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4.1 定积分的概念 课件(北师大版选修2-2)


第四章 定积分 导.学. 固. 思 知识点 新课程标准的要求 层次要求 领域目标要求 通过定积分概念的 形成过程,理解现实中的 抽象概况,体会数学中的 定积分的概念与 了解定积分的实际背景,基本思想 计算 微积分基本定理 及应用 定积分的实际意 及概念 了解微积分基本定理的含义 化曲为直,化复杂为简单 初步涉及定积分的应用 的处理问题的方法 义 导.学. 固.

思 定积分的概念 导.学. 固. 思 1.理解连续函数的概念,会根据函数图像判断函数是否连 续. 2.会用分割、近似替代、求和、取极限等方法求曲边为二 次函数曲线段的曲边梯形的面积. 3.会求汽车做变速运动时在某一段时间内行驶的路程. 4.通过求变速直线运动在某一段时间内的行驶路程,体会 “以直代曲”和“以不变代变”的思想方法. 5.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分. 6.了解定积分的几何意义及性质. 导.学. 固. 思 我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“ 直边图形”的面积,在物理中,我们知道了匀速直线运动 的时间、速度与路程的关系等.在数学和物理中,我们经 常会遇到计算平面曲线所围成的平面“曲边图形”的面 积、变速直线运动物体的位移、变力做功的问题.如何解 决这些问题呢?因为现有的知识无法解决这些问题,所以 我们需要另寻方法. 导.学. 固. 思 问题1 求曲边梯形面积的步骤是(1) 分割 ;(2) . 近似替代 ;(3) 求和 ;(4) 逼近 . 问题2 定积分的定义 一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x),将 [a,b]区间分成n份,分点为a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b. 第i个小区间为[xi-1,xi],设其长度为Δxi,在这个小区间 上取一点ξi,使f(ξi)在区间[xi-1,xi]上的值最大,设 S=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn)Δxn.在这个 小区间上取一点ζi,使f(ζi) 导.学. 固. 思 在区间[xi-1,xi]上的值最小,设 s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn.如 果每次分割后,最大的小区间的长度趋于 0,S 与 s 的差也 趋于 0,此时,S 与 s 同时趋于某一个 固定的常数A,我们就 称 A 是函数 y=f(x)在区间[a,b]上的 定积分 .,记作 (),即 积分号 上限 () = .其中 叫作 下限 . . ,叫作积分的 ,()叫作 ,叫作积分的 . 被积函数 导.学. 固. 思 问题3 定积分的几何意义 f(x)≥0 问题4 定积分的性质 (1) (2) (3) 1 = b-a ; () = () (为常数); [ 1 () ± 2 ()] = 1 () ± 2 () ; (4) () = () + ()(其中 a<c<b). 导.学. 固. 思 1 把区间[1,3]等分n份,所得n个小区间的长度均为( B ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 1 2 2 汽车以 v=v(t)在[0,t]内作直线运动经过的路程为 S, 则下列叙述正确的是( C ). 导.学. 固. 思 A.将[0,t]等分 n 份,若以每个小区间左端点的速度近 似替代时,求得的 s 是 S 的不足估计值 B.将[0,t]等分 n 份,若

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