1 ) ? ? ( x2 ? 1, y2 )即 ? 得? ? ?

? ? 48k 2 ? 16 ? 0

5分

6分

????

??? ?

??( x1 ? 1) ? ? ( x2 ? 1) ? y1 ? ?? y2
7分

x1 ? 1 x2 ? 1

由 AE ? ? EB ? (?4 ? x1 , y0 ? y1 ) ? ? ( x2 ? 4, y2 ? y0 )即 ? 得? ? ?

??? ?

??? ?

??( x1 ? 4) ? ? ( x1 ? 4) ? y0 ? y1 ? ? ( y2 ? y0 )

x1 ? 4 x2 ? 4

8分

?? ? ? ? ?

( x1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( x1 ? 4)( x2 ? 1) 2 x x ? 5( x1 ? x2 ) ? 8 ?? 1 2 ( x2 ? 1)( x2 ? 4) ( x2 ? 1)( x2 ? 4)

将 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 4 , x x ? 代入 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

8k 2 ? 8 40k 2 8k 2 ? 8 ? 40k 2 ? 8 ? 32k 2 ? ?8 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? ? ? ? ? ? ?? ?0 有 ( x2 ? 1)( x2 ? 4) ( x2 ? 1)( x2 ? 4) .
考点:1、椭圆的标准方程;2、直线与椭圆的综合应用.

13 分

x2 y 2 217.设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,上顶点为 A ,在 x 轴 a b ??? ? ???? ? 负半轴上有一点 B ,满足 BF1 = F F 1 2 ,且 AB ? AF2 .
A
y

B

F1 O

F2

x

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A、B、F2 三点的圆与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程; (3)在(2)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、N 两点,线段

MN 的中垂线与 x 轴相交于 P ? m, 0? ,求实数 m 的取值范围.

答案及解析: x2 y 2 1 ? 1? ? ? 1 ;(3) ?0, ? . 217.(1) e ? ;(2) 4 3 2 ? 4?

试题分析:(1)连接 AF1 ,由 AB ? AF2 , BF1 = F 1F 2 ,得到

??? ? ???? ?

AF1 ? F1F2 ,即 a =2c ,确定得到椭圆的离心率为 e ?
(2)由 e ? 半径 r ?

1 ; 2

1 ?1 ? ? 3 ? ? 1 ? ,得 F2 ? a, 0 ? , B ? ? a, 0 ? , Rt ?ABF2 的外接圆圆心为 F1 ? ? a, 0 ? , 2 ?2 ? ? 2 ? ? 2 ?

1 F2 B ? a , 2

因为过 A、B、F2 三点的圆与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,

1 ? a ?3 2 ? a ,解得 a =2 ,?c=1, b ? 3 即得所求. 2
(3)由(2)知 F2 ?1,0? ,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1), 代入椭圆方程整理得:

? 3 ? 4k ? x
2

2

? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 .由已知得 ? ? 0 恒成立.

设 M ? x1, y1 ?、N ? x2 , y2 ? ,由韦达定理得 x1 ? x2 ? 得到 y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? 2 ? ? 故 MN 中点为 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?6k . 3 ? 4k 2

? 4k 2 ?3k ? . , 2 2 ? ? 3 ? 4k 3 ? 4k ?

讨论当 k ? 0 时,当 k ? 0 时的不同情况求解. 试题解析:(1)连接 AF1 ,因为 AB ? AF2 , BF1 = F 1F 2 ,所以

??? ? ???? ?

AF1 ? F1F2 ,即 a =2c ,故椭圆的离心率为 e ?
(2)由(1)知 e ?

1 ; 2

3分

1 ?1 ? ? 3 ? ,得 F2 ? a, 0 ? , B ? ? a, 0 ? , Rt ?ABF2 的外接圆圆心为 2 ?2 ? ? 2 ?

1 ? 1 ? F1 ? ? a, 0 ? ,半径 r ? F2 B ? a , 2 ? 2 ?
因为过 A、B、F2 三点的圆与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,

1 ? a ?3 2 ? a ,解得: a =2 ,?c=1, b ? 3 . ∴ 2
所以所求椭圆方程为:

x2 y 2 ? ?1. 4 3

7分

(3)由(2)知 F2 ?1,0? ,设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1),



? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 得: ? 3 ? 4k ? x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 . 3 ?4 ? y ? k ( x ? 1) ?

因为直线 l 过 F2 点,所以 ? ? 0 恒成立.

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x2 ? 设 M ? x1, y1 ?、N ? x2 , y2 ? ,由韦达定理得: x1 ? x2 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以 y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? 2 ? ? 故 MN 中点为 ?

?6k . 3 ? 4k 2
10 分 11 分

? 4k 2 ?3k ? . , 2 2 ? 3 ? 4 k 3 ? 4 k ? ?

当 k ? 0 时, MN 为长轴,中点为原点,则 m ? 0 ; 当 k ? 0 时, MN 中垂线方程为 y ?

3k 1? 4k 2 ? ? ? x ? ? ?. 3 ? 4k 2 k? 3 ? 4k 2 ?
13

令 y ? 0 ,得 m ?

k2 1 3 3 1 ? .因为 2 ? 0, 2 ? 4 ? 4, 所以 0 ? m ? . 2 3 k k 4 3 ? 4k ?4 2 k
? 1? ? 4?

分 综上可得实数 m 的取值范围是 ?0, ? . 14 分

考点:1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.直线与椭圆的位置关系;3.直线与圆的位置 关系. 218.设椭圆 C: =1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣ ,0),过 F 的直线交 C 于 A,

B 两点,设点 A 关于 y 轴的对称点为 A′,且|FA|+|FA′|=4. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若点 A 在第一象限,当△ AFA′面积最大时,求|AB|的值.

答案及解析:
218. 略 219.设椭圆 E 中心在原点,焦点在 x 轴上,短轴长为 4,点 Q(2, 2 )在椭圆上。 (1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 L 交椭圆 E 于 A、B 两点,且 OA ? OB ,求△OAB 的面积的取值范围。 (3)过 M( x1 , y1 )的直线 l1 : x1 x ? 2 y1 y ? 8 2 与过 N( x 2 , y 2 )的直线 l 2 :

??? ?

??? ?

x 2 x ? 2 y 2 y ? 8 2 的交点 P( x0 , y 0 )在椭圆 E 上,直线 MN 与椭圆 E 的两准线分别交于
G,H 两点,求 OG ? OH 的值。
? ?? ? ??

答案及解析:
219.解:(1)因为椭圆 E:

x2 y2 ? ? 1(a>b>0)过 M(2, 2 ) ,2b=4 a 2 b2
椭圆 E 的方程为

故可求得 b=2,a=2 2

x2 y2 ? ?1 8 4

--------3 分

( 2 ) 设 P ( x,y ) ,A ( x1,y1 ) ,B ( x2,y2 ) , 当 直 线 L 斜 率 存 在 时 设 方 程 为

y ? kx ? m ,

? y ? kx ? m ? 2 2 解方程组 ? x 2 y 2 得 x ? 2(kx ? m) ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 , ?1 ? ? 4 ?8
则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 , 即 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 ()

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
2 2

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? ? ?m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ??? ? ??? ? 2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ?0, 要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2 所以 3m ? 8k ? 8 ? 0 ,

即m ?
2

8k 2 ? 8 ① 3

将它代入()式可得 k ?[0, ??)
2

P 到 L 的距离为 d ?

|m| 1? k 2

?S ?


1 1 |m| | AB | d ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 2 2 1? k 2

?

1 m 2 [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 2
8k 2 ? 8 8 k2 及韦达定理代入可得 S ? 1? 4 3 3 4k ? 4k 2 ? 1

m2 ?


8 k2 8 1 1? 4 ? 1? ① 当k ? 0时 S ? 2 1 3 4k ? 4k ? 1 3 4k 2 ? 2 ? 4 k
由 4k ?
2

1 8 1 8 ? [4, ?? ) 故 S ? 1? ? ( , 2 2] 2 1 k 3 4k 2 ? 2 ? 4 3 k

② 当k

? 0 时, S ?

8 3

③ 当 AB 的斜率不存在时, S ?

8 ?8 ,综上 S ? ? , 2 2 ? ------------8 分 ? 3 ?3

(3)点 P( x 0 , y 0 )在直线 l1 : x1 x ? 2 y1 y ? 8 2 和 l 2 : x 2 x ? 2 y 2 y ? 8 2 上,

x1 x0 ? 2 y1 y0 ? 8 2 , x2 x0 ? 2 y2 y0 ? 8 2
故点 M( x1 , y1 )N( x 2 , y 2 )在直线 x x0 ? 2 y y0 ? 8 2 上 故直线 MN 的方程, x x0 ? 2 y y0 ? 8 2 上 设 G,H 分别是直线 MN 与椭圆准线, x ? ?4 的交点 由 x x0 ? 2 y y0 ? 8 2 和 x ? ?4 得 G(-4,

4 2 ? 2 x0 ) y0

由 x x0 ? 2 y y0 ? 8 2 和 x ? 4 得 H(4,
? ?? ? ??

4 2 ? 2 x0 ) y0

故 OG ? OH =-16+

32 ? 4 x0 y0
2

2

x2 y2 ? ?1 又 P( x 0 , y 0 )在椭圆 E: 8 4

x y 2 2 有 0 ? 0 ? 1 故 4x0 ? 32 ? 8 y0 8 4
OG ? OH =-16+
? ?? ? ??

2

2

32 ? (32 ? 8 y0 ) y0
2

2

=-8------------13 分

略 220.(12 分)已知椭圆 C: 成的三角形的面积为 2 (Ⅰ)求椭圆的方程. (Ⅱ)若过椭圆 C 右焦点 F2 作垂直于线段 MQ 的直线 L,交椭圆 C 于 A,B 两点,求四边形 AMBQ 面积 S. + =1(a>b>0)的长轴左右端点 M,N 与短轴上端点 Q 构

,离心率 e= .

答案及解析:
220.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)利用椭圆 C: + =1(a>b>0)的长轴左右端点 M,N 与短轴上端点 Q 构

成的三角形的面积为 2

,离心率 e= ,建立方程,求出 a,b,即可求椭圆的方程.

(Ⅱ)求出直线 L 的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理求出|AB|,再计算四边形 AMBQ 面 积 S. 解答: 解:(Ⅰ)∵椭圆 C: + =1(a>b>0)的长轴左右端点 M,N 与短轴上端点 Q

构成的三角形的面积为 2

,离心率 e= ,

∴ ∴a=2,b=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ )﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6

∴椭圆的方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F2(1,0),M(﹣2,0),Q(0, 分) ∴直线 MQ 斜率为 ,

又∵L⊥MQ,∴直线 L 斜率 k=﹣ 直线 L:y=﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分)

(x﹣1)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)
2

代入椭圆方程得 25x ﹣32x﹣20=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) 设 A(x1,y1),B(x2,y2) 由韦达定理 x1+x2= ∴|AB|= ? ,x1x2=﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) = = ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

∴四边形 AMBQ 面积 S=

点评:本题考查椭圆的方程与性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力, 属于中档题. 221.(本小题满分 14 分) 如图,点 F 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点,定点 P 的坐标为(-8,0).线段 a 2 b2

1 MN 为椭圆的长轴,已知 |MN |=8 ,且该椭圆的离心率为 . 2
(1)求椭圆的标准方程; (2)过点 P 的直线与椭圆相交于两点 A、B.证明:直线 FA 与 FB 的斜率之和为 0; (3)记 △ABF 的面积为 S ,求 S 的最大值.

.

答案及解析:
221.

【知识点】椭圆及其几何性质 H5 【答案解析】(1) 解法一: (1)? MN ? 8, ? a ? 4, 又? 离心率 e ?

x2 y 2 ? ? 1. (2)略(3) 3 3 16 12
c 1 ? ,? c ? 2, ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12, a 2

? 所求椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

(2)设直线 FA、FB、斜率分别为 k AF 、 k BF 、 A( x A , y A ), B ( xB , yB ); 当 AB 的斜率为 0 时,显然有 k AF ? k BF ? 0, 命题成立, 当 AB 的斜率不为 0 时,可设 AB 的方程为 x ? my ? 8, 代入椭圆方程整理得: (3m ? 4) y ? 48my ? 144 ? 0,
2 2

? 判别式 ? ? 576(m 2 ? 4), y A ? yB ?

48m 144 , y A yB ? , 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

k AF ? k BF ? ?

yA y yA yB ? B ? ? x A ? 2 xB ? 2 my A ? 6 myB ? 6 y A (myB ? 6) ? yB (my A ? 6) 2my A yB ? 6( y A ? yB ) ? (my A ? 6)(myB ? 6) (my A ? 6)(myB ? 6)

而 2my A yB ? 6( y A ? yB ) ? 2m ? (3) S ? S? PBF ? S? PAF ?

144 48m ? 6? 2 ? 0, ? k AF ? k BF ? 0 2 3m ? 4 3m ? 4

1 72 m 2 ? 4 ? PF ? yB ? y A ? 2 3m 2 ? 4

72 m 2 ? 4 72 = ? 2 3(m ? 4) ? 16 3 m 2 ? 4 ?
当且仅当 3 m 2 ? 4 ?

16 m2 ? 4

?

72 ? 3 3, 2 3 ?16

16 m2 ? 4

,即 m ? ?

2 21 (此时判别式 ? ? 0 )时取等号, 3

?? ABF 的面积 S 的最大值为 3 3 .
解法二: (1)? MN ? 8, ? a ? 4, 又? 离心率 e ?

c 1 ? ,? c ? 2, ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12, a 2

x2 y 2 ? 1. ? 所求椭圆的标准方程为: ? 16 12
(2)设直线 FA、FB、AB 的斜率分别为 k AF 、 k BF 、 k , A( x A , y A ), B ( xB , y B ); 当 k ? 0 时,显然有 k AF ? k BF ? 0, 命题成立, 当 k ? 0 时,可设 AB 的方程为 y ? k ( x ? 8), 代入椭圆方程整理得: (4k ? 3) x ? 64k x ? 16k ? 48 ? 0,
2 2 2 2

? 判别式 ? ? 576(1 ? 4k 2 ), x A ? xB ?

64k 2 (16k ) 2 ? 48 , x x ? , A B 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

? k AF ? k BF ?

yA yB kx ? 8k kxB ? 8k 2kx A xB ? 10k ( x A ? xB ) ? 32k , ? ? A ? ? x A ? 2 xB ? 2 xA ? 2 xB ? 2 ( x A ? 2)( xB ? 2)

而 2kx A xB ? 10k ( x A ? xB ) ? 32k ? 2k ?

(16k ) 2 ? 48 64k 2 ? 10 k ? ? 32k 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

=

512k 3 ? 96k ? 640k 3 ? 128k 3 ? 96k ? 0, ? k AF ? k BF ? 0. 4k 2 ? 3

(3) S ? S? PBF ? S? PAF ?

1 1 ? PF ? yB ? y A ? ? PF ? k xB ? x A 2 2
2

?

72 k 1 ? 4k 1 ? 6 ? k ? ( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB ? ? 2 4k 2 ? 3

72

1 ?4 k2

3 ?4 k2

72 ?

1 1 ?4 72 2 ? 4 2 72 k k ? ? 3 1 ?4 3( 2 ? 4) ? 16 3 ? 1 ? 4 ? 2 k k k2

16 1 ?4 k2

?

72 ? 3 3, 2 3 ?16

当且仅当 3 ?

1 ?4 ? k2

21 16 ,即 k ? ? (此时判别式 ? ? 0 )时取等号, 14 1 ?4 k2

?? ABF 的面积 S 的最大值为 3 3 .
【思路点拨】利用椭圆中 a b c 的关系求出方程,直线和椭圆方程联立求出最大值。 222.

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点,定点 P 的坐标为(-8,0).线段 MN a 2 b2 1 为椭圆的长轴,已知 |MN |=8 ,且该椭圆的离心率为 . 2
如图,点 F 是椭圆 (1)求椭圆的标准方程; (2)过点 P 的直线与椭圆相交于两点 A、B.证明:直线 FA 与 FB 的斜率之和为 0; (3)记 △ABF 的面积为 S ,求 S 的最大值.

答案及解析:
222. 【知识点】椭圆及其几何性质 H5 【答案解析】(1) 解法一: (1)? MN ? 8, ? a ? 4, 又? 离心率 e ?

x2 y 2 ? ? 1. (2)略(3) 3 3 16 12
c 1 ? ,? c ? 2, ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12, a 2

x2 y 2 ? ? 1. 16 12 (2)设直线 FA、FB、斜率分别为 k AF 、 k BF 、 A( x A , y A ), B ( xB , yB ); 当 AB 的斜率为 0 时,显然有 k AF ? k BF ? 0, 命题成立, 当 AB 的斜率不为 0 时,可设 AB 的方程为 x ? my ? 8, 2 2 代入椭圆方程整理得: (3m ? 4) y ? 48my ? 144 ? 0, 48m 144 , y A yB ? , ? 判别式 ? ? 576(m 2 ? 4), y A ? yB ? 2 3m ? 4 3m 2 ? 4 yA y yA yB k AF ? k BF ? ? B ? ? x A ? 2 xB ? 2 my A ? 6 myB ? 6 y (myB ? 6) ? yB (my A ? 6) 2my A yB ? 6( y A ? yB ) ? A ? (my A ? 6)(myB ? 6) (my A ? 6)(myB ? 6) 144 48m 而 2my A yB ? 6( y A ? yB ) ? 2m ? ? 6? 2 ? 0, ? k AF ? k BF ? 0 2 3m ? 4 3m ? 4 1 72 m 2 ? 4 (3) S ? S? PBF ? S? PAF ? ? PF ? yB ? y A ? 2 3m 2 ? 4 72 m 2 ? 4 72 72 = ? ? ? 3 3, 2 3(m ? 4) ? 16 3 m 2 ? 4 ? 16 2 3 ?16 m2 ? 4 2 21 16 当且仅当 3 m 2 ? 4 ? ,即 m ? ? (此时判别式 ? ? 0 )时取等号, 2 3 m ?4
? 所求椭圆的标准方程为:

?? ABF 的面积 S 的最大值为 3 3 .
解法二: (1)? MN ? 8, ? a ? 4, 又? 离心率 e ?

c 1 ? ,? c ? 2, ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12, a 2

? 所求椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 16 12 (2)设直线 FA、FB、AB 的斜率分别为 k AF 、 k BF 、 k , A( x A , y A ), B ( xB , y B ); 当 k ? 0 时,显然有 k AF ? k BF ? 0, 命题成立, 当 k ? 0 时,可设 AB 的方程为 y ? k ( x ? 8), 2 2 2 2 代入椭圆方程整理得: (4k ? 3) x ? 64k x ? 16k ? 48 ? 0, 64k 2 (16k ) 2 ? 48 , x x ? , A B 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 yA yB kx ? 8k kxB ? 8k 2kx A xB ? 10k ( x A ? xB ) ? 32k , ? ? ? A ? ? x A ? 2 xB ? 2 xA ? 2 xB ? 2 ( x A ? 2)( xB ? 2)

? 判别式 ? ? 576(1 ? 4k 2 ), x A ? xB ?

? k AF ? k BF

(16k ) 2 ? 48 64k 2 ? 10k ? 2 ? 32k 而 2kx A xB ? 10k ( x A ? xB ) ? 32k ? 2k ? 4k 2 ? 3 4k ? 3 512k 3 ? 96k ? 640k 3 ? 128k 3 ? 96k = ? 0, ? k AF ? k BF ? 0. 4k 2 ? 3 1 1 (3) S ? S? PBF ? S? PAF ? ? PF ? yB ? y A ? ? PF ? k xB ? x A 2 2

72 k 1 ? 4k 2 1 ? ? 6 ? k ? ( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB ? ? 2 4k 2 ? 3

72

1 ?4 k2

3 ?4 k2

72 ?

1 1 ?4 72 2 ? 4 2 72 k k ? ? 3 1 ?4 3( 2 ? 4) ? 16 3 ? 1 ? 4 ? 2 k k k2

16 1 ?4 k2

?

72 ? 3 3, 2 3 ?16

21 16 ,即 k ? ? (此时判别式 ? ? 0 )时取等号, 14 1 ?4 k2 ?? ABF 的面积 S 的最大值为 3 3 .
当且仅当 3 ?

1 ?4 ? k2

【思路点拨】利用椭圆中 a b c 的关系求出方程,直线和椭圆方程联立求出最大值。 223.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3, 最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 ly=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的 圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

答案及解析:
223.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.L4 【答案解析】(1) (2)

解析:(1)解:由题意设椭圆的标准方程为 由已知椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1, 可得:a+c=3,a﹣c=1, ∴a=2,c=1 ∴b =a ﹣c =3 ∴椭圆的标准方程为 ;
2 2 2



(2)证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2)
2 2 2

联立

,消去 y 可得(3+4k )x +8mkx+4(m ﹣3)=0,





因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0),∴kADkBD=﹣1,即

∴y1y2+x1x2﹣2(x1+x2)+4=0,∴ ∴7m +16mk+4k =0 解得: ,且均满足 3+4k ﹣m >0
2 2 2 2

当 m1=﹣2k 时,l 的方程 y=k(x﹣2),直线过点(2,0),与已知矛盾; 当 时,l 的方程为 ,直线过定点

所以,直线 l 过定点,定点坐标为 【思路点拨】(1)由已知椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1,可得: a+c=3,a﹣c=1,从而可求椭圆的标准方程;(2)直线与椭圆方程联立,利用以 AB 为直径 的圆过椭圆的右顶点 D(2,0),结合根的判别式和根与系数的关系求解,即可求得结 论. 224.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 ? 3, 0 , F2 a 2 b2
3 . 2

?

? ?

3, 0 ,椭

?

圆上的点 P 满足 ?PF1 F2 ? 90? ,且 ?PF1 F2 的面积为 S ?PF1F2 ? (1)求椭圆 C 的方程;

(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A、B ,过点 Q 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 (1,0)

M 、N 两点,直线 AN 与直线 x ? 4 的交点为 R ,证明:点 R 总在直线 BM 上。
答案及解析:
224.

【知识点】椭圆的方程和性质;直线和椭圆的位置关系 H5 H8

【答案解析】 解:(1)由题意知: F1 F2 ? 2 3 ,

? 椭圆上的点 P 满足 ?PF1 F2 ? 90? ,且 ?PF1 F2 的面积为 S ?PF1F2 ?

3 , 2

1 1 3 F1 F2 ? PF1 ? ? 2 3 ? PF1 ? , 2 2 2 1 7 2 2 ? PF1 ? , PF2 ? F1 F2 ? PF1 ? , 2 2 ? 2a ? PF1 ? PF2 ? 4, a ? 2, ? S ?PF1F2 ? 又 ? c ? 3,? b ? a 2 ? c 2 ? 1

x2 则椭圆的方程为: ? y2 ? 1 4
(2)由题意知 A(?2, 0), B ? 2, 0 ? , ①当直线 l 与 x 轴垂直时, M ? 1,

? ? ?

3? ? 3? ,N? 1, ? ? ?, ? ? 2 ? ? 2 ? ?

则 AN 的方程是: y ? ?

3 ? x ? 2? , 6

BM 的方程是: y ? ?

3 ? x ? 2? , 2

直线 AN 与直线 x ? 4 的交点为 R 4, ? 3 ,

?

?

? 点 R 在直线 BM 上。
②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? ,

M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , R ? 4, y0 ?
? y ? k ? x ? 1? ? 由 ? x2 , 2 ? ? y ?1 ?4
得 1 ? 4k 2 y 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 ,

?

?

8k 2 4k 2 ? 4 ? x1 ? x2 ? , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ??? ? ???? AR ? ? 6, y0 ? , AN ? ? x2 ? 2, y2 ?
? A, N , R 共线

? y0 ?

6 y2 , x2 ? 2 ??? ? ???? ? 又 BR ? ? 2, y0 ? , BM ? ? x1 ? 2, y1 ? ,
要证明 B, M , R 共线, 只需证明 2 y1 ? y0 ? x1 ? 2 ? ? 0 , 只需证明 2k ? x1 ? 1? ?

6k ? x2 ? 1? ? x1 ? 2 ? ? 0 x2 ? 2

若 k ? 0 ,显然成立,若 k ? 0 ,即证明 ? x1 ? 1?? x2 ? 2 ? ? 3 ? x2 ? 1?? x1 ? 2 ? ? 0

? ? x1 ? 1?? x2 ? 2 ? ? 3 ? x2 ? 1?? x1 ? 2 ? ? ?2 x1 x2 ? 5 ? x1 ? x2 ? ? 8 ? ?2 ? 4k 2 ? 4 ? ? 40k 2 1 ? 4k 2 ? 8 ? 0成立,

? B, M , R 共线,即点 R 总在直线 BM 上。
【思路点拨】(1)通过椭圆的截距和三角形的面积求出 a, b ,即可得到椭圆的标准方程 (2)求出 A, B 的坐标,当直线 l 与 x 轴垂直时,求出 AN , BM 的方程,然后求出 AN 与 x ? 4 的坐标,即可判断点 R 总在直线 BM 上;当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方 程为 y ? k ? x ? 1? , M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , R ? 4, y0 ? ,联立直线和椭圆方程,结合韦达定 理,利用分析法证明 B, M , R ,即点 R 总在直线 BM 上。 225.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 ?1, ? ,且长轴长等于 4. 2 a b ? 2?

(I)求椭圆 C 的方程; ( II ) F1,F2 是 椭 圆 C 的 两 个 焦 点 , e O 是 以 F1,F2 为 直 径 的 圆 , 直 线

uur uuu r 3 l : y ? kx ? m与 e O 相切,并与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,若 OA ? OB = ? ,求 k 的 2
值.

答案及解析: x2 y2 2 ? ? 1 (II) ? 225.(I) 解析:解:(Ⅰ)由题意,椭圆的长轴长 2a ? 4 ,得 4 3 2

a ? 2 ,????2 分
∵点 ?1, ? 在椭圆上,∴

? 3? ? 2?

1 9 ? 2 ? 1 得 b 2 ? 3 ,????4分 4 4b

∴椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 .??????6 分 4 3

(II)由直线 L 与圆 O 相切,得

m 1? k
2

? 1 ,即 m2 ? 1 ? k 2 ,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 由

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 消去 y,整理得 ? 3 ? 4k ? x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 ,由题意可知圆 O 在椭圆 3 ?4 ? y ? kx ? m ?
内,所以直线必与椭圆相交 x1 ? x2 ? ?

8km 4m2 ? 12 , x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
????10 分

y1 ? y2 ? ?kx1 ? m ??kx2 ? m ? ? k 2 x1 ? x2 ? km? x1 ? x2 ? ? m 2 ? k2 ? 4m 2 ? 12 3m 2 ? 12k 2 ? 8km ? 2 ? km ? ? m ? . ? ? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4k ?

∴ x1 ? x2 ? y1 y2 ?

4m 2 ? 12 3m 2 ? 12k 2 7 m 2 ? 12k 2 ? 12 ? ? , ??????11 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? 5 ? 5k 2 .??????12 分 3 ? 4k 2

∵ m 2 ? 1 ? k 2 ,∴ x1 ? x2 ? y1 y2 ? ∵ OA ? OB ? ?

? 5 ? 5k 2 3 2 3 1 ,∴ .????13 分 ? ? , k 2 ? ,得 k 的值为 ? 2 2 2 2 2 3 ? 4k

略 226.设点 F1 ( ?c,0), F2 (c,0) 分别是椭圆 C : 任意一点,且 PF1 ? PF2 的最小值为 0 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M,N 是直线 l 上的两 点,且 F1M ? l , F2 N ? l ,求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 1) 的左、右焦点, P 为椭圆 C 上 2 a

答案及解析: x2 2 226.(1) +y =1 (2)2 2
( 1 ) 设 P ( x , y ) , 则 PF1 = ( x+c , y ) , = ( x-c , y ) ,

????

∴ PF1 ? PF2 =x2+y2-c2= ∴ 椭 圆

???? ???? ?

a2 ?1 2 x +1-c2 , x ∈ [-a , a] ,由题意得, 1-c2=0 ? c=1 ? a2=2 , 2 a
C 的 方 程 为

x2 2

+y 2 =1



( 2 ) 将 直 线 l 的 方 程 y=kx+m 代 入 椭 圆 C 的 方 程 x2+2y2=2 中 , 得 ( 2k2+1 ) x2+4kmx+2m2-2=0 .

由 直 线 l 与 椭 圆 C 仅 有 一 个 公 共 点 知 , △ =16k2m2-4 ( 2k2+1 ) ( 2m2-2 ) =0 , 化 设 简 d1=|F1M|= 得 : , m2=2k2+1 d2=|F2N|= . ,

?k ? m k ?1
2

k ?m k 2 ?1

当 k≠0 时 , 设 直 线 l 的 倾 斜 角 为 θ , 则 |d1-d2|=|MN|×|tanθ| , ∴ |MN|=

1 ?|d1-d2| , k
4 1 m? m


∴ S=

1 2

?

1 k

?d1-d2|? ( d1+d2 ) =

2m = k 2 ?1

4m = m2 ? 1

∵ m2=2k2+1 , ∴ 当

k≠0

时 , |m| > 1 , |m|+

1 > 2 , ∴ S < 2 . m

当 k=0 时,四边形 F1MNF2 是矩形,S=2. 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2.

略 227.如图,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,右顶点、 a 2 b2
5 | BF | . 2

上顶点分别为点 A 、 B ,且 | AB |? (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率;

(Ⅱ)若斜率为 2 的直线 l 过点 (0, 2) ,且 l 交椭圆 C 于

P 、 Q 两点, OP ? OQ .求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程.

y B x O F A

答案及解析:
227.(Ⅰ)

x2 2 3 (Ⅱ) +y =1 4 2

(Ⅰ)由已知 | AB | =

5 5 | BF | ,即 a 2 ? b2 = a , 4a 2 +4b 2 =5a 2 , 2 2
c 3 = . a 2
a 2 =4b 2 , ∴ 椭 圆 C :

4a 2 +4 ( a 2 -c 2 ) =5a 2 ,∴ e =

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知

x2 4b 2

+

y2 b2

= 1 .

设 P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) , 直 线 l 的 方 程 为 y-2=2 ( x-0 ) , 即 2x-y+2=0 .

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 由 ? x2 ? x 2 +4(2 x +2) 2 ? 4 b 2 = 0 , 即 y2 ? ? 1 ? 2 ? 4b b2
△ = 32 2 +16×17( b 2 ? 4) > 0 ? b >
∵ 即 OP ⊥ OQ ,

17x 2 +32x+16-4b 2 =0



32 16 ? 4b 2 2 17 . x1+x 2 = ? , x 1x 2 = . 17 17 17 ??? ? ???? OP ∴ ? = 0 , OQ

x 1 x 2 +y 1 y 2 =0 , x 1 x 2 + ( 2x 1 +2 ) ( 2x 2 +2 ) =0 , 5x 1 x 2 +4 ( x 1 +x 2 ) +4=0 .

5(16? 4 b 2 ) 128 x2 2 ? 从而 +4 = 0 ,解得 b=1 ,∴椭圆 C 的方程为 +y =1. 17 17 4


x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) F1 ? 3, 0 , F2 a b 228. 已知椭圆 的左、右焦点分别为

?

? ?

3, 0

? ,椭

圆上的点 P 满足 (1)求椭圆 C 的方程;

?PF1 F2 ? 90?

,且

?PF1 F2

的面积为

S ?PF1F2 ?

3 2 .

(1,0) ( 2 )设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A、B ,过点 Q 的动直线 l 与椭圆 C 相交于

M 、N 两点,直线 AN 与直线 x ? 4 的交点为 R ,证明:点 R 总在直线 BM 上。 答案及解析:
228.



x2 y 2 2 229.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个焦点在抛物线 y ? 8 x 的准线上,且过点 a b

M

?

3,1 . (1)求椭圆 C 的方程;

?

(2)设点 F(-2,0),T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作直线 l ? TF 交椭圆 C 于 P、Q 两点. ①证明:OT 经过线段 PQ 中点(O 为坐标原点);②当

TF PQ

最小时,求点 T 的坐标.

答案及解析: x2 y 2 229.(1) ? ? 1 ;(2)①证明:略,②(-3,1)或(-3,-1). 6 2
解析:(1) y ? 8 x 的准线方程为 x=-2,? 椭圆的一个焦点 F1 (?2, 0) ,即 c=2-----2 分
2 2 2 又? F1M ? F2 M ? 2a ,解得 a ? 6, b ? 2 ,? C :

x2 y 2 ? ? 1 ------4 分 6 2

(2)① F1 (?2, 0), T ( ?3, m) ,直线 PQ 方程:x=my-2,设 P ? x1 , y1 ? , Q ( x2 , y2 )

? x ? my ? 2 ? 联立 ? x 2 y 2 ? ? m 2 ? 3? y 2 ? 4my ? 2 ? 0 , ? ? 16m 2 ? 8(m 2 ? 3) ? 0 ----6 分 ?1 ? ? 2 ?6
y1 ? y2 ? 4m 2 12 , y1 y2 ? ? 2 , x1 ? x2 ? m ? y1 ? y2 ? ? 4 ? ? 2 2 m ?3 m ?3 m ?3
2m ? m ? ?6 , 2 ? , kOT ? ? ,所以 M 在 OT 上, 2 3 ? m ?3 m ?3?

PQ 的中点 M ?

所以 OT 平分 PQ. -----8 分 ② TF ?

m ? 1, PQ ? m ? 1
2 2

? y1 ? y2 ?

2

? 2 y1 y2 ?

24 ? m 2 ? 1? m2 ? 3

TF 1 ? 2 4 3 4 ? ? ? 4? ? ,仅当 m 2 ? 1 ? 2 ? m ? ?1 等号成立, ? m ?1? 2 PQ 24 ? m ?1 ? 3 m ?1
此时

TF PQ

最小,所以点 T 坐标为(-3,1)或(-3,-1).------12 分

【答案】 略

230.已知椭圆 C: =1(a>b>0),离心率为 ,两焦点分别为 F1、F2,过 F1 的 直线交椭圆 C 于 M,N 两点,且△F2MN 的周长为 8. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 P(m,0)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,求弦长|AB|的最大 值.

答案及解析:

230.解:(1)由题得:

,4a=8,所以 a=2, .



又 b2=a2﹣c2,所以 b=1 即椭圆 C 的方程为 (2)由题意知,|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程 x=1,点 A、B 的坐标分别为



此时 ; 当 m=﹣1 时,同理可得 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x﹣m),(k≠0)

由 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

则△=64k4m2﹣16(1+4k2)(4k2m2﹣4)=48k2>0

又由 l 与圆 所以

.得

=

=

因为|m|≥1 所以 且当 时,|AB|=2, 由于当 m=±1 时, 略 231.(本小题满分 14 分) 设椭圆 M :
2

, ,所以|AB|的最大值为 2.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率与双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的离心率互为倒数, 2 a b
2

且内切于圆 x ? y ? 4 。 (1)求椭圆 M 的方程; (2)若直线 y ? 大值。

2 x ? m 交椭圆于 A, B 两点,椭圆上一点 P(1, 2) ,求 ?PAB 面积的最

答案及解析:
231.

1 x2 y 2 232.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆 2 a b
心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P(4, 0) 且不垂直于 x 轴直 线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两个不同点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围; (3)若 B 点在于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。

??? ? ??? ?

答案及解析:
232.

233.(本小题满分 12 分)

x2 2 已知椭圆 C : 2 ? y ? 1(a ? 1) 的上顶点为 A ,右焦点 F ,直线 AF 与圆 a

( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 3 相切。
(1)求椭圆 C 的方程; (2)球圆 M 关于直线 AF 的对称圆的方程。

答案及解析:
233.

234.(本小题满分 12 分) 椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 3? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A ?1, ? ,离心率为 ,左、右焦点分别为 F1 , F2 , 2 a b 2 ? 2?

过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点.(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当 ?F2 AB 的面积为

12 2 时,求直线的方程. 7

答案及解析:
234.

【知识点】椭圆的方程;直线与椭圆的位置关系. 【答案解析】(Ⅰ)

H5

H8

x2 y 2 ? ? 1 ;(Ⅱ) x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . 4 3 x2 y 2 1 9 ? 3? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A ?1, ? ,所以 2 ? 2 ? 1 2 a b a 4b ? 2?

解析:(Ⅰ)因为椭圆 C :

①,又因为离心率为

b2 3 1 c 1 2 2 ,所以 ? ,所以 2 ? ②,解①②得 a ? 4, b ? 3. a 4 2 a 2 x2 y 2 ? ? 1 ???(4 分) 4 3

所以椭圆的方程为:

(Ⅱ)①当直线的倾斜角为

?
2

时, A(?1, ), B ( ?1, ? ),

3 2

3 2

S ?ABF2 ?

1 1 12 2 ,不适合题意。?? 6 分 AB ? F1 F2 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 2 7
②当直线的倾斜角不为

?
2

时,设直线方程 l : y ? k ( x ? 1) ,

代入

x2 y 2 ? ? 1 得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ??? 7 分 4 3 ?8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? , 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

设 A( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

? S ?ABF2 ?

1 y1 ? y2 ? F1 F2 ? k 2

?k

(

2 ?8k 2 2 4k 2 ? 12 12 k k ? 1 12 2 ) ? 4( ) ? ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 7

?17k 4 ? k 2 ? 18 ? 0 ? k 2 ? 1? k ? ?1 ,
所以直线方程为: x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 ??? (13 分) 【思路点拨】(Ⅰ)由椭圆 C :

x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A ?1, ? ,离心率为 2 a b ? 2?

1 , 2
及a ? b
2 2

? c 2 求得 a 2 ? 4, b 2 ? 3. 从而得椭圆方程;

(Ⅱ)讨论直线 AB 的倾斜角为 时,

?
2

时和不为

?
2

时两种情况. 直线的倾斜角不为

?
2

设直线方程 l : y ? k ( x ? 1) ,代入

x2 y 2 ? ? 1 得: 4 3

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,
设 A( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) ,由 S ?ABF2 ? 值, 从而得到直线方程. 235.中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的焦距为 2,两准线间的距离为 10. 设 A(5, 0), 过点 A 作直线 l 交椭圆 C 于 P, Q 两点,过点 P 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于另一点 S . (1)求椭圆 C 的方程; (2)求证直线 SQ 过 x 轴上一定点 B; (3)若过点 A 作直线与椭圆 C 只有一个公共点 D, 求过 B, D 两点,且以 AD 为切线的圆

1 y1 ? y2 ? F1 F2 得关于 k 的方程,求得 k 2

的方程.

答案及解析:
235.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题 【答案解析】(1)

H8

x2 y 2 3 2 5 2 24 ? ? 1. (2) B(1,0). (3) ( x ? ) 2 ? ( y ? ) ? . 5 4 5 5 25 x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? . a 2 b2

解析:解(1)设椭圆的标准方程为

?2c ? 2, ?c ? 1, ? ? 依题意得: ? 2a 2 ? b 2 ? 4. ,得 ? ? 10, ? ?a ? 5, ? ? c
所以,椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 5 4

(2)设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) ,AP=tAQ,则 ?

? x1 ? 5 ? t ( x 2 ? 5) . ? y1 ? ty 2

? x12 y12 ? ?1 ? x1 ? ?2t ? 3 ? x1 ? x ?5 ? 4 ?t, 结合 ? ,得 ? 3t ? 2 . 设 B(x,0),则 2 2 x ? x2 x2 ? ? ? x2 ? y 2 ? 1 t ? ? 4 ?5

x?

x1 ? tx 2 ? 1 ,所以,直线 SQ 过 x 轴上一定点 B(1,0). 1? t

x2 y 2 (3)设过点 A 的直线方程为: y ? k ( x ? 5), 代入椭圆方程 ? ? 1 得: 5 4

(4 ? 5k 2 ) x 2 ? 50k 2 x ? 125k 2 ? 20 ? 0 .
依题意得: ? ? 0, 即 (50k ) ? 4(4 ? 5k )(125k ? 20) ? 0 得:
2 2 2 2

k?

5 4 5 且方程的根为 x ? 1. ? D (1, ? ). 5 5

当点 D 位于 x 轴上方时,过点 D 与 AD 垂直的直线与 x 轴交于点 E ,直线 DE 的方程 是:

y?

4 5 ? 5( x ? 1), 5

1 ? E ( , 0) . 5 3 5 2 5 2 24 ) ? ; 5 25

所求的圆即为以线段 DE 为直径的圆,方程为: ( x ? ) 2 ? ( y ?

同理可得:当点 D 位于 x 轴下方时,圆的方程为: ( x ? ) 2 ? ( y ? 【思路点拨】(1)依题意得:2c=2, 程. (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), =t ,证明 =t

3 5

2 5 2 24 ) ? . 5 25

=10,求出 a,c,b,由此能求出椭圆的标准方

,即可得出结论.
2 2 2 2

(3)设过点 A 的直线方程为:y=k(x﹣5),代入椭圆方程得(4+5k )x ﹣50k x+125k ﹣ 20=0.依题意得:△=(50k ) ﹣4(4+50k )(125k ﹣20)=0,由此能求出过 B,D 两点, 且以 AD 为切线的圆的方程
2 2 2 2

x2 y2 3 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 236.已知椭圆 的离心率为 2 ,过顶点 A(0,1) 的直线 L 与椭 圆 C 相交于两点 A, B .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 M 在椭圆上且满足

OM ?

1 3 OA ? OB 2 2 ,求直线 L 的斜率 k 的值.

答案及解析:
3 236.解:(1)因为 e= 2 ,b=1,所以 a=2, x2 ? y2 ? 1 4 故椭圆方程为 .
(2)设 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).
? y ? kx ? 1 ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?4 ,解得

联立

(1+4k2)x2+8kx=0,

8k 2 因为直线 l 与椭圆 C 相交于两点,所以△=(8k)2>0,所以 x1+x2= 1 ? 4 k ,x1?x2=0, ?
???? ? 1 ???? ? 3 ??? OM ? OA ? OB 2 2 ∵
1 ? ?m ? 2 ( x 1 ? 3x 2 ) ? 1 ?n ? ( y1 ? 3y 2 ) 2 ? ∴

1 (x1 ? 3x 2 ) 2 ? (y1 ? 3y 2 ) 2 ? 4 4 点 M 在椭圆上,则 m2+4n2=4,∴ ,化简得

x1x2+4y1y2= x1x2+4(kx1+1)(kx2+1)= (1+4k2)x1x2+4k(x1+x2)+4=0,

8k 1 1 2 ∴4k?( 1 ? 4 k )+4=0,解得 k=± 2 .故直线 l 的斜率 k=± 2 ?


? 3? x2 y 2 1 A ?1, ? C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 ? ,离心率为 2 ,左、右焦点分别为 a b 237. 椭 圆 过点 ?

F1 , F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

12 2 (Ⅱ)当 ?F2 AB 的面积为 7 时,求直线的方程.

答案及解析: x2 y 2 ? ?1 3 237.(1) 4 (2) x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 解 析 : ( 1 ) 因 为 椭 圆

C:

? 3? x2 y 2 1 9 1 A ?1, ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ?1 2 2 a b 4b 过点 ? 2 ? ,所以 a ①,又因为离心率为 2 ,所

b2 3 c 1 ? ? 2 2 2 4 ②,解①②得 a ? 4, b ? 3. 以 a 2 ,所以 a x2 y 2 ? ?1 3 所以椭圆的方程为: 4 ……… (4 分)
3 3 A(?1, ), B(?1, ? ), 2 2 (2)①当直线的倾斜角为 2 时,
S ?ABF2 ? 1 1 12 2 AB ? F1 F2 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 2 7 ,不适合题意。……… (6 分)

?

②当直线的倾斜角不为 2 时,设直线方程 l : y ? k ( x ? 1) ,

?

x2 y 2 ? ?1 2 2 2 2 3 代入 4 得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ……… (7 分)



A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ?

?8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? , 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
( ?8k 2 2 4k 2 ? 12 ) ? 4( )? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

? S ?ABF2 ? 12 k 4k 2 ? 3

1 y1 ? y2 ? F1 F2 ? k 2 ? 12 2 7

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? k

k 2 ?1

?17k 4 ? k 2 ? 18 ? 0 ? k 2 ? 1? k ? ?1 ,
所以直线方程为: x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 ……… (12 分).

略 238.(本小题满分 12 分)

椭圆的两焦点坐标分别为 F1(- 3 ,0),F2( 3 ,0),且椭圆过点 P(1,- (1)求椭圆方程;

3 ). 2

(2)若 A 为椭圆的左顶点,作 AM⊥AN 与椭圆交于两点 M、N,试问:直线 MN 是否恒过 x 轴 上的一个定点?若是,求出该点坐标;若不是,请说明理由.

答案及解析:
238.

(2)解法 1:由已知直线 MN 与 y 轴不垂直,假设其过定点 T (a,0) ,设其方程为 x ? my ? a

?x ? m y ? a ? 由 ? x2 得 (m 2 ? 4) y 2 ? 2amy? a 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? ?

------------6 分

2am m2 ? 4

y1 ? y 2 ?

a2 ? 4 m2 ? 4

∴ x1 ? x2 ? my1 ? a ? my2 ? a ? m( y1 ? y 2 ) ? 2a

x1 ? x2 ? (my1 ? a)(my2 ? a) ? m2 y1 y2 ? am( y1 ? y2 ) ? a 2
∵ AM ? AN ,∴ AM ? AN ? 0 ,即 ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2) ? 0 ∴ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y 2 ? 0 ∴ (m 2 ? 1) y1 y2 ? m(a ? 2)( y1 ? y2 ) ? (a ? 2) 2 ? 0 即 ------------10 分

(m 2 ? 1)(a ? 2)(a ? 2) 2am2 (a ? 2) ? ? (a ? 2) 2 ? 0 2 2 m ?4 m ?4
6 5

若 a ? ?2 ,则 T 与 A 重合,不合题意,∴ a ? 2 ? 0 ,整理得 a ? ? 综上,直线 MN 过定点 T ( ? 以下解法请酌情给分 (2)解法 2:由已知,AM 与 AN 斜率存在且不为 0 不妨设直线 AM 的方程为 x ? m y ? 2 ,则直线 AN 的方程为 x ? ?

6 ,0 ) 5

------------12 分

1 y?2 m

① 当 m ? ?1 时,MN⊥x 轴,可得直线 MN 方程为 x ? ?

6 ,∴直线 MN 过定点 5

6 T ( ? ,0 ) 5

?x ? m y ? 2 ? ②当 m ? ?1 时,由 ? x 2 得 (m 2 ? 4) y 2 ? 4my ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
解得 y M ?

4m 2(m 2 ? 4) x ? m y ? 2 ? ,于是 M M m2 ? 4 m2 ? 4

1 ? x ? ? y?2 ? 2(1 ? 4m 2 ) ? m , 由? 2 同理得 x N ? 1 ? 4m 2 ?x ? y2 ? 1 ? ?4

yN ?

? 4m 1 ? 4m 2

∴直线 MN 斜率 k MN

4m 4m ? 2 y ? yN 5m m ? 4 1 ? 4m 2 ? M ? ? 2 2 xM ? x N 2(m ? 4) 2(1 ? 4m ) 4(m 2 ? 1) ? m2 ? 4 1 ? 4m 2

∴直线 MN 方程为 y ?

4m 5m 2(m 2 ? 4) ? ( x ? ) m 2 ? 4 4(m 2 ? 1) m2 ? 4

5m 2(m 2 ? 4) 4m 4(m 2 ? 1) 5m 6 即y? (x ? ? 2 ? )? (x ? ) 2 2 2 5m 5 4(m ? 1) m ?4 m ?4 4(m ? 1)
综上,直线 MN 过定点 T ( ?

6 ,0 ) 5

(2)解法 3:①若 MN⊥x 轴,由 AM⊥AN 及椭圆的对称性知: ?MAO ? ?NAO ?

?
4

?y ? x ? 2 6 6 ? x ? ? 2 x ? ? T ( ? ,0 ) 由 ? x2 得 或 (舍),可见,直线 MN 过定点 2 5 5 ? y ? 1 ? ?4
②若直线 MN 与 x 轴不垂直,假设直线 MN 过定点 T (a,0) ,由已知,直线 MN 与 y 轴不垂 直,设其方程为 y ? k ( x ? a)

(k ? 0)

? y ? k ( x ? a) ? 2 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 4k ) x ? 8k ax ? 4k a ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

8k 2 a 1 ? 4k 2

x1 ? x 2 ?

4k 2 a 2 ? 4 1 ? 4k 2

∴ y1 ? y2 ? k ( x1 ? a) ? k ( x2 ? a) ? k 2 x1 x2 ? k 2 a( x1 ? x2 ) ? k 2 a 2 ∵ AM ? AN ,∴ AM ? AN ? 0 ,即 ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2) ? 0 ∴ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y 2 ? 0 ∴ (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (2 ? k 2 a)(x1 ? x2 ) ? 4 ? k 2 a 2 ? 0 ∴

(1 ? k 2 )(4k 2 a 2 ? 4) (2 ? k 2 a) ? 8k 2 a ? ? 4 ? k 2a2 ? 0 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k
6 ,或 a ? ?2 (舍) 5

2 整理得 5a ? 16a ? 12 ? 0 ,解得 a ? ?



①当 k ? ?1 时,MN⊥x 轴,可得直线 MN 方程为 x ? ? ∴直线 MN 过定点 T ( ? ②当 k ? ?1 时,

6 5

6 ,0 ) 5

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? 2(8k 2 ? 2) ? 0 , 2 ? y ? 1 ? ?4
即 ( x ? 2)[( 1 ? 4k ) x ? 8k ? 2] ? 0
2 2

∴ xM

2(1 ? 4k 2 ) ? , 1 ? 4k 2

yM ?

? 4k 1 ? 4k 2

1 ? y ? ? ( x ? 2) ? 2(k 2 ? 4) ? 4k ? k , yN ? 2 由? 2 同理得 x N ? 2 m ?4 m ?4 ?x ? y2 ? 1 ? ?4

∴直线 MN 斜率 k MN

? 4k ? 4k ? 2 yM ? y N 5k k ? 4 1 ? 4k 2 ? ? ? 2 2 xM ? x N 2(1 ? 4k ) 2(k ? 4) 4(1 ? k 2 ) ? 2 1 ? 4k 2 k ?4

239.(本小题满分 12 分) 若椭圆 C1:

x2 y2 3 2 ? 2 =1 (0<b<2)的离心率等于 ,抛物线 C2:x =2py(p>0)的焦点是椭 4 b 2

圆 C1 的一个顶点. (1)求抛物线 C2 的方程; (2)若过 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E、F 两点,又过 E、F 作抛物线 C2 的切线 l1、 l2,当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程.

答案及解析:
239.

∴椭圆的上顶点为(0,1),即抛物线的焦点为(0,1), ∴p=2,抛物线的方程为 x =4y.
2

------------4 分

(2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零,则可设直线 l 的方程为 y=k(x+1),E(x1,y1), F(x2,y2),

由 Δ =(-4k) -4?(-4k)>0,解得 k<-1 或 k>0. 又 x1?x2=-4k=-4,得 k=1,满足 Δ >0 ∴直线 l 的方程为 x-y+1=0. 240.(本小题满分 14 分)设椭圆 C : ------------12 分

2

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1、F2 , a 2 b2

上顶点为 A ,在 x 轴负半轴上有一点 B ,满足 BF1 = F 1F 2 ,且 AB ? AF2 . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A、B、F2 三点的圆与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程; (3)在(2)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、N 两 点,线段 MN 的中垂线与 x 轴相交于 P ? m, 0? ,求实数 m 的取值范围.

??? ? ???? ?

A

y

B

F1 O

F2

x

答案及解析:
240.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题.H8

x2 y 2 1 ? 1? ? ? 1 ;(3) ?0, ? ;(2) 4 3 2 ? 4? ??? ? ???? ? 解析:(1)连接 AF1 ,因为 AB ? AF2 , BF1 = F 1F 2 ,所以
【答案解析】(1) e ?

AF1 ? F1F2 ,即 a =2c ,故椭圆的离心率为 e ?
(2)由(1)知 e ?

1 ; 2

?????3 分

1 ?1 ? ? 3 ? ,得 F2 ? a, 0 ? , B ? ? a, 0 ? , Rt ?ABF2 的外接圆圆心为 2 ?2 ? ? 2 ?

1 ? 1 ? F1 ? ? a, 0 ? ,半径 r ? F2 B ? a ,因为过 A、B、F2 三点的圆与直线 2 ? 2 ?

l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,
1 ? a ?3 2 ? a ,解得: a =2 ,?c=1, b ? 3 . ∴ 2
所以所求椭圆方程为:

x2 y 2 ? ?1. 4 3

?????7 分

(3)由(2)知 F2 ?1,0? ,设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1),



? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 2 2 得: ? 3 ? 4k ? x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 . 3 ?4 ? y ? k ( x ? 1) ?

因为直线 l 过 F2 点,所以 ? ? 0 恒成立. 设 M ? x1, y1 ?、N ? x2 , y2 ? ,由韦达定理得: x1 ? x2 ? 所以 y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? 2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?6k . 3 ? 4k 2
?????10 分 ?????11 分

? 4k 2 ?3k ? 故 MN 中点为 ? . , 2 2 ? ? 3 ? 4k 3 ? 4k ?
当 k ? 0 时, MN 为长轴,中点为原点,则 m ? 0 ; 当 k ? 0 时, MN 中垂线方程为 y ?

3k 1? 4k 2 ? ? ? x ? ? ?. 3 ? 4k 2 k? 3 ? 4k 2 ?

令 y ? 0 ,得 m ?

3 3 1 k2 1 ? .因为 2 ? 0, 2 ? 4 ? 4, 所以 0 ? m ? . 2 3 k k 4 3 ? 4k ?4 2 k

?????13 分 综上可得实数 m 的取值范围是 ?0, ? .

? 1? ? 4?

?????14 分

a =2c , 【思路点拨】(1)连接 AF1 ,因为 AB ? AF2 , BF1 = F 1 ? F 1 F2 ,即 1F 2 ,所以 AF
故可求椭圆的离心率;(2)由(1)的离心率能求出椭圆方程.(3)设直线 l 的方程为

??? ? ???? ?

? x2 y2 ?1 ? ? y ? k ( x ? 1), ,M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组 ? 4 ,得 3 ? y ? k ( x ? 1) ?

? 3 ? 4k ? x
2

2

? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数 m 的取值

范围.

x2 y 2 1 ? 3? 241. 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 过 点 A ? 1, ? , 离 心 率 为 , 左 、 右 焦 点 分 别 为 a b 2 ? 2?

F1 , F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当 ?F2 AB 的面积为

12 2 时,求直线的方程. 7

答案及解析:

x2 y 2 1 9 ? 3? 241. 解:( 1 )因为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 过点 A ? 1, ? ,所以 2 ? 2 ? 1 ①, a b a 4b ? 2?

又因为离心率为

b2 3 1 c 1 2 2 ,所以 ? ,所以 2 ? ②,解①②得 a ? 4, b ? 3. a 4 2 a 2

x2 y 2 所以椭圆的方程为: ? ? 1 ??? (4 分) 4 3

②当直线的倾斜角不为

?
2

时,设直线方程 l : y ? k ( x ? 1) ,

x2 y 2 代入 ? ? 1 得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ??? 7 分 4 3 ?8k 2 4k 2 ? 12 设 A( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
? S ?ABF2 ? ?k ( 1 1 AB ? F1 F2 ? y1 ? y2 ? F1 F2 ? k 2 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

2 ?8k 2 2 4k 2 ? 12 12 k k ? 1 12 2 ) ? 4( ) ? ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 7

?17k 4 ? k 2 ? 18 ? 0 ? k 2 ? 1? k ? ?1 ,
所以直线方程为: x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 ??? (13 分) 略

1 242.已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 2 ,右焦点到右顶点的距离为

1.
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; ( Ⅱ ) 是 否 存 在 与 椭 圆 C 交 于 A, B 两 点 的 直 线 l : y ? kx ? m(k ? R) , 使 得

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? 2OB ? OA ? 2OB

成立?若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,请说明理

由.

答案及解析:
x2 y 2 ? 2 ?1 a ? b ? 0 2 ? ? ,半焦距为 c . 依题意 b 242. 解 : ( 1 ) 设 椭 圆 C 的 方 程 为 a c 1 e? ? a 2 ,由右焦点到右顶点的距离为 1 ,得 a ? c ?1 .解得 c ? 1 , a ? 2 .所以
b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 .

x2 y 2 ? ?1 3 所以椭圆 C 的标准方程是 4 . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? 2 OB ? OA ? 2 OB (2)解:存在直线 l ,使得 成立.理由如下:

? y ? kx ? m, ? 2 ?x y2 ? ? 1, 2 2 2 ? 3 由? 4 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 .

? ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 ,化简得 3 ? 4k 2 ? m2 .
4m 2 ? 12 8km x ?x ?? x1 x2 ? A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 1 2 3 ? 4k 2 , 3 ? 4k 2 . 设 ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? 2OB ? OA ? 2OB OA ? 2OB ? OA ? 2OB 若 成 立 , 即 , 等 价 于 ??? ? ??? ? OA ? OB ? 0 .所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 , 4m2 ? 12 8km ? km ? ? m2 ? 0 2 2 2 2 (1 ? k ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? 0 , 3 ? 4k 3 ? 4k , 7 k 2 ? m2 ? 1 2 2 2 2 12 化 简 得 , 7m ? 12 ? 12k . 将 代 入 3 ? 4k ? m 中 , 3 7 12 m2 ? 3 ? 4( m 2 ? 1) ? m 2 m2 ? 2 2 4 .又由 7m ? 12 ? 12k ? 12 , 7 , 12 ,解得, 12 2 2 m2 ? m? 21 m ? ? 21 7 , 7 7 从而 或 . 2 2 (??, ? 21] ? [ 21, ??) 7 7 所以实数 m 的取值范围是 . (1 ? k 2 ) ?
略 243.(12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 的顶点,过坐

标原点的直线交椭圆于 P,A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C, 连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB.

答案及解析:
243.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:计算题;证明题;压轴题;数形结合;分类讨论;转化思想. 分析: (1)由题设写出点 M,N 的坐标,求出线段 MN 中点坐标,根据线 PA 过原点和斜率 公式,即可求出 k 的值; (2)写出直线 PA 的方程,代入椭圆,求出点 P,A 的坐标,求出直线 AB 的方程,根据点 到直线的距离公式,即可求得点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)要证 PA⊥PB,只需证直线 PB 与直线 PA 的斜率之积为﹣1,根据题意求出它们的斜 率,即证的结果. 解答: 解:(1)由题设知,a=2,b= 故 M(﹣2,0),N(0,﹣ , ).

),所以线段 MN 中点坐标为(﹣1,﹣

由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过原点, 所以 k= .

(2)直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 因此 P( , ),A(﹣ ,﹣ )

,解得 x=± ,

于是 C( ,0),直线 AC 的斜率为 1,故直线 AB 的方程为 x﹣y﹣ =0.

因此,d=



(3)设 P(x1,y1),B(x2,y2),则 x1>0,x2>0,x1≠x2, A(﹣x1,﹣y1),C(x1,0). 设直线 PB,AB 的斜率分别为 k1,k2. 因为 C 在直线 AB 上,所以 k2= ,

从而 kk1+1=2k1k2+1=2?

=

=

=



因此 kk1=﹣1,所以 PA⊥PB.

点评:此题是个难题.考查椭圆的标准方程和简单的几何性质,以及直线斜率的求法,以 及直线与椭圆的位置关系,体现了方程的思想和数形结合思想,同时也考查了学生观察、 推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力. 244.已知椭圆 C : 的距离等于焦距. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 和椭圆交于两点 A, B ,且 AF ? 2 FB ,求直线 l 的方程.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, 0) , 短轴的一个端点 B 到 F a 2 b2

??? ?

??? ?

答案及解析:
244.解:由已知得 c ? 1 , a ? 2c ? 2 ------------------3 分

b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为
(Ⅱ)设直线 l 的方程是 x ? my ? 1

x2 y 2 ? ?1 4 3

------------------4 分

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 消 x 并整理得 3 (4 ? 3m2 ) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ? x ? my ? 1 ?
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则

------------------6 分

6m y1 ? y2 ? ? 4+3m 2

①,

?9 y1 y2 = 4 ? 3m 2

② ---------9 分

因为 AF ? 2 FB

??? ?

??? ?

得 y1 ? ?2 y2 ③

2 由①②③解得 m ?

4 ,-----------------------------------------11 分 5
??? ? ??? ? 2 5 x ? 1 使得 AF ? 2 FB -------------------5

因此存在直线 l : x ? ? 略

245.(本小题满分 14 分)已知点 A (0, ?2 ),椭圆 E :

2 2 x y ? ? 1 ( a? b? 0 )的离心 2 2 a b

率为

3 2

, F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为

2 3 , O 为坐标原点. 3

(Ⅰ) 求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P , Q 两点,当 ?OPQ的面积最大时,求 l 的方程.

答案及解析:
245.

【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.

【答案解析】(Ⅰ)

x2 7 ? y 2 ? 1(Ⅱ) y ? ? x?2 4 2

解析 :解:(Ⅰ) 显然 F 是椭圆的右焦点,设 F (c,0) 由题意 K AF ?

2 2 3 ? c 3

?c ? 3

又离心率

c 3 ? a 2

? a ? 2 ,?b ? a2 ? c2 ? 1

故椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

????. ????5 分

(Ⅱ) 由题意知,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,方程为 y ? kx ? 2

? x2 ? ? y 2 ? 1 ,化简得: 联立直线与椭圆方程: ? 4 (1 ? 4k 2 ) x2 ?16kx ? 12 ? 0 ? y ? kx ? 2 ?
? ? ? 16(4 k 2 ? 3) ? 0, ? k 2 ? 3 4 16k 12 , x1 ?x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

? PQ = 1 ? k 2 x1 ? x2 = 1 ? k 2 ?
坐标原点 O 到直线 l 的距离为 d ?

4 4k 2 ? 3 1+4k 2
2 k 2 ?1

? S?OPQ
令 t?

2 1 1 2 4 4k 2 ? 3 2 4 4k ? 3 ? l ?d ? 1? k ? ? ? 2 2 1+4k 2 1+4k 2 k 2 ?1

4k 2 ? 3 (t ? 0) ,则 S?OPQ ?

4t 4 ? t ?4 t ? 4 t
2

? t?

4 4 ? 4 (当且仅当 t ? 即 t ? 2 时等号成立)? S?OPQ ? 1 t t

故当 t ? 2 即

4k 2 ? 3 ? 2 , k ? ?
7 x?2 2

7 时 ?OPQ的面积最大 2
.????. ????14 分

从而直线 l 的方程为 y ? ?

【思路点拨】(Ⅰ)设 F ( c , 0 ),利用直线的斜率公式可得

2 2 3 = ,可得 c .又 c 3

c 3 2 2 2 , b =a -c ,即可解得 a , b ; ? a 2
(Ⅱ)设 P ,由题意可设直线 l 的方程为: y?k .与椭圆的方程 ( xy ,1 ) , Q ( xy ,2 ) x? 2 1 2 联立可得根与系数的关系,再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积 计算公式即可得出 ?OPQ的面积.通过换元再利用基本不等式的性质即可得出. 246.(本小题满分 12 分)

3 x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 椭圆 C: a (a>b>0)的离心率为 5 ,P(m,0)为 C 的长轴上的一个动点,过 P ??? ? ??? ? 4 41 PA ? PB ? ? 2 点斜率为 5 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.当 m=0 时,
(1)求 C 的方程; (2)求证: 246.

PA ? PB

2

2

为定值.

答案及解析:

【知识点】椭圆的标准方程和性质;直线与椭圆;向量的运算 H5 H8 F3 【答案解析】

所以,|PA|2+|PB|2 是定值.

?12 分

【思路点拨】(Ⅰ)由椭圆的离心率可列出关于参数 a , b 的一个方程。当 m=0 时,直线 l 的

??? ? ??? ? A , B PA ? PB 方程已知,与椭圆方程联立,消去 y 化简,设出点 的坐标,用坐标表示 ,再
??? ? ??? ? 41 PA ? PB ? ? 2 列出关于 a , b 的第二个方程,两方程联立即可解得 a , b ; 根据
(Ⅱ)根据点斜式可设直线 l 的方程为

x?

5 y?m 4 ,与椭圆方程联立,消去 x ,设出 A, B
2 2

的坐标,利用两点间的距离公式表示出

PA ? PB

,结合韦达定理化简,即可证明

PA ? PB

2

2

为定值 41.

247.(本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过椭圆由焦 2 2 a b

点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时,弦 AB 长 4.

(1) 求椭圆的方程; (2) 若 AB ? CD ?

48 .求直线 AB 的方程. 7

答案及解析:
247.

【知识点】椭圆及其几何性质;直线的方程. 【答案解析】(1)

H5

H1

x2 y 2 ? ? 1 ;(2) x-y-1=0 或 x+y-1=0. 4 3
c 1 ? , 2a ? 4 ,又 a 2 ? b2 ? c2 ,解得: a 2

解析:(1)由题意知 e ?

x2 y 2 ? 1 .--------6 分 a ? 2, b ? 3 ,所以椭圆方程为: ? 4 3
(2)①当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在,由题意知 AB ? CD ? 7 , 不满足条件;②当两弦斜率均存在且不为 0 时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1), 则直线 CD 的方程为 y ? ?

1 ( x ? 1) . k

2 2 2 2 将直线 AB 方程代入椭圆方程中并整理得 3 ? 4k x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ,

?

?

12 ? k 2 ? 1? 8k 2 4k 2 ? 12 2 , x1 ? x2 ? 则 x1 ? x2 ? ,所以 AB ? k ? 1 x1 ? x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
? 1 ? 12 ? 2 ? 1? 12 k 2 ? 1 ?. k ?? ? 同理, CD ? ? 4 3k 2 ? 4 3? 2 k

12 ? k 2 ? 1? 12 ? k 2 ? 1? 84 ? k 2 ? 1? 48 所以 AB ? CD ? = = ? 2 2 2 2 3 ? 4k 3k ? 4 ? 3 ? 4k ?? 3k ? 4 ? 7
2

解得 k ? ?1 ,所以直线 AB 方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.-------12 分 【思路点拨】(1)由已知条件得椭圆的字母参数 a,b,c 的值,从而得到椭圆方程; (2)先检验两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在时, AB ? CD ? 7 ,不满 足条件;然后看两直线斜率均存在时,因为 AB 与 CD 垂直,所以设直线 AB 的方程为 y=k(x-1), 则直线 CD 的方程为 y ? ?

1 ( x ? 1) . k

2 2 2 2 将直线 AB 方程代入椭圆方程中并整理得 3 ? 4k x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ,

?

?

12 ? k 2 ? 1? 8k 2 4k 2 ? 12 2 , x1 ? x2 ? 则 x1 ? x2 ? ,所以 AB ? k ? 1 x1 ? x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
? 1 ? 12 ? 2 ? 1? 12 k 2 ? 1 ?. k ?? ? 同理, CD ? ? 4 3k 2 ? 4 3? 2 k

12 ? k 2 ? 1? 12 ? k 2 ? 1? 84 ? k 2 ? 1? 48 所以 AB ? CD ? = = ? 2 2 2 2 3 ? 4k 3k ? 4 ? 3 ? 4k ?? 3k ? 4 ? 7
2

解得 k ? ?1 ,所以直线 AB 方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.

248.如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1, F2,线段 OF1,OF2 的中点分别为 B1,B2,且△ AB1B2 是面积为 4 的直角三角形. (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 B1 作直线交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2⊥QB2,求△ PB2Q 的面积.

答案及解析:
248.



x2 y 2 249.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角 a b
三角形,直线 x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以 2 b 为半径的圆相切。 (1)求椭圆的方程。 (2)若过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 L 交椭圆 C 于 A, B 两点,交 y 轴于 M 点,且

MA ? ?1 AF,MB ? ?2 BF, 求证: ?1 ? ?2 为定值
答案及解析:
249.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题.H8

x2 ? y 2 ? 1. (2) ?1 ? ?2 ? ?4 【答案解析】(1) 2
解析:(1)由题意:以椭圆 C 的右焦点为圆心,以 2 b 为半径的圆的方程为

( x ? c) 2 ? y 2 ? 2b 2 ,
∴圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

c ?1 2

? 2b ????*

∵椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角 a2 b2

形, b=c,代入*式得 b=1

∴a ?

2b ? 2

x2 ? y 2 ? 1. ???4 分 故所求椭圆方程为 2

(2)由题意:直线 L 的斜率存在,所以设直线 L 方程为 y ? k(x - 1) ,则

M(0,-k) , F(1,0)
将直线方程代入椭圆方程得: 1 ? 2k 2 x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ????6 分 设 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ?

?

?

4k 2k 2 ? 2 则 x1 ? x 2 ? ????①????8 分 , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
由 MA ? ?1 AF,MB ? ?2 BF, ∴ x1 ? ?1 (1 ? x1 ), x2 ? ?2 (1 ? x2 ), 即:, ?1 ?

2

x1 1 ? x1

?2 ?

x2 ????10 分 1 ? x2

4 2 x x x ? x ? 2 x1 x2 = 1 ? 2k =-4 ?1 ? ?2 ? 1 ? 2 ? 1 2 ?1 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 ? x2 ? 2 x1 x2 1 ? 2k 2
∴ ?1 ? ?2 ? ?4 ????12 分 【思路点拨】(1)由题意:以椭圆 C 的右焦点为圆心,以 2 b 为半径的圆的方程为

( x ? c) 2 ? y 2 ? 2b 2 ,∴圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

c ?1 2

? 2b ,由此结合已知

条件能求出椭圆方程.(2)设直线 L 方程为 y=k(x-1),代入椭圆方程得:

?1 ? 2k ?x
2

2

? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,由此利用韦达定理结合已知条件能证明 λ 1+λ 2 为定值.
2

250.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 x ? 4 y 的焦

2 5 点,离心率等于 5 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

??? ? ??? ? ???? ??? ? MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF , 求证 ?1 ? ?2 为定值. 答案及解析: ?b ? 1 ? ? c 2 5 ?e ? ? a 5 , 250.解:(Ⅰ)根据题意得: ?

(Ⅱ)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于 M 点,若

x2 ? y2 ? 1 2 2 a ? 5, b ? 1 解得 ,所以椭圆 C 的方程为: 5 . l y ? k ? x ? 2?
(Ⅱ)椭圆 C 的右焦点 F(2,0),根据题意可设 :

,则 M(0,-2k),

? y ? k ( x ? 2) ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ? 5k 2 ? 1? x 2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0 令 ,由 ? 5 得:

? 20k 2 x ?x ? ? ? 1 2 1 ? 5k 2 ? 2 ? x x ? 20k ? 5 ???? ??? ? ???? ??? ? 1 2 2 ? MA ? ? AF , MB ? ? BF ? ? 0 1 ? 5 k ? 1 2 所以 且 ,由 得 ? x1, y1 ? 2k ? ? ?1 ? 2 ? x1, ? y1 ? , ? x2 , y2 ? 2k ? ? ?2 ? 2 ? x2 , ? y2 ? ,

?1 ?
所以 略

2 ? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 x1 x ?1 ? ?2 ? ? ?10 , ?2 ? 2 4 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? x1 x2 2 ? x1 2 ? x2 ,所以

x2 y 2 3 ? 2 ?1 2 b 251.已知椭圆 F: a (a>b>0)经过 D(2,0),E(1, 2 )两点。
(I)求椭圆 F 的方程;

???? ???? OQ ? 2 OG . 点,设射线 OG 交 F 于点 Q,且
①证明:4m2=4k2+1; ②求△AOB 的面积。

(Ⅱ)若直线 l :y=kx+m 与 F 交于不同两点 A,B,点 G 是线段 AB 中点,点 O 为坐标原

答案及解析:
?4 ?1 ? ?a ? 2 ? a2 解得 ? ? x2 ?b ? 1 ? 1 ? 3 ?1 ? y2 ? 1 2 2 ? a 4 b ? 4 251.解:(I)由题意得 ,所以所求的椭圆方程为 ; A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?
(Ⅱ)①令 ,由

? y ? kx ? m , 得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ? 2 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0 ,
? ? 2 2 2 ?? ? ? 8km ? ? 4 ?1 ? 4k ?? 4m ? 4 ? ? 0 ?m 2 ? 1 ? 4k 2 ? ? ?8km ?8km ? ? 即 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? ? ? ? 4m 2 ? 4 4m 2 ? 4 ? x1 x2 ? ? x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ①, ? 所以 ? k ? ?8km ? 2m y1 ? y 2? k ? x ? ? 2m ? 1 x ?? 2 2m ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 , 由 中 点 坐 标 公 式 得 所 以 m ? ? ?4km ? ?4? km ? m ? ???? ???? G? , Q? , 2 2 ? 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ? , 根 据 OQ ? ? OG, 得 ? 1 ? 4k 1 ? 4k ? , 将 其 代 入 椭 圆 方

程,有

?1 ? 4k 2 ?

4? 2 k 2 m2
2

?

?1 ? 4k 2 ?

? 2 m2

2

?1
2 2 2 .化简得 ? m ? 1 ? 4k ②

4m 2 ? 4 4 1 ? 4 k 2 ? m2 ? ?8km ? x1 ? x2 ? ? ? 4? ? 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k ? ②由①②得 m≠0,且 ③, 2 1 2 3m 3 S???? ? m ? x1 ? x2 S?AOB ? ? 2 2 4m 2 ,所以△ AOB 在△ AOB 中, ④,由②③④得

2

3 的面积是 2 .


E:
252.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 2 a2 b2 过抛物线 y ? 16 x 的焦点,且与双曲线

x 2 ? y 2 ? 2 有相同的焦点. (1)求椭圆 E 的标准方程;
(2)设点 M (m,0) 在椭圆 E 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点,当 | MP | 最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围.

答案及解析:
252.解:(1)抛物线 y2=16x 的焦点坐标为(4,0),

x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 b 由题意知椭圆 E: a 的右顶点坐标为(4,0),
又椭圆与双曲线 x2﹣y2=2 有相同的焦点,∴a=4,c=2,∴b2=16﹣4=12, ∴椭圆 E 的标准方程: . ,

(2)设 p(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为 ∴﹣4≤x≤4.∵ ∴ = . ,

当 最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点,即当 x=4 时, 取得最小值, 而 x∈[﹣4,4],∴4m≥4,m≥1.又点 M 在椭圆 E 的长轴上,∴﹣4≤m≤4. ∴实数 m 的取值范围是[1,4]. 略 253. (本小题满分14分)设椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,其长轴长是短轴长的 2 倍,过 a 2 b2

焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 2 3 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)点 P 是椭圆 E 上横坐标大于 2 的动点,点 B, C 在 y 轴上,圆 ( x ?1) ? y ? 1 内
2 2

切于 ?PBC ,试判断点 P 在何位置时 ?PBC 的面积 S 最小,并证明你的判断.

答案及解析:

x2 y 2 ? ?1 253.(1) 12 6
(2)函数 f (t ) 在 [0, 2( 3 ?1)] 上单调递减,当 t ? 2( 3 ? 1) 时, f (t ) 取到最小值,此时

x0 ? 2 3 ,即点 P 的横坐标为 x0 ? 2 3 时, ?PBC 的面积 S 最小.
知识点:椭圆方程的求法;点在何处时三角形面积最小的判断和证明;函数的单调性 的合理运用. 解析 :解:(1)由已知 a ?

2b ,

b2 ? 3 ,解得: a ? 2 3, b ? 6 , a

故所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 12 6

y P B O C
(2)设 P( x0 , y0 )(2 ? x0 ? 2 3) , B(0, m), C (0, n) . 不妨设 m ? n ,则直线 PB 的方程为 lPB : y ? m ?

x

y0 ? m x x0

即 ( y0 ? m) x ? x0 y ? x0m ? 0 ,又圆心 (1, 0) 到直线 PB 的距离为 1 , 即

y0 ? m ? x0 m ( y0 ? m) ? x0
2 2

? 1, x0 ? 2 ,化简得 ( x0 ? 2)m2 ? 2 y0m ? x0 ? 0 ,

同理, ( x0 ? 2)n2 ? 2 y0n ? x0 ? 0 ,∴ m, n 是方程 ( x0 ? 2) x2 ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两个根, ∴m?n ?
2 ?2 y0 ? x0 4 x 2 ? 4 y0 ? 8x0 2 ,则 (m ? n) ? 0 , , mn ? x0 ? 2 x0 ? 2 ( x0 ? 2)2
2 2 x0 2 x2 ? 8x0 ? 24 ) ,∴ (m ? n)2 ? 0 . 12 ( x0 ? 2)2

∵ P( x0 , y0 ) 是椭圆上的点,∴ y0 ? 6(1 ?

2 2 1 2 x0 ? 8x0 ? 24 2 x0 ? 4 x0 ? 12 2 ( x0 ? 2)2 ? 8 2 则S ? ? ? x0 ? ? x0 ? ? x0 , 4 ( x0 ? 2)2 2( x0 ? 2)2 2( x0 ? 2)2
2

(t 2 ? 8)(t ? 2) 2 令 x0 ? 2 ? t (0 ? t ? 2( 3 ?1)) ,则 x0 ? t ? 2 ,令 f (t ) ? , 2t 2
1 2 16 16 16 32 (t ? 2)(t 3 ? 16) ? ,则 f ?(t ) ? t ? 2 ? 2 ? 3 ? 化简,得 f (t ) ? t ? 2t ? 6 ? , 2 t t2 t t t3
令 f ?(t ) ? 0 ,得 t ? 2 3 2 ,而 2( 3 ?1) ? 2 3 2 , ∴函数 f (t ) 在 [0, 2( 3 ?1)] 上单调递减,当 t ? 2( 3 ? 1) 时, f (t ) 取到最小值, 此时 x0 ? 2 3 ,即点 P 的横坐标为 x0 ? 2 3 时, ?PBC 的面积 S 最小. 思路点拨:(1)由已知条件推导出 a ?

2b ,

b2 ? 3 ,解得 a , b ,由此能求出椭圆 a

方程.(2)设 P( x0 , y0 )(2 ? x0 ? 2 3) , B(0, m), C (0, n) .不妨设 m ? n ,由已知条件 推导出 m , n 是方程 (x 0 ?2)x +2y 0 x ?x 0 = 0 的两个根,由此能求出点 P 的横坐标为
2

x0 ? 2 3 时,△ PBC 的面积 S 最小.
254.(15 分)在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆

x2 y2
4

+ =1 的顶点,过坐标原 2

点的直线交椭圆于 P,A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C, 连结 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k. (1)若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d, 且求 ?PAB 的面积 S 。

答案及解析:
254.

【答案解析】(1)

2 2 2 40 (2) , S= 2 3 27

解析:(1)由题设知,a=2,b= 2,故 M(-2,0),N(0,- 2),所以线段 MN 中点的 坐标为

2? ? ?-1,- ?.由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点, 2? ? 2 - 2 2 又直线 PA 过坐标原点,所以 k= = .????????5 分 -1 2 (2)直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得

x2 4x2
4 +

2 =1,解得 x=± , 2 3

4 0+ 3 4? ?2 4? ? 2 ?2 ? 因此 P? , ?,A?- ,- ?.于是 C? ,0?,直线 AC 的斜率为 =1, 3? 2 2 ?3 3? ? 3 ?3 ? + 3 3 2 故直线 AB 的方程为 x-y- =0. 因此,d= 3

?2-4-2? ?3 3 3? ? ? 2 2
1 +1
2 2



3

.????????10 分

AB : x ? y ?

2 2 ? 0, 即 y ? x ? 3 3

? x2 y 2 ? ?1 ? 8 28 8 28 ?4 2 ,消去 y,得 3 x 2 ? x ? ? 0 , x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? ? 3 9 9 27 ? y ? x? 2 ? 3 ?

AB ?

20 2 40 9 , S= 27 ????????15 分

【思路点拨】(1)由题设写出点 M , N 的坐标,求出线段 MN 中点坐标,根据线 PA 过 原点和斜率公式,即可求出 k 的值; (2)写出直线 PA 的方程,代入椭圆,求出点 P , A 的坐标,求出直线 AB 的方程, 根据点到直线的距离公式,即可求得点 P 到直线 AB 的距离 d ;然后联立方程组进而 求出面积 .

255.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的长轴长是短轴长的两倍,焦距为 2 3 . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 M 、 N ,且直线 OM 、 MN 、 ON 的斜率依次成等比数列,求△ OMN 面积的取值范围.

答案及解析:

255.



略 256.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,其离心率 e ? (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)已知点 Q(1,1) ,直线 l : y ? x ? m(m ? R ) 和椭圆 C 相交于 A、B 两点,是否存在 实数 m,使△ABQ 的面积 S 最大?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

5 ,短轴长为 4. 3

答案及解析:

256.解析:(1)由题意可设椭圆 C 的方程为 又e? ?
c a

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

5 , 2b ? 4 , a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a ? 3,b ? 2 . 3

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 9 4

(2)设直线 l : y ? x ? m ?m ? R ? 和椭圆 C 相交于 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y 2 ?两点.

? y ? x ? m, ? 联立方程得, ? x 2 y 2 消去 y 得, 13x2 ? 18mx ? 9m2 ? 36 ? 0 . ? 1, ? ? 4 ?9
上式有两个不同的实数根,

? ? 324m 2 ? 4 ? 13 ? 9 m 2 ? 4 ? 144 13 ? m 2 ? 0 .
且 x1 ? x2 ? ? 所以 AB ?

?

?

?

?

18m 9m 2 ? 36 , x1 x2 ? . 13 13
2 12 2 ? 2 ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ? 13 ? m2 . ? ? 13

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y 2 ?2
m

点 Q ?1,1? 到 l : y ? x ? m 的距离为

2

.

所以 ?ABQ 的面积 S ?

m 6 1 12 2 ? ? ? ? 13 ? m2 ? 2 13 2 13

?13 ? m ? m
2

2

6 13 ? m2 ? m2 ? ? ? 3. 13 2
2 2 当且仅当 13 ? m ? m ,即 m ? ?

26 时,, S 取得最大值,最大值为 3. 2

略 257.在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 x2 y2 + =1 的顶点,过坐标原点的直线交 4 2

椭圆于 P,A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连结 AC, 并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k. (1)若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d, 且求 ?PAB 的面积 S 。

答案及解析:
257.

8 28 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? 9 27

AB ?

20 2 9

S=

40 ????????15 分 27

略 258. 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 , A 是椭圆 C 上的一 a2 2

点, AF2 ? F 1 的距离为 1F 2 ? 0 ,坐标原点 O 到直线 AF (1)求椭圆 C 的方程;

???? ? ???? ?

1 OF1 . 3

( 2 ) 设 Q 是 椭 圆 C 上 的 一 点 , N (?1,0) , 连 接 Q N 的 直 线 交 y 轴 于 点 M , 若

MQ ? 2 QN
答案及解析:

,求直线 l 的斜率.

2 2 258.解:(1)由题设知 F1 (? a ? 2, 0), F2 ( a ? 2, 0), 其中a ?

2

由于 AF2 ? F 1F 2 ? 0 ,则有 AF 2 ?F 1F 2 , ??1 分
2 所以点 A 的坐标为 ( a ? 2, ? )

???? ? ???? ?

???? ?

???? ?

2 a

?? 2 分

故 AF1 所在直线方程为 y ? ?(

1 ? ) a a ?2 a
2

x

??3 分

所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为
2

a2 ? 2 a2 ?1

??4 分

a2 ? 2 1 2 ? a ? 2 解得: a ? 2 又 OF1 ? a ? 2 ,所以 2 a ?1 3
x2 y 2 ? ?1 所求椭圆的方程为 4 2
?? 6 分

??5 分

( 2 )由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线斜率为 k 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则有

M (0, k ) 设 Q( x1 , y1 ) ,由于 Q 、 N 、 M 三点共线,且
分 根据题意得 ( x1 , y1 ? k ) ? ?2( x1 ? 1, y1 ) ,

MQ ? 2 QN

? ?

8

??9 分

2 ? x1 ? ? ? x1 ? ?2 ? ? 3 解得 ? 或? ? y1 ? ?k ? y ? k 1 ? 3 ?

??11 分

(?2) 2 (?k ) 2 ? ? 1或 又 Q 在椭圆 C 上,故 4 2

2 k (? ) 2 ( ) 2 3 ? 3 ?1 4 2
?? 13 分

??12 分

解得 k ? 0, k ? ?4 ,综上,直线 l 的斜率为 0 或 ? 4 . 略 259.如图,已知椭圆 C:

,A、B 是四条直线 x=±2,y=±1 所围成的两个顶点. ,求证:动点 Q(m,n)在定圆上运

(1)设 P 是椭圆 C 上任意一点,若 动,并求出定圆的方程;

(2)若 M、N 是椭圆 C 上两个动点,且直线 OM、ON 的斜率之积等于直线 OA、OB 的斜 率之积,试探求△ OMN 的面积是否为定值,说明理由.

答案及解析:
259.解:(1)易求 A(2,1),B(﹣2,1).…(2 分) 设 P(x0,y0),则 .由 ,得 ,

所以

,即.故点 Q(m,n)在定圆

上.…(8 分)

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 平方得

. ,即 .…(10 分)

因为直线 MN 的方程为(x2﹣x1)y﹣(y2﹣y1)x+x1y2﹣x2y1=0, 所以 O 到直线 MN 的距离为 ,…(12 分)

所以△OMN 的面积 S= MN?l= |x1y2﹣x2y1|=

= 故△OMN 的面积为定值 1.…(16 分) 略

=



x2 y2 6 260.已知椭圆 C: 2 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 a b

3.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 积的最大值.

3 ,求△AOB 面 2

答案及解析:
260.

?c 6 , ? ? (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ————2 分 ? a ? 3, ?
? b ? 1 ,————4 分

x2 ? 所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1.————5 分 3

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 .————6 分 (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m . 由已知

m 1? k
2

?

3 2 3 2 ,得 m ? (k ? 1) .————7 分 4 2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,——8 分

?6km 3(m 2 ? 1) ? x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? .————9 分 3k ? 1 3k 2 ? 1

? 36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? 2 ? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? (1 ? k 2 ) ? 2 ? 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?
? 12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2

12k 2 12 12 ? 3? 4 ? 3? (k ? 0) ≤ 3 ? ? 4. 2 1 9k ? 6k ? 1 2?3 ? 6 9k 2 ? 2 ? 6 k
当且仅当 9 k ?
2

1 3 ,即 k ? ? 时等号成立.————11 分 2 k 3

当 k ? 0 时, AB ? 3 , 综上所述 AB max ? 2 .————12 分

1 3 ? ? 当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ? ? AB max ? 2 2 ???? 1 ???? 261.已知点 A(?2,0), B(2,0), 点 C , D 依次满足 AC ? 2 , AD ? 2
(1)求点 D 的轨迹;

?

3 .——14 分 2 ??? ? ???? AB ? AC .

?

(2)过点 A 作直线 l 与以 A, B 为焦点的椭圆交于 M , N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的 距离为

4 ,且直线 l 与点 D 的轨迹相切,求该椭圆的方程. 5

答案及解析:

261. 解 : ( 1 ) 设 C ? xc , yc ? , D ? x, y ? , 则 AC ? ? xc ? 2, yc ? , AB ? ? 4,0 ? ,

????

??? ?

???? AD ? ? x ? 2, y ? .
由 AD ?

????

? ???? 1 ??? y ?x AB ? AC ,得 ? c ? 3, c 2 2 ?2

?

?

? xc ? 2 x ? 2 ? 即 ? x ? 2, y . , ? ? ? ? ? ? yc ? 2 y

代入 AC ? ? xc ? 2 ? ? yc ? 4, 得 x2 ? y 2 ? 1.
2 2

???? 2

故点 D 的轨迹是以原点为圆心,1 为半径的圆. (2)根据题意知,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 2? ①

x2 y2 ? 1? a 2 ? 4 ? ② 由题意设椭圆方程为 2 ? 2 a a ?4
由直线 l 与圆相切得

1 ? 1 ,解得 k 2 ? . 3 1? k
2

2k

2 2 2 将①代入②得 a ? 3 x ? a x ?

?

?

3 4 a ? 4a 2 ? 0 , 4

设点 M 的坐标为 ? x1 , y1 ? ,点 N 的坐标为 ? x2 , y2 ? ,

a2 4 , 又 线 段 MN 的 中点 到 y 轴 的距 离为 , 所 以 由 根与 系数 的关 系得 x1 ? x2 ? ? 2 5 a ?3

a2 8 8 x1 ? x2 ? , 即 ? 2 ? ? 解得 a 2 ? 8. 5 a ?3 5 x2 y 2 ? ? 1. 则椭圆方程为 8 4
略 262.已知三点 P(5,2)、 F1 (-6,0)、 F2 (6,0)。 (I)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (II)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦点且 过点 P? 的双曲线的标准方程.

答案及解析:
262. (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为 (a>b>0), 其半焦距 c=6



,b =a ﹣c =9.

2

2

2

所以所求椭圆的标准方程为 (2)点 P(5,2)、F1(﹣6,0)、F2(6,0) 关于直线 y=x 的对称点分别为点 P′(2,5)、F1′(0,﹣6)、F2′(0,6). 设所求双曲线的标准方程为 由题意知,半焦距 c1=6, , b1 =c1 ﹣a1 =36﹣20=16. 所以所求双曲线的标准方程为 .
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? F 、F2 a 2 b2 263.设椭圆 的左、右焦点分别为 1 ,上顶点为 A ,在 x 轴 ??? ? ???? ? BF1 = F1F2 ,且 AB ? AF2 . 负半轴上有一点 B ,满足 C:

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过

A、B、F2 三点的圆与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程;
F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、N 两点,线段

(3)在(2)的条件下,过右焦点

0? MN 的中垂线与 x 轴相交于 P ? m, ,求实数 m 的取值范围.

答案及解析: ??? ? ???? ? AF AB ? AF BF F 1 =F 1 2 1 2 ,所以 263.(1)连接 ,因为 ,

AF1 ? F1F2 ,即 a =2c ,故椭圆的离心率为

e?

1 2;

? 3 ? ?1 ? 1 B ? ? a, 0 ? F2 ? a, 0 ? ? , Rt ?ABF2 的 外 接 圆 圆 心 为 ?, ? 2 2 ,得 ?2 (2) 由 ( 1 ) 知 ? 1 ? 1 F1 ? ? a, 0 ? r ? F2 B ? a ? 2 ? ,半径 2 ,

e?

因为过

A、B、F2 三点的圆与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,

1 ? a ?3 2 ?a 2 ∴ ,解得: a =2 ,?c=1, b ? 3 . x2 y 2 ? ?1 3 所以所求椭圆方程为: 4 .
(3)由(2)知

F2 ?1,0?

,设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1),



因为直线 过

? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?4 ? y ? k ( x ? 1) ? 3 ? 4k 2 ? x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . ? 得: ??0 l F2
点,所以 恒成立.

8k 2 4k 2 ? 12 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? M ? x1, y1 ?、N ? x2 , y2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 , 设 ,由韦达定理得: ?6k y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? 2 ? ? 3 ? 4k 2 . 所以

? 4k 2 ?3k ? , ? ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ? 故 MN 中点为 ? . 当 k ? 0 时, MN 为长轴,中点为原点,则 m ? 0 ;

当 k ? 0 时, MN 中垂线方程为

y?

3k 1? 4k 2 ? ? ? x ? ? ? 3 ? 4k 2 k? 3 ? 4k 2 ?

.

k 1 ? 2 3 3 3 1 3 ? 4k ?4 ? 0, 2 ? 4 ? 4, 0?m? 2 2 k k 4. 令 y ? 0 ,得 .因为 k 所以 ? 1? ?0, ? 综上可得实数 m 的取值范围是 ? 4 ? . m?


2

264.如图,设椭圆

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 两顶点 A(?b,0), B(b,0) ,短轴长为 4 ,焦距为 a2 b2

2 ,过点 P(4,0) 的直线 l 与椭圆交于 C , D 两点.设直线 AC 与直线 BD 交于点 Q .
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求证:点 Q 的横坐标为定值.

答案及解析: 264.(1)椭圆方程为
. ?? 5分

(2)设直线

的方程为: 得 xQ ?

,直线

的方程分别为:

,两

式联立,消去

2( x1 y2 ? x2 y1 ) ? 4( y2 ? y1 ) . (*) x1 y2 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 )

y12 x12 y12 y2 2 x12 y2 2 ? ? 1 ? ? y2 2 ① , ? ? 5 4 5 4

?

y2 2 x2 2 ? ?1 5 4

?

y12 y2 2 x2 2 y12 ? ? y12 ② 5 4

由② ? ①得

,即

. ③



三点共线,则







④入③得





把④、⑤代入(*)整理得

(定值). ??16 分

法二:韦达定理 设直线 l : y ? k ( x ? 4) ,代人椭圆方程得 (5 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 20 ? 0

xQ ?

2( x1 y2 ? x2 y1 ) ? 4( y2 ? y1 ) 4k ( x2 ? x1 ) ? 2k[2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 )] = x1 y2 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) 4k ( x2 ? x1 ) ? 2k[( x1 ? x2 ) ? 8]

由韦达定理易得

2x1x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 8
故 xQ ? 1 法三:设直线 AC : y ? k1 ( x ? 2), 代人椭圆方程得:

(5 ? 4k12 ) x2 ?16k12 x ?16k12 ? 20 ? 0 得 xC ?
设直线 BD : y ? k2 ( x ? 2), 代人椭圆方程得:

10 ? 8k12 4k12 ? 5

(5 ? 4k22 ) x2 ?16k22 x ?16k22 ? 20 ? 0 得 xD ?
由 C , D, P 三点共线得:

?10 ? 8k2 2 4k 2 2 ? 5

kPC ? kPD 得

?10k1 10k2 得 (3k1 ? k2 )(4k1k2 ? 5) ? 0 ? 2 12k1 ? 5 4k2 2 ? 15

得 3k1 ? k2 ? 0 ,此时 xQ ? 1 ;或 4k1k2 ? 5 ? 0 ,此时交点在椭圆上,舍.

略 265.如图,已知某椭圆的焦点是 F1 (?4,0), F2 (4,0) ,过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一 个交点为 B,且

F1B ? F2 B ? 10

,椭圆上不同的两点 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) 满足条件:

F2 A



F2 B



F2C

成等差数列.

(1)求该椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,求 m 的取值范围.

答案及解析:
265.(1)由椭圆定义及条件知,

2a ? F1B ? F2 B ? 10

2 2 ,得 a=5,又 c=4,所以 b= a ? c =3.

x2 y2 ? 故椭圆方程为 25 9 =1.
2 B 5 . 因为椭圆右准线方程为 (2) 由点 B(4, yB ) 在椭圆上,得 4 4 25 4 25 F2 A ? ( ? x1 ), F2C ? ( ? x2 ) 5 ,根据椭圆定义,有 5 4 5 4 ,

FB? y ?

9

x?

25 4 , 离心率为



F2 A



F2 B



F2C

成等差数列,得

4 25 4 25 9 ( ? x1 ) ? ( ? x2 ) ? 2 ? 5 4 5 4 5 ,由此得出: x1 ? x2 ? 8 . x ?x x0 ? 1 2 ? 4 P ( x , y ) 0 0 ,则 2 设弦 AC 的中点为 .
(3):由 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) 在椭圆上.
2 2 ? ?9 x1 ? 25 y1 ? 9 ? 25 ? 2 ?9 x ? 25 y 2 2 ? 9 ? 25 得? 2

① ②

①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0,

x1 ? x2 y ? y2 y1 ? y2 ) ? 25( 1 )( ) 2 2 x ? x 1 2 即9 =0(x1≠x2) (


x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 1 ? x0 ? 4, 1 ? y0 , 1 ?? 2 2 x1 ? x 2 k

(k≠0)代入上式,

1 25 9 ? 4 ? 25 y0 (? ) ? 0(k ? 0) k? y0 k 36 (当 k=0 时也成立). 得 即 由点 P(4, y0 ) 在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0 ? 4k ? m ,
所以

m ? y0 ? 4k ? y0 ?

25 16 y0 ? ? y0 9 9 .
9 9 ? ? y0 ? 5 ,所以

由点 P(4, y0 ) 在线段 BB ? ( B ? 与 B 关于 x 轴对称)的内部,得 5

?

16 16 ?m? 5 5



x2 y2 3 ? 2 ?1 2 b 266.如图,圆 O 与离心率为 2 的椭圆 T: a ( a ? b ? 0 )相切于点 M (0,1) 。
⑴求椭圆 T 与圆 O 的方程; ⑵过点 M 引两条互相垂直的两直线 l1 、 l 2 与两曲线分别交于点 A、C 与点 B、D(均不重 合)。 ①若 P 为椭圆上任一点,记点 P 到两直线的距离分别为 d1 、 d 2 ,求 d1 ? d 2 的最大值;
2 2

②若 3MA ? MC ? 4MB ? MD ,求 l1 与 l 2 的方程。

答案及解析:
c 3 ? , b ? 1, c 2 ? b 2 ? a 2 2 266.解: (1)由题意知: a 解得 a ? 2, b ? 1, c ? 3 可知: x2 ? y2 ? 1 2 2 C 椭圆 的方程为 4 与圆 O 的方程 x ? y ? 1
2 x0 2 ? y0 ?1 P ( x , y ) d ? d ? PM ? x ? ( y ? 1) l l 0 0 因为 1 ⊥ 2 ,则 0 (2)设 因为 4 1 16 2 2 d12 ? d 2 ? 4 ? 4 y0 ? ( y0 ? 1) 2 ? ?3( y0 ? ) 2 ? 3 3 , 所以
2 1 2 2 2 2 0 2

? 1 ? y0 ? 1 因为

所以当

y0 ? ?

1 16 4 2 1 P(? ,? ) 2 2 3 时 d1 ? d 2 取得最大值为 3 ,此时点 3 3

? y ? kx ? 1 2k 1 ? k 2 ? 2 A(? 2 , ) 2 x ? y ? 1 解得 k ?1 1? k 2 ; (3)设 l1 的方程为 y ? kx ? 1 ,由 ? ? y ? kx ? 1 ? 2 ?x 8k 1 ? 4k 2 2 ? y ? 1 C ( ? , ) ? 4 k 2 ? 1 1 ? 4k 2 由? 4 解得
2k k 2 ? 1 8k k 2 ? 4 1 B( 2 , 2 ) D( 2 , ) k ? 4 k2 ? 4 把 A, C 中的 k 置换成 k 可得 k ? 1 k ? 1 , 2k ? 2 k 2 8k ? 8k 2 MA ? (? 2 , ) MC ( ? , ) k ?1 1? k 2 , 4k 2 ? 1 1 ? 4 k 2 所以 2k ?2 8k ?8 MB ? ( 2 , 2 ) MD ? ( 2 , 2 ) k ?1 k ?1 , k ?4 k ?4
?

3k 2 4 ???? ????? ? ???? ???? ? ? 2 2 k ? 4 解得 k ? ? 2 由 3MA ?MC ? 4MB ? MD 得 1 ? 4k

2 y?? x ?1 l l 2 所以 1 的方程为 y ? 2 x ? 1 , 2 的方程为

l l 或 1 的方程为 y ? ? 2x ? 1 , 2 的方程为 略
267.(13 分)已知椭圆 C: 的一点. +

y?

2 x ?1 2

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,P 为椭圆 C 上

(1)若△PF1F2 周长为 6,离心率 e=

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